CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Н.М.Мамадаёзов
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В Ь2
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.08.2012 г.)
Получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина для осреднённых модулей непрерывности т(т е М)-го порядка для классов функций, определённых при помощи мажорант, вычислены точные значения различных П -поперечников.
Ключевые слова: неравенство Джексона-Стечкина - наилучшие приближения - модуль непрерывности - п-поперечники.
1. Пусть N - множество натуральных чисел; = N^{0} ; - множество положительных чисел вещественной оси; Ь2 '.— Л2[0,2 л"] - пространство интегрируемых с квадратом по Лебегу 2л -периодических вещественных функций / с конечной нормой
¿2
( 1 2Í У/2 -\\f(x)fdx
ТГ J
Vя" О
Совокупность всевозможных тригонометрических полиномов вида
а "ч
тп-1 О) = -Г + S (ak cos к* + A sin
2 к=i
обозначим через Т2п_х. Хорошо известно, что для произвольной функции / е L2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье
№ ~ ^р- + ¿ <А (/) cos kx + bk (/) sin kx),
2 к=i
величина её наилучшего приближения элементами Тп_х е Т2п_х равна
КМ) = inf lf-TJl-.Т^еТы =
11/2
= ||/ - S^ (Л\\ = X Pi\ . А2 = «*2 +b¡, к >п.
Адрес для корреспонденции: Мамадазов Назаралибек Мирзомамадович. 734000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул.Ленина, 26, Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева. E-mail: [email protected]
где
а ( f Л "-1
(/> *) = -^fl + X (ак (/) cos kx + bk (/) sin he)
¿ k=1
- частная сумма порядка и — 1 ряда Фурье функции /, ак (/) и hk (/), соответственно, косинус- и синус-коэффициенты f. Равенством
wm<Jyf) = m¡> АГЛ-)
определим модуль непрерывности W -го порядка функции f Е L2, где
т
£=0
f(x + (m-k)h)
- разность да -го порядка функции / с шагом А.
Через -Ь2) понимаем множество функций / е /.2, у которых производные
(г — 1) -го порядка / г абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка / г принадлежат Ь2.
Неравенствами типа Джексона-Стечкина в широком смысле называют соотношения, в которых погрешность приближения индивидуальной функции в рассматриваемом банаховом пространстве оценивается через модуль непрерывности заданного порядка самой приближаемой функции или некоторой её производной. При этом естественным образом возникает экстремальная задача получения точных неравенств, не улучшаемых на рассматриваемых классах функций.
2. При решении экстремальных задач теории аппроксимации в пространстве Ь2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина
С tЛ
Еп_хи)<Хпгсот /<'>,- , t>0,feL(;\meN,reZ+,f(0^)=f, К п)
многими математиками в разное время рассматривались различные экстремальные характеристики, способствовавшие уточнению оценок сверху констант % (см., например, [1-8] и приведённую там литературу).
В работе [2] Л.В.Тайков, в частности, доказал, что для любого /ге[0,яIп\ справедливо соотношение
-1/2
i 1/2
п
sup п'Е^(Л-\\co\fr)m\ = , . ,, М" [0J J [2(nh-smnh)
f^^const
Обобщая этот результат для модулей непрерывности т -го порядка, С.Б.Вакарчук [6] показал,
что
h
sup
М"
f^^const
(h Л~тП г лтП
Здесь мы продолжим исследование в этом направлении и докажем аналогичный результат для усреднённых модулей непрерывности т -го порядка, а также вычислим значения П -поперечников
для классов дифференцируемых функций из Ь2.
Теорема 1. Для любых и любого удовлетворяющего неравенства
0 < пИ < 7Г, справедливы равенства
.т/2 „ , г ЛШП
sup _"'Wr'^(f) _»_
W Л Л t Л ЛтП [2(nh-Si(nh))
/ей f^^const
\\№m(fir\u)du dt
Vo V 0 V
h
где Si{h) = jV1 sin tdt - интегральный синус. о
3. Для формулировки последующих результатов нам понадобятся необходимые определения и понятия. Пусть S = g : ||<у|| <1 - единичный шар в пространстве L2; ЭДТ - выпуклое центрально-
симметричное подмножество из L2; Лй с L2—n -мерное подпространство; Л" cl2 - подпространство коразмерности П; С L2 —> Ли - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства в Ли; d~:L2—> Ап - непрерывный оператор линейного проектирования Ь2 на подпространство Ли. Величины
Ьп(Ш,Ь2) = sup sup s>0\sSглЛй+1 с: Ш :A„+1c=Z2 , d"(Ж,L2) = inf {sup{||/||: / еЭДТпЛй|: Л" eZ2J, <(M,Z2) = inf{sup m£\f-<p\:<ptKn :A„eZ2J,
A„mi2) = mf{inf{sup \\f-£f\\:fem :CL2 еЛй}:Лй ci2),
n„(9H,Z2) = infjinf{sup :ДсЛл|:Ляс1
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным n -поперечниками.
Весьма важным является нахождение соответствующих подпространств, реализующих верхние грани в поперечнике Бернштейна Ьп{ ) и нижние грани во всех остальных и-поперечниках. Такие подпространства называются оптимальными подпространствами.
Известно, что в гильбертовом пространстве Ь2 между перечисленными П -поперечниками выполняются следующие соотношения [9,10]:
Для т г и 0 < И < 2л введём в рассмотрение класс функций:
Теорема 2. Пусть т,пе~М, г е и выполнено условие 0 < пк < л. Тогда справедливы равенства
л т/2
. I п
= Е , У7 (К) =
п-1 т V / г
(г) / 7-\ I П I 1
2(пЬ-$1(пЩ)\ //' '
где Зк(-) - любой из к-поперечников Ьк(•),(•),(]к(■), Лк(•), П/;(•), а := Е(У1,Т2п_^)—
наилучшее полиномиальное приближение класса функций 97 в пространстве Ь2. Все поперечники реализуются частными суммами (/; х) ряда Фурье.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда имеют место следующие равенст-
ва
*ир{| а„(Л |: Дх) е 8ир{| Ьп(Л |: Дх) е =
л т/2
п
= п ' 1
2 (пЬ-&(пЩ)\
Поступило 16.08.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. — Матем. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.
2. Тайков Л.В. — Матем. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.
3. Тайков Л.В. — Матем. заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.
4. Лигун А.А. — Матем. заметки, 1988, т.43, №6, с.757-769.
5. Лигун А.А. — Матем. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.
6. Вакарчук С.Б. — Матем. заметки, 2006, т.80, №1. с.11-18.
7. Шабозов М.Ш. — Матем. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
8. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. — Journal of Approximation Theory, 2012, v.164, issue 1, pp.869-878.
9. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Из-во МГУ, 1976, 324 с.
10. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
Н.М.Мамадаёзов
НОБАРОБАРИ^ОИ НАМУДИ ЧЕКСОН-СТЕЧКИН ВА ЦИМАТИ АНИЦИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О ДАР Ьг
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев
Дар макола нобаробарих,ои аники намуди Ч,ексон-Стечкин барои модули суфтагии ми-накардашудаи тартиби т(т е М) барои синфи функсиях,ое, ки ба воситаи мажорант муайян карда мешаванд, ёфта шуда, кимати аники п -кутрх,ои гуногун х,исоб карда шудааст. Калима^ои калиди: нобаробарии Цексон-Стечкин - наздиккунии беутарин - модули бефосилаги -п-цутр^о.
N.M.Mamadayozov
THE INEQUALITY OF JACKSON-STECHKIN'S TYPE AND THE EXACT VALUES OF SOME WIDTHS OF CLASSES FUNCTIONS IN L2
M.Nazarshoev Khorog State University
In the article were found exact inequalities of Jackson-Stechkin's type for m -order modulus of continuity of classes functions which were given by majorant and which were calculated by the exact values of different «-widths.
Kew words: Jackson-Stechkin's inequality - the best approximation - modulus of continuity - n-widths.
