CC BY
21
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №11_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
А.Д.Фарозова
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПОСРЕДСТВОМ ИХ МОДУЛЯ ГЛАДКОСТИ
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 02.06.2015 г.)
В работе доказаны точные неравенства между наилучшими приближениями периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами с интегралами от модулей непрерывности их произвольных производных в метрике пространства Ь2. Полученные результаты обеспечивают отыскание точных значений п-поперечников классов функций задаваемых усредненными модулями непрерывности и заданной мажорантой.
Ключевые слова: пространство Ь2, наилучшее полиномиальное приближение, экстремальная характеристика, модуль непрерывности, п-поперечники.
1. Пусть Ь2 :=[0,2л] - пространство измеримых и суммируемых с квадратом 2 л -периодических функций / (л) с нормой
( 1 2 л У/2
<
2л
-\\/ (x)\2 dx Ул 0 у
Через J~2n | обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка п — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции f е L2, которая имеет разложение в ряд Фурье
а ( f\ 00
fix) ~ + Z (** (/) cos kx + bk (/) sin he), величина ее наилучшего приближения элементами подпространства J~2n-\ Равна
ЕОЛг ■= inf {||/-rj|2: Тп_,{х) е =
Г 11/2
I I
HIf - S-M)|L = №} ,
[ k=n )
где - частная сумма порядка n — 1 ряда Фурье функции f (x), pl(f) := a1k(f) + bk(f);
ak (/'), bk(f) - косинус- и синус-коэффициенты Фурье. Символом /,(2'' г е Z , Д"' = Ь2 обозначим
Адрес для корреспонденции: Фарозова Алфия Давлатбековна. 736000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул.Ленина, 28, Хорогский государственный университет. E-mail: faroz85@rambler.ru
множество функций / е , у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка принадлежат пространству Ь2.
Как обычно, определим модуль непрерывности а( /, ?) равенством
c(f.t)2 := sup{||f (•-h) -f C-)||2 :|HI < '}■
-
Отправным моментом для получения последующих результатов являются результаты работы Н.И.Черных [1] и Л.В.Тайкова [2]. Неравенства вида
EJf)2 <4 c\fr), Л. t > 0. f e (1)
n V n J 2
в которых наилучшее приближение функции f e ¿2) оценивается через модуль непрерывности производной f(r)(х), называют неравенствами типа Джексона, а наименьшую константу X = Xn r(t) в (1) - точной константой в неравенстве Джексона. Ясно, что
Xn,r (t)=supn;En-i(f )2
f eLI ) J 12 c
f(r),1
V
Величины вида (1) изучались во многих работах (см. например, [1]-[8] и литературу, приведенную в них). В [1] установлено, что при любых ? > п и п е N имеет место равенство
Х„ о (0 = ' а в [5] доказано, что при любом т >1 + 3/7 / 2. неК выполняется равенство >/2
т
Xn,0
n
( т 1 ^
, cos---
1 + 2 2
2 • т TSin —
v 2 J
«eN,
в котором т = ж / т с любым натуральным п > 1 + 3т / 2. В [9] доказано, что для произвольной
■-( r)
функции f(pc) е L2 при любом йё N и s = 1,2,...,г справедливо точное неравенство
(2)
-I n/n
En-i (f " ')]<^-lMf ").t)dt.
4П
4п о
которое обращается в равенство для функции
/О(х)=асоъ(тс + Ь), й,йе! (3)
Здесь мы докажем более общее утверждение, из которого, в частности, вытекает (2) и некоторые другие неравенства.
Теорема 1. Для произвольной функции /(х) е £2 и любого и е неравенство
~ ж 2п
, йеМ справедливо
Кп—1(/)2 - 1| ф(/, I )2 1 +
ж 2пи
— 1
■ жг . .
Б1П-У Ш.
2и
(4)
Неравенство (4) точное, в том смысле, что для функции, определенной равенством (3), оно обращается в равенство.
Доказательство. Следуя схеме рассуждения работы [3], введем в рассмотрение периодическую функцию ¥ (х), представленную в виде
Так как
и ,
же ж!
¥(х) = Т" I [/(х +г) +/(х — г)] со^—Ж.
4и •'
жг
-1
2 и
ж } жг , 1 } / . ж1 ) 1 — соз—аг = — а I зт— = —, 4и { 2и 2 { I 2и 2'
(5)
то имеем
и ,
же жг
/ (х) — ¥ (х) = ——-1 [/(х + г) — 2/(х) + / (х — г)] соз—аг 4и •'
жг
-1
2и
Выполнив интегрирование по частям в правой части (4), затем оценивая по норме пространство и применяя неравенство Минковского с учетом определения модуля непрерывности, получаем
1 и ( \\/ — ¥ -1 И/' 2г)2 ■|1
• жг , . — Б1п— |аг. 2
Дважды дифференцируя равенство (5) по переменному х, получаем
Из (7), вновь интегрируя по частям, будем иметь
и *
же жг
¥"(х) = ж I [/"(х + г) + /"(х — г)] соз—.
4и •' 9,/
2 и
и .
же жг
¥"(х) = ж\ соз—а (/X х + г) — / X х — г)): 4и ^ 2и
(6)
(7)
ж) ■ 1 -][/'(х + г) — /'(х—г)]з1пж*.
2и
Оценив это равенство сначала по норме , а затем применяя неравенство Минковского, получаем
2 Л 2и
Воспользуясь хорошо известными неравенствами
ЕЛ1 )2 <||/ - Ц2 , Еп х(?)2 < -1Е„_!(?")2 < -1|?II2 ,
п п
из (6) и (8) получаем (4):
Еп-,(/)2 <Еп-,(/-?)2 + ЕЛ?)2 <
<1 / -?2 + Л-I? !<
2 м ,
1 ' ^)2§1ПЛ*' (8)
< 11 а(/', 2 )21 +
\2
Л ]-1
2пи
■ л! , .
Б1П-^ а!.
2пи
Непосредственным вычислением легко проверяется, что для функции (3) неравенство (4) обращается в равенство, чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Заметим, что если в правой части неравенства (4) полагать л / (2пм) = л (1 < л < да), то оно примет вид
^ л/(2цп)
Е„МХ <1 | со(Г,2^ {1 + (л2 - 1)81Плпх)Я. (9)
2 0
Из неравенства (9) при ¡ = 1 следует результат Л.В.Тайкова [3]:
л/(2п) 1 л/п
2 Л/(2П) 2 л/п
Еп-^А <1 I ®(/',=1 {</',
2 0 4 о
который в свою очередь является аналогом неравенства Н.П.Корнейчука [4], полученного в метрике пространства С[0,2 л].
Теорема 2. Для произвольной функции /(х)^^ при любом п е N и 5=1,2,..., г спраеедли-во точное неравенство
* л/(2цп)
Еп-! (/^ ]]< — I Ц/(г),2/^-{1 + (л2-1)81Плп/)ОГ, (10)
2п о
и знак равенства в (10) реализуется для функции вида (3).
Заметим, что если в правой части неравенства (10) положить /л = 1, то получим неравенство (2). Из утверждения теоремы 2 вытекает
Следствие 1. В условиях теоремы 2 при всех ^ = 1,2,..., г имеет место равенство
Г /(г—^
ns-' ■ En_x (f(-s) ^ i
SUP ж/(2/) г, ■
f^ С ÍMr) ^Л ______^ J. 2
/') ttonst J Цf(r), 2t) ■ {i + (/ -1) sin /mt]dt
0
2. Для формулировки остальных результатов данной статьи приведем нужные нам в дальнейшем обозначения и определения.
Пусть M - выпуклое центрально-симметричное подмножество из L2. Через
6И (M, L ), dn (m, L ), d (M, L ), ^ (m, L2 ) и Пи (M, L2) обозначим соответственно бернштейнов-ский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный n -поперечники некоторого центрально-симметричного множества M из Z2 (см., например, [10]).
Для любых г е N, /, е 1 и // > 1 (// е Ж) введём в рассмотрение класс функций
Wf )(Ф,/) = |f е L(2r): 1J®(f(r),2t)2 jl + (/ -1)sin—}dt < Ф0)|,
где Ф(t) - произвольная неотрицательная и полуаддитивная для t > 0 функция, такая, что
lim Ф(0 = Ф(0) = 0.
t^-0+0
Введём также обозначение
(sint)„ := {sint, если 0 < t <ж/2; 1, если t >ж/2}.
Теорема 3. Если при некотором ¡л>\ и любых h е ne N мажоранта Ф(/) удовлетворяет условию
Ф(И) ж Г . 2 я*
> — ■J (sin ht). ■ {1 + (/2 -1) sin —}dt, (11)
Ф(ж/(2/n)) 2/ J 2
rao при любых r G N справедливо равенство
5п (ж(г) (Ф, ) = • Ф(ж / (2^),
где (■) - любой из п -поперечников Ъп (■), йп (■), ёп (■), ^ (■), жи (■). Множество мажорантных функций Ф, удовлетворяющих условию (11) не пусто.
Поступило 09.06.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2. - Матем. заметки, 1967, т.2, №2, с. 513-522.
2. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Ь2. - Матем. заметки, 1976, т. 20, №3, с. 433-438.
3. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства Ь2. -Матем. заметки, 1977, т. 22, №4, с.535-542.
4. Корнейчук Н.П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций. - Матем. заметки, 1982, т.32, №5, с.669-674.
5. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2. - Матем. заметки, 1986, т. 39, №5, с. 651-664.
6. Вакарчук, С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из Ь2. - Матем. заметки, 2005, т. 78, №5, с. 792-796.
7. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в Ь2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников. - Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
8. Шабозов М.Ш. Точные неравенства типа Джексона-Стечкина для 2п-периодических функций в Ь2 и поперечники некоторых классов функций. - Укр. матем. журнал, 2011, т.63, №10, с.1040-1048.
9. Фарозова А.Д. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в пространстве Ь2. - ДАН РТ, 2015, т. 58, №9, с. 772-779.
10. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М: МГУ, 1976, 325 с.
А.Д.Фарозова
НАЗДИККУНИИ МИЁНАКВАДРАТИИ СИНФИ ФУНКСИЯ^О, КИ БА ВОСИТАИ МОДУЛИ СУФТАГИИ ИН ФУНКСИЯ^О ДОДА ШУДААНД
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев
Дар макола нобаробарих,ои аник байни наздиккунии бех,тарини функсиях,ои дифферен-сиронидашудаи даврй бо ёрии бисёраъзогих,ои тригонометрй бо интегралхо аз модулх,ои бефо-силагии х,осилах,ои ихтиёрии онх,о дар фазои Ь2 исбот карда шудаанд. Натичах,ои ба даст овар-
дашуда имконият медихднд, ки кимати аники п -кутрх,ои синфи функсияхр, ки бо ёрии модули бефосилагй ва мажорантаи додашуда муайян карда шудаанд, ёфта шаванд.
Калима^ои калиди: фазои Ь2, наздиккунии полиномалии беутарин, характеристикаи экстремали, модули бефосилаги, п -цутр^о.
A.D.Farozova
SQUARE APPROXIMATION OF THE CLASS OF FUNCTIONS GIVEN IN TERMS
OF THEIR MODULUS OF SMOOTHNESS
Khorog state University by name M.Nazarshoev This article proves the exact inequalities between the best approximation of periodic differentiable functions by trigonometric polynomials with integrals of the modulus of continuity of the arbitrary derivatives in metric space L2. The obtained results allows searching for the exact values of «-width of the class of functions given by the averaged modulus of continuity and the given majorized.
Key words: L2-space, best polynomial approximation, extremal characteristics, modulus of continuity, «-widths.
