CC BY
120
О МЕТОДАХ РЕШЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Ибодова С.Т.
Ибодова Севарабону Тухтасиновна — студент, кафедра прикладной математики, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в данной статье анализируются функциональные уравнения и методы их решения, важные для математики и ряда ее приложений. Отмечено, что основными типами функциональных уравнений являются линейные и нелинейные интегральные уравнения. Приведены типы решения функциональных уравнений: метод подстановок, поиск подстановок, использование однозначности функции, сюръективность и замена переменной, использование значения функции в некоторых точках, использование сюръективности искомой функции, симметрия и цикличность.
Ключевые слова: функциональные уравнения, интегральные уравнения, уравнения Коши.
УДК 37.02
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Один из важных классов функциональных уравнений это функциональные уравнения
Коши: f (X + у) = f (х) + f (у) - удовлетворяют все линейные однородные функции f (х) = ах . f (X + у) = f (х) f (у) - удовлетворяют все показательные функции
f (х) = а . f (ху) = f (х) + f (у) - удовлетворяют все логарифмические функции
1'(х) = ^ а х .
4) f (ху) = f (х) f (у) - удовлетворяют все степенные функции f (х) = х . Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу.
Один из специальных типов функциональных уравнений это линейные интегральные уравнения. Интегральным уравнением называется функциональное уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком интеграла. Таково, например, уравнение
(р(х) = | К (х, + f (х), (1)
где f (•) и К (у) - известные функции, а ((•) - искомая функция. Переменные х и I пробегают здесь некоторый фиксированный отрезок [а, Ь]. Характерная особенность уравнения (1) - его линейность: неизвестная функция (( • ) входит в него линейно. Ряд задач
приводит и к нелинейными интегральным уравнениям. Отдельные интегральные уравнения рассматривались еще в начале столетия.
Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений. Например: метод подстановок, поиск подстановок, использование однозначности функции, сюръективность и замена переменной, использование значения функции в некоторых точках,
использование сюръективности искомой функции, уравнения относительно f (х),
симметрия и цикличность. Мы сосредоточимся на некоторых из этих методов. Они также играют важную роль в решении олимпийских задач по математики. Использование современных педагогических технологий [1-19] в обучении студентов даёт хорошие результаты.
Один из важных методов решения функциональных уравнений это использование значений функции в некоторых точках. Иногда бывает невозможно найти подстановку, которая бы
96
значительно упрощала вид уравнения. Однако, если зафиксировать одну из свободных переменных, некоторые члены уравнения могут также оказаться фиксированными. Для них можно ввести удобные обозначения и использовать при решении как обычные константы. Если эти константы войдут в ответ, проверка покажет, какие их значения являются допустимыми.
Часто при таком методе решения бывает полезен метод замены переменных. Объясним содержание и суть метода на следующим примере.
Пример. Решить уравнение f (X + f (y)) = Xy .
Решение. Подстановка y = 0 дает f (X + f (0)) = 0 . На первый взгляд пользы
мало, так как мы знаем, чему равно f (0) . Обозначим f (0) = С, тогда получаем
f (X + С) = 0 . Сделав замену переменной t = X + С (подстановка X = t — С ),
получаем f (t ) = 0, но такая функция, очевидно, не удовлетворяет исходному уравнению, поэтому решений нет.
Теперь перейдем к применению метода использования однозначности функции. Согласно классическому определению функция каждому элементу из области определения ставит в соответствие единственный элемент из области значений, т.е. является однозначной.
Это свойство можно использовать при решении функциональных уравнений, подбирая подстановки так, чтобы получать одинаковые выражения под знаком функции.
Пример. Найти все функции f : R —^ R, которые при всех X, y G R удовлетворяют
уравнению
f (X + y) = Xy . (2)
Решение. Задачу можно переформулировать так: найти такие функции, которые по сумме двух действительных чисел восстанавливают их произведение. Интуитивно ясно, что это невозможно - сумма и произведение двух чисел являются «независимыми», в то время как
равенство (2) (если бы искомая функция f существовала) как раз выражало бы такую
зависимость.
Действительно, система уравнений X + y = U, Xy = V имеет решения при любых U
и V таких, что U2 ^ 4v, то есть при заданной сумме U двух чисел их произведение V может принимать бесконечно много значений.
Чтобы быстро и наглядно показать отсутствие решений уравнения (2), достаточно подставить в него две пары чисел X, y с равной суммой и разными произведениями.
Например, подстановка X = 0, y = 2 дает f (2) = 0 , а подстановка X = y = 1 дает
f (2) = 1. Из полученного противоречия следует, что искомых функций f не существует.
Рассматриваемой прием особенно полезен для исследования функциональных уравнений с одной переменной. Следует отметить, что знания, навыки и умения, полученные в области математики, а также математические методы могут быть использованы при исследовании многих актуальных проблем [20-25], встречающихся в современной математической физике.
Список литературы
1. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic équation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). С. 68-71.
2. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). С. 3068-3071.
3. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadbantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). С. 65-68.
4. Расулов Т.Х. Инновационные технологии изучения темы линейные интегральные уравнения // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 74-76.
5. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 48-51.
97
6. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject // Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6:10 (2019). С. 43.
7. Марданова Ф.Я. Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях // Вестник науки и образования, 95:17 (2020). Часть 2. С. 83-86.
8. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений. Молодой учёный, 90:10 (2015). С. 16-20.
9. Умарова У.У. Роль современных интерактивных методов в изучении темы «Множества и операции над ними» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 21-24.
10. Курбонов Г.Г. Преимущества компьютерных образовательных технологий в обучении теме скалярного произведения векторов // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С.33-36.
11. Расулова З.Д. Эффективность дистанционной организации процессов обучения в высшем образовании // Academy. 62:11 (2020). С. 31-34.
12. Бобокулова С.Б., Бобоева М.Н. Использование игровых элементов при введении первичных понятий математики // Вестник науки и образования. 99:21 (2020). Часть 2. С. 85-88.
13. Rashidov A.Sh. Use of differentiation technology in teaching Mathematics // European Journal of Research and Reflection in Educational Sciences, 8:7 (2020). С. 163-167.
14. Расулова З.Д. Дидактические основы развития у будущих учителей креативного мышления // European science. 51:2-2 (2020). С. 65-68.
15. Расулова З.Д. Программные инструменты - важный фактор развития творчества учащихся // Вестник науки и образования. 99:21 (2020). С. 33-36.
16. Умарова У.У. Применение триз технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний» // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 32-35.
17. Тошева Н.А. Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 29-32.
18. Шарипова И.Ф., Марданова Ф.Я. Преимущества работы в малых группах при изучении темы первообразной функции // Проблемы педагогики. 50:5 (2020). С. 29-32.
19. Хайитова Х.Г. Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 25-28.
20. Умарова У.У. Обычные и квадратичные числовые образы 2х2-матриц. оператора // Учёные XXI века. 53:6-1 (2019). С. 25-26.
21. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.
22. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.
23. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
24. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
25. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
