CC BY
23
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2012, том 55, №10_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Дж.Дж.Заргаров
ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ и-ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.08.2012 г.)
В пространстве Харди для классов аналитических функций, задаваемых модулями непрерывности т -го порядка (0т (/;т) и удовлетворяющих условию
wr = J f (z) є И2?>: j (t -T)ml (f" > ,r)dr < 1 j
где т £ М, г £ Ъ+, 0 < Т < Ь, Ь > 0, вычислены точные значения различных П -поперечников.
Ключевые слова: пространство Харди - модуль непрерывности т -го порядка - комплексный алгебраический полином - наилучшее приближение - П -поперечники.
Вопросам получения точных неравенств типа Джексона для действительных измеримых 2п -периодических функций /(х) в пространстве ^[0,2я\ посвящён ряд работ (см. напр. [1-4] и литературу, приведённую в них).
В данной работе доказано точное неравенство типа Джексона для аналитических в единичном круге функций в пространстве Харди.
Говорят, что аналитическая в круге | г |< 1 функция
ад
/(2) = 2 ск*к, 2 = Ре*, 0 <Р< 1, 0 < Ь < 2ж
к=0
принадлежит пространству Харди Н, 1 < р <<х>, если
И = \\т{Мр (f,p)\р^1-0} <да
где
V 1 2п Л17 р
Мр ( f ;р) :=
1 2 Л \
— j I f Р) Iр dt , 1 < р < ^; max | f (рвп) |, р = да
О'гг J 0<t<2л
Адрес для корреспонденции: Заргаров Джамшед Джангиевич. 736000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул.Ленина, 28, Хорогский государственный университет. E-mail: [email protected]
Всюду далее интегралы понимаются в смысле Лебега и, как известно [5], норма реализуется на угловых граничных значениях функции f є Hр, 1 < p < да, то есть
1 2тт V/p 1
= 1 \\f (Є ) IР dt , 1-P <œ; essup(\f(elt ) I): P = œf.
I | 2ТГ | | 0<t<2n I
Далее, ради удобства, положим
f (t ) := f (elt ) = lim{f (pë< ) :p^ 1}.
Через f ('r)(t) обозначим граничные значения производной r -го порядка f(r)(z) = drf / dzr. Всюду в дальнейшем для r є N, 1 < p < да полагаем
H(> ={f(z) є Hp :||f<'>|H <4
Если f ( z) є Hp, 1 < p <да имеет граничные значения f (t), то их гладкость характеризу-
ется модулем непрерывности m -го порядка
(f ;t)Hp = sup {IIAm(f, •, h)||p :| h |< ^,
где
-m J m
Am (f ; », h) = £ (-1)'
k=0
V ' J
f (u + kh)
- разность т -го порядка функции /(и) по аргументу и с шагом к . Положим
ак,г= к (к -1)...(к - г + 1), к > г, к, г £ N.
Пусть
п-1
я,-1=і p«-1(z) : p„-1(z)=S a'z', є c .
k=0
Величину
En (f)p := E(f, ^„-1)p =inf{f - p„-JH : p»-1(z) є ^»-1}
назовем наилучшим приближением функции /(z) є Нр, 1 < р <да подпространством ^_1 степени < и -1 в пространстве Харди Н , 1 < р < да .
В данной работе мы вводим в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимационную характеристику
zm,n,r,p,q (t) = sup
a E .(f)
n,r n-\\J У p
J (t -Z>1 (f ( r ) ,r)2 dt
\1/q
где т,п, г £ М, 1 < р, д < 2.
Теорема 1. Для любых т, п, г £ М, 1 < q < 2, 0<4 <ж/(п — г) имеет место соотношение
Хп
iFi4
,(t) < 2-
f (t -r)
V о
/ \mq
■ n - r ] sin--------r dr
V 2 )
у/ q
(1)
В случае p = 2 в (1) имеет место знак равенства.
Пусть M - выпуклое центрально-симметричное подмножество из H2; S - единичный шар в H2; Лn с H2 - n -мерное подпространство; Лп с Н2 - подпространство коразмерности n; С: Н2 ^ Ли - непрерывный линейный оператор; С1 : Н2 ^ Ли - непрерывный оператор линейного
проектирования.
Величины
К (M, H2 ) = sup{sup{^> 0 :^S 0Лп+1 с Ш1}:Лп+1 С H2 }
dn (M, H2) = inf {sup {I f||: f e M оЛй}:Лй с H2}, dn(MH2) =inf {suP{inf {||f -4:9 еЛn}: f e m}: Лn e H2},
(M, H2) = inf {inf {sup {I f - Cf I: f e M}: CH 2 сЛ n }:Л n с H2},
Пп(M,H2) = inf {inf {sup Д f - C±f J: f e M}: CH сЛп}:Лп e H2}
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным и проекционными n -поперечниками.
Для любых целых положительных m, n, r r < n и 0 < t <ж / (n - r) через W (Г) обозначим
класс функций из H
( r )
С) = |/(2) £ Н'г) (I — Т)а1 (Л > ,т),¿т < 11.
Сформулируем основной результат работы.
Теорема 2. Пусть т, п, г £ М, г < п и 0 < I <ж/ (п — г). Тогда имеет место равенство
m
mq
4-1/q
Y„W'.H2) = 2-m< J(t-r)
r I dr
(2)
У
где /п (•) - любой из вышеперечисленных n -поперечников.
В частности, при t =------из (2) имеем
n - r
\-1/q
YnW’.H) = 2-<m*2'q'an:„(n-rfqI J r<cosr)mqdr
Поступило 20.02.2013г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.
2. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2006, т.80, №1, с.11-19.
3. Шабозов М.Ш. - Мат. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
4. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Мат. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
5. Кусис П. - Теория пространств Hp. - М.:Мир, 1984, 256 с.
6. Hardy G.G., Littlewood J.E., Polya G. Inequality. - Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.
7. Тихомиров В.М. - Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 324 с.
ЦИММАТИ АНИЦИ л-ЦУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАР ДОИРАИ
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев
Дар фазой Хардй барои синфи функсиях,ои аналитикие, ки ба воситаи модули бефосила-гии тартиби m -уми com (f ;г) муайян карда шуда, шарти
-ро каноат мекунанд, ки дар ин чо m G N, r G Z+, 0 < г < t, t > 0 аст, кимати аники n -кутрх,ои гуногун х,исоб карда шудааст.
Ч-Ч-Заргаров
ВО^ИДИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ХАРДИ
Калима^ои калиди: фазой Харди - модули бефосилагии тартиби m -ум - бисёраъзогии алгебравии комплексы - наздиккунии беутарин - n-цутр^о.
J.J.Zargarov
THE EXACT VALUES OF N-WIDTHS OF CLASSES OF ANALYTIC IN THE UNIT DISK FUNCTIONS IN THE HARDY SPACE
M.Nazarshoev Khorog State University In the Hardy space for the class of analytic function given by modulus of continuity of m -th order om (f ,T) and satisfy the conditions
-t)< (f (r) ,z)dz< l|
where m G N, r G Z+, 0 < t < t, t > 0 the exact values of the various of n -widths are calculated.
Key words: Hardy’s space - module of continuity of m -th order - the complexity of algebraic polynomial -best approximation - n-widths.
W(r> =J f (z) g Hir 1:} (t
