Неравенство типа Джексона-Стечкина в l 2 и поперечники некоторых функциональных классов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №6_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

С.Д.Темурбекова

НЕРАВЕНСТВО ТИПА ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА В Ь2 И ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ

Институт математики АН Республики Таджикистан

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.07.2012 г.)

В статье найдены точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного, проекционного и гельфандовского п -поперечников классов функций вида

1 *

Ж(г;Ф) := {/ е ф : -¡п2тт(/(г)< Ф2/т(*)}

1 0

h

W;(r\h) := {f e %): j^m (f(r) ir)dr < 1},

где т е м, г е Н > 0, 0 < * <го, Ф(*) - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.

Ключевые слова: наилучшее приближение - усреднённая характеристика гладкости - экстремальная характеристика - п-поперечники.

1. Обозначим через N множество натуральных чисел; = N ^{0} . Пусть Ь2 := £2[0,2 л] -пространство суммируемых с квадратом по Лебегу 2л -периодических функций с конечной нормой

L2

f 1 2^ Л1/2

- il f (x) I2 dx

ТГ J

\n 0

Подпространство тригонометрических полиномов порядка п — 1 обозначим Тп _1. Хорошо известно, что для произвольной функции / е Ь2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье

а ( ) ш

/(X) - а°Щ. + £(ак(/)0С8кх + Ьк(/)81Пкх),

2 к=1

величина её наилучшего приближения тригонометрическими полиномами из Тп _1 равна

Еп_- (/) := Е(/, гп_-) = 1пг |||/ — Тп_: - е гп_- [ =

Адрес для корреспонденции: Темурбекова София Давронбековна. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: [email protected]

и

о

1/2

II/ - s„.,(/)||=\Zpt(f)!

1 k=n

где $п—1 (/, х) есть частная сумма порядка п —1 ряда Фурье функции /, Рк(Г) '•= ак(Г)+Ь^СО,ак(У) и Ьк(/) - к -ые косинус и синус-коэффициенты Фурье. Через 4° (г

е ; = 4 ) обозначим множество функций / е 42, у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка

f(') е 4.

Через

(/, 0 := sup{||Ahf (0|| :|h|< t} =

= sup <

С m^

k =0

v k j

E (-1)k , /(• + (m - k)h)

:| h |< t

(1)

обозначим модуль непрерывности т -го порядка функции / е 4.

В последнее время для оценки наилучших полиномиальных 2ж -периодических функций Г е 4, наряду с величиной (1), используют следующую усреднённую характеристику гладкости (см., например, [1-3]):

а

(/; t)=Уг J ■■■ ill A-m/о||2 dh -

11/2

dh

где t > 0; h := (h, h2 ,..., hm ), Am =A1, o-0 Ahm •

Среди экстремальных задач теории аппроксимации функций одной из важных является задача вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина

E-f) <ZnrUm (fw ,г/n); r е Z+, r> 0,

где Um - некоторая характеристика гладкости функций / е 4), например (Dm или Qm \Х - некоторая константа.

Отметим, что в случае Um = Qm указанная задача исследована в работах [1-3], а в случае Um = точные константы найдены в [4-11].

В данной работе мы вводим в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимационную характеристику

Хт- r := sup

2m/2 П "En l (f)

J Q2mm (f(r), t )dt

. m/2

: f e L2)' f ^ const

(2)

где т, п е м, г е и определим точное значение величины (2). Имеет место следующее утверждение

Теорема 1. Пусть т, п е N и г е z+. Тогда имеют место равенства

Хт.п, = (я-Si(n))- m/2,

п

где Si(h) = Jx-1 sin xdx - интегральный синус.

о

2. Для формулировки последующих результатов нам необходимы следующие понятия и определения. Пусть S - единичный шар в L2; N - выпуклое центрально-симметричное подмножество

из L2; Лn с L2 - n -мерное подпространство; Лn с L2 - подпространство коразмерности n; C : L2 ^ Лn - непрерывный линейный оператор; C : L2 ^Л - непрерывный оператор линейного проектирования. Величины

Ъп (9Т, L2) = sup jsup {s > 0; sS n j с 9Г} : Лn+j с L2 ¡, dn(NT,L2 = inf {sup{{|2: f e NTпЛп}: Лп с L2}, dn (NT, L2) = inf {sup {inf {II f - g\\2 : g e Лп }: f e }: Лn с L2}, (Nt, L2) = inf {inf {sup {If - f |2 : f e NT}: CL2 с Лn }: Лn с L2 {,

Пп (NT, L2) = inf {inf {sup {f - C1 f \l: f e NT}: C1 L2 с Лп}: Лп с L2

называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным n -поперечниками. В гильбертовом пространстве L между перечисленными n -поперечниками справедливы следующие соотношения:

Ъп(N; L2) < dn (N;L2) < dn (N;L2) = ¿(N;L2) = Пп(N L2).

Пусть Ф(/0 < t < да есть непрерывная неубывающая положительная функция такая, что Ф(0) = 0. Для r e Z+ и 0 < t < да определим класс функций

1 г

W(r)(Qm;Ф) := {f g L): - Jq^7m(f(r);r)dr < Ф2/m(t)}.

t 1 0

Аналогичным образом для любого r g ми h > 0 полагаем

h

W(r)(h) := {f G L): J Q2m/m (f(r); T)dT < 1}. 0

Следуя работе [1], через t» обозначим величину аргумента t g r + функции sin t /1, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t„ есть наименьший из положительных корней уравнения t = tgt (4,49 < t» < 4,51). При этом

sin t j I sin t 1 sin t„ I 1--I :=I 1--, еслиО < t < t„; 1--, если x > t„k

t L t t. I

Для N с L2 также положим

En_-(N) := sup{£„_-(f): f g n}.

Теорема 2. Пусть mn < t». Тогда справедливы равенства

Pn (Wmr)(h); L)=Pa-i (Wmr)(h); L) = = En -W )(h) = 2-m/2 nr

' ' Si(nh)^rm/2

h\ 1 --

nh

где (•) - любой из п -поперечников Ьп (•), йп (•), ^ (•), (•), Пп (•). Следствие 1. 5 условиях теоремы 2 справедливы равенства

sup{| «(f ),l К(f) |: f g Wmr)(h)} = 2-m/2n

-m/2 „-r

h I 1 -

Si(nh) nh

. ч -m/2

Теорема 3. Пусть для любых 0 < / < го и п е n мажоранта Ф(?) удовлетворяет условию

Ф^ )

у/m - ^J dT

ч

nt (ж - Si(^))

Ф(ж/n)

Тогда имеют место равенства

p2n (W(r)(Qm ,Ф); L) = P2„-!(W(r)(Qm, Ф); L) =

= En-1(W(r)(Qm,Ф)) = 2-m/2nr[1 -^j m/фГЖ

(3)

где рп (•) - любой из ранее рассмотренных n -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (3), не пусто.

В работе [15] доказано, что условию (3) удовлетворяет, например, функция Ф„ (t) = t l3ml2, где

ж - Si(^)

Из теоремы 3 вытекает

Следствие 2. В условиях теоремы 3 имеют место следующие равенства

sup{| ^(f),|bn(f ) |: f е Wг)(От,Ф)} =

= 2 -т / 2 n-r ^ - ^ j т/ф^.

Поступило 08.07.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East J. on Appr., 2008, v.14, №4, pp.411-421.

2. Саидусайнов М.С. - ДАН РТ, 2010, т.53, №6, с.420-423.

3. Юсупов ГА. - ДАН РТ, 2010, т.53, №2, с.85-93.

4. Черных Н.И. - Матем. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

5. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.

6. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.

7. Лигун А.А. - Матем. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.

8. Лигун А.А. - Матем. заметки, 1988, т.43, №6, с.757-769.

9. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 1999, т.66, №4, с.494-499.

10. Шабозов М.Ш. - Матем. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.

11. Бабенко А.Г. - Матем. заметки, 1986, т.39, №5, с.651-664.

12. Абилов В.А, Абилова Ф.В. - Матем. заметки, 2004, т.76, №6, с.803-811.

13. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и матем. табл., ред. М.Абрамовиц, И.Стиган. - М.: Наука, 1979.

14. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. - Сб. трудов Ин-та матем. НАН Украины, Киев, 2004, №1, с.25-41.

15. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. - Матем. заметки, 2009, т.86, №5, с.328-336.

С.Д.Темурбекова

НОБАРОБАРИ^ОИ НАМУДИ ЧЕКСОН-СТЕЧКИН ДАР Li ВА ЦУТР^ОИ

БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛЙ

Институти математикаи Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола кимати аники n -кутрх,ои бернштейнй, колмогоровй, хаттй, проексионй ва гелфандй барои синфи функсиях,ои намуди

1 г

W(r4Q ;Ф) := {f е Lr : - f Qim (f(r) ' ^)dr < Ф2/m(t)}

t 1 0

ва

h

W(r)(h) := {f е 1%): f q2mm(f)\r)dr < 1} 0

х,исоб карда шудааст, ки дар ин чо m е N, r е Z+, h > 0, 0 < t < да, Ф(^) - ихтиёри функсияи бефосилаи афзуншаванда мебошад, ки барояш Ф(0) = 0.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - характеристикаи суфтагии миёнакардашуда - ха-рактеристикаи экстремали - n -цутр^о.

S.D.Temurbekova

THE INEQUALITY OF JACKSON-STECHKIN TYPE IN L2 AND WIDTHS OF SOME FUNCTIONAL CLASSES

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In this article the extract value of Bemshtein, Kolmogorov, linear, projection and Gel'fand n -widths of classes functions are found.

1t

W(r)(Qm;Ф) := {f е L(r): -f Q^m(f(r)' ^)dr < Ф2/m(t)}

t

0

and

h

Wm?r)(h) := {f е L2r): f Q^m (f(r) ;r)dr < 1}, 0

here m е N, r е Z+, h > 0, 0 < t < да, Ф^) arbitrary increasing function, for which Ф(0) = 0.

Key words: the best approximation - the average characteristic smoothness - extremal characteristic -n-widths.