О надгруппах цикла, богатых трансвекциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2024, Том 26, Выпуск 1, С. 100-105

УДК 512.54, 512.74

DOI 10.46698/b0710-6173-7852-i

О НАДГРУППАХ ЦИКЛА, БОГАТЫХ ТРАНСВЕКЦИЯМИ*

Р. Ю. Дряева1

1 Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: dryaeva-roksana@mail.ru

Аннотация. Говорят, что подгруппа H полной линейной группы GL(n, R) порядка n над кольцом R богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции tij (а) = e + aeij на всех позициях (i,j), i = j, для некоторых а £ R, а = 0. Это понятие ввел З. И. Боревич, рассматривая задачу описания подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Известно, что надгруппа нерасщепимого максимального тора, содержащая элементарную трансвекцию на некоторой одной позиции, богата трансвекциями. Для коммутативной области R с единицей и цикла п =(12 ... n) £ Sn длины n доказано следующее утверждение. Для того чтобы подгруппа (tij(а), (п)} полной линейной группы GL(n,R), порожденная матрицей-перестановкой (п) и транс-векцией tij(а), была богата трансвекциями, необходимо и достаточно, чтобы число i — j было взаимно просто с n. Система аддитивных подгрупп a = (aij), 1 < i, j < n, кольца R называется сетью (ковром) над кольцом R порядка n, если airarj С aij при всех значениях индексов i, r, j (З. И. Боревич, В. М. Левчук). Такая же система, но без диагонали, называется элементарной сетью. Полную или элементарную сеть a = (aij) мы называем неприводимой, если все аддитивные подгруппы aij отличны от нуля. В работе определяются слабо насыщенные сети, которые играют важную роль в доказательстве основного результата.

Ключевые слова: подгруппы богатые трансвекциями, трансвекция, цикл, сеть, сетевая группа. AMS Subject Classification: 20G15.

Образец цитирования: Дряева Р. Ю. О надгруппах цикла, богатых трансвекциями // Владикавк. мат. журн.—2024.—Т. 26, вып. 1.—C. 100-105. DOI: 10.46698/b0710-6173-7852-i.

1. Введение

Говорят, что подгруппа H полной линейной группы G = GL(n, R) порядка n над кольцом R богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции tij (а) = e + aeij на всех позициях (i, j), i = j, для некоторых а € R, а = 0 [1]. Работа связана с тематикой, предложенной в [1], и посвящена вопросам, связанным с подгруппами, богатыми трансвекциями.

Пусть R — коммутативная область с 1, в которой существует обратимый элемент в такой, что элемент в — 1 также обратим. Пусть, далее, H = (tij(а), (п)) — подгруппа полной линейной группы GL(n,R) порядка n над R, порожденная матрицей-перестановкой (п), соответствующей циклу п € Sn длины n, и элементарной трансвекцией tij (а). Основным результатом является следующая теорема.

#Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2024-1447. © 2024 Дряева Р. Ю.

Теорема. Пусть п = (12 ... п) € 5п — цикл длины п, а € Я, а = 0. Для того чтобы подгруппа (¿ц (а), (п)) полной линейной группы СЯ(п,Я), порожденная матрицей-перестановкой (п) и трансвекцией ¿у (а), была богата трансвекциями, необходимо и достаточно, чтобы число г — 3 было взаимно просто с п.

Следствие. Подгруппы (¿21 (а), (п)) и (¿п1(а), (п)) богаты трансвекциями.

В работе определяются слабо насыщенные сети, которые играют важную роль в доказательстве теоремы.

Приняты следующие обозначения: е = еп — единичная матрица порядка п; еу — матрица, у которой на позиции (г,3) стоит 1 € Я, а на остальных местах нули; ¿у(£) = е + £еу — элементарная трансвекция, £ € Я, £ = 0, г = 3. Система а = (ау), 1 ^ г, 3 ^ п, аддитивных подгрупп кольца Я называется сетью [1-2] над кольцом Я порядка п, если агг аГу С ау при всех значениях индексов г, г, 3. /п = {1, 2,...,п} — отрезок натурального ряда; для произвольной перестановки ш € 5п через (ш) обозначается матрица-перестановка, элементы которой определяются формулой (ш)у = бгшу), где бгз — символ Кронекера. Так, например, для цикла

п = (12 ... п) =

12 2 3

длины п матрица-перестановка (п) имеет вид

(п) =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

п—1 п п1

0 0 0

1 0 0

\ 0 0 0 ... 1 0 /

Для матрицы а = (ау) и перестановки ш € 5п справедливы формулы:

(ш-1)у = бш{г)з , ((ш)-1а(ш))у = аш(г)ш(3).

2. Сети, заданные в клеточной форме

Пусть п = к ■ т, а = (агу) — сеть аддитивных подгрупп коммутативного кольца Я с 1 порядка п [1-2]. С разбиением п = т + ... + т (к слагаемых) числа п связана запись сети а в клеточной форме:

а = [а] =

а11 а12

а21 а22

\ак1 ак2

а1к \

а2к

а

кк

(1)

/

где а = [а] = (ау), ау — квадратные т х т-таблицы аддитивных подгрупп кольца Я, 1 ^ г,3 ^ к. Ясно, что при т = 1, к = п, мы получаем сеть а = (агу).

Если 5 = (ву), Я = (1у) — две квадратные тхт-таблицы аддитивных подгрупп ву, , 1 ^ г, 3 ^ т, кольца Я, то мы определяем их сумму и произведение естественным способом:

т

(5 + Я)гу = вгу + ^, (5 ■ 1)%3 = вгг ■ .

Г=1

102

Дряева Р. Ю.

Определим произведение двух к х к-таблиц [ст] = (ст7) и [т] = (т7) вида (1) следующим естественным способом:

к

([ст][т])7 = £стггт^.

г= 1

В частности, тогда при т = 1, к = п, мы получаем произведение двух сетей ст = (<7^) и т = (ту) аддитивных подгрупп порядка п:

п

(стт— ^ ^ стггтг7 •

г=1

Ясно, что ст = (сту) — сеть ^^ ст ■ ст С ст.

Далее, клеточную таблицу (1) ст = [ст] = (ст7) назовем сетью порядка к, если стггст77 С ст7 при всех 1 ^ г, г, j ^ к. Ясно, что [ст] = (ст4) является сетью [ст] ■ [ст] С [ст].

Из формулы [ст ■ ст] = [ст] ■ [ст] (см. [3, гл. 1, § 1]) вытекает следующая лемма.

Лемма 1. Пусть п = к ■ т. Таблица ст = (стгу) аддитивных подгрупп стц кольца Я порядка п является сетью тогда и только тогда, когда таблица

[ст] = ([ст]гв) = (ст-), 1 < Г, 5 < к, квадратных тхт-таблиц ст7 является сетью порядка к (см. (1)).

3. Слабо насыщенные сети

Приступим теперь к определению блочных сетей, которые мы будем рассматривать в нашей работе.

Итак, пусть п = кт, к, т ^ 2. Представим таблицу т = (ту) аддитивных подгрупп ту кольца Я порядка п в виде блочной таблицы порядка к вида (1), на каждой позиции которой стоит квадратная таблица т7 порядка т, в которой на диагонали стоит Я, а на остальных местах 0.

Пример. Рассмотрим пример этой конструкции, таблица т1 для п = 6, т = 2, к = 3 и т2 для п = 6, т = 3, к = 2:

00 Я0 0 Я 00. Я0 0Я

Предложение 1. Построенная таблица т является сетью порядка п.

< Доказательство вытекает из леммы 1. Действительно, таблица т имеет клеточный вид [т] = (т7): это квадратная таблица порядка к, у которой на каждой позиции (г, _?') стоит тхт-таблица т7, в которой на диагонали стоит кольцо Я, а на остальных местах 0. Ясно тогда, что для любых г, г, j мы имеем тггт= т7. Следовательно, клеточная таблица [т] = (т7) является сетью порядка к, а потому по лемме 1 т = (77) является сетью порядка п. >

Сеть из предложения 1 будем называть слабо насыщенной.

Я 0 Я 0 Я 0 Я 0 0 Я

0 Я 0 Я 0 Я 0 Я 0 0

Я 0 Я 0 Я 0 0 0 Я 0

0 Я 0 Я 0 Я , т2 = Я 0 0 Я

Я 0 Я 0 Я 0 0 Я 0 0

0 Я 0 Я 0 Я 0 0 Я 0

Пусть а = (агу) — произвольная сеть аддитивных подгрупп агу коммутативного кольца Я. В кольце М(п, Я) всех квадратных матриц порядка п над Я рассмотрим подкольцо М(а) = {а = (ау) € М(п, Я) : ау € ау}. Множество е + М(а) = {е + а : а € М(а)} является мультипликативной системой. Максимальная подгруппа С(а) полной линейной группы СЯ(п, Я), содержащаяся в е + М (а), называется сетевой группой [2]. Через N (а) обозначим нормализатор сетевой подгруппы С(а) в полной линейной группе СЯ(п, Я).

Предложение 2 [4, теорема 1]. Пусть п = (12 ... п) — цикл длины п = кт и т = (ту) — слабо насыщенная сеть порядка п. Тогда циклическая матрица-перестановка (п) нормализует сетевую группу С(т).

Лемма 2 [2, предложение 5]. Пусть Я —произвольное кольцо, в котором существует обратимый элемент 9 такой, что 9 — 1 также обратим, и а — некоторая В-сеть идеалов в Я. Всякая трансвекция, содержащаяся в N (а), содержится в С (а).

4. Группа, порожденная циклом и трансвекцией

Пусть п = тк, т ^ 2, к ^ 2. Мы рассматриваем позицию (тг + 1,1) (1 ^ г ^ к — 1). В группе С = СЯ(тк,Я), п = тк ^ 4, рассмотрим подгруппу (¿тг+1;1(а), (п)), где п = (123 ... тк) — цикл длины п = тк, а € Я, а = 0. Мы вновь рассматриваем слабо насыщенную сеть т. А именно, представим таблицу т = (ту) аддитивных подгрупп ту кольца Я порядка п в виде блочной таблицы порядка к вида (1), на каждой позиции которой стоит квадратная таблица тгу порядка т, в которой на диагонали стоит Я, а на остальных местах 0.

Заметим, что по построению на позиции (тг + 1,1) (1 ^ г ^ к — 1) сети т = (ту) стоит кольцо Я: ттг+1;1 = Я, поэтому элементарная трансвекция ¿тг+1;1(а) содержится в сетевой группе С(т): ¿тг+1;1(а) € С(т). Тогда

((п), ¿тг+1,1 (а))С((п),С(т)). (2)

Предложение 3. Пусть Я — коммутативная область с 1, в которой существует обратимый элемент 9 такой, что элемент 9 — 1 также обратим, п = тк, к, т ^ 2. Тогда группа (С(т), (п)) = ((п))С(т) не богата трансвекциями. В частности, группа ((п), ¿тг+1;1(а)) не богата трансвекциями.

< В силу предложения 2 мы имеем (С(т), (п)) = ((п)) ■ С(т) С N(т). Пусть ¿12(£) € ((п)) ■ С(т) С N(т) для некоторого £ € Я. Тогда согласно лемме 2 мы имеем ¿12(£) € С(т), поэтому £ € т12, однако (по построению) т12 = 0, поэтому £ = 0. Таким образом, в группе (С(т), (п)) нет нетривиальных элементарных трансвекций на позиции (1, 2). Следовательно, группа (С(т), (п)) не богата трансвекциями. >

Лемма 3 [5, предложение 1]. Пусть п = (12 ... п), Н = (¿у (а), (п)), п ^ 3 ^ 2. Положим к = п — 3 + 2, а = пк-1. Тогда имеет место формула

(а) ¿гу(а)(а)-1 = Цг)1(а)

где а(3) = 1, г — 3 = (а(г) — 1)(шоё п). В частности, если ¿у (а) € Н для некоторых г = 3, 3 ^ 2, то ¿г1(а) € Н для г = а(г), причем

НОД (г — 3, п) = НОД (а(г) — 1,п) = НОД (г — 1,п).

104

Дряева Р. Ю.

5. Доказательство теоремы

Достаточность. По условию перестановка имеет вид п = (12 ...п) € £п — цикл длины п, далее, для позиции элементарной трансвекции ¿г7' (а) мы имеем НОД (г — ^ п) = 1. Тогда подгруппа (¿7(а), (п)) богата трансвекциями [5, теорема 1].

Необходимость. Предположим, что НОД (г — ^ п) = т ^ 2. Нам нужно показать тогда, что для п = (12 ... п) € £п подгруппа (¿7 (а), (п)) не богата трансвекциями. Согласно лемме 3 мы можем считать, что j = 1, г ^ 2 и НОД (г — 1,п) = т ^ 2 (ясно тогда 3 ^ г ^ п — 1).

Так как НОД (г — 1, п) = т ^ 2, то положим г — 1 = тг, п = тк. Заметим, что так как т ^ 2, то 3 ^ г ^ п — 1 и, очевидно, к ^ 2.

Для п = кт, к,т ^ 2 построим слабо насыщенную сеть (см. §§3 и 4) т = (т^). А именно, представим таблицу т = (тг7-) аддитивных подгрупп т^ кольца Я порядка п в виде блочной таблицы порядка к вида (1), на каждой позиции которой стоит квадратная таблица т7 порядка т, в которой на диагонали стоит Я, а на остальных местах 0. Тогда по построению ттг+1д = Я, но тг + 1 = г, поэтому тг1 = Я. Согласно предложению 3 группа ((п), ¿тг+1д(а)) не богата трансвекциями. Следовательно, группа ((п),£г1 (а)) не богата трансвекциями. Теорема доказана.

Литература

1. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семин. ЛОМИ.—1978.—Т. 75.-С. 22-31.

2. Боревич З. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семин. ЛОМИ.—1976.—Т. 64.—С. 12-29.

3. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.—Санкт-Петербург: Лань, 2009.—736 с.

4. Джусоева Н. А., Икаев С. С., Койбаев В. А. О подгруппах, богатых трансвекциями // Владикавк. мат. журн.—2021.—Т. 23, № 4.—С. 50-55. БО!: 10.46698/о2081-1390-1031-1.

5. Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Элементарные трансвекции в надгруппах нерасщепимого максимального тора // Владикавк. мат. журн.—2015.—Т. 17, № 4.—С. 11-17. БО!: 10.23671/У^.2015.4.5968.

Статья поступила 15 ноября 2023 г.

дряева роксана юрьевна Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, старший преподаватель

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: dryaeva-roksana@mail.ru

O Hagrpynnax n,HK.na, öoraTbix TpaHCBeKnpnMH

105

Vladikavkaz Mathematical Journal 2024, Volume 26, Issue 1, P. 100-105

ON OVERGROUPS OF A CYCLE RICH IN TRANSVECTIONS

Dryaeva, R. Y.1

1 Khetagurov North-Ossetian State University, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, E-mail: dryaeva-roksana@mail.ru

Abstract. A subgroup H of the general linear group G = GL(n, R) of order n over the ring R is said to be rich in transvections if it contains elementary transvections tij (a) = e + aeij at all positions (i,j), i = j, for some a £ R, a = 0. This concept was introduced by Z. I. Borevich, considering the problem of describing subgroups of linear groups containing fixed subgroup. It is known that the overgroup of a nonsplit maximal torus containing an elementary transvection at some one position, is rich in transvections. For a commutative domain R with unit and a cycle n =(12 . .. n) £ Sn of length n, the following proposition is proved. A subgroup (tij(a), (n)) of the general linear group GL(n, R) generated by the permutation matrix (n) and the transvection tij (a) is rich in transvections if and only if the numbers i — j and n are coprime. A system of additive subgroups a = (aij), 1 < i, j < n, of a ring R is called a net (carpet) over a ring R of order n, if <rirarj C aij for all values of the indices i, r, j (Z. I. Borevich, V. M. Levchuk). The same system, but without the diagonal, called elementary net. We call a complete or elementary net a = (aij) irreducible if all additive subgroups of aij are nonzero. In this note we define weakly saturated nets that play an important role in the proof of the main result.

Keywords: subgroups rich in transvections, transvection, cycle, net, net group.

AMS Subject Classification: 20G15.

For citation: Dryaeva, R. Y. On Overgroups of a Cycle Rich in Transvections, Vladikavkaz Math. J., 2024, vol. 26, no. 1, pp. 100-105 (in Russian). DOI: 10.46698/b0710-6173-7852-i.

References

1. Borevich, Z. I. Subgroups of Linear Groups Rich in Transvections, Journal of Soviet Mathematics, 1987, vol. 37, no. 2, pp. 928-934. DOI: 10.1007/BF01089083.

2. Borevich, Z. I. A Description of the Subgroups of the Complete Linear Group that Contain the Group of Diagonal Matrices, Journal of Soviet Mathematics, 1981, vol. 17, no. 2, pp. 1718-1730. DOI: 10.1007/BF01091757.

3. Faddeev, D. K. and Faddeeva, V. N. Computational Methods of Linear Algebra, St. Petersburg, Lan, 2009, 736 p. (in Russian).

4. Dzhusoeva, N. A., Ikaev, S. S. and Koibaev, V. A. About Subgroups Rich in Transvections, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2021, vol. 23, no. 4, pp. 50-55 (in Russian). DOI: 10.46698/o2081-1390-1031-t.

5. Dryaeva, R. Y. and Koibaev, V. A. Elementary Transvections in the Overgroups of a Non-Split Maximal Torus, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2015, vol. 17, no. 4, pp. 11-17 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2015.4.5968.

Received November 15, 2023 Roksana y. Dryaeva

Khetagurov North-Ossetian State University, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Senior Lecturer

E-mail: dryaeva-roksana@mail.ru