О малых движениях и собственных колебаниях системы "идеальная жидкость - баротропный газ" Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9[58+8]:532.6

О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ И СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ «ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ - БАРОТРОПНЫЙ ГАЗ»

© Газиев Э. Л.

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

факультет математики и информатики

пр-т Вернадского, 4, г. Симферополь, 95007, Украина e-mail: gilmor2004email.ru

Abstract. In this article the problem on small motions and eigenoseillations of a system "ideal fluid — barothropic gas"with taking into account gravity and surface tension is considered. The theorem on spectrum structure and eigenfunctions properties was proved.

Введение

Задачи о малых движениях и собственных колебаниях гидросистем исследовались многими авторами, в частности, Н.Д. Копачевским, С.Г. Крейном, И.А. . [уконским. А.Д. Мышкисом, Б.М. Вронским, А.Н. Тимохой и др. Так, в работах [1, 2] рассмотрены задачи о малых движениях и собственных колебаниях капиллярных и вязких жидкостей, а в [3] изучена динамика системы, состоящей из идеальной жидкости и газа с постоянной плотностью. Исследование малых движении и собственных колебаний системы, состоящей из идеальной жидкости и баротропного газа с изме-няемои плотностью, является целью данной работы.

1. Постановка задачи

1.1. Начально-краевая задача. Рассмотрим гидродинамическую систему, состоящую из идеальной жидкости и сжимаемого газа, полностью заполняющих область П Е R3 и находящуюся под действием гравитационного поля с ускорением д, и будем учитывать силы поверхностного натяжения. Введем декартову систему координат 0x\x2x3l неподвижно связанную с сосудом так, что д = — де3, оде ei - орты осей Oxi, i = 1, 2, 3.

Определение 1. Пусть a - скорость звука в газе. Будем называть газ баротропным, если в нем зависимость плотности р(х) от давления p(x) имеет вид

Vp{x) = a2V p(x). (1)

Пусть в состоянии равновесия жидкость с постоянной плотностью pi занимает область П С П, ограниченную частью Si твердой стенки сосуда S := дП и равновесной поверхностью Г. Баротропный газ находится над жидкостью, занимает область П2 = П\Пь ограниченную поверхностью Г и частью S2 = S\S1 и имеет плотность p2,o(x) = exp(—gx3/a2) (см. [4], с. 41). Будем считать поверхности лип-шицевыми, в частности, кусочно гладкими с ненулевыми внутренними и внешними двугранными углами между гладкими частями границ дП^ i = 1, 2.

Тогда малые движения гидросистемы описываются следующими уравнениями и граничными условиями

d2Wi -

Pi^f = -^pi + Pi-i, div Wi = 0 в Qi, (2)

P2,0 = - P2g-3 + P2,0¡2, P2 + dÍv(p2fiW2) = 0 в П2, (3)

wi •n = 0 на Si, w2 •n = 0 на S2, wi •n = w2 •n =: Z на Г, J (dT = 0, (4)

г

dZ

pi — p2 = LZ := -аАг( + aa(x)Z на Г, + xZ = 0, x E дГ, (5)

dv

aa(x) := -o(k2 + k%) + g(pi — p2,o) cos(n,^e3), x := (k — kr cos a)/sin a, (6) а также начальными условиями

-ta \ <o)( , i(x,t). _(i). .

wi(0,x) = wi '(x), -дt-lí=o = wi (x), x E Qi,

w2 (0,x)= *2\x), \t=0 = w(i)(x), x E П2, W

p2(0,x) = P2\x), x E П2, Z (0,x) = wÍ1 (x) •n = w2¿\x) •n =: Z (0\x) на Г.

Здесь wi(t, x) - смещения частиц жидкости и газа от равновесных значений, pi(t, x) -динамические давления, p2(t, x) - динамическая плотность, fi(t,x) - внешние силы; n - вектор внешней нормали к границе области П^ v - нормаль к дГ в плоскости, касательной к Г a - угол смачивания на дГ кшкг кривизны сечений поверхностей Г и Si плоскостью, перпендикулярной к дГ Дг _ оператор Лапласа-Бельтрами,

Г

1.2. Функциональные пространства, переход к скалярной задаче. Введем гильбертовы пространства: L2(Qi)

и L2(Q2, P2,o) со скалярными произведениями

(u, v) l2(Qi) = I u(x) • v(x)dQ i и ( u,—) l2(q2 p2 0) — J P2,o-u(x)v(x)dQ соответственно; Qi ' Q2

а также L2 (Г) со скалярным произведением (Z,n)o := f Z(x)n(x) dГ и его подпро-

г

странство Ho := L2 r = L^) Q {1г}.

Из определения 1 и вида р2,о следует, что —Ур2 — р2д= —р2,оУ(р2/р2,о) и имеет место ортогональное разложение функционального пространства

£¡(^2, Р2,о) = Р2,о) Ф Р2,о), (8)

С(П2,Р2,о) := {« е ¿2(^2, Р2,о) : И = Уф^ Р2,оф^2 = 01 , (9)

П2

^о(^2,Р2,о) := |V е £2(^2, Р2,о) : (р2,о#) = 0 (в П2), V • п = 0 (на д^2)} • (10)

Известно ортогональное разложение функционального пространства £2(^) (см. [1], с. 106, а также [3], с. 9)

£2(^1) = /о(^1) Ф Зо.гМ Ф (ад (11)

/о(^1) := | V е £2(^1): V =0 (в ), V • п = 0 (на дП1)} , (12) Со,г(^1) := {« е £2(^1): и = Уф, ф = 0(наГ)} , (13)

яг(П1) := {й е £2(^1) : й = УФ, АФ = 0 (в ^), дФ = 0 (на 81), УФ^Г = 0}• (14)

г

Будем считать, что смещения частиц жидкости и газа при каждом Ь принадлежат пространствам £2(^) и £2(П2,р2>о) соответственно. Применяя метод ортогонального проектирования к задаче (2) - (7) на подпространства разложений (11) - (14), (8) -(10), получаем задачи Коши в подпространствах £о(П2,р2;о), £о(П1) Со>г(П1), решаемые непосредственно. Потому в дальнейшем рассматриваем эволюционную задачу лишь для потенциалов смещений УФ1 е Он,Я1 и УФ2 е С(П2,р2,о):

АФ1 = 0 (в ад (15)

д2Ф2

= а2АоФ2 + F2(t,x), АоФ2 := р-о а1у(р2,оУФ2) (в ад У^2 := Р2,с12, (16) д Ф1 дФ2 д Ф1 д Ф2

—— = 0 (на 81), —— = 0 (на 82), —— = ——=: С (на Г), (17) дп дп дп дп

У <Ж = 0, У Ф^Г = 0^ Р2,оФ2^2 = 0, У Р2,о^П2 = 0,

г г П2 П2

д2Ф1 д2 д2 — д2'

УФ1(0,х) = УФ?(х) = Р1Ая1 й1о)(х), УФ2(0,х) = УФо(х) = Р2,с4о)(х), (19)

С\ С\

-УФ1 (0,х) = УФ1 (х) = Р1 аЯ1 й(1)(х), дУФ2(0,х) = УФ2(х) = Р2 ,^(х^ (20)

Р1

1д

Г — ™Рг (р2 ,оФ2) + ВаС = Р1^1 — Рг (Р2,о^2) (на Г), Ба := Рг^аРг, (18)

Здесь использованы ортопроекторы: Рг( := ( — |Г| 1 / ^Г, действующий из Ь2(Г)

г

в Ь2,г, Р1,к,я1 : Ь2(П1) ^ Сн>я1 (М1), Р2,о : Ь2(П2,р2,0) ^ О(П2,р2>0). Рассмотрим оператор Ба с областью определения

ЩБа):=[( е И2(Г) П Ь2,г : Ц + хС = 0 (па дГ)^ , (21)

и квадратичной формой

(БаС, С)0 = (С, С)ва = |2 + О* |< ^Г + у х 1С|2 dГ.

г дг

По схеме [2], с. 205, учитывая вид р2,0 и аа, получен следующий факт.

Лемма 1. Если граница дГ является достаточно гладкой, то оператор Ба с областью определения (21) в пространстве Ь2 Г является самосопряженным и ограниченным снизу, т.е. существует 7 е К, такое что ((, ()в^ ^ 7 ||(||0 , V ( е 9(Ба).

1.3. Спектральная задача. В случае собственных колебаний гидросистемы, когда внешние силы отсутствуют и потенциалы смещений зависят от Ь по закону = Ф,,,(х) ехр(шЬ), I = 1, 2, имеем спектральную задачу

ДФ1 = 0 (в П{),

—Д0ф2 = Аа-2Ф2 (вО,2), А := ш2,

дФ1 дФ2 дФ1 дФ2

—— = 0 (на Б1), —— = 0 (на Б2), —— = —— =: ( (на Г), дп дп дп дп

Ба С = АРг(р1Ф1 — р2,оФ2) (на Г),

22)

23)

24)

25)

26)

J(dГ = 0, ! Ф1 dГ = 0, А ! р2>0Ф2 dn2 = 0.

г г П2

Здесь Ф1 (х) и Ф2(х) - неизвестные амплитудные функции. Искомый спектральный А

Определение 2. Будем говорить, что гидросистема статически устойчива в линейном приближении, если оператор Ба положительно определен, т.е.

(Бас, с)о > с ||СШ , с > 0, С е 9(Ба). (27)

□

Рассмотрим случай статической устойчивости и введем энергетическое простран-

Ба

Лемма 2. Энергетическая норма ||(Ц2В := ]'[а |Уг(|2 + аа |2]^Г + £ х 1С|2 эк~

а г аг

бивалентна норме ||(||у := / |УгС|2 ¿Г, ] (¿Г = 0, и эквивалентна стандартной

iv

г г

норме К||1г := /[|Vr(|2 + |Z|2]dr пространства H 1(Г). □

' г

Поскольку Н1 (Г) компактно вложено в £2(Г), из леммы 2 следует, что оператор Ба положительно определенный (Ба ^ 0), имеет дискретный положительный спектр (Баего собственные значения имеют конечную кратность, предельная точка спектра расположена на бесконечности. Система собственных элементов Ба составляет ортогональный базис в £2,г и НВа = Н 1(Г) П £2,г = (бУ2). Более того, обратный оператор Б-1 компактен и положителен в пространстве Ь2 г.

Лемма 3. Если удовлетворяется условие (27), то собственные значения X, соответствующие решениям {Ф1(х), Ф2(х)} являются значениями функционала,

Р1 / |УФ1|2 + / Р2,о|УФ2|2 ¿^2 Ф2) := -----2• (28)

a-2 $ P2,o|$2|2 d^2 + В-1/2Рг(р1Ф1 - P2,0$2)

2 o

Доказательство. Умножим уравнение (22) на р1Фь проинтегрируем по области П1; применим формулу Грина и, используя граничные условия (24), получим

0 = -р1 J Ф1ДФ1 d^1 = p1 J |VФl|2 d^1 - p1 J Ф1С dr. (29)

H1 H1 Г

Умножим уравнение (23) на р2,0Ф2 и, выполняя аналогичные преобразования, имеем Xa-2 J р2,о|Ф212 d^2 = -J Р20Ф2Д0Ф2 d^2 = J Р2^Ф2|2 d^2 + J Р20Ф2 (dr. (30)

H2 H2 H2 Г

Поскольку оператор Ba ^ 0 то существует oneратор В-1 > 0. Действуя им слева на (25), находим ( = XB-1 РГ(р1Ф1 — р2,0Ф2). Умножим это равенство на (р1Ф1 — р2,0Ф2),

Г

J(Р1Ф1 - Р20Ф2Хdr = X ||В-1/2Рг(р1Ф1 - Р2,0Ф2)||2 . (31)

г

Подставляя (31) в сумму тождеств (29) - (30), приходим к соотношению (28). □

В случае статической устойчивости имеет место и динамическая устойчивость, так как в силу леммы 3 собственные значения неотрицательны, а частоты собствен-пых колебании вещественны, что соответствует свойству консервативности системы.

(Нулевое собственное зн&чение соответствует решению $г(х) = сош^ г = 1, 2, т.е. нулевым потенциалам смещений Ш2■)

2. Операторный метод решения спектральной задачи

2.1. Вспомогательные краевые задачи. Введем следующие гильбертовы пространства скалярных функций.

Ь2(0г) и Ь2(02, р2,о) со скалярными произведениями (и,у)Ь2(П1) := / и(х)ь(х) с№ъ (и,ь)Ь2(п2,Р2_о) := / р2,°и(х)ь(х)

Пх ' П2

2

эквивалентной стандартной

2

, эквивалент-

2°. Н 1(П1) с нормой \\и\\1П1 := $ \^и\2 + / исГ

Пх г

норме пространства Соболева Н^П^.

3°. Н1 (0*2, р2,°) с нормой \\и\\21П2рР2 о := / р2,°\Уи\2 ¿П + / Р2,°ис1П2

П2 П2

ной стандартной норме пространства Соболева Нг(П2) в силу вида р2,°.

4°. Оснащение Н+ С Н° С Н-, где Н+ = Нг^2(Г) П Н°, Н- = (Н+)*, Н- является дуальным пространством к Н+ в терминах скалярного произведения (•,

5° Н1 х С Н^П^ - подпространство пространства Н^П^, для элементов кото-

рого удовлетворяется условие J udr = 0, u Е H ^П^.

г

H12,р2 0 С Hр2,0) - подпространство пространства H 1(&2, р2,0), для элементов которого удовлетворяется условие f p2,0udQ2 = 0, u Е H 1(Ol2,p2fl).

П 2

Следуя [3], сформулируем вспомогательные краевые задачи для задачи (22)-(26). Задача 1. Дана функция ((x), x Е Г. Найти слабое решение Ф1(х) Е H11 задачи

дФ-, дФ-, f f

АФАх) = 0 ЫП1), —1 = 0(на S1), —1 = ( (на Г), (dr = 0, Ф1 dr = 0.

dn dn J J

гг

Задача 2. Дана функция ((x), x Е Г. Найти слабое решение Ф22(х) Е H12,р2 0 задачи

дФ22 дФ22 [ f

А0Ф22 = 0(BÜ2), д22 = 0 (наS2), -дПп1 = -Z (п&Г), (dr = 0, p2^22dÜ2 = 0.

г П 2

Задача 3. Дана функция f (x),x Е Q2. Найти слабое решение Ф21(x) Е H12р2 0 задачи

дФ21 дФ21 f f

-А0Ф21 = f (ВП2 =0(на S2),^n1 = 0(™r),J Р2, ofdÜ2 = 0,J P2, оФ2^2 = 0.

2 2

Можно проверить, что классические решения задач 1-3 являются и их слабыми решениями.

Известно (см. [2], с. 106), что задача 1 имеет единственное

слабое решение Ф1 Е Н1Ф1 = Т1£ тогда и только тогда, когда

С Е Н- = (Н+ )* = {( Е Н-1/2(Г) : /С^Г = 0}, причем Т : Н- —► НЦ1 -

г

линейный ограниченный оператор, имеющий ограниченный обратный оператор на множестве значений М (Т1) С Н1 оператора Т1.

При выполнении того же условия однозначно разрешима и задача 2, т.е. Ф22 = Т2С Е Н^2р2 0, причем линейный ограниченный оператор Т2 : Н- —> Н^2р2 0 имеет ограниченный обратный на множестве М(Т2) С Н2 р2 0.

Задача 3 имеет единственное слабое решение Ф21 = А 1/ Е Н2р2 0 ([2], с. 97) тогда и только тогда, когда /(х) Е (Н2р2 0)*. Здесь

А 1 : (НП 2, р2 , 0 У НП 2, р2 , 0 , А : Н12, р2 , 0 У (НП 2, р2 , 0 ) + "

Далее рассмотрим сужение оператора А так, что М(А) = Ь2,п 2, р2 0. То-А

тор, имеющий компактный обратный оператор, т.е. А-1 : Ь2,п 2р2 0 —^ Ь2,п 2р2 0, А-1 е & оо (¿2, п 2,р2,0^ Оператор А : $(А) С ¿2,П2,р2 ,0 —^ ¿2,п2,р2 , 0 имеет дискретный спектр {\к(А)}^=1 С К+ и

^(А) = ^И) ^2/3[1 + 0(1)], к П С К3. (32)

Отсюда следует, что оператор А-1 принадлежит классу компактных операторов &р для р > 3/2. Кроме того, $(А) С Н2,р2 0, $(А1/2) = Н^2,р2 0.

2.2. Переход к операторной задаче в гильбертовом пространстве.

Пусть Ф1(х) — слабое решение задачи 1. Тогда согласно изложенному выше

Ф1|П1 = Т1 С, 71Ф1 = 71Т1С =: СС

Ф2(х) в виде Ф2(х) = Ф21(х) + Ф22(х), где Ф22(х) — слабое решение задачи 2, а Ф21(х) — слабое решение задач и 3 для / = Аа-2Ф2.

Тогда Ф211п 2 = А-1(Аа-2Ф2), Ф22|П2 = Т2С, 72Ф22 = 12Т2С =: -С2С-Обозначая Ф21|п 2 =: п(х), приводим спектральную задачу (22) - (26) к виду

Ап = Аа-2Ф2 = Аа-2(Ф21 + Ф22) = Аа-2 (п + Т2С), п Е $ (А), (33)

БаС = А (Рг(р1С1С + Р20С2С) - Рг(р2,с72П)), С Е $(В). (34)

Введем гильбертово пространство Н(П) := Ь2,п2,р2 0фН0, Ь2,п 2,р2 0 := Ь2(П2, р2;0)в{1}, элементов вида г = (п; С)* с нормой \\z\H(П) := \\п\\ь2 п + 11С \\о . Будем рассматривать элементы п Е $ (А) С Н 2 р2 0 С Ь2, п 2,р2 0, С Е $ (Ба) С Ь2Г. Осуществляя замену ф := аАп, ф := вУ2С, приводим уравнения (33) - (34) к виду

у = ААу, у Е Н(П), (35)

А = ( а-2 А-1 а-1Л-1/2(Л1/2Т2)Б-1/2\

А : = \-а-1Б-1/2Рг(р2,°12А-1/2)А-1/2 Б-1/2СБ-1/2 ) ' (36)

С : = Рг(р1С1 + Р2,°С2)Рг, У : = (ф; фУ. (37)

Таким образом, спектральная задача (22) - (26) эквивалентна задаче (35) - (37) о нахождении собственных чисел Л У

цы А, которая действует в ортогональной сумме гильбертовых пространств.

Н-

му, эквивалентную стандартной: \\£\\2Н_ := р^ \УФ1\2 ¿П1 + / р2"Ф22\2 ¿П2, где Ф1

\Н ■ - ' \"ф \2 - г \"ф \2

Пх П2

и ф22 - слабые решения задач 1 и 2 соответственно.

Лемма 4. Оператор С = Рг(р1С1 + р2,°С2)Рг : Н° —> Н° положительный и компактный. Его расширение на Н- Э Н° является изометрическим оператором, отображающим, Н- на Н+. При эт ом 9 (С-1/2) = Н+, а после расширения 9(С-1/2)= Н°, @(С-1/2) = Н-.

Доказательство. Оно аналогично [2], с. 193 - 194. □

Лемма 5. Операторы А1/2Т2 : Н° —» 12,п2,р20 и — Рг(-2,°ъА-1/2) : р2,п2,р2о0 —^ Н° являются взаимно сопряженными компактными операторами.

Доказательство. Из определения слабого решения задачи 2 имеем

№ Ф22)1,П2Р2оо = (А1/2*,А1/2ф22)ЫП2,Р2о0) = -(Р2,°Ъ*,(V Осуществляя замену А1/Щ = V и учитывая, что Ф22 = Т2(, получим

(А1/2Т2(^)ЫП2 ,Р2 о о)=-^, Р2 012о=-(Рг(,Р2 ,°ЪА-1^)°=(С, РГ (-2, °12А-1^))°

для V( Е Н°, V V Е Ь2(П2, р2), откуда следует, что (А1/2Т2)* = -Рг(р2, °12А-1/2) и ограниченность обоих операторов. Но оператор р2, °12А-1/2 : Ь2,П2,Р2 0 —> р2(Г) компактен. В самом деле, оператор А-1/2 : Ь2,П2,Р2 0 —> Н12, р2 о ограничен, а оператор следа 72 ограниченно действует из Н12рР2 о в Н+ = Н 1/2(Г) П Н° и Н+ компактно

Н° □

Теорема 1. Оператор А, действующий в пространстве Ж(П), является положительным самосопряженным компактным оператором.

Доказательство. В силу неравенства (27) оператор Ба имеет ограниченный обратный оператор Б- ' , действующий в Н°. Поскольку А-1, А-1/\ А1/2ТЪ — РГ(р2,°12А-1/2) и С (см. леммы 4 и 5) являются компактными операторами, то

все элементы операторной матрицы (36) являются компактными операторами. Проверим свойства положительности и самосопряженности оператора А. Для произвольного у = (ф; ф)г Е Н(П) составим квадратичную форму оператора А:

(Ау,у)н(П) = а"2 {Л-1ф,ф)ь2 , Пз ^ , о + a-1(A-1/2A1/2 Т2Б-1/2ф,ф)Ь2, Пз ^ , о

-а-1(Б-1/2РГ(р2,оЪА-1/2)А-1/2ф,ф)о + (Б"1/2СБ"1/2ф,ф)о = а-2(А-1ф, ф^2„^ , + +а-1(Т2Б-1/2ф, ф)Ь2,„2, ^2 , о - а-1(Б"1/2Рг(р2,оъА-1)ф, ф)о + (ОБ"1/2ф, Б"1/2ф)о = = (п, An)L2,„2,Р2,о + (T2(,AV)L2, „2, р2,о - (Рр(Р2,о72п), Z)о + (C(,()о,

(CZ,Z)о = Pl(ClC,C)о + (Р2,оС2(,()о = P1 (Y1 TiZ,Z)о - (р2,о72Т2С,С)о. Учитывая, что р1(^1Т1(,()о = p1 f |УФ1|2 dQ1}

Ql

! .„2 , Р2 ,о _ J ^2>о1 V IJ l2 , „2,Р2, о

2 2

(n,An)l2,„2,р2 о = / Р2,о|УФ21|2 d^2, (T2Z,An)l2,„2,р2 о = / Р2,оУФ22 ^21 d^2,

-(Рг(р2,оъп),()о = / р2,о^Ф21 • УФ22 d^2, -(р2,оЪТ2(, Z)о = / Р2^Ф22|2 d^2,

2 2

получаем

(Ay,y)H(Q ) = P1J |VФl|2 d^1 + J Р2,о|УФ2|2 d^2 ^ 0, (38)

l 2

где Ф2 = Ф21 + Ф22. Следовательно, one ратор A = A * ^ 0 является самосопряженным и неотрицательным. Если (Aу,у)н( q) = 0, из (38) имеем Ф1(ж) = с1 = 0; Ф2(ж) = c2 = 0 следовательно, one ратор A является положительным. □

Таким образом, спектральная задача (35) эквивалентна задаче на собственные

A

Ay = цу, i = Л-1, у е H(Q). (39)

Теорема 2. 1о. Спектральная задача (22) - (26) имеет дискретный спектр [Лк}£=1, состоящий из конечнократных собственных значений Ли, расположенных на правой полуоси R+ с предельной точкой Л =

2о. Собственные значения Лк могут быть найдены как последовательные минимумы функционала (28) или функционала

а2 /р2,о|ДоФ2|2 d^2 + (Z,Z)ва

^2(Ф1;Ф2 ) = P1J]Vф1\2dn;+J^0\Vф22dn2 ' (40)

l 2

Функционалы ^1(Ф1;Ф2) и Е2(Ф1;Ф2) рассматриваются на классе функций Ф1(х) и Ф2(х), для которых удовлетворяются условия

дФ2 дФт дФ2

АФ1 = 0 (в П1), дФ = 0 (ш Б1), дФ = 0 (ш 32), ( := дФ = дФ (иаг), (41) дп дп дп дп

¡(йГ = 0, /Ф1 йГ = 0, ¡Р2,°Ф2 ¿02 = 0.

г г П2

3°. Собственные элементы ук = ((Ф21)к; (кУ, к = 1, 2,... образуют ортогональный базис в гильбертовом, пространстве Ж(П) = Ь2, п2, Р2о о ф Н° и выполняются следующие условия ортогональности:

(АУк,Уз)ж(П) = р^ "Ф1к • "Фи ¿П1 + у -2,°"Ф2к • "Ф2] ¿П2 = 5кз, (42)

Пх П2

(ук,уз)ж(П) = а2 [ -2, °А°Ф2к • А°Ф2э ¿П2 + (^дп г, г) = Лк5к] ¿2 V п г п г ва

(43)

{Б- 1Рг(р1Ф1к — р2 ,°Ф2к ),Рг(р1Фц — р2 ,°Ф2з )) ° + а 2 у -2 ,°Ф2к • Ф23 ¿П = Л- 18кз . (44)

П2

1°

ная задача для компактного положительного оператора А и Л = ц-1. Утверждение 2°

собственных элементов {укобразует ортогональный базис в пространстве Ж(П) = Ь2,П2,Р2 о ф Н°, а система элементов {(пк, (к} = {а(А-1(Ф21)к, Б- 1/2(к)}*) получается из {укдействием на компоненты элементов ук ограниченных операторов). Учитывая замены у = (ф; ф>У Е Ж(П) и (38), для собственных значений задачи (35) имеем выражение

, , а2\\АФ21\2 + \\Б1/2П\2 аЧ Р2,°\А°Ф2\2 йП2 + )ва

(у, у) Ж (П) а \\АФ21\\Ь2 о о Р2 о о + \\Б- ^ _ П2

(Ау, у)Ж(П) -1$ \"Ф1\2 йП1 +/ р2,°\"Ф2\2 йП2 -1$ \"Ф1\2 йП1 +/ р2,°\"Ф2\2 йП2

Пх П2 Пх П2

Используя разложения решений Ф1 и Ф2 = Ф21 + Ф22 по ортогональным базисам

{ФткФтк • Фтз = , к = ]; т = 1, 2, получаем условие (42). Тогда условие

□

Заключение

В работе рассмотрена задача о малых движениях и собственных колебаниях гидродинамической системы, состоящей из идеальной жидкости и баротропного газа, плотность которого зависит от вертикальной координаты. Доказана теорема о структуре спектра и свойствах собственных функций. Полученные результаты можно использовать для обоснования разрешимости начально-краевой задачи о малых колебаниях гидросистемы.

Автор выражает благодарность Н.Д. Копачевскому за постановку задачи и внимание к работе.

список литературы

1. Копачевский Н.Д. Операторные методы в линейной гидродинамике: эволюционные и спектральные задачи / Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуи Кан. - М.: Наука, 1989. - 416 с.

2. Kopachevsky N.d. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Volume 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid / N.d. Kopachevsky, S.G. Krein. - Basel: Birkhauser Verlag, 2001. - 384p.

3. Kopachevsky N.d. Small motions and eigenoscillations of a system "fluid - gas"in a bounded region / N.d. Kopachevsky, M. Padula, b.M. Vronsky // Ученые записки i i iv. - Сер. «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». - 2007. - Т. 20(59), № 1. - С. 3-55.

4. Газиев Э.Л. Задача статики гидросистемы «жидкость - баротропный газ» в условиях, близких к невесомости / Э.Л. Газиев // Труды ИПММ HAH Украины. - 2010. - Т. 20. - С. 39-47.

Статья поступила в редакцию 25.01.2011