CC BY
58
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №7________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Х.Х.Пиров, М.Р.Лангаршоев*
ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ МОДУЛЯМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, В ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
Хорогский государственный университет им.М.Назаршоева,
*Институт математики АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.04.2011 г.)
В пространстве Бергмана В2 получены точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и модулями непрерывности высших порядков производных и вычислены точные значения п-поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций определяемых этими модулями непрерывности.
Ключевые слова: аналитическая функция - модуль непрерывности высшего порядка - наилучшее приближение - пространство Бергмана - комплексный алгебраический полином - п-поперечники.
1. Пусть Бр ,1 < р < да - пространство Бергмана [1] аналитических в единичном круге функций / (г) с конечной нормой
vn
- jj I f (z) I pda
< да, І < p < да,
где йо — элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега. Очевидно, что норму функции / є Бр можно записать в виде
f і і 2n Лі
л І in \p
— j j I f (pelt) Ip pdpdt <да, і < p <да.
0 0 J
Через ^_1 обозначим подпространство алгебраических полиномов комплексного переменного степени < п — 1:
[ п—1 ]
к I
Я-і = I pn—і (z) ■ pn—і (z) = Е akZ
[ k=0
Величина
Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
B
Еп (Лбр = {^1 / — Рп—4, : Рп—1 е Рп—1}
есть наилучшее приближение функции / е Б подпространством Т>п—1 в метрике Б^ .
Известно [2, стр. 198-200], что среди всех многочленов рп—1 е 'Рп_1 наименьшее значение
п—1
функции / е Б2 доставляют частные суммы Гп ^ (/, г) = ^ скгк разложения Тейлора функции /(г) в круге | г |< 1
Величину
где
к=0
да \ г і2 С1,
Е2(/ )б, =1 /—ТП—1(/)ііБ. = 1 —
к +1
А 1 2л
^ (/^ р = 8иР
|и|<*
(1)
Д„ (/ Р і, и) = £ (—1)к Ск/(рР (' *к“))
к=0
- разность т -го порядка функции /(ре1*) по аргументу *, назовем интегральным модулем непрерывности т -го порядка. Всюду далее, ради краткости, положено
апг = п(п — 1)(п — 2) • • • (п — г +1), п > г.
Пусть г - целое положительное число. Через /(г)(г) обозначим обычную производную г -го порядка /(г)(г) = йг/ / йгг, а через /г}(г) = дг/(ре1*) / д*г - производную г -го порядка по аргументу аналитической в единичном круге функции /(г), причем / (г) = / (2) • г1 и /(г)(г) = {_/(г—1)(г)}а для г > 2. Далее через В^ и В[’а обозначим класс аналитических в круге
| г |< 1 функций /(г) е В2, для которых гг/{г)
<да и
( Г )
< да соответственно.
Теорема 1. Для любых т, п е М, и г е Z + имеют место соотношения
п т/2апгЕп (/)Б
Бир
/ єВІ
, т/2
(2)
Б
Б
2
1
2
n"--/2 En (f ) f
n^J s B2 1 \
sup та,----------------------------2—= т-• (3)
fgb" •a I л/.” I 2
^J J a-- fr)• t)sinntdtj
и равенства в (2) и (3) достигаются для функции f (z) = zn G B2.
Доказательство. Равенства (2) и (3) доказываются одним и тем же методом. Здесь мы приведем доказательство равенства (2). В силу неравенства Гельдера для интегралов и равенство (1) (см. [3]) имеем
ш I г I2
E;(J) - L ТТc°skt < 2 'а?" • E^-(f)®-'-(z"f'r)• t),. (4)
k=n k О 1
Умножая обе части неравенства (4) на sin nt и интегрируя по отрезку [0,л / n], получаем
л/ ад i |2 л/
I с, | Г . . .
| E2(f )sin ntdt —k— J cos kt sin ntdt
0 k=n k О 1 q
л/n
< 2-1anTEn!-2'-(f) J a-/-(Z f"1 • (),sin ntdt. (5)
0
Так как [4]
л/n
J cos kt sin ntdt < 0, k > n > r,
0
то, отбрасывая второе слагаемое в левой части неравенства (5), имеем
- E2-(f) <т_"2П— J (z"fr), t )2sin ntdt
n 2anr 0
и, следовательно,
—/2
1 I л / n I
E " " "
{—/ л т/2
л/п
и Г ю2т (гг/{г), г)2 втП1Л I . (6)
о ]
Легко проверить, что знак равенства в неравенстве (6) достигается для функции /0 (2) = 2я и
тем самым теорема доказана.
Периодический аналог равенства (3) доказан В.В.Шалаевым [5].
Из этой теоремы вытекает следующее
Следствие 1. При любых т, п е N и г е Z+ и любой / е В2 справедливы неравенства
E„(f)в, <2--a-'ra-(Zf("1 ,л/n),
Е (/^ 2-тП-а,т (/Г Л/П).
Пусть Ф(и) - положительная функция такая, что Нш Ф(м) = 0. Для любых т е N5 г е Z+
м^0
определим в В" и В"’а следующие классы функций:
W" Ф = | f g В2" ЛГ a— (z"f (r), t )sin ^tdt <Ф 2(m), 0 < m < 2л i,
[ 2mJ m J
С’аФ = j f g В2",а л J - f"), t)sin Л tdt < Ф2(m), 0 < m < 2л|.
Положим еще
(1- cos —&)„ ={(1 - cos —в), если —в < л; 2, если — в > л}.
2. Пусть S = {g: ||g|| < 1} — единичный шар в В2, - выпуклое центрально-симметричное
подмножество из в2, Ли с в2 - произвольное n -мерное подпространство, Лn с B - подпространство коразмерности n, £: В2 ^ Ли - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства В2 в Л n; : В2 ^Ли - непрерывный оператор линейного проектирования про-
странства В2 на подпространство Л n такое, что = f, если f G Лn. Величины
Ъп (Ш1, В2) = sup {sup {г > 0; eS о Лn+1 с Ш1}: Лп+1 с В2}, dn (Ш, В) = inf {sup {|| f ||: f g Ш пЛп |: Лп с { }, d„ (Ш1, В2 ) =inf {sup {inf {||f - }: g G Ли}: f G Ш1}: Л” с В21,
(Ш, В2 ) = inf {inf {suP {||f - {I : f G Ш} : {{2 C Л” } : Л” C }2 },
П” W В2) = inf {inf {suP {||/ - {/|| : f G ^}: ^±B2 сЛ” }:Л” с }2 }
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционным n -поперечниками. Указанные поперечники удовлетворяют неравенства [6,7]:
Ъп (Ш, В2) < dn (Ш, В2) < d„ (Ш, В2) = ^ (Ш, В2) = П” (Ш, В2). (7)
Теорема 2. Пусть функция Ф(м) удовлетворяет условию
nЦ
Ф2(м I ц) f (' - cos—)* sin—d— < 2цФ2(м)
0 ц
при любом ц> 0 и любом и є (0^ 2n). Тогда справедливы равенства
уп W Ф B-) = 2-mI 2a^m (ж I ,)■ (S)
у, (W^ B-) = 2-mI-п;Ф- (nl ,)■ (9)
где у, (•) - любой из вышеперечисленных n -поперечников
Доказательство. Докажем, например, равенство (8), поскольку равенства (9) доказывается аналогичным образом. Оценку сверху для проекционного поперечника получим из теоремы 1:
П,(W-B-) < f є supEn(f) <
Wr Ф
< sup 2-mnml2a-Jj j «"іm(z;f(;)■ t)2sinntdtl <
fєwmФ [ о J
< 2-т/2а-1Фт(ж/п). (10)
Чтобы получить оценки снизу для бернштейновского поперечника рассмотрим (п +1) -мерную сферу полиномов
«я.1 = {р»(2) :||Рп(2)|| = 2-т/Чг'Фт(л/п)} и покажем, что она входит в класс Ф.
п п
Так как рп (2) = ^ ак2к, 2г р(г) = ^ акгк, то, применяя равенства Парсеваля, получим
k=0
Г 12
«I^pV ■ h)2 < sup {-m ak;(1-cos kt)m і| 11< hr<
n \a |2
< 2"2L-^^a,;(1-coskA)". (11)
k=" k + 1
Учитывая, что akr <anr, (1-cos kt)m < (1-cos nt)™ при любом 1 < k < n, из неравенства
(11) будем иметь
«;(zrp,'■ t), <2m«;.(i-cosnt)m||pJ|B.
л
Умножая последнее неравенство на sin—h, потом интегрируя в пределах от 0 до M и учитывая
и
норму полинома по радиусе сферы Sn+P получим:
' j«r (Zf«, h)- sin-hdh <
2u * и
< — Ф2 (ж I n) f (1 - cos nh)„ sin—hdh.
2и * и
В правой части последнего неравенства заменяем и на —ЦI п, затем nh на !■ после чего получим
/ТТ и /гг 1 —Ц -f
— \«2mm(zrf(;)■ h)sin—hdh < — Ф2(иIц) [ (1-cost)* sin—dt <Ф2(u)■
2м* и 2 ц J0 ц
а это означает, что SH+1 є W^- Из доказанного включения, соотношения (7) и определения берн-штейновского поперечника следует оценка снизу
b, (W- Ф, B2) > b, (S,^ B2) > 2--1Ч/Ф- (nI n). (12)
Сопоставляя неравенства (10) и (12), получаем утверждение теоремы 2.
Поступило 18.04.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Horowitz Ch. - Bull. Math. Soc.-1974, v.SO, №4, pp.713-714.
2. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. - М.Л.: Наука, 1964, 438 с.
3. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х.- ДАН России, 2004, т. 394, №4, с. 19-24.
4. Черных Н.И. - Мат.заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.
5. Шалаев В.В. - Укр. матем. журнал, 1991, т.43, №1, с.125-129.
6. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Изд-во МГУ, 1976, 304 с.
7. Pinkus A. n -Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, 19S5, 291 p.
Х.Х.Пиров, М.Р.Лангаршоев*
ЦИММАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИИ БА ВОСИТАИ МОДУЛИ БЕФОСИЛАГИИ ТАРТИБИ ОЛЙ МУАЙЯНШУДА ДАР ФАЗОИ БЕРГМАН
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев,
*Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар фазои Бергман B2 ■ нобаробарих,ои аник байни наздиккунии бех,тарини функсиях,ои
дар давраи вох,идй аналитикй ва модули бефосилагии тартиби олй баркарор карда шyда, киммати аники n -кутрх,ои баъзе синфи функсиях,ои дар давраи вохддй аналитикй, ки ба воси-таи ин модулх,о муайян карда шудаанд, х,исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: функсияи аналитики - модули бефосилагии тартиби оли - наздиккунии беутарин - фазои Бергман - бисёраъзогии комплексии алгебрави - n -кутр^о.
Kh.Kh.Pirov, M.R.Langarshoev*
THE VALUE OF WIDTHS OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS DETERMINED BY MODULUS OF CONTINUITY OF HIGHER ORDER IN THE BERGMAN’S SPACE
M.Nazarshoev Khorog State University,
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In the Bergman space B2 we obtain exact inequalities between the best approximation of analytic functions in the unit disc by algebraic complex polynomials and modulus of continuity of higher order derivatives and calculate the exact values of «-widths of some classes of analytic the unit disc functions defined by this modulus continuity.
Key words: analytical function - modulus of continuity of the higher order - best approximation - Bergman’s space - analytical algebraic polynomial - n-widths.
