Элементарные трансвекции в надгруппах нерасщепимого максимального тора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 4, С. 11-17

УДК 512.5

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСВЕКЦИИ В НАДГРУППАХ НЕРАСЩЕПИМОГО МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА1

Р. Ю. Дряева, В. А. Койбаев

Говорят, что подгруппа Н полной линейной группы ОЬ(п, к) богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции (а) на всех позициях (г,з), г = у. В настоящей работе мы

Н

трансвекцию на некоторой одной позиции, то она богата трансвекциями. Доказано также, что если подгруппа Н содержит циклическую матрицу-перестановку порядка п и элементарную трансвекцию позиции (г, у) такой, что НОД (г — у, п) = 1, то подгруппа Н богата трансвекциями.

Ключевые слова: надгруппа, промежуточная подгруппа, нерасщепимый максимальный тор, трансвекция, элементарная трансвекция.

Говорят, что подгруппа Н полной линейной группы ОЬ(п, к) богата трансвекциями [1], если она содержит элементарные трансвекции ¿ц (а) = е + аец на всех позициях (г,з): г = ] (для некоторых а £ к а = 0). В настоящей работе мы доказываем, что Н

векцию на некоторой одной позиции, то она богата трансвекциями. Нам представляется

Н

циклическую матрицу-перестановку порядка п и элементарную трансвекцию позиции (г^) такой, что НОД (г — j,n) = 1, то подгруппа Н богата трансвекциями.

Отметим, что первый из сформулированных результатов доказан в [2], однако, доказательство, приведенное в [2] достаточно сложное, и сопровождается громоздкими вычислениями.

1. Формулировка результатов и обозначения. Сформулируем основные результаты работы. Для цикла п = (12 ... п) длины п через (п) обозначим матрицу-перестановку порядка п.

Теорема 1. Пусть подгруппа Н,Н ^ ОЬ(п,к), содержит элементарную трансвекцию Ьц(£) (для некоторых г = ^ £ = 0) и матрицу-перестановку (п) порядка п. Если ПОД (г — ^ п) = 1, то подгруппа Н богата трансвекциями.

Теорема 2. Пусть Н — подгруппа полной линейной группы ОЬ(п,к), содержащая нерасщепимый максимальный тор Т = Т ((I), связанный с радикальным расширением степени п основного ноля к нечетной характеристики (минизотропный тор). Ес-НН Из теоремы 1 непосредственно вытекают следующие следствия.

Следствие 1. В условиях теоремы 1, если ¿21 (£) £ Н или ¿пд(£) £ Н, £ = 0, то Н

© 2015 Дряева Р. Ю., Койбаев В. А.

1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания и Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 13-01-00469.

Следствие 2. Пусть п = р — простое натуральное число, подгруппа Н содержит элементарную траисвекцию (£), г = 3, £ = 0, и циклическую матрицу-перестановку (п) рН

В работе приняты следующие стандартные обозначения: 1п = {1, 2,... , п} — отрезок натурального ряда, п ^ 2; = (0,... , 1,..., 0), 1 ^ з ^ п, — стандартный базис арифметического п-мерпого пространства кп; е^- — матрица у которой на позиции (г, 3) стоит 1, а па остальных местах нули; е — единичная матрица порядка п; (а) = е + ае^- — элементарная трансвекция, а £ к к — поле нечетной характеристики.

Пусть п = (12 ... п) — цикл длины п, положим а = пк-1 = (12 ... п)к-1, 2 ^ к ^ п,

1 2 ... п — к п — к + 1 п — к + 2 ... п кк + 1 ... п — 1 п 1 ... к — 1

Для произвольной перестановки ш через (ш) обозначается матрица-перестановка, элементы которой определяются формулой: (ш)^ = где — символ Кронекера. Нетрудно проверяется формула (а = (а^))

((ш)-1 а(ш)^' = аф)ш(э), (1)

[ж, у] = жуж-1у-1 — коммутатор элементов ж, у.

Для произвольного вектора ж = (ж1 , ж2 ,...,жп) £ кп \ 0 рассмотрим мат рицу с(ж), элементы которой вычисляются по формулам (б, £ к)

(с(ж))у = ( жг+1-5' ' ^ *

[ажп+г+1-^, 3 ^ г + 1.

Пусть жп—б — неприводимый многочлен степени п над полем к, б £ к. Тогда е» = 0г-1, 1 ^ г ^ п, 0 = \[й образуют стандартный базис радикального расширения К = к{Щ степени п толя к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = Т(б), который является образом мультипликативной группы поля К = к( \/71) при регулярном вложении ее в С£(п, к). В выбранном базисе тор Т = Т(б) определяется как матричная группа

Т = Т(б) = {с(ж) : ж £ кп \ 0}.

Заметим, что тор Т = Т (б) содержит циклическую мономиальную мат рицу порядка п

с(0, 1 , 0, . . . , 0)

2. Доказательство теоремы 1

В этом параграфе мы доказываем теорему 1.

Лемма 1. Пусть п = (12 ... п) — цикл длины п, далее, а = пк-1, 2 ^ к ^ п. Тогда

1) порядок |а| элемента а равен

I I и

И = Кк^ТУ

где (п, к — 1) = НОД(п, к — 1), причем этот порядок совпадает с наименьшим ш, для которого ат(1) = 1 : |а| = ш1п{ш : ат(1) = 1};

2) для любых г = 3 имеем г — 3 = (а(г) — а(3))(шоё п);

3) имеет место формула

\г + к — 1, 1 ^ г ^ п — к + 1;

а(г) = пк-1(г) = . + к ' ^ + 2 ^ . ^ • (2)

г + к — 1 — п, п — к + 2 ^ г ^ п.

< 1) Первая формула справедлива для люб ого элемента а конечного порядка п. Вторая часть утверждения легко вытекает из того, что

пт(1) = 1 ^ пт = (1).

2) Достаточно рассмотреть три случая 1 ^ j < г ^ п — к + 1 п — к + 2 ^ j < г ^ пи 1 ^ j ^ п — к + 1 п — к + 2 ^ г ^ п. Во всех случаях г — j = (а(г) — а^))(шоёп).

3) Формула (2) вытекает из определения перестановки а. >

Н

(п)

Предложение 1. Пусть j ^ 2, к = п — j + 2, а = пк-1. Тогда имеет место формула

(а)-1 (а)(а) = Цг) 1 (а) (3)

гдeа(j) = 1, i—j = (а(г) — 1)(шоё п). В частности, еслиЬц (а) £ Н для некоторых г = j, то ¿Г1(а) £ Н для т = а (г). Далее, если ЬГ1(а) £ Н для всех т ^ 2 (и некоторых ненулевых а £ к), то подгруппа Н богата трансвекцпямн. Аналогично, если для некоторого т, 1 ^ т ^ п, мы имеем (а) £ Н для всех j = т (и некоторых ненулевых а £ к), то Н

< Достаточно воспользоваться формулами (1) и (2). >

< Доказательство теоремы 1. Пусть Ьц (а) £ Н (для некоторых г = ^ а = 0) и НОД (г — j,n) = 1. Тогда согласно предложению 1 (а) £ Н, причем (а(г) — 1) = (г — j)(шоёп), а потому НОД (а(г) — 1,п) = 1 (если j ^ 2, то берем а = пк-1 и к — 1 = п — j + 1). Таким образом, можно считать, что Ьк1(а) £ Н, НОД (к — 1,п) = 1 (а потому, согласно лемме 1 порядок перестановки а = пк-1 равен п). Имеем а(1) = к, а-1 (к) = 1, (а) £ Н и согласно формуле (1) Ьа-а(1) (а) £ Н, 0 ^ в ^ п — 2. Используя известную коммутационную формулу

[1гг (а), trj (в)] = Ьц (ав), г = j, г = т, т = j, (4)

получаем

[[• • • [[Ьст(1),1 (а),Ь1,а-1 (1) (а)],Ьа-1 (1),^-2 (1) (а)К • • (1),а^-1 (1) (а)]

= Ьа(1)^-1 (1) (а*+2), 0 < в < п — 2.

Отметим, что а-5-1(1) = а(1) для вс ех в, 0 ^ в ^ п — 2. Поэтом у (а(1) = к) мы имеем Ькц (£) £ Н для всех j = к (и для некоторого £ = 0). Тогда согласно предложению 1 подгруппа Н богата трансвекциями. >

2

В силу предложения 1, теоремы 1 и следствия 1 в дальнейшем мы предполагаем, что ¿к1 (а) £ Н 3 ^ к ^ п — 1, д = к — 12 ^ д ^ п — 2, НОД (д, п) = Ь ^ 2 д = д1 • Ь п = п1 • Ь. Далее, п1 ^ 2 (иначе п ^ д), причем п1 = 2 только в одном случае: когда п = 2Ь — четно и к = Ь + 1. В остальных случаях п1 ^ 3.

Определим действие группы (п), па множестве 1п х 1п всех позиций квадратной матрицы порядка п. А именно, полагаем п о (г,3) = (п(г),п(3)).

Лемма 2. Множество /п х /п представляется в виде объединения п орбит, каждая п

Оо = {(1,1),..., (п,п)}, 01 = {(2,1), (3,2),..., (п,п — 1), (1,п)},

О» = {(г + 1,1), (г + 2,2), (г + 3,3),..., (п,п — г), (1,п — г + 1), (2,п — г + 2),..., (г,п)}, где 0 ^ г ^ п — 1. Далее, нетрудно видеть, что

0д = {(г, з) £ /п х /п : г — з = (д)(шоё п)}, 0 ^ д ^ п — 1.

Непосредственно из формулы (1) и леммы 2 вытекает следующая

Лемма 3. Пусть ¿Г5(в) £ Н,гдег—з = д(шоёп), 1 ^ д ^ п—1 (т. е. (г, з) £ 0д). Тогда ¿»^ (£) £ Н для любой позиции (г, 3) £ 0д (при некотором £ = 0) такой, что г— 3 = д(шоё п). В частности, ¿д+1;1(£) £ Н.

Из (4) и леммы 3 вытекает следующая

Лемма 4. Пусть (а),^-(в) £ Н, г = 3 Тогда ¿^(7) £ Н для любых к, I, к — I = (г — 3)(шоёп) (при некотором 7 £ к).

г

или 3 элементарной трансвекции ¿¿^ (*) те содержится в /п, то мы рассматриваем не сами индексы, а их остатки при делении на п. Так, например, запись ¿2,п+з(а) понимается как ¿2,3 (а).

п

п = 2ш, то к = ш + 1. Тогда ¿?г+1)1(7) £ Н, 1 ^ I ^ п1 — 1.

< Заметим, что в условиях леммы 5 мы имеем щ ^ 3 и порядок перестановки а равен пь Доказательство леммы проведем аналогично теореме 1. По условию ¿и (а) £ Н. Имеем а(1) = к, а-1 (к) = 1, ¿ст(1),1 (а) £ Н и согласно формуле (1) ¿а-а(1))0---1 (1) (а) £ Н, 0 ^ з ^ п1 — 2. Используя формулу (4), получаем

[[. . . [[^(1),1 (а), (1) (а)К V1 (1),^-2 (1) (а)], . . .], 1) (1) (а)]

= ¿^(1),^--(1) (а5+2), 0 < з < щ — 2.

Отметим, что а-5(1) = а(1) для всех з, 0 ^ з ^ п1 — 2 (так как порядок перестановки а равен п^. Согласно лемме 1 (2) имеем а-(г-1)(1) — а-г(1) = (а1 (1) — а0(1))(шоёп) = (к — 1)(шоё п) Осталось заметить, что

а(1) — а-*(1) = (а(1) — а0(1)) + (а0 (1) — а-1(1)) + (а-1 (—1) — а-2 (1)) + ... + (а-(5-1) (1) — а-5(1)) = (з + 1)(к — 1)(шоё п) = (з + 1)д(шоё п).

Следовательно (так как ¿0-(1))0—-(1)(а5+2) £ Н), то лемме 3 мы имеем ¿д(5+1)+1>1 (7) £ Н, 0 ^ з ^ п1 — 2. Осталось положить I = з + 1 >

Замечание 3. Так как НОД (q,n) = b ^ 2, то ql + 1 те делится на b, а потому и на n. Далее, очевидно, что ql те делится на n.

Следствие. В условиях леммы 5 имеем t—(y),t-2q+i,i (y) £ H.

< Напомним, что n1 ^ 3. Имеем qn1 = 0(modn). Отсюда q(n1 — 1) = (—q)(modn). Но по лемме 5 мы имеем iq(ni-i)+i,i (y) £ H. Тогда по лемме 3 мы имеем t—q+i,i (y) £ H. Аналогично q(ni — 2) = (—2q)(modn). Но по лемме 5 мы имеем iq(ni-2)+i)i(y) £ H. Снова пользуясь леммой 3, мы получаем t-2q+i,i(Y) £ H. >

Далее, для векторов ж, у £ kn рассмотрим билинейную форму

(ж, у) = (у, ж) = yixi + dynж2 + dyn-ххз + ... + dy3xn-1 + dy2xn. С вектором a = (0, а ,аз,..., an) связана матрица — (общая) трансвекция:

А = е + ат ■ £\.

Лемма 6 [2, предложение 6]. Пусть с-1 (ж) = с(ж'). Положим

S = S(ж) = (с-1 (ж) - (х',а)Е)Ас(х).

Тогда = 5U, 1 ^ i ^ n, [S, А] = SAS~lA~l = Е + 7 • еь где 7 = (0,72,..., 7™)Т, £i = (1,0,..., 0), причем 7 = (S — Е)ат. Далее,

7 = [(ж, а)с"1 (ж) — (ж',а)с(ж) — (ж, а)(х', а)]ат. (5)

Лемма 7. Пусть 2 ^ k ^ n — 1 и tki(£) £ H, £ = 0. Тогда tki(A) ■ tk+i;i(A) £ H для некоторого A = 0.

< В (5) положим

ж = (1,1,0,0,... ,0), с(ж) <—>1 + 0, 9n = d, (1 + в)-1 = 1 + (1 ~ в + в2 - в3 + ... + (-I)""1) <-> х'

7—-г-г (1, -1, 1, -1, ... , (-1)""1).

Далее, положим А = а = £ ■ ек. Имеем (ж,а) = 0, так как к ^ п — 1

= с(х)ат = £(£к + £к+1)Т.

Отсюда найдем 7 из (5):

¿¿2 (-у\п-к+1

7 = —(х',а)с(х)ат = Х(£к + £к+1)т, А = - 1 + ■

Поэтому из леммы 6 следует, что Е + 7 ■ е1 = Ьк1(А) ■ Ьк+1д(А) £ Н. >

Предложение 2. Ьц (А) £ НА = 0 для любых г, ^ г — j = (2к — 1)(шоё п). < Напомним (см. начало параграфа), что мы предполагаем 3 ^ к ^ п — 1. Положим т = 2к, если 2к ^ п. Если же 2к > п (при этом ясно, что 2к < 2п), то полагаем т = 2к — п — остаток при делении 2к на п, 1 ^ т ^ п. Тогда т = к, т = к + 1 и т = 1

(иначе, если r = 1, то 2k — n = 1; тогда 2k — 1 = n, а потому НОД (к — 1,2k — 1) = 1 = НОД (к — 1, n), что противоречит условию). Согласно лемме 3, так как tw(£) £ H, то мы имеем ir,fc+i (y) £ H. Теперь из леммы 7 получаем

[tr,k+i (y), ifci(A) ■ ife+i,i(A)] = iri(7A) £ H,

где r — 1 = (2k — 1)(mod n). Осталось воспользоваться леммой 3. >

< Доказательство теоремы 2. Для доказательства теоремы 2 рассмотрим два возможных случая:

а) n = 2m k = m +1 q = k — 1= m. Согласно предложению 2 мы имеем ¿2&д (y) £ H, но 2k — 1 = 2m + 1 = 1(modn), а потому по лемме 3 t2i(Y) £ H. Согласно следствию 1 из теоремы 1 подгруппа H богата трансвекциями.

б) Пусть n — произвольно, причем, если n = k = m +1. Согласно предложению 2 мы имеем t2fe,i (y) £ H. Или, t2q+2)i(Y) £ H. Далее, согласно следствию из леммы 5 мы имеем t-2q+i;i(*) £ H. Отсюда согласно лемме 3 мы имеем ti,2q+i(*) £ H. Следовательно, согласно лемме 4 мы имеем tz+i,i(y) £ H, z = (2q + 2) — (2q + 1) = 1(modn). Откуда по лемме 3 мы имеем t2i (y) £ H. Согласно следствию 1 из теоремы 1 подгруппа H богата трансвекциями. >

Авторы выражают благодарность профессору Я. Н. Нужину за внимание к настоящей работе.

Литература

1. Боревич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.—С. 22-31.

2. Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Алгебра и анализ.—2009.—Т. 21, № 5.—С. 70-86.

3. Койбаев В. А. Подгруппы группы GL(2, k), содержащие нерасщепимый тор.—Владикавказ: ВНЦ РАН и PCO-А, 2009.—182 с.—(Итоги науки. ЮФУ. Сер. мат. монография. Вып. 2).

Статья поступила 29 октября 2014 г. Дряева Роксана Юрьевна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, аспирант кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: dryaeva-roksanaOmail .ru

Койбаев Владимир Амурханович

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

заведующий кафедрой алгебры и геометрии

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46;

Южный математический институт ВНЦ РАН,

ведущий научный сотрудник отдела функц. анализа

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Маркуса, 22

E-mail: [email protected]

ELEMENTARY TRANSVECTIONS IN THE OVERGROUPS OF A NON-SPLIT MAXIMAL TORUS

Dryaeva R. Y., Koibaev V. A.

A subgroup H of the general linear group GL(n, k) is rich in transvections if H contains elementary transvections tj (a) at all positions (i, j), i = j- In this paper we show that if a subgroup H contains a

H

Hn at position (i, j) such that numbers i — j and n are coprime, then H is rich in transvections.

Key words: overgroup, intermediate subgroup, non-split maximal torus, transvection, elementary transvection.