CC BY
24
12. Бобокулова С.Б., Бобоева М.Н. Использование игровых элементов при введении первичных понятий математики // Вестник науки и образования. 99:21 (2020). Часть 2. С. 85-88.
13. Rashidov A.Sh. Use of differentiation technology in teaching Mathematics // European Journal of Research and Reflection in Educational Sciences, 8:7 (2020). С. 163-167.
14. Расулова З.Д. Дидактические основы развития у будущих учителей креативного мышления // European science. 51:2-2 (2020). С. 65-68.
15. Расулова З.Д. Программные инструменты - важный фактор развития творчества учащихся // Вестник науки и образования. 99:21 (2020). С. 33-36.
16. Умарова У.У. Применение триз технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний» // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 32-35.
17. Тошева Н.А. Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 29-32.
18. Шарипова И.Ф., Марданова Ф.Я. Преимущества работы в малых группах при изучении темы первообразной функции // Проблемы педагогики. 50:5 (2020). С. 29-32.
19. Хайитова Х.Г. Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 25-28.
20. Умарова У.У. Обычные и квадратичные числовые образы 2х2-матриц. оператора // Учёные XXI века. 53:6-1 (2019). С. 25-26.
21. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.
22. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.
23. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
24. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
25. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
О МЕТОДАХ НАХОЖДЕНИЯ НОРМЫ МАТРИЦ Мустафоева З.Э.
Мустафоева Заринабону Эркин кизи — магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: одна из актуальных проблем функционального анализа и теории матриц - найти или оценить норму этих матриц. Данная статья посвящена исследованию методов нахождения нормы матриц. Приведен ряд формул нормы, удобных для вычисления норм матриц. Перечислены аксиомы, удовлетворяющие введенной норме для квадратичных матриц. Установлена взаимосвязь между нормой матрицы и характеристическими числами матрицы. Даны операторные матрицы, являющиеся обобщениями матриц, и проблемы современной математической физики, в которых они возникают. Ключевые слова: матрица, операторная матрица, норма матрицы.
УДК 37.02
В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т.д.
Прежде всего приведем основные определения. Под числовым полем понимают любую совокупность чисел, в пределах которой всегда выполнимы и однозначны четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля. Примерами числовых полей могут служить совокупность всех рациональных чисел, совокупность всех действительных чисел или совокупность всех комплексных чисел.
Пусть дано некоторое числовое поле К .
Прямоугольную таблицу чисел из поля K
a2l a22
a
In
a,
2n
V aml
a
a
m 2 mn J
будем называть матрицей. Если m = П, то матрица называется квадратичной, а число m , равное П , - ее порядком. В общем же случае матрица называется прямоугольной (размера m X П) или m X П -матрицей. Числа, составляющие матрицу, называется ее элементами.
При двух индексном обозначении элементов первый индекс всегда указывает номер строки, а второй индекс - номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Тема матриц и операций над ними играет важную роль в преподавании математики, линейной алгебры, теории чисел и функционального анализа в высших учебных заведениях. Использование современных педагогических технологий [1-16] является очень эффективным в донесении до студентов содержания данной темы.
В П -мерном пространстве X вектор столбцов X введем понятие нормы вектора.
Каждому вектору X £ X ставим в соответствие некоторое вещественное неотрицательное
число || X ||х или просто || X || так, чтобы для произвольных векторов X, y из X и
произвольного скаляра Я выполнялись следующие условия:
1) || X + y ||<|| X || + || y ||;
2) || Як ||=| X | • || X ||;
3) || X ||> 0 , если X Ф 0 .
Полагая в 2) Я = 0, получим, что || X ||= 0 , если X = 0 . Кроме, того из 2) сразу следует || X — y ||>|| X || — || y || для любых векторов X,y £ X . Так, например, можно ввести «кубическую» норму вектора
|| X |L = max | X. |
1<1<П
Ё X
или «октаэдрическую» норму
п 1=1
«Эрмитову» (в случае вещественного пространства X «евклидову») норму || X | определяют равенством
2
\111
IIх II/// х.
Эти 3 формулы можно использовать при формировании заданий в процессе применения метода в малых группах.
Рассмотрим теперь произвольную прямоугольную т X П -матрицу А и связанное с нею линейное преобразование у = Ах, X - П -мерный вектор столбец из П -мерного пространства X , а у - т -мерный вектор столбец из т -мерного пространство У .
Введем в этих пространствах нормы векторов || X ||х =|| X || и || у ||у =| | у ||. После этого норму прямоугольной матрицы А определим равенством.
A ||= sup
Ay IY
xeX\{0} || x \\X
Норма m X П -матрицы A определяется как самой матрицей A , так и теми векторными
нормами, которые введены в пространствах X и Y . При изменении этих норм изменяется и норма матрицы.
Так, например, если исходить из «кубических» векторных норм || x ||I = max | xi
1<i<n
y ||7 = max| yi | , то норма матрицы A = (a.. ), i = l,...,m ;
1<i<m 1
n
j = 1,...,n, определяется формулой || A ||= ШЭХ a . .
1<i<m ~1 j
A ||= , где Л
Рассмотрим теперь эрмитовы векторные нормы. Тогда
максимальное характеристическое число матрицы AA .
Введем теперь различные нормы для векторных столбцов X и y . Пусть, например,
n
Il x ||я xi, || y ||7 = max| yi |. в этом случае || A ||= max | a. |.
i_1 1<i<n 1 1<i, j<n j
Иногда норму квадратной П X П -матрицы A вводят аксиоматически (независимо от векторной нормы); каждой П X П -матрице A ставится в соответствие неотрицательное действительное число || A || так, что
1) Il A ||> 0 , если A ф 0, и || A ||= 0 , если A = 0;
2) IIA + B ||<|| A Il + Il B ||;
3) II AA II=I Л I • II A II ( Л - скаляр);
4) IIABI<II AII • II BII.
Часто приходится пользоваться матрицами, разбитыми на прямоугольные части - «клетки» или «блоки». Блочно-операторная матрица - это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банахом или гильбертовом пространстве [17-21]. Заметим, что такие матрицы обычно возникают в задачах физики твердого тела, квантовой теории поля, статистической физики, магнитогидродинамики и квантовой механики. Следует также отметить, что знания, навыки и умения, полученные в области математики, а также математические методы могут быть использованы при исследовании многих актуальных проблем [22-26], встречающихся в современной математической физике.
Список литературы
1. Boboeva M.N., Rasulov T.H. The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students // Academy. 55:4 (2020). С. 68-71.
2. Расулов Т.Х. Инновационные технологии изучения темы линейные интегральные уравнения // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 74-76.
3. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics // International Journal of Scientific & Technology Research. 9:4 (2020). С. 3068-3071.
4. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. Advantages and disadbantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics // Academy. 55:4 (2020). С. 65-68.
5. Бобоева М.Н. Проблемная образовательная технология в изучении систем линейных уравнений с многими неизвестными // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 48-51.
6. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject // Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6:10 (2019). С. 43.
7. Марданова Ф.Я. Рекомендации по организации самостоятельной работы в высших учебных заведениях // Вестник науки и образования, 95:17 (2020). Часть 2. С. 83-86.
8. Расулов Т.Х., Нуриддинов Ж.З. Об одном методе решения линейных интегральных уравнений. Молодой учёный, 90:10 (2015). С. 16-20.
9. Умарова У.У. Роль современных интерактивных методов в изучении темы «Множества и операции над ними» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 21-24.
10. Курбонов Г.Г. Преимущества компьютерных образовательных технологий в обучении теме скалярного произведения векторов // Вестник науки и образования. 94:16 (2020), часть 2, С.33-36.
11. Расулова З.Д. Эффективность дистанционной организации процессов обучения в высшем образовании // Academy. 62:11 (2020). С. 31-34.
12. Расулова З.Д. Дидактические основы развития у будущих учителей креативного мышления // European science. 51:2-2 (2020). С. 65-68.
13. Умарова У.У. Применение триз технологии к теме «Нормальные формы для формул алгебры высказываний» // Наука, техника и образование. 73:9 (2020). С. 32-35.
14. Расулова З.Д. Программные инструменты - важный фактор развития творчества учащихся // Вестник науки и образования. 99:21 (2020). С. 33-36.
15. Тошева Н.А. Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 29-32.
16. Хайитова Х.Г. Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ» // Вестник науки и образования. 94:16 (2020). Часть 2. С. 25-28.
17. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
18. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2 (2016), pp. 156-174.
19. Muminov MI., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3 (2015). С. 369-393.
20. Muminov MI., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1 (2014). С. 1-22.
21. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
22. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.
I. Ekincioglu, Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.
23. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
24. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
25. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
