CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2010, том 53, №5__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.М.Миркалонова
ВЕРХНИЕ ГРАНИ НАИЛУЧШИХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 22.03.2010 г.)
В работе найдены точные значения верхних граней наилучших приближений комплексными алгебраическими полиномами некоторых классов аналитических в круге функций, задаваемых модулями непрерывности m -го порядка граничных значений r -ых производных функций в пространстве Харди Н2.
Ключевые слова: пространство Харди - модуль непрерывности m -го порядка - оператор - наилучшее полиномиальное приближение - аналитическая в круге функция.
1. Приведем в этом пункте несколько определений и обозначений общего характера, нужные нам в дальнейшем. Пусть X - произвольное банахово пространство, M - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество из X, L - произвольное n -мерное линейное подпространство из X, 4(X, Ln) - множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Ln, 4 (X, Ln ) - подмножество проекторов из 4( X, Ln ). Требуется найти следующие аппроксимацион-ные величины:
En (f) X d=E (f, Ln ) X = inf {If “HI X 'H£ Ln }
- наилучшее приближение элемента f подпространством Ln;
E„ (OT)r =E(M, Ln )x = sup {En (f)X : f £ M} (1)
- приближение фиксированного множества M с X подпространством Ln в пространстве X;
Sn (M)x S(M, Ln)X =
= inf {sup {I f - AT IX: f £ M):Ac 4 (X, Ln)} (2)
Адрес для корреспонденции: Миркалонова Мохирамо Мирафгановна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: mohiramm@mail.ru
- наилучшее приближение множества M с X линейными операторами в пространстве X;
sn (M) XdS S1 (M, Ln) X =
= inf {sup {I f - Af || X: f £ Mj:Ac 4 (X, Ln)} (3)
- наилучшее приближение множества M с X проекторами в пространстве X.
Очевидно, для величин (1) - (3) согласно определению
En (M)X < S (M)X < S1 (M)X. (4)
Наряду с отысканием величин (1) - (3) естественный интерес представляет отыскание тех подпространств Ln, на которых реализуются соответствующие нижние грани. Такие подпространства называются экстремальными подпространствами.
2. Напомним, что аналитическая в круге | z |< 1 функция
f(z)=Zckz, z = pe, 0<P< 1, (5)
k=0
принадлежит пространству Харди Н , 1 < p < да, если
С , 2м Л1/р
= lim
р p^-1-0
V 2м 0
р 1 dt
< да.
= sup{| f(z) |:| z |< 1}<да p = да.
Хорошо известно, что для f (z) £ Н' ,1 < р < да почти всюду на окружности | z |= 1 сущест-
def it
вуют угловые граничные значения f (t) = f (e1 ) £ L , 1 < P < да, причем в случае р = да предполагается, что f (z) является непрерывной в замкнутом круге | z |< 1 ([1], стр. 249-250).
Обозначим через fr)(z) = drf (pelt) / dtr производную r -го порядка аналитической функции f (z) по аргументу t комплексного переменного z = pelt, то есть
f <.)( z)==“т. ±=/«(z) zi,
а dt dz dt
(1)
f:)(z)={f:-1,( z)j'), r > 1,
а через f(r)(z) = dr f / dzr обозначим обычную r -ю производную. Из (5) следует, что
да
/(' >( 2) = 2 (* Їс„ї‘, /’(= 2«,Л/
(6)
к=1
где, ради краткости, положено акг = к(к —1)(к — 2)...(к — г +1),к > г.
Положим
Н(4 =
р,а
{./(2) <
Н
■(г)
н«={/(2) г нг , 44 <4
Структурные свойства функции /(2) е Игр, 1 < р < да характеризуем скоростью убывания к нулю модуля непрерывности т -го порядка
(/;і)р =зир{||Ат(/и)||Н :| и |< *} =
= Бир
( л 2п
2п
V
л 2п
-М
1'ГГ 1
2 (-1) ?,/(е(х+*"))
к=0
у/р
дх
:| и |< і >
граничных значений /(вй), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной
величины а>т (/; г) р.
В частности, используя специфику гильбертова пространства, с учетом (6) для произвольной /(2) е И^р1 П И() запишем [2]
2(/аг); і)2 = 2й 8ир і2 к 2гІск | С1 - со8 ки)т :| и |<
т \і/ а ’ -/2
.к=1
;(/(г);*)2 = 2т §ир \ 2 <^к;1ск№ - со§(к - г)и)т :| и |<і \
(7)
I к=г+1
Пусть Рп означает множество алгебраических комплексных полиномов степени < п. Наилучшее приближение функции /(2) е И' , 1 < р < да множеством Рп_х обозначим
Еп (/)нр := Е(/Л-1)нр = ІПҐ {||/ -Рп-Анр : Уп-1(У Є^П-1 }•
Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть /(2) е И(Р , 1 < р < 2 . Тогда для любых т, п, р е К,
0 < к <ж / (п — р), р < п, 1 < д < 2 и 0 <^< д(п — р) 1п[п / (п — р)] справедливо точное неравенство
j к (f (r), t )2sin/M tdt
En (f) р <-
\1/ч
2Xr |j(sin t| sin"^ tdt
обращающееся в равенство для функции f (z) = zn £ Н), 1 < р < 2.
Доказательство. Воспользуясь упрощенным вариантом неравенства Минковского ([3],
стр.32)
( h I
ЛЧ/2 \1/Ч (
О I k > n
Jl£|f (t)|2 dt > £|J|f, (t) |ч dt
1/2
k > n у о
, h > 0, 0 < ч < 2
и учитывая равенство (7), получаем
j < (f (r) , t)2Sin/M tdt
y/q
>
>
да l 1ч
2” ^ aj; |c |2 (1 -cos(k-r)t)m sin^ — tdt
k=r+1
>
> 2'
m/2
f h
k=n
—
aq j (1 - cos(k - r)t )mq/2 sinr — t dt
\2/ч
V 0
1/2
и дело сводится к доказательству того, что функция натурального аргумента
(p(k) = a1 j (1 - cos(k - r)t)mч/2 sinr — t dt
(8)
h
для значений k > n > r, 1 < ч < 2, 0 <^< ч(п - r)ln[n / (n - r)] является возрастающей, а потому
min {p(k): k > n > r j = H(n). (9)
В самом деле, вычисляя производную р (k), находим
h
р (k) = ачкг [(1 -cos(k-r)tYq'2sin/— tdtx
n h
rr 1 / 1 / —1(—t\,.
x\ч^--------+ (ч-1)7----------->dt.
k k - r h h
h
— —
Далее заметим, что функция у(I) = — ctg— на отрезке [0, к] является строго убывающей,
к к
причем
у(0) = ііш у(і) = 1, у(к) = ііш у(і) = -да.
і->0 г^,Ь
Поэтому для выражения в фигурной скобке подынтегральной функции соотношения (10), при
1 < я < 2, к > п > г, имеем
Г-1 1 . 1 У — —
яЕт—+(я-1)---—~СШ — >
Ж=1 к - ^ к к - г к к
Г-1 1 у . к у
> я ^7------1— = я 1п7------1—> 0
х=0 к - ^ к - г к - г к - г Из последнего неравенства вытекает условие теоремы на число у :
0 <у< я(к - г )1п—к—, к > п > г. к - г
При этом из (10) следует, что р (к) > 0 и этим доказано соотношение (9). Следовательно, из (8), с учетом неравенства
11/2
Еп(Л, < Еп(/), =Е|С,.П , 1 <р <2,
[ к=п \
приведенного в работе [4], получаем
| < (/(Г) , І)28іП/7 ІЛ
\Л/q
>
ґн V7 q
> 2т/2 І (1 - СС8(п - г)і)mq/2 8іП^ £ І &І Еп (/)
2 >
> Тапг I Д віП (П 9 Г )І ] *ІпГ£ І&
Еп (/) р, 1 < р < 2,
чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Если же структурные свойства функции /(г) е Нр, 1 < р < 2 определять модулем непре-
рывности со г), t)2, то имеет место
Теорема 2. Пусть /(7) є Н(г), 1 < р < 2. Тогда для любых т, п, г є К,
р,а
0 < к < £ / п, 1 / г < q < 2 и 0 <у < qг — 1 справедливо неравенство
обращающееся в равенство для функции /0 (2) = 2п е Н(р1, 1 < р < 2.
Доказательство теоремы 2 по основным пунктам совпадает со схемой доказательства теоремы
1, и поэтому мы его опускаем.
Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. При любых т, п, г е N соответственно, при 0 < Н < л / (п — г), г < п, 1 < д < 2,
0 < у < д(п — г) 1п[п / (п — г)] и 0 < Н < л / п, 1 / г < д < 2, 0 < у < гд — 1, определим классы функций
3. Приступая к вычислению величин (1) - (3), будем рассматривать следующие случаи: М = Ж(г)(Ф), X = Нр, 1 < р < 2 и М = Ж(г)(Ф) X = Нр, 1 < р < 2. В этих обозначениях справедлива следующая
Теорема 3. Для верхних граней наилучших полиномиальных приближений классов Ж(г )(Ф), Ж(г )(Ф) при любых т, п, г е К, 1 < р < 2, соответственно для 0 < Н < л / (п — г),
г < п, 1 < д < 2, 0 <у< д(п — г )1п[п / (п — г)] и 0 < Н <л/ п, 1/ г < д < 2, 0 <у< гд — 1 имеют место равенства
Ж(г)(Ф) := Ж(т, п, г, д, у; Ф)
Жг) (Ф) := Ж (т, п, г, д, у; Ф)
h / ,\mq І/q
. nt J . r п
2-mn ’11l sin sin^ tdt
Ф(Н).
(12)
Доказательство. Докажем равенство (11), поскольку равенство (12) доказывается аналогичным образом. Используя определение класса Ж(г)(Ф) из результата теоремы 1 для величины (3), получим оценку сверху
(W (г)(Ф))н < sup {е, (f) p : f є W( г)(Ф)}
<
< 2-ma-’ | Ц sin ^T"11 sinr^tdt
Ф(А).
(13)
Далее, ради краткости, полагаем
% m,n,rq(к’У) = ГSin ^ 1 j Sin" ^ tdt
и введем в рассмотрение функцию
g(z) = % т,п,г,Ч(Н’У)Ф(К)z" .
Легко доказать, что g(z) е Ж(r)(Ф)), причем
у/?
Ф(Н)
\К(g(’), t )2sinrntdt =Ф(Н).
Очевидно, что
Е,(W<г)(Ф))^ = sup{’(/)p : f є W<г)(Ф)}
>
> Еп (8)нр = Р т,п,г,д(Н,У)Ф(Н)Рп (^ )Нр • (14)
Но, так как, согласно лемме 3 работы [5], Еп (2п)н = 1, р > 1, то из (14) сразу следует, что
Е„(W(’)(Ф))„ > -Т(Н,г)Ф(Н) =
)Hp m,n,r,q'
<mq \ І/q
п - r J . „ п
=2-x-ri Цsin 11 sinr^tdt
Ф(Н).
(15)
Сопоставляя неравенства (13) и (15) и учитывая соотношения (4), получаем равенство (11). Теорема 3 доказана.
Поступило 22.03.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кусис П. - Теория пространств H . - М.: Мир, 1984, 256 с.
2. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2002, т.382, 6, с. 747-749.
3. Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. - Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.
4. Вакарчук С.Б. - Укр. мат. журнал, 1989, т.41, 6, с. 799-803.
5. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. - Теория отображений и приближения функций. - Киев: Наукова думка, 1983, с. 62-73.
М.М.Миркалонова
^УДУДИ САХ,ЕХ,И БОЛОИИ НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИНИ ПОЛИНОМИАЛЙ БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ХАРДИ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола кимати аники х,удуди сахехи болоии наздиккунии бехтарини полиномиалй бо ёрии бисёраъзогихои алгебравии комплексй барои баъзе синфи функсияхои аналитикй дар давраи вохидй, ки ба воситаи модули бефосилагии тартиби m -уми аз кимати сархадии хосилаи тартиби r -уми функсия вобаста буда, дар фазои Харди дода шудаанд, хисоб карда шудааст. Калимаои калиди: фазои Харди - модули бефосилагии тартиби m - оператор - наздиккунии беутарини полиномиалй - функсияи дар давраи воуиди аналитики.
M.M.Mirkalonova
THE UPPER BOUNDARY OF THE BEST POLYNOMIAL APPROXIMATION IN SOME CLASSES ANALYTICAL FUNCTIONS IN HARDY SPACE
Tajik National University In article was found the exact meaning of the upper boundary of the best approximation with complex algebraic polynomial for some classes analytical in the disk functions means of modulus of continuity of the m -order boundary value r -order derivative function in Hardy space.
Key words: Hardy space - modulus of continuity of m -order - operator - best polynomial approximation -analytical in the unit disk functions.
