А. Г. Айдармамадов поперечники классов аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №7_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

А.Г.Айдармамадов

ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.02.2012 г.)

В весовом пространстве Бергмана для классов аналитических функций, задаваемых модулями непрерывности второго порядка со2 (f, 2т) и удовлетворяющих условию

W(Ф, ц) = jf (z) : 11 «2 (f, 2т)^ |l + [_ß2 -1 ] sin ^ т j dr< 0(v)|, где ß> —, u > 0, Ф(и) - произвольная возрастающая функция такая, что lim Ф(и) = 0, вычисле-

2 u ^0

ны точные значения различных n -поперечников.

Ключевые слова: аналитическая функция - модуль гладкости - наилучшее приближение - весовое пространство Бергмана - комплексный алгебраический полином - п-поперечники.

Данная работа посвящена изучению аппроксимативных свойств аналитических в единичном круге функций

ад

f (z) = 2 ckzk, z = pett, 0 <p< 1

k=0

в весовом пространстве Бергмана B , 1 <q < ад с конечной нормой [1,2]

( V/q

-L jj7( \z \ )\/ (z) \ qda

к2п \ z\<1

1 < q (1)

где г | ) — положительная весовая функция, — элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега. Очевидно, что норму (1) также можно записать в виде

С 1 1 2л у/? Г 1 У7?

— 11 р/(р)1/(ре")| ? dpdt =1 \ру(р)Ы1 (/,р^р

V 2ж о о

где

Bq.r

У

о

У

Адрес для корреспонденции: Айдармамадов Алишер Гуломалиевич. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Дехоти, 1/2, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

( 1 2л

\1/я

2Л '

Мч (/,р) = — \\/(рви)\ясИ , 1 < я <да.

V 2— 0

Величину

А л 1 2л

®2(/, 23)БЯ,7 = 8иР

\ Ь\<3

1 1 2 Л

-11 Р7р) \ /(рвА)) - 2/р) + /(рв'( А)) \ я йрсИ

у/я

Ч2л о о

назовём интегральным модулем гладкости в пространстве Бду 1 < я < да.

Пусть С — множество комплексных чисел, N — множество натуральных чисел. Для любых п е N и ак е С, к = 0,1,---, п, через

Ъ =|Рп(г) ■ Рп(г) = Цакгк 1

I к =0 ]

обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени < п . Величину

Е(/\,г = ^{||/-Бя,г: Рп-:(г) е Т^}

назовём наилучшим приближением функции /(г) е Б у 1 < Я < множеством Ъ-1. Для г е N

обычную производную г -го порядка функции /(г) обозначим /(г)(г) = ёг/ / ёгг (/(0)(г) = /(г)), а через /(г)(г) = дг/(рвй) / дХг обозначим производную г -го порядка по аргументу, причём / (г) = / (г) • 21 и /(г)(г) = {/(г-1)(г)}а для г > 2. Имеет место следующее общее утверждение.

л

Теорема 1. Для произвольной функции /(г) е Б , 1 < Я <да и 0 < и <—, п е N имеет ме-

я,г 2п

сто неравенство

Еп (/)» <

л

2и(л- 2)

и

\а2(/, 2т)б

'1 +

л

2ип

-1

—Т \ёт, 2и

которое обращается в равенство для функции / (г) = гп е Б у

Сформулированная теорема является обобщением одного результата Н.Айнуллоева [3], полученного в пространстве Харди Ич, 1 < я на случай пространства Бергмана Б , 1 < я <да. Из теоремы 1 вытекает следующее

Следствие 1. Для любой функции /(г) е Б 1 < Я у которой производные

/^)(г), гг/(г)(г) е Б 1 < я <да, при любых п, г е М, г < п и и =—, имеют место неравен

л

я,7

2п

ства

0

1 л/ (2n)

En (f )в <-г f а (f(r), 2z)B dz, (2)

"KJ JB4,7 (л_ 2)n f

л/(2n)

En (f)B <-n- f а (zrf(r), 2z)B dz, (3)

nKJ)B" (л —2)an,r f 2( f , )b" , ()

где anr = n(n — 1)(n — 2) ••• (n — r +1), n > r, и знак равенства в (2) и (3) достигается для функции f (z) = azn, а е С.

Неравенства (2) и (3) являются обобщением результатов Л.В.Тайкова [4], доказанных для пространства Харди Hq, 1 < q < да, на случай пространства B 1 < q < да.

Пусть Ф(и), u > 0 - произвольная возрастающая функция такая, что lim Ф(и) = 0. Для лю-

u^Ü

л 1

бого заданного значения параметра / =-, / > — определим класс функций

2nu 2

W(Ф, /) = jf (z): 1 f а(f,2z)v j1 + [/ — 1 ]sin^z}dz < Ф(v)|.

Положим ещё

(1 — cos шв\ = {(1 — cos mff), если < л; 2, если > л}.

2. Пусть 5 = {g : J|g|| < 1} - единичный шар в B , M - выпуклое центрально-симметричное подмножество из Ъ , Ли ^By - произвольное n-мерное подпространство. Величины

К (M, B^) = sup {sup {*> 0;^ пЛ„+1 с М}:Л„+1 с Bq,y},

dn (Mi, ) = inf {sup {inf {|| f - g||: g .лЛ„}: f e Mt}: Л„ с Bq )

называют соответственно бернштейновским и колмогоровским n -поперечниками. Указанные поперечники удовлетворяют неравенства [5,6]:

bn (M, Bw) < dn (M, Bw).

л л 1

Теорема 2. Если для произвольного 0 < u < — и 0 < v < —, функция Ф(и) удовлетво-

2

ряет условию

Ф(и) I ^ 1 - cos j |l + -1] sin de < ф(у),

то для любого n е N имеет место равенство

ж

ап (W (Ф,и), Bq ^) = ---Ф

ж

2(ж — 2) ^

где <Уп (•) - любой из поперечников Ъп (•) или dn (•).

Поступило 15.02.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.

2. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. - Матем. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.

3. Айнуллоев Н. - Геометрические вопросы теории функций и множеств. Сб. научных трудов; - Калининский госуниверситет, 1986, с. 91-101.

4. Тайков Л.В. - Мат.заметки, 1977, т.22, №2, с.285-295.

5. Тихомиров В.М. - Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Изд-во МГУ, 1976, 304 с.

6. Pinkus A. - «-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.

А.Г.Айдармамадов

ЦУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАР ДАВРАИ ВО^ИДЙ АНАЛИТИКИ

ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар фазой вазндори Бергман барои синфи функсиях,ои аналитикй, ки ба воситаи модули бефосилагии тартиби дуюми со2 (f, 2z) дода шуда, шарти

W(Ф,^) = jf (z) : 1Jc2(f,2r)v |l + —l]sindz < Ф(у) j

-ро каноат менамоянд, ки дар ин чо ju> i, u > 0, Ф(и) - функсияи ихтиёрии афзоянда, ки ба-

рояш lim Ф (u) = 0 аст, киммати аники n -кутрх,ои гуногун хдсоб карда шудаанд.

Калима^ои калиди: функсияи аналитики - модули суфтаги - наздиккунии беутарин - фазой вазндори Бергман - бисёраъзогии алгебравии комплекси - n -цутр^о.

A.G.Aydarmamadov

WIDTHS OF CLASSES OF ANALYTICAL IN UNIT CIRCLE FUNCTIONS IN THE

WEIGHT BERGMAN'S SPACE

Tajik National University In the weight Bergman's space for classes of analytic functions whose defined by modulus of continuity of second order a2 (f, 2z) and satisfy the conditions

W-|f (z): 11C(f,2T\r |l + -l]sin^rjdr < 0(v)|, where ju> —, u > 0, 0(u) - any increasing function that is lim O(u) - 0 the exact value of different n-

2 u ^0

widths are calculated.

Key words: analytical function - modulus of smoothness - best approximation - weight Bergman's space -analytical algebraic polynomial - n-widths.