CC BY
26
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №8__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.М.Миркалонова ЗНАЧЕНИЕ n -ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ И2
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 12.05.2010 г.)
В работе вычислены точные значения n -поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, определяемых усредненными значениями модулей непрерывности высших порядков граничных значений г -ых производных в пространстве Харди Н2.
Ключевые слова: аналитическая функция - модуль непрерывности m -го порядка - наилучшее приближение - пространство Харди - комплексный алгебраический полином - поперечник.
Напомним определение n -поперечников в произвольном линейном нормированном пространстве X.
1. Пусть S = {jc : ||jc|| < 1} - единичный шар в X; ЗЯ - выпуклое центрально-симметричное подмножество в X. Ln с X - произвольное и-мерное линейное подпространство; £(X,Ln) -множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Ln\ /2 (X,Ln) - подмножество проекторов из i(X,Ln). Величины [1]
dn{Wl,X) = inf sup inf {||/ - (p\\x : <p e Ln]: / e M :1лс1 :=
= mf E(mt,Ln)x :Ln cl , (1)
Яп(Ш,Х) = inf inf sup ||./ - А/1 : / с 9Л :A^r(X,Ln) :=
-inf £(m.Ln)x :Ln (ZX , (2)
лп(Ш,Х) = inf inf sup \f-Af\x:fem : A a £L{X,Ln) :LnczX :=
= inf S\*m,Ln)x:Ln^X (3)
Адрес для корреспонденции: Миркалонова Мохирамо Мирафгановна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17. Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
называют соответственно колмогоровским, линейным и проекционными п -поперечниками множества Ш1 в пространстве X.
Перечисленные выше п -поперечники (1) - (3) монотонны по п и удовлетворяют соотношения [2]
<(Ш1;X) < Яп(Ш-,Х) < я„(Ш,Х). (4)
Если X - гильбертово пространство, то в соотношении (4) имеет место знак равенства.
с1е/
2. Пусть ир ={г е С :\ г \< р}, где 0 < р < 1,(7, — (1;Л((1р) - множество функций, аналитических в круге II ; Н ,р > 1 - пространство Харди, состоящее из функций / е Л((Г), для которых
где
Г 1 2ж
МД;р) = \—\\ї(рЄ")\’сіЛ .
Известно, что норма функции / е Н^ реализуется на ее угловых граничных значениях /{е"), которые существуют почти для всех 0 < / < 2п. Для любого /' е N полагаем
я; = {/£ДС/):/1'1 еЯ,),
Для / є Н запишем модуль непрерывности т -го порядка
со,.
’ У р
= Бир
ЧІ/р
сіх
Множество всех комплексных алгебраических полиномов степени п обозначим
7?п=\Рп(.2)-Рп(.2) = Т,ак2\ак^С 1-
к=0
Всюду далее Ф(7) - произвольная непрерывная возрастающая при и> 0 функция такая, что Нш Ф(7) 'Л —> 0 = Ф(0) = 0. Используя Ф в качестве мажоранты, рассмотрим содержащиеся в работе [3] классы аналитических в круге и функций
р
ІГ<’>( Ф)г = \f ЕЯ; : sin' I Л* < Ф*(А)|,
h
где m, n, r є N, 0 <h<n!{n-r\ r<n, \<q<2, 0< у <q\n[n/(n — r)].
Результаты, полученные в работе [3], позволяют вычислить точные значения n -поперечников (1) - (3) класса функций 1У<п(Ф)2 в пространстве Н2.
Положим
sin t ™ := (sin t)m, если 0<t <п /2; 1, если t>n! 2 .
Теорема. Пусть функция Ф(и) для любого заданного ц є (0,1] и для всех Я> 0, и є (0, л\ т, п, г є N, 1 < q < 2, 0 < у < q 1п[и / (п — г)] удовлетворяет условию
Л/£ / \ "Il3 yU/l /
Ф^/да) f sin— sinr ^-dv < Фч(Яи) f sin-nV 2 Л А ПЧ
sin^ —dv. Я
(5)
Тогда справедливо равенство
рп(^г\Ф)2,Н2) =
. Ґ
sin — 2
I
sinr Adt \ Ф
Ц
c \ /ІІП
yn-r)
,r<n,
(б)
где ат — п(п — 1)... (п — г +1), г < п а /?„(•) - любой из п -поперечников dn (•), Яп (•) или пп (•).
Доказательство. В работе [3] доказано, что при указанных в теореме ограничениях на параметры /г, q, у, при любых т, п, г е N справедливы равенства
Ф\,РХ. )2,Р,)„. =£-ЧГг’(Ф )2,РХ, =
-т „,-1 пг
= 2 ~та.
\-Vq
V°
. n — r sin--------------1
. 2
sinr — tdt h
Ф (h).
(1)
Полагая в (7) к = /'Ш / (п — г ), г < п, получим оценку сверху для проекционного п -поперечника
лп^гЧф)2,Н2) = т{\^^гЧФ)2,Ьп)„ :Ьп сЯ2)<^м(Ф)2,Р„) =
= 2-та
т „.-1 пг
/И7Г/(П-Г) ,
С { . п—г
I Sln-r'
. уп-г , -------tdt
sin
V о
м
-1/q
Ф
f \ /.т
уП — Г j
о
h
та
(п-гУ
/иг/ \rriq
'І віп —
I -Уч
І
У
втг —дХ ^ Ф М
Г 1*171 Л \П-Г у
(8)
С целью получения оценки снизу для колмогоровского п -поперечника введем в рассмотрение сферу полиномов
^1 =
Рп(2)-\Рп
(п-гУ
1 Ґ
2 та
. Ґ эт —
V о V
тц
І
\-\Zq
—СЙ /I
Ф
ґ Ц7Г Л уП-Гу
и покажем, что она входит в класс РУ(1>(Ф)2- Так как
РпО)=Т.акг^ р(пг)о)=Еа*л**_г> аке
£=0 к=г
то, полагая р^(?) = Р^\е'*) при / е [0, л- / (// — г)], согласно равенству Парсе валя имеем
' к-г
і 1/2
2 I |2
«*г Ы
Если учесть неравенства
акг^апг>
Аг=г+1
. к-г
БШ------І
\2т / \2т
. п-г
< БШ---------І
V
л
справедливые при любых г <к<п, / >0 и равенство = ЕК1 ’ т0 из следует, что
к=0
2я*»
\\Рп
(9)
(10)
лі
Неравенство (10) возведем в степень q(\<q<2), умножим на э \ п --------- и проинтегрируем в
Ли
пределах 0 < t < Ли, заменяя норму полинома по формуле радиуса сферы Л’,; ,, получаем
Ли .
<
г //7Г ^ЯгГ8Іп(«-г>
<
о
2
/*
. у ТІЇ ,
81П -----------Ш
Ли
цж ( і \тд і
Пет—) $,ту—сіі
о
2,
ц
о
та
ф‘І
ґ /І17Т
кп-г.
Ли(п-г) ,
\ тд
81П -
2
вИГ
лі
л
Ли(п - г)
сії
и* ґ .\тсі
|К '
(11)
—сіі И-
Введем обозначение и = л/(п — г), п>г в правой части неравенства (11) и, используя условие (5) теоремы, приходим к соотношению
Ли .
|®»(^г);028іпг-^
Фч ци |Гзіп —
<•______________о V 2,
. тд
—сіі
л
/
і
\ тд
<Ф4 (Ли),
2
БІі/ —£Й /Л
а это означает, что Нп(, сЖ(г)(Ф)2. По известной теореме В.М.Тихомирова о поперечнике сферы (см., например, [4], с.254) для колмогоровского п -поперечника получим оценку снизу
^'ЧФ)2,я2)г<ш„..я2)=
(п-г)“ 2 "а
. ґ
вт —
тд
І
-Уд
—Л Ф
М
' [ЛЛ л
уП-г)
(12)
Равенство (6) вытекает из сопоставления неравенств (8) и (12), чем и завершаем доказательство теоремы. Из доказанной теоремы вытекает
Следствие. В условиях теоремы при /л — \ имеет место равенство
mq+/+1] Г/+1
рп(Ж^(Ф)2,Н2) =
Г ТЧ-
2 ) \ 2 При <:/ — 2 результат теоремы доказан в работе [5].
-)-(тд+1)
Г
тЧ 1
—- + У + 1 2
Уд
(п - г)4
ф
а.
Поступило 14.05.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Корнейчук Н.П. - Точные константы в теории приближения. - М.: Наука, 1987, 421 с.
2. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.
3. Миркалонова М.М. - ДАН РТ, 2010, т.53, 5, с.336-343.
4. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М.: Наука, 1976, 320 с.
5. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2002, т.382, 6, с.747-749.
о
0
0
М.М.Миркалонова
ЦИМАТИ АНИЦИ n -ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ И2
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола кимати аники n -кутрохи баъзе синфи функсиях,ои дар давраи вох,иди анали-тикики, ки ба воситаи модули бефосилагии тартиби олй аз кимати сарадии х,осилаи тартиби г -ум вобаста, дар фазои Харди муайян карда мешаванд, х,исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: функсияи аналитики - модули бефосилагии тартиби m -ум - наздиккунии беутарин - фазои Харди - бисёраъзогии алгебравии комплексы.
M.M.Mirkalonova
EXACT VALUES OF n-WIDTHS OF SOME CLASSES ANALYTICAL FUNCTIONS IN И SPACE
Tajik National University
In the article the exact values of n -widths of some classes in unit disk analytical functions with the help of which the modulus of continuity of higher order with the limited г derivative in Hardy’s space are found.
Key words: analytical function - modulus of continuity of m -order - best approximation - Hardy’s space -complex algebraical polyoma.
