О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2001, том 50, №8_____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов*

О ПОПЕРЕЧНИКАХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 21.01.2008 г.)

1. Пусть Х - произвольное банахово пространство, M - некоторое выпуклое центрально симметричное множество в X, Ln а X - и-мерное линейное подпространство;

£(X,Ln) - множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих пространство Xв подпространство Ln, JCL{X,Ln) - подмножество проекторов из £(X,Ln). Величина

E(f’Ln)x = lnf II/ - HLr :(P&Ln

является наилучшим приближением элемента / eJ подпространством Ln. Требуется найти величины:

Е Ш,Ьп х =sup Д/,4)х:/єШТ (1)

- приближение фиксированного множества Ш cz X подпространством Ln в пространство X;

S Ш,Ьп х — inf sup ||/-A/j|x :/єШТ X,Ln (2)

- наилучшее приближение множества Ш а X линейными операторами в пространстве X.;

S.1 ал,4 r — inf sup ||/-л/||х :/єШІ :Aci* X,Ln (3)

- наилучшее приближение множества Ш cz X линейными проекторами в пространстве X. Очевидно, что

Е M,Ln x<S M,Ln x<SL M,Ln x. (4)

Величины [1]

dn(m,X) = m£ E m,Ln :LnczX ,

\п(Ш,Х) = т£ £ Ш,Ьп ,

7T„ Ш,Х =inf M,Ln

соответственно называют колмогоровским, линейным и проекционным поперечниками. Подпространство L°n є X, на котором достигается нижняя грань во всех вышеперечисленных по-

перечниках, называется оптимальным подпространством. При вычислении указанных поперечников будем использовать их монотонность по п, а также вытекающие из (4) неравенства

ап т,х <\(ж,х)<7гп(ж,х).

2. Рассмотрим конкретный случай нахождения величин (1)-(3) и вышеперечисленных поперечников. В качестве X будем рассматривать весовое пространство Бергмана В2аналитических в единичном круге функций

1^) = ^скгк,г = ре\ 0<р<1

к=0

с конечной нормой

ч 1/2

< 00,

(5)

где у |г| - неотрицательная измеримая весовая функция, с!а - элемент площади и интеграл

понимается в смысле Лебега.

Переходя к полярным координатам, норму (5) запишем в виде

= 2 \ру р М\ р,/ (1р

V1/2

< СО,

где

( л 2

М2 А/ =

А'1\

— |/ РЄ" 2 Ж

Совокупность алгебраических комплексных полиномов степени п обозначим Рп. Легко доказать, что среди произвольных полиномов рп_х е Рп_х наименьшее значение функции

п-1

/{х)^В2 доставляет частная сумма Тейлора Тп(/,г) = ^скгк разложение /(г) в круге Ы < 1. При этом

к=О

Е в, =||/-г„_, / \в =ЫР-м1 Р,/-т„ / аР\ .

Для целых положительных г полагаем /{г) г — сГ/ г [с1гг и через В2/ г — 0,1,2,...;= В2 обозначим множество аналитических в единичном круге функций /{г) е В2 , у которых г-я производная /{г) (г) е В2 у, то есть

в

2

в.

о

В[,= .Г <»•

Пусть /(г) - произвольная аналитическая в единичном круге р| < 1 функция, принадлежащая пространству В2 . Модуль непрерывности т-го порядка определим равенством

ч,(/;а£)2 =8иР М2 РЛт /;•,« -.\и\<3 , (6)

где

т

Д. (/;р, (,«) = £ -1 С1/ ре1™

1=0

- разность т-го порядка функции /(г) по аргументу

В работе [2], в частности, доказано, что для любой функции /{г)&В2у, у которой гг/(г) еЛ2г при всех натуральных т,п,г,п>г и любых 0<к<тг/п,0< /3 <п,у>0 справедливо точное неравенство

1 А

Р ^ гг/(г);р,^ /51/к ёрсН

Е2 /,^ ^ ^----------------------й---------------------------------, (7)

22т-а2пг- ^т2" ШИ ■вт*' рМ Л

о

где

сспг = п ■ (п — 1) • (п - 2) • • • (п — г +1), п > г, и знак равенства в (7) реализует функция /0(г) = гп ^В2у. Используя неравенство (7), сначала находим точные значения величин (1)-(3), а затем, используя полученный результат, оценим сверху всех поперечников.

Для произвольных натуральных т,п,г,п > г,V > 0, 0<к<и/п, 0 < /В <л определим следующие классы функций

^(К) := У7О, п, г, у, р, у, И) =

= |/0) е ^ : Цру Р Ш2ш 2Г/(Г)-,Р^т1' рт ёрЖ<\^,

У7 И,Ф -.^У7 т,п,г,у,р,у,к, Ф =

= |/ г еВ2у: $1ру р ш2т гг/(г);р,Г ^ту РШ ёрЛ<Ф И 1,

О О

где Ф(И) - непрерывная монотонно возрастающая функция такая, что Ііт Ф к — Ф 0 — 0.

х—>+0

Имеет место следующая

Теорема 1. При всех натуральных т, п, г, п > г, V > 0, 0<И< тт/п, 0 < /? < тг справедливы равенства

Е J7 h ,Рп_х ^=£ J7 h ,Рп_х г=£ J7 h ,Рп_х 2 =

Гh Г2

= 2~т -а~г ■ I Jsin2"1 nt/2 sinK flt/h dt> , (8)

E f h-Ф ,Pn_, , =£ f h-Ф ,Pn_, , =£L f h-Ф ,Pn_x , =

-1/2

2 Jsin2"1 nt/2 sin1" fit/h dt^ Ф h . (9)

Доказательство. Не уменьшая общности, приводим доказательство равенства (9). Оценку сверху получаем для величины (3), используя определение класса к,Ф

£L ^ к;Ф ,Pn_Y 2=sup En(f)2:f gJ7 к;Ф <

и V-

< 2~т-а~2 ■ I Jsin2"1 nt/2 sinv /3t/h dt j- Ф h . (10)

Очевидно, что если укажем функцию /0 (г) є У7(Ъ, Ф), для которой реализуется знак

равенства в соотношении (10), то с учетом неравенства (4) равенство (9) будет доказано. Покажем, что функция

где

ГА ] ~1/2

а(п1г,Х^ = ' аш ' \ Jsin2"I(и^/2)sinl/(/?^//г)<i^ \ ,

j 'і 1/2

удовлетворяет неравенству

1 h

J \ру{р)ип (zrf<r); p,t)2 sinv{/3t/h)dpdt < Ф\h),

0 0

означающему, что /0 (z) є J7(h, Ф).

0

В самом деле, простым вычислением получаем

г'/.,г>(*) = «„ СДА)-^1 Ф(А)-/’, ю’(;'/„"> ;д02 =22"а>2”ап2"('И/2) <С,(А)-^‘-Ф(А) 2,

откуда вытекает, что

1 к

J \ру(р)<»1(?г fir)\p,t)2 sinv(pt/h)dpdt

О О

h

2

= 22”Ч2,. Ф(Л) -^02 ^8Іп2>ґ/2)-8іпЧ/Щ>^ = Ф2(//).

О

Этим соотношение (9) доказано.

Вычислим теперь значение поперечников, используя результат, полученный в теореме

1, и сформулируем основной результат данной работы.

Теорема 2. Справедливы равенства

, -1/2

X^(h),B2r) = 2-m-a~J-\ ]sm2m(nt/2)smv{pt/h)dt\ , (11)

, -1/2

<ти ^(Н,Ф),В2г =2-т-а;1-^,т2т{Ш12)ът\рт^ Ф(к), (12)

где сги(-) - любой из вышеперечисленных поперечников dn(■), А„(-) и 7ги(-). В частности, при Р — 71, Л = 7г/и имеем:

/ л и1/2 Г (да + г)! 1 1/2

^(ТГ/И),^ = —^^^

2 • а„г Г(уя + (v +1)/2) • r((v +1)/2)

, -1/2

(7 {^(тт/п,Ф),В2 ) = —\----------------------------------------------\-{rn + v)\-1 ж_

4 2’г) 2 -anr [r(m + (v + l)/2)-r((v + l)/2) J п

где Г(м) - гамма функция Эйлера.

Доказательство. Не уменьшая общности, докажем равенство (12). Оценку сверху для проекционного поперечника получим из соотношения (9), поскольку

тгп(^(Ь,Ф),В2 г) < Е\^Ф\Р^ =

\h ]-1/2 = 2~т ■ a-J ■ I |sin2" (nt/2) sin" (pt/h)dt \ ■ Ф(A).

0

e5i

С целью получения оценки снизу колмогоровского поперечника класса (/г, Ф(/г)) для произвольного полинома

Pn(,Z) = Yjakzk

к=0

оцениваем oJm(zr f(r);p,t)2. Рассмотрим (п + 1) -мерную сферу комплексных полиномов

Sn+1 =

Pn^Pn-\Pn\Bi/ =2“ma“1 }sin2m {nt/2) sin" (pt/h)dt

2>/ V о J

n^-1/2

•Ф (h)

и покажем, что она входит в класс У7(к, Ф{И)).

Для произвольного полинома рп (г) е Хп+1 с учетом равенства

п 1

IЫЁ2,= 2ЁКГ • \p2k+lr(p)dp

к=0 о

и соотношения (1 - cos kt)m < (1 - cos nt)m, справедливого для к <п и 0 <t<h< и/п , согласно определению модуля непрерывности m -го порядка, из равенства (6) получаем

п

2

(fpV; А Ґ)г і 2’ X аЦщ Г • />2‘ (1 ■- cos кі)” <

к=0

и

<2".a;.(l-cosnO-'XK|!'p“. (13)

к=0

Умножая обе части неравенства (13) на py(p)sinv (j3t/h) и интегрируя по /?е(0,1) и е (0, И), получаем

1 h

J \py(p)^m(zrp(?\p,t)2 sinv(/3t/h)dpdt <

0 0

n 1 n

- 2X h Г Jp2k+1r(p)dp J22”~1 a2 • 2” sin2" (nt/2) sin" (/3t/h)dt =

k=0 о 0

1 h i = - \Pn f • 22"1 ce2n’ J sin2" (nt/2) sin ' (fit/h)dt ~ — Ф2(К) < Ф2(И),

2 о 2

а это означает, что Sn+1 с ./^(/7,0) и оценка снизу получена, чем и завершим доказательство теоремы 2.

Таджикский технический университет им. М. С.Осими, Поступило 21.01.2008 г.

Н«

Хорогский государственный университет им. М.Н.Назаршоева

ЛИТЕРАТУРА

1. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.:Наука, 1987, 422 с.

2. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - Доклады РАН, 2007, т.412, №4, с. 1-4.

М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов ЦИМАТИ КУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН

Дар мак;ола к;имати аник;и кутрх,ои синфи функсиях,ои аналитикй, ки дар тахти аломати интеграл модули бефосилагии тартиби да-умро дар бар мегиранд, х,исоб карда шудааст.

M.R.Langarshoev, M.S.Saidusainov WIDTHS OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN WEIGHTED BERGMAN SPACE