О ПОДГРУППАХ, БОГАТЫХ ТРАНСВЕКЦИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2021, Том 23, Выпуск 4, С. 50-55

УДК 512.5

DOI 10.46698/ o2081-1390-1031-t

О ПОДГРУППАХ, БОГАТЫХ ТРАНСВЕКЦИЯМИ*

Н. А. Джусоева1, С. С. Икаев1, В. А. Койбаев1,2

хСеверо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, Ватутина, 46;

2 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22 E-mail: djusoevanonna@rambler.ru, ikaev.sar@yandex.ru, koibaev-k1@yandex.ru

Аннотация. Говорят, что подгруппа H полной линейной группы G = GL(n, R) порядка n над кольцом R богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции tij (а) = e + aeij на всех позициях (i,j), i = j (для некоторых а £ R, а = 0). Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с подгруппами, богатыми трансвекциями. Известно, что если подгруппа H содержит матрицу-перестановку, соответствующую циклу длины n и элементарную трансвекцию позиции (i,j) такую, что (i — j) и n взаимно просты, то подгруппа H богата трансвекциями. В настоящей заметке доказывается, что условие взаимной простоты (i — j) и n является существенным. Мы показываем, что для n = 2k, цикла п =(12 .. .n) и элементарной трансвекции t31(a), а = 0 группа ((п),t31(a)), порожденная элементарной трансвекцией t31 (а) и матрицей-перестановкой (циклом) (п) не является подгруппой, богатой трансвекциями.

Ключевые слова: подгруппы богатые трансвекциями, трансвекция, цикл. Mathematical Subject Classification (2010): 20G15.

Образец цитирования: Джусоева Н. А., Икаев С. С., Койбаев В. А. О подгруппах, богатых трансвекциями // Владикавк. мат. журн.—2021.—Т. 23, вып. 4.—С. 50-55. DOI: 10.46698/o2081-1390-1031-t.

1. Введение

Говорят, что подгруппа H полной линейной группы G = GL(n, R) порядка n над кольцом R богата трансвекциями [1], если она содержит элементарные трансвекции tij (а) = e + aeij на всех позициях (i, j), i = j (для некоторых a € R, a = 0). Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с подгруппами, богатыми трансвекциями.

В [2] доказан следующий результат: если подгруппа H содержит матрицу-перестановку, соответствующую циклу длины n и элементарную трансвекцию позиции (i,j) такую, что НОД (i — j,n) = 1, то подгруппа H богата трансвекциями.

Мы показываем (теорема 2), что условие НОД (i — j,n) = 1 является существенным. Точнее, для n = 2k, цикла п = (12 ... n) и элементарной трансвекции t3i(a), a = 0, группа ((n),t31 (а)), порожденная элементарной трансвекцией t31(a) и матрицей-перестановкой (циклом) (п) не является подгруппой, богатой трансвекциями.

В работе приняты следующие обозначения: R — коммутативное кольцо с 1; если A и B — аддитивные подгруппы кольца R, то через AB обозначается аддитивная подгруппа

#Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ, соглашение № 075-02-2021-1552.

© 2021 Джусоева Н. А., Икаев С. С., Койбаев В. А.

кольца Я, порожденная всеми произведениями аЬ, где а € А, Ь € В; е = еп — единичная матрица порядка п; еу — матрица, у которой на позиции (г, ) стоит 1 € Л, а на остальных местах нули; ¿у (£) = е + £еу — элементарная трансвекция, £ € Л, £ = 0, г = ¿у — символ Кронекера; всякой перестановке п € Бп порядка п соответствует матрица-перестановка (п) порядка п, элементы которой определяются формулой (п)у = ) для всех 1 ^ г, ^ ^ п; так, например, если перестановка п = (12 ... п) является циклом длины п, то матрица-перестановка (п) имеет вид

(п) =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

00

0 0 0

1 0 0

0

2. Сети, заданные в клеточной форме

Пусть п = к ■ т, а = (аг^-) — сеть аддитивных подгрупп коммутативного кольца Я с 1

порядка п [1]. С разбиением п = т + ... + т (к сети а в клеточной форме:

слагаемых) числа п связана запись

а = [а] =

/а11 а12 а21 а22

\ак1 ак2

а1к\ а2к

а

кк

(1)

/

где а = [а] = (ау), ау — квадратные (т х т)-таблицы аддитивных подгрупп кольца Я, 1 ^ г,^ ^ к. Ясно, что при т = 1, к = п, мы получаем сеть а = (ау).

Если Б = («у), Ь = ) — две квадратные (т х т)-таблицы аддитивных подгрупп «г^-, , 1 ^ г, ^ ^ т, кольца Я, то мы определяем их сумму и произведение естественным способом:

т

(Б + Ь)г,- = (^ + ^)), (Б ■ Ь)у- = £ «гг ■ •

г=1

Определим произведение двух (к х к)-таблиц [а] = (ау) и [т] = (ту) вида (1) следующим естественным способом:

к

([а] [т ])у =£ агг т^.

г=1

В частности, при т = 1, к = п, мы получаем произведение двух сетей а = (а^^) и т = (ту) аддитивных подгрупп порядка п:

п

(ат= ^ аггтГ

Т.?-

г=1

Таблица (1) а = [а] = (ау) является сетью, если агга77 С ау для всех 1 ^ г, г, ^ ^ к. Ясно, что а = (ау) — сеть ^^ а ■ а С а. Далее, а = [а] = (ау) — сеть ^^ [а] ■ [а] С [а]. Из формулы [а ■ а] = [а] ■ [а] (см. [3, гл. 1, § 1]) вытекает следующая лемма. Лемма 1. Система а = (аг^-), 1 ^ г,^ ^ п, аддитивных подгрупп аг^- кольца Я порядка п является сетью тогда и только тогда, когда система

[а] = ([аЫ = (аг*), 1 < г,« < к,

квадратных (т х т)-таблиц ау является сетью порядка к (см. (1)).

0

1

3. Слабо насыщенные сети

Система а = (ау), 1 ^ г,^ ^ п, аддитивных подгрупп кольца Я называется сетью (ковром) над кольцом Я порядка п, если аггаг^ С а^ при всех значениях индексов г, г, Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер).

Приступим теперь к определению блочных матриц, которые мы будем рассматривать в нашей работе.

Итак, пусть п = кт, к, т ^ 2. Представим таблицу т = (ту) аддитивных подгрупп ту кольца Я порядка п в виде блочной таблицы порядка к вида (1), на каждой позиции которой стоит квадратная таблица порядка т, в которой на диагонали стоит Я, а на остальных местах 0.

Предложение 1. Построенная таблица т является сетью порядка п, которую мы называем слабо насыщенной.

< Доказательство вытекает из леммы 1. Действительно, таблица т имеет клеточный вид [т] = (т4): это квадратная таблица порядка к, у которой на каждой позиции (г, _?') стоит (т х т)-таблица тгз, в которой на диагонали стоит кольцо Я, а на остальных местах 0. Ясно тогда, что для любых г, г, ] мы имеем тггтГ] = т4. Следовательно, клеточная таблица [т] = (тг]) является сетью, а потому по лемме 1 т = (ту) является сетью порядка п. >

Рассмотрим пример этой конструкции для п = 6, т = 2, к = 3:

Я 0 Я 0 Я 0

0 Я 0 Я 0 Я

Я 0 Я 0 Я 0

0 Я 0 Я 0 Я

Я 0 Я 0 Я 0

0 Я 0 Я 0 Я

Прокомментируем слабо насыщенную сеть т. Очевидно, что она симметрична, и на всех позициях главной диагонали стоит кольцо Я. Далее, через й3 обозначим з-ю строку сети т, параллельную главной диагонали (и в силу симметричности сети т достаточно рассматривать строки, лежащие ниже главной диагонали). По построению строки ^2, ^з,..., йт — нулевые, а строка ^т+1 состоит из кольца Я; строки ^т+2, ¿т+3, • • •, ¿2т — нулевые, а строка ^2т+1 состоит из кольца Я.

В общем виде строки , 2 ^ д ^ т, 0 ^ I ^ к — 1, — нулевые (номер строки при

делении на т дает в остатке 0,2,..., т — 1), а строки ^гт+1, 1 ^ I ^ к — 1, состоят из кольца Я (номер строки при делении на т дает в остатке 1).

Теорема 1. Пусть п = (12 ... п) — цикл длины п = кт и т = (ту) — слабо насыщенная сеть порядка п, построенная выше (см. предложение 1), С(т) — сетевая группа [4]. Тогда циклическая матрица-перестановка (п) нормализует построенную сетевую группу С(т), а потому произведение ((п))С(т) является группой. В частности, группа ((п))С(т) содержится в нормализаторе N(т) сетевой группы С(т).

< Согласно предложению 1 [4] матрица-перестановка (п) нормализует построенную сетевую группу С(т) тогда и только тогда, когда тп = т, где сеть тп определяется формулой (тп)у = тп(г))П(^-). Таким образом, для доказательства предложения нам нужно показать, что т^^^у) = тгу для любых г, В силу симметричности сети т достаточно доказать последнее равенство для г >

Рассмотрим ту, г > которая лежит в одной из строк ^ сети т. Рассмотрим два случая:

(a) ту лежит в нулевой строке ^гт+д, 2 ^ д ^ т, 0 ^ I ^ к — 1. Эта строка имеет вид

т1т+д,1 т1т+д+1,2 ... тп—1,п—1т—д тп,п—1т—д+1

Имеем тогда (напомним, что п = (12 ... п) — цикл длины п = кт)

тп(1т+д),п(1) = т1т+д+1,2 = °, . . . , тп(п— 1),п(п—1т—д) = тп,п—1т—д+1 =

Далее, тП(п),П(п—гт—д+1) = т1>п—гт—д+2. В силу симметричности сети т имеем т1,п—1т—д+2 = т„—1т—д+2,1. Последний элемент лежит в строке ^п—1т—д+2 = ¿т(к—I)—д+2, но так как 2 ^ д ^ т, то номер строки т(к — I) — д + 2 при делении на т не равен 1, а потому ¿т(к—I)—д+2 — нулевая строка. Поэтому тп(п),п(п—1т—д+1) = 0.

Таким образом, мы показали, что если ^ принадлежит нулевой строке ,

2 ^ д ^ т, 0 ^ I ^ к — 1, то тп(г);пу) = 0 = ту.

(b) ту лежит в «единичной» строке 1, 1 ^ I ^ к — 1. Эта строка имеет вид

т1т+1,1 т1т+2,2 ... тп—1,п—1т—1 тп,п—1т Я.

Имеем тогда (п = (12 ... п) — цикл длины п = кт)

тп(1т+1),п(1) = т1т+2,2 = Я, . . . , тп(п— 1),п(п—1т— 1) = тп,п—1т = Я-

Далее, т^п),^—гт) = т^п—гт+ь В силу симметричности сети т имеем т1 ,п—1т+1 тп—гт+1,1. Последний элемент лежит в строке гт+1 = ^т(г—г)+1, но эта строка (а ее номер при делении на т дает в остатке 1) состоит из колец Я. Поэтому тп—гт+1;1 = Я,

откуда тп(п),п(п—1т) = Я.

Таким образом, мы показали, что если ту принадлежит «единичной» строке, то

тп(г),п(^') = Я = тг^'. >

4. Группа, порожденная циклом и трансвекцией

В группе С = СЬ(2к, Я), п = 2к ^ 4, рассмотрим подгруппу (¿31(а), (п)), где п = (123 ... 2к) — цикл длины п = 2к, а € Я, а = 0. Далее, рассмотрим матрицу-перестановку (п) и слабо насыщенную сеть т порядка п для п = 2 ■ к (т = 2, см. (1)):

Я0 0Я

Я0 0Я

Я0 0Я

Я0 0Я

Теорема 2. Пусть Я — произвольное коммутативное кольцо с 1, в котором существует обратимый элемент 9 такой, что элемент 9 — 1 также обратим (это так, например, если Я — произвольное поле, отличное от поля F2 из двух элементов), п = 2к. Тогда группа (С(т), (п)) не богата трансвекциями. В частности, группа ((п),£31(а)) не богата трансвекциями.

< В силу теоремы 1 мы имеем (С(т), (п)) = ((п)) ■ С(т) С N(т). Пусть ¿12(£) € ((п)) ■ С(т) С N(т) для некоторого £ = 0. Тогда согласно предложению 5 [4] мы имеем £ € а12 = 0. >

Литература

1. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. сем. ЛОМИ.— 1978.—Т. 75.—С. 22-31.

2. Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Элементарные трансвекции в надгруппах нерасщепимого максимального тора // Владикавк. мат. журн.—2015.—Т. 17, вып. 4.—С. 11-17. Б01: 10.23671/ ¥N0.2015.4.5968.

3. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.—СПб: Лань, 2009.— 736 с.

4. Боревич З. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН.—1976.—Т. 64.—С. 12-29.

Статья поступила 10 августа 2021 г.

ДжУСОЕВА НоННА АНАТОЛЬЕВНА Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, заведующая кафедрой

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, Ватутина, 46 E-mail: djusoevanonna@rambler.ru

Икаев Сармат Сосланович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, аспирант

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, Ватутина, 46 E-mail: ikaev.sar@yandex.ru

Койбаев Владимир Амурханович

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,

ведущий научный сотрудник

РОССИЯ, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22;

Северо-Осетинский государственный университет

им. К. Л. Хетагурова,

профессор кафедры алгебры и анализа

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, Ватутина, 46

E-mail: koibaev-k1@yandex.ru

https://orcid.org/0000-0002-5142-2612

Vladikavkaz Mathematical Journal 2021, Volume 23, Issue 4, P. 50-55

ABOUT SUBGROUPS RICH IN TRANSVECTIONS Dzhusoeva, N. A.1, Ikaev, S. S.1 and Koibaev, V. A.1'2

1North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia; 2 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia E-mail: djusoevanonna@rambler.ru, ikaev.sar@yandex.ru, koibaev-k1@yandex.ru

Abstract. A subgroup H of the full linear group G = GL(n, R) of order n over the ring R is said to be rich in transvections if it contains elementary transvections tij (a) = e + aeij at all positions (i,j), i = j (for some a £ R, a = 0). This work is devoted to some questions associated with subgroups rich in transvections. It is known that if a subgroup H contains a permutation matrix corresponding to a cycle of length n and an elementary transvection of position (i, j) such that (i — j) and n are mutually simple, then the subgroup

H is rich in transvections. In this note, it is proved that the condition of mutual simplicity of (i — j) and n is essential. We show that for n = 2k, the cycle n = (12 ... n) and the elementary transvection t31 (a), a = 0, the group ((n),t31(a)} generated by the elementary transvection t31(a) and the permutation matrix (cycle) (n) is not a subgroup rich in transvections.

Key words: subgroups rich in transvections, transvection, cycle.

Mathematical Subject Classification (2010): 20G15.

For citation: Dzhusoeva, N. A., Ikaev, S. S. and Koibaev, V. A. About Subgroups Rich in Transvections, Vladikavkaz Math. J., 2021, vol. 23, no. 4, pp. 50-55 (in Russian). DOI: 10.46698/o2081-1390-1031-t.

References

1. Borevich, Z. I. Subgroups of Linear Groups Rich in Transvections, Journal of Soviet Mathematics, 1987, vol. 37, p. 928-934. DOI: 10.1007/BF01089083.

2. Dryaeva, R. Y. and Koibaev, V. A. Elementary Transvections in the Overgroups of a Non-Split Maximal Torus, Vladikavkaz Math. J., vol. 17, no. 4, pp. 11-17. DOI: 10.23671/VNC.2015.4.5968.

3. Faddeev, D. K. and Faddeeva, V. N. Computational Methods of Linear Algebra, St. Petersburg, Lan, 2009.

4. Borevich, Z. I. A Description of the Subgroups of the Complete Linear Group that Contain the Group of Diagonal Matrices, Journal of Soviet Mathematics, 1981, vol. 17, pp. 1718-1730.

Received August 10, 2021 Nonna A. Dzhusoeva

North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Head of Department E-mail: djusoevanonna@rambler.ru

Sarmat S. Ikaev

North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Graduate Student E-mail: ikaev.sar@yandex.ru

Vladimir A. Koibaev Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia, Leading Researcher;

North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 44 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Professor of the Department of Algebra and Analysis E-mail: koibaev-k1@yandex.ru https://orcid.org/0000-0002-5142-2612