Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2013, том 56, №1______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

А.Г.Айдармамадов

ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 24.08.2012 г.)

В весовом пространстве Бергмана для классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высшего порядка и удовлетворяющих условию

К’(Ф.h) = ■ f є в/ :}(z’f)■ t),/dt < Фф) j

где т е N, г е Z+, к е и Ф(к) - произвольная возрастающая функция такая, что

Нш Ф(к) = 0, вычислены точные значения различных п -поперечников.

Н^0

Ключевые слова: аналитическая функция - модуль непрерывности - наилучшее приближение - весовое пространство Бергмана - комплексный алгебраический полином - п-поперечники.

Вопросы получения точных констант в неравенствах типа Джексона для 2ж -периодических действительных функций / (х) в пространстве , содержащих модуль непрерывности высших порядков, были изучены, например, в работах [1-4].

В данной статье, базируясь на схему рассуждений перечисленных выше работ, некоторые результаты перенесены на случай аналитических в единичном круге функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана.

Известно [5], что аналитическая в единичном круге и = ^ е С :| z |< 1} функция

f (z) = Хckzk■ z = РЄ■ 0 <Р< 1

к=0

принадлежит весовому пространству Бергмана B . 1 < q < ад. если

( 1 л17®

2n , ,

|z|<1

Ц Г(| z D-1 f (z) |q da

< ад.

где /(| г |) - положительная суммируемая в круге | г |< 1 весовая функция. Очевидно, что норму (1) можно записать в виде

Адрес для корреспонденции: Айдармамадов Алишер Гуломалиевич. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Bq.r

\1/Ч

л 1 2Л \ •*

—11 РГ(Р) 1 /(рей) <0^ ^ Ч <ад.

о о

Через ^_1 обозначим подпространство алгебраических полиномов комплексного переменно-

го степени

< п —1:

I п—1

Я,—1 = Рп-1(г) : Рп—1 =Е ^

к=0

Величину

Еп (Лв„ = ІПҐ {ЦУ - Рп\г ■ Рп—1(г) Є ^п—1}

назовем наилучшим приближением функции /(2) множеством в пространстве В , 1 < ^ <да. Величину

' :1 к |< 6 =

(/,і\г = 8ир^|Аи(/,v,К)\в^ :| к |< ґ}

\( і 1

= Бир <

1 1 2Л

— Ц ру(р) 1 Ат С/р ^ к) |Ч Жрёи

\1/Ч

:| к |< ік

где

А, (/ ;р, и, к) = ]Т (-1)к СІ/ (ре

і (и +кк)

к=0

- разность т -го порядка функции / ^ рей J по аргументу ? с шагом к , назовем интегральным модулем непрерывности т -го порядка функции /(реп). Всюду далее, ради краткости, положено

ат = п(п - 1)(п - 2) • • • (п - г +1), п > г.

Пусть N - множество натуральных чисел; Ъ+ := N ^{0}, = (0,+ад). Через /(г)(2) обо-

значим обычную производную г -го порядка /(г)(2) = й(г)/ / (г), а через г) обозначим класс

,(г)

?,г

аналитических в круге | г |< 1 функций /(2) е В7, для которых \2Г f

гг ( г )

< ад.

Рассмотрим следующую экстремальную аппроксимационную характеристику

«пгЕп (/\г

Хт.п,г (к) = Бир

Л

т/2

гг/(г) ^оожі

/<т (г/1, і )х, л

в

Ч,Г

в

Ч,У

Теорема 1. Пусть для произвольной функции f (2) е В2г) производная 2г/(г)(г) е В^, 2Г /(г) Ф еош1. Тогда для любых т, п,ге N г< п и 0 < К к имеет место следующее равенство

(л т/2

2(пк -мп пк) } ‘

Замечание. Теорема 1 является обобщением одного утверждения, полученного в работе [3] для периодических классов функций из 1^2 )[0,2ж], на случай аналитических в единичном круге

функций, принадлежащих гильбертовому пространству В^.

ж

Следствие 1. В условиях теоремы 1 при к = — имеем

2п

х |ж]={_Ц”/!

12 п ) [ж-2 / '

Пусть Б - единичный шар в В27\ М - выпуклое центрально-симметричное подмножество

из В 7\ Ли с В2 - п -мерное подпространство; Лп с В у - подпространство коразмерности п;

С: В у ^ Л - непрерывный линейный оператор; С1 : В у ^ Л - непрерывный оператор линей-

ного проектирования.

Величины

ьп ОТ = 5ир{8ир{£ > 0: еБ °Ли+1 с Ш}: Л„+1 с ВЛ

йп(М,В,) = ,{fII:/ е Мо Лп}: Лп сВ2уЛ йп(М^В2Л = тфщНтДЦ/ - , : д е Ли}: / е ,}: Ли е В2 г},

Л, (М1, В2,л ) = 1^{1^{§иР{/ - С/|| : У е Щ : СВ2Л сЛ„} :Л„ с В2Д П„ (Ш1, В2,л ) = тДтфир^/ - С1 /1|: / е Ш1}: С1 В2,г с Л„}: Л„ е В2,г}

называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционными п -поперечниками.

Пусть Ф(к) - произвольная возрастающая при к > 0 функция такая, что 11ш Ф(к) = 0. Сле-

к^0

дуя обозначениями из [6], множество всех мажорант обозначим символом N. Через Шк, где к е N обозначим множество мажорант Ф е N для которых выполняются условия:

1) Х~кФ(^ ) < /2 кФ(/2 ), если 0 < ^ < /2 < ж;

2) 11ш ^ кФ(^) = 0.

?^0,

Для любых m е N, r е Z+ и h е R+ определим в В2 ^ класс функций

Введём обозначение

uej * -v

(1 - cos t)„ = {(1 - cos t), если t е (0,я], 2, если t >nj.

Теорема 2. Если мажоранта Ф(И) е N при любом к е К+ удовлетворяет ограничению

где /ип (•) - любой из вышеперечисленных п -поперечников Ьп (•), ёп (•), ёп (•), Лп (•) и Пп (•). Множество мажорант, удовлетворяющих условию (1), не пусто. Это условие удовлетворяет, например, функция ф (И) = И71'72).

Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 имеет место следующее равенство

1. Черных Н.И. - Мат. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

2. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.

3. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2006, т.80, №1, c.11-18.

4. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. - Journal of Approximation Theory, 2012, v.164, pp.869-878.

5. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.

6. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. - Матем. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.

то имеет место равенство

(1)

где Сп (f) - коэффициенты Тейлора разложения функции f.

Поступило 24.08.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

А.Г.Айдармамадов

ЦИММАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар фазой вазндори Бергман барои синфи функсиях,ои аналитикй, ки ба воситаи модули бефосилагии тартиби олй муайян шуда, шарти

m(Zf(Г),t)г ,dt <Ф(Л) I,

-ро каноат менамоянд, ки дар ин чо m е N, r е Z+, h е R+ ва O(h) - функсияи ихтиёрии аф-

зуншаванда буда барояш lim Ф(h) = 0 аст, киммати аники n -кутрх,ои гуногун хдсоб карда шу-

h^0

даанд.

Калима^ои калиди: функсияи аналитики - модули бефосилаги - наздиккунии беутарин - фазой вазндори Бергман - бисёраъзогии алгебравии комплексы - n -кутр^о.

A.G.Aydarmamadov

THE VALUE OF WIDTHS OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN THE WEIGHT BERGMAN’S SPACE

Tajik National University In the weight Bergman’s space for classes of analytic functions whose defined by modulus of continuity of higher order and satisfy the conditions

m (z'f(r), t )г rdt <Фда J,

where m е N, r е Z+, h е R + and Ф(h) - any increasing function that is lim Ф(h) = 0 the exact value of

h^0

different n-widths are calculated.

Key words: analytical function - modulus of continuity - best approximation - weight Bergman’s space - analytical algebraic polynomial - n-widths.