CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 4, С. 87-91
УДК 512.5
DOI 10.46698/h3104-8810-6070-x
О СТРОЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СЕТЕЙ НАД КВАДРАТИЧНЫМИ ПОЛЯМИ
В. А. Койбаев1,2
1Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22; 2Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, Ватутина, 44 E-mail: [email protected]
Посвящается 75-летию профессора С. С. Кутателадзе
Аннотация. Исследуется структура элементарных сетей над квадратичными полями. Система а = Oij), 1 < i, j < n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетью (ковром) над кольцом R порядка n, если airarj С aj при всех значениях индексов i, r, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер). Элементарная сеть а = (oij) называется неприводимой, если все аддитивные подгруппы <7¿j отличны от нуля. Пусть К = Q(Vtí) — квадратичное поле, D — кольцо целых квадратичного поля K, а = (а^) — неприводимая элементарная сеть порядка n ^ 3 над K, причем а^ — D-модули. Если целое d принимает одно из следующих значений (22 поля): -1, -2, -3, -7, -11, -19, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73, то для некоторого промежуточного подкольца P, D С P С K, сеть а сопряжена диагональной матрицей из D(n,K) с элементарной сетью идеалов кольца P.
Ключевые слова: сеть, ковер, элементарная сеть, замкнутая сеть, поле алгебраических чисел, квадратичное поле.
Mathematical Subject Classification (2010): 20G15.
Образец цитирования: Койбаев В. А. О строении элементарных сетей над квадратичными полями // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 4.—С. 87-91. DOI: 10.46698/h3104-8810-6070-x.
Исследуется структура элементарных сетей над квадратичными полями. Система a = (aij), 1 ^ i,j ^ n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетью (ковром) над полем K порядка n, если airarj С aij при всех значениях индексов i, r, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер). Элементарная сеть a = (aij) называется неприводимой, если все аддитивные подгруппы а^ отличны от нуля. Пусть К = Q^s/d^j — квадратичное поле, D — кольцо целых поля K, a = (aij) — неприводимая элементарная сеть порядка n ^ 3 над K, причем aij — -D-модули. Для некоторого класса квадратичных полей Q(\/d) (для некоторого класса целых чисел d) доказано, что с точностью до сопряжения (элементарной сети) диагональной матрицей из D(n, K) все aij являются идеалами фиксированного промежуточного подкольца P, D С P С K .В заключение строится недополняемая симметрическая элементарная сеть над квадратичным полем.
© 2020 Койбаев В. А.
1. Квадратичные поля. Кольцо целых квадратичного поля
Квадратичным полем мы называем расширение поля рациональных чисел Q второй степени. Всякое квадратичное поле имеет вид Q(Vd), где d ф 1 — некоторое целое рациональное число, свободное от квадратов [1, гл. II, §7, п. 1].
Число a поля алгебраических чисел K (конечное расширение поля рациональных чисел) называется целым алгебраическим числом, если a является корнем унитарного (старший коэффициент многочлена равен 1) многочлена с целыми рациональными коэффициентами. Множество всех целых алгебраических чисел поля K является под-кольцом поля K, которое называется кольцом целых поля K (см. [1, алгебраическое дополнение, §4] и [2, гл. 5]). Кольцо целых D поля алгебраических чисел K совпадает с максимальным порядком поля K [1, гл. II, §2, теорема 6].
Предложение 1 [1, гл. II, § 7, теорема 1]. Пусть d = 1 — целое рациональное число, свободное от квадратов. Кольцо целых (максимальный порядок) D квадратичного поля Q(Vd) совпадает с кольцом
D = Z[0] = Z + Z0 = {x + yd : x,y € Z},
где в = yfd при d = 2,3 (mod 4) и в = при d = 1 (mod 4). Дискриминант поля Q(Vd) равен 4d в первом случае и d во втором.
Предложение 2 [1, гл. III, §2]. 1) Кольцо целых D мнимого квадратичного поля Q(Vd), d < 0, является евклидовым тогда и только тогда, когда (5 полей)
d € { - 1, -2, -3, -7, -11}.
2) Кольцо целых D вещественного квадратичного поля Q(Vd), d > 0, является евклидовым тогда и только тогда, когда (16 полей)
d € {2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73}.
2. Элементарные сети над квадратичными полями
В этом разделе мы дадим описание элементарных сетей над некоторым классом квадратичных полей.
Система a = (aj), 1 ^ i, j ^ n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетью (ковром) [3, 4] над полем K порядка n, если arj С aj при всех значениях индексов i, r, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер) [3, 4]. Элементарная сеть a = (aij), 1 ^ i = j ^ n, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, подколец) ац кольца R таблица (с диагональю) a = (aj), 1 ^ i, j ^ n, является (полной) сетью. Хорошо известно (см., например, [3]), что элементарная сеть a = (aij) является дополняемой тогда и только тогда, когда aij ajiaij С aij для любых i = j .
Полную или элементарную сеть a = (aij) мы называем неприводимой, если все аддитивные подгруппы aij отличны от нуля.
Назовем элементарную сеть a замкнутой (допустимой) ([5; 6, вопрос 15.46]), если элементарная группа E(a) не содержит новых элементарных трансвекций. Замкнутыми являются, например, дополняемые элементарные сети (см., например, [3]).
Дадим в начале описание промежуточных колец, заключенных между областью главных идеалов и его полем частных. Следующая лемма хорошо известна.
Лемма 1. Пусть R — область главных идеалов, K — поле частных кольца R. Если S — мультипликативное подмножество, порожденное подмножеством простых кольца R, то S-1R также является кольцом главных идеалов и R С S-1R С K .С другой стороны, всякое промежуточное подкольцо P, R С P С K, является кольцом главных идеалов и имеет вид P = S-1R для некоторого мультипликативного подмножества S С R.
Предложение 3 [7, теорема 2]. Пусть a = (aij) — неприводимая элементарная сеть порядка n ^ 3 над полем частных K кольца главных идеалов R, причем для любых i, j, i = j, подгруппы aij являются R-модулями. Тогда для некоторого промежуточного подкольца P, R С P С K, сеть a сопряжена диагональной матрицей из D(n, K) с элементарной сетью п = (nij) идеалов кольца P, где nij = qij P, для некоторых qij € P. В частности, элементарная сеть a является замкнутой.
Элементарная сеть п = (nj) из предложения наглядно представляется таблицей
(* qi2P qi3P . ■ qinP\
P * q23P . . q2nP
п = (nij) = P q32P * . ■ q3nP
P qn2P qn3P ■ .*
Теорема 1. Пусть К = Q(\/d) — квадратичное поле, D — кольцо целых поля К. Пусть, далее, a = (aij) — неприводимая элементарная сеть порядка n ^ 3 над полем K, причем для любых i = j, подгруппы aij являются D-модулями. Если целое d принимает одно из следующих значений (22 поля):
-1, -2, -3, -7, -11, -19, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73,
то для некоторого промежуточного подкольца P, D С P С K, сеть a сопряжена диагональной матрицей из D(n,K) с элементарной сетью п = (nj) идеалов кольца P, где nij = qijP, для некоторых qij € P (см. (1)). В частности, элементарная сеть a является замкнутой.
Доказательство теоремы вытекает из предложений 2, 3 и леммы 1 (при этом нужно заметить, что всякая евклидова область является областью главных идеалов).
Замечание. Кольцо целых мнимого квадратичного поля Q(\/—'19) является областью главных идеалов, но не является евклидовым [8].
3. Построение недополняемой элементарной сети над квадратичным полем
Результаты этого параграфа показывают существенное отличие строения элементарных сетей над полем рациональных чисел Q [7] от строения элементарных сетей над квадратичными полями.
Пусть d = 2,3(тоё4). В поле <0>[л/^] рассмотрим кольцо целых И = Z[v/d]• Положим
¿ = ш( 1 + у/И), А = ¿4£>, те2,т) 3, В = Ш + А = Ш + ¿4£>. Заметим, что А С В и
¿2 = т2((1 + сС) + 2у/д,), ¿3 = т3((1 + ЗсГ) + (3 + сС)у/д,).
Предложение 4. Таблица
/ * B A B * A
AN
A
т
\ A A A ... */
является недополняемой элементарной сетью.
< Действитеьно, так как А = — идеал кольца И = Z[v/d], то А2 С А, АВ С А, а потому таблица т является элементарной сетью. Для того, чтобы показать, что элементарная сеть т является недополняемой, нам достаточно показать (см. §2), что В3 не содержится в подгруппе В. Покажем, что ¿3 не содержится в В = Zí + Действительно, если ¿3 € В, то ¿2 € 2 + ¿3£>, а потому для некоторых а € 2 и ж + ул/71 € -О мы имеем (см. выше значение ¿2 и ¿3)
1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.—М.: Наука, 1985.
2. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру.—М.: Мир, 1972.
3. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. сем. ЛОМИ.— 1978.—Т. 75.—С. 22-31.
4. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 4.—С. 421-434.
5. Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН.— 2011.—Т. 17, № 4.—С. 134-141.
6. Коуровская тетрадь: нерешенные вопросы теории групп.—17-е изд.—Новосибирск, 2010.
7. Дряева Р. Ю., Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Полные и элементарные сети над полем частных кольца главных идеалов // Зап. науч. сем. ПОМИ.—2017.—Т. 455.—С. 42-51.
8. Wilson J. C. A principal ideal ring that is not a euclidean ring // Mathematics Magazine.—1973.— Vol. 46, № 1.—P. 34-38. DOI: 10.1080/0025570X.1973.11976270.
Статья поступила 9 августа 2020 г.
Койбаев Владимир Амурханович
Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,
ведущий научный сотрудник
РОССИЯ, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22;
Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,
профессор кафедры алгебры и геометрии
РОССИЯ, 362019, Владикавказ, Ватутина, 44
E-mail: [email protected]
https://orcid.org/0000-0002-5142-2612
m2((l + d)- x + yVd)
Однако последнее невозможно так как m ^ 3. >
Литература
Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 4, P. 87-91
ON THE STRUCTURE OF ELEMENTARY NETS OVER QUADRATIC FIELDS
Koibaev, V. A.1'2
1 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia;
2North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 44 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia E-mail: [email protected]
Abstract. The structure of elementary nets over quadratic fields is studied. A set of additive subgroups a = (aij), 1 < i, j < n, of a ring R is called a net of order n over R if airarj C aij for all i, r, j. The same system, but without the diagonal, is called elementary net (elementary carpet). An elementary net a = {oij) is called irreducible if all additive subgroups aij are different from zero. Let K = <Q>(Vd) be a quadratic field, D a ring of integers of the quadratic field K, a = (aij) an irreducible elementary net of order n ^ 3 over K, and aij a D-modules. If the integer d takes one of the following values (22 fields): -1, -2, -3, -7, -11, -19, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73, then for some intermediate subring P, D C P C K, the net a is conjugated by a diagonal matrix of D(n, K) with an elementary net of ideals of the ring P.
Key words: net, carpet, elementary net, closed net, algebraic number field, quadratic field.
Mathematical Subject Classification (2010): 20G15.
For citation: Koibaev, V. A. On the Structure of Elementary Nets Over Quadratic Fields, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 4, pp. 87-91 (in Russian). DOI: 10.46698/h3104-8810-6070-x.
References
1. Borevich, Z. I. and Shafarevich, I. R. Number Theory, New York-London, Academic Press, 1966.
2. Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.
3. Borevich, Z. I. Subgroups of Linear Groups Rich in Transvections, Journal of Soviet Mathematics, 1987, vol. 37, no. 2, pp. 928-934. DOI: 10.1007/BF01089083.
4. Levchuk, V. M. Remark on a Theorem of L. Dickson, Algebra and Logic, 1983, vol. 22, no. 4, pp. 306-316. DOI: 10.1007/BF01979677.
5. Koibaev, V. A. Elementary Nets in Linear Groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2011, vol. 17, no. 4, pp. 134-141 (in Russian).
6. Kourovskaya tetrad': nereshennye voprosy teorii grupp [The Kourovka Notebook: Unsolved Problems in Group Theory], Novosibirsk, 2010, issue 17 (in Russian).
7. Dryaeva, R. Yu., Koibaev, V. A. and Nuzhin, Ya. N. Full and Elementary Nets Over the Field of Fractions of a Principal Ideal Ring, Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 234, no. 2, pp. 141-147. DOI: 10.1007/s10958-018-3990-y.
8. Wilson, J. C. A Principal Ideal Ring That is not a Euclidean Ring, Mathematics Magazine, 1973, vol. 46, no. 1, pp. 34-38. DOI: 10.1080/0025570X.1973.11976270.
Received August 9, 2020
Vladimir A. Koibaev Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia, Leading Researcher;
North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 44 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Professor of the Department of Algebra and Geometry E-mail: [email protected] https://orcid.org/0000-0002-5142-2612
