Неравенство типа А. А. Лигуна для весового пространства Бергмана и некоторые его приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2010, том 53, №12____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.Р.Лангаршоев

НЕРАВЕНСТВО ТИПА А.А.ЛИГУНА ДЛЯ ВЕСОВОГО ПРОСТРАНСТВА БЕРГМАНА £2/, И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

В работе найдены точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций и модулем непрерывности т -го порядка в весовом пространстве Бергмана.

Ключевые слова: аналитическая функция - модуль непрерывности т-го порядка - наилучшее приближение - весовое пространство Бергмана - комплексный алгебраический полином.

1. Пусть N - множество натуральных чисел, ^ := N ^ {0}, , г е N - множество 2 л -

периодических функций /(х) е [0,2л], у которых производные /(г_1)(х) абсолютно непрерывны, а производная /г)(х) е £2 [0,2л], £и_:(/- наилучшее приближение функции / е Ь2 тригонометрическими полиномами порядка п — 1 в пространстве £2 [0,2 л], сот (/; ^) - модуль непрерывности т -го порядка /(х) е £2 [0,2 л], где

Используя вопросы наилучшего приближения периодических функций тригонометрическими полиномами в ¿2[0,2ж], А.А.Лигун [1] с целью обобщения некоторых результатов Л.В.Тайкова [2] рассмотрел следующую экстремальную характеристику

где m, n є N; r є Z+; 0 < h <ж / n; (p(t) > 0 - суммируемая на [0,h] функция. Он показал, что

Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

Институт математики АН Республики Таджикистан

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 09.09.2010 г.)

(1)

где

{к. і))-1 <. . а) іі і

а

а: (р) := 2: к2 | (1 - соб М): рр)А\ к > п.

(2)

(3)

В настоящей работе мы докажем обобщение неравенства Лигуна (2) между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и интегралами, содержащими модуль непрерывности высших порядков в весовом пространстве Бергмана.

2. Говорят, что аналитическая в круге | г |< 1 функция

/(г)=2 скгк.г = Ре.0 < р <1

к =0

принадлежит весовому пространству Бергмана В2 у. если

Ґ

\

-1 7(\ г І) І /(г) I2

2Л \2\<1

1/2

<ГО.

(4)

где у(\ г |) - неотрицательная измеримая весовая функция, da - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега.

Через 'Рп обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п.

Наилучшее приближение функции /(г) множеством ^_1 в пространстве В2 г определяется равенством

Еп (/)в2 = ІПҐ 11|/ - Рп-11В : Рп-1 (г) Є Я,-/

(5)

Пусть г - целое положительное число. Через /(г)(г) обозначим обычную производную г -го порядка аналитической в единичном круге функции / (г). Далее, полагаем

&ЇІ = {/(і: /(г) є і.і.«Ц. < «).

Переходя к полярным координатам, норму (1) запишем в виде

( л /2л V72 // 41/2

1 / 2Л \ / /

—11 рг(р) \ /(Рей ) \2 ¿РЖ = I | РУ(Ррм2(/. р) ¿р

V 2л о о

< да.

где, ради краткости, положено

о

В

2.7

В

2.7

У

о

У

( Л 2п Л1/2

^ 2л

М,(/,р) = — /|/ (р )\2 Л

, 1/2

V 2л о

Известно [3], что среди произвольных полиномов рп_^2) е наименьшее значение вели-

п-1

чины (5) в пространстве В2 доставляет частная сумма Гп ^/, г) = I скгк - разложение в ряд Тей-

к =0

ад

лора /(г) = I скгк в круге \ г \< 1, причем

к=0

Еп(Лв,, = >"<(||/-/,-,/, : ^п-1 е Рп-1)

= 1|/-Т.-,(/)|1в,, =|Ц|с, |2 /р2ЫУ(р)Лр\ . (6)

,Г I к=п 0 ]

Величину

(/;Р,^)2 = 8ир{М2(Р,Лт(/V,и)) :\ и \<£} (7)

назовем модулем непрерывности т -го порядка функции /(г) е В у где

т

Лт (/р ', и) = 1 (-1)'С1/(ре'('>)

г=о

- разность т -го порядка функции /(ре1') по аргументу ' с шагом и. Справедлива следующая

Теорема 1. Для произвольной функции /(г) е В(Г), при всех натуральных т,п, г, п>г, (р(') > 0 и любых 0 < И < л / п справедливы неравенства

1 Е2(/)в2 , 11

--------< 8ир -Т-,----------------------£-------------<---------------, (8)

47,) , 1И _„2, гм. Л , АА,, ()

11 Р,(Р« г/(г) ;р,' ),Ф(' )ЛРЛ' п<п <ад^

0 0

где

И

>т ^,2

АГИ («О = 2'Ч / (1 - 008 к»)>(')Л'.

Доказательство. Выполнив простые вычисления, из соотношения (7) применением равенства Парсеваля находим

ад

!(гг/|г),р,'), = 2тЦс, \2 «¿р!‘(1 -008М)’

т ^ ’ Н^ь)2 ^ ¿1\ ^к

к=г

Далее, для любой функции /(г) е 02(г) с учетом соотношения (5) и (6) получаем

"2,,

0

1 h

{{ЖрН;(гГҐ)Р-t)2p(t)dpdt >

>_

о

dp>

■2 j рур) ! al j(1 - cos ^)и v(t)dt

[k=r V о

> jрг(р)І!(inf AS(v))} I c I2 p“dp =

0 Ik=n J

=(inf a; (v))!i ; ; j p“*v(p)dp=(mf ;;; ;) •e;

n >=n 0 n

Таким образом,

2-У

EKfK 1

sup -r-,--------------------------<------------, (9)

1 h ' c аг m/\

/fiLj}ру(р)®1(zrfir);p,t)2V(t)dPdt п<П<ш k-h V

0 0

и оценка сверху получена. Для получения оценки снизу в неравенстве (8) введем в рассмотрение функцию / (г) = гп е В2 для которой простыми вычислениями получаем

1

£„2(Л)в,., = jp2"*V(p)dp

«" (*&’\ Р t)2 = 2”«,;,Р2” (1 - cos nt)". (10)

Используя соотношение (10), будем иметь

En(f)B; - .

sup —h-------------------- ------------>

4- j j py(p)®1(zrf (r) ;p ,t)2 v(t)dPdt

EHQ в

n 0

>

j j pr(.pWn(.zrr);p -1)2 v(t)dPdt

0 0

1 1

h лг" (m\

2" a]r j (1 - cos nt)>(t)dt n’h W)

0

Сравнивая оценку сверху (9) и снизу (11), получаем утверждение теоремы 1.

Из доказанной теоремы вытекает

■jit т

Следствие 1. Пусть (p(t) = sinv—, 0 <v< 2n ln[n / (n — r)] , 0 < h <—. Тогда

h n

0

El(f) -

sup т

2, Г

j j ру{р>1{z f (r) ;р , t )2sinV ^dPdt

0 0

h

2 ma£I J (1 - cos nt)m sinv —dt

V1

h

В частности,

EKf ) -2Г

sup ~n------------------------------

/w J J py(p>l(zf (r); Р, t)2sinV ntdPdt

nC„

a

2

где

C_„ = 2

__ r\-(2m+v)

Г(т + v +1)

Г[т + (v +1) / 2]r[(v +1) / 2]

Г(x) - гамма-функция Эйлера.

Поступило 15.09.2010г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лигун А.А. - Мат. заметки, 1978, т.24, 6, с.785-792.

2. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1976, т.20, 3, с.433-438.

3. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, 4, с.466-469.

h

М.Р.Лангаршоев

НОБАРОБАРИИ ТИППИ А.А.ЛИГУН ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН б2г ва татбици он

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола нобаробарих,ои аник байни наздиккунии бех,тарини функсиях,ои дар давраи воидй аналитикй ва модули бефосилагии тартиби т -ум дар фазои вазндори Бергман ёфта шу-дааст.

Калима^ои калиди: функсияи аналитики - модули бефосилагии тартиби т -ум - наздиккунии беутарин - фазои вазндори Бергман - бисёраъзогии комплексии алгебрави.

M.R.Langarshoev

THE INEQUALITY BY TYPE OF LIGUN FOR WEIGHTED BERGMAN SPACE AND SOME APPLICATIONS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In the article the exact value of inequalities between the best approximation of analytical in the unit circle functions and the modulus of continuity m -th order in the weighted Bergman space are found.

Key words: analytical function - modulus of continuity - best approximation - weight Bergman’s space -analytical algebraic polynomial.