CC BY
6УДК: 517.984:517.958 MSC2010: 35Q35, 35D35, 35L90
МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ "ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ—БАРОТРОПНЫЙ ГАЗ"
© Э. Л. Газиев, Н. Д. Копачевский
Крымский инженерно-педагогический университет Воронежский государственный университет Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация
e-mail: [email protected]
Small movements and eigenoscillations of a system "an ideal fluid-
bar.otr.opic gas".
Gaziev E. L., Kopachevsky N. D.
Abstract. The paper is devoted to investigation of the problem on small movements and eigenoscillations of a system that consists of an ideal incompressible fluid and barotropic gas, and is situated in bounded vessel.
At the first part we use an operator approach for an investigation of the problem on small oscillations of the system. By this way the initial-boundary value problem is transformed to Cauchy problem for differential-operator equation of the second order in some Hilbert space. The operator coefficients of this equation are operator of kinetic energy (positive and compact) and operator of potential energy (bounded from below self-adjoint one with discrete spectrum). At the bounded statically stable equilibrium state the potential energy operator is positive definite.
On the base of the properties of these operators we prove the theorems on correct solvability as Cauchy problem for differential-operator equation as initial-boundary value problem. We prove also the theorem on instability of considered system in the case when an minimal eigenvalue of the potential energy operator is negative.
For eigenoscillations problem we prove that the spectrum of this problem is discrete with a limit point at infinity. For computing of the eigenvalues (squared oscillation freequences) we formulate the variational principle on the base of Ritz approach.
At the second part of our paper we consider more detailed the special case of the oscillations problem when the vessel is cylindrical with arbitrary cross section and an equilibrium dividing surface between fluid and gas is horizontal. We receive the characteristic equation of the problem and prove that solutions of the equation are asymptotically divided into two sets. For the first set there are corresponded gravitational-capillary waves in the system, and for the second one — acoustic waves in a gas.
Keywords: ideal fluid, incompressible fluid, barotropic gas, low gravity, equilibrium state, eigenoscillations, eigenvalue, operator approach, Hilbert space, initial-boundary value problem, spectral problem, solvability, strong solution, instability.
1. Часть I. Малые движения и собственные колебания системы "жидкость—газ" в произвольной ограниченной области
1.1. Предисловие. Данная работа является продолжением исследований, представленных в [1]. Здесь рассматривается в общей постановке задача о малых движениях и собственных колебаниях системы "идеальная жидкость-баротропный газ" в произвольной ограниченной области. Предполагается, что эта система находится в условиях, близких к невесомости, и потому следует учитывать влияние, наряду с гравитационными, поверхностных сил. В связи с этим граница раздела "жидкость-газ" является, вообще говоря, криволинейной. Предполагается, что состояние равновесия системы определено, т. е. известна конфигурация границы раздела, области, занимаемой жидкостью и газом, а также законы изменения давления в жидкости и баротропном газе.
В части I статьи (пп. 2-11) исследуется операторными методами (см. [2]) начально-краевая задача о малых движениях системы. При этом при изучении вспомогательных краевых задач для областей с липшицевой границей используются обобщенные формулы Грина (см. [3], [4]). Итогом такого подхода является переход от исходной задачи к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. Операторные коэффициенты этого уравнения имеют физический смысл: это операторы кинетической и потенциальной энергии системы. Изученные свойства этих операторов позволяют получить утверждение о корректной разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения, а затем и аналогичное утверждение для исходной начально-краевой задачи.
В работе рассматриваются также собственные колебания системы (п. 5, 8, 9). Доказаны теоремы о дискретности спектра, о полноте и базисности системы собственных функций спектральной задачи, а также обращение теоремы Лагранжа об устойчивости.
Часть II статьи посвящена рассмотрению спектральной проблемы в случае, когда жидкость и газ заполняют цилиндрический сосуд с произвольным поперечным сечением, причем граница раздела между жидкостью и газом горизонтальная. Это позволяет использовать метод разделения переменных и более детально исследовать
проблему собственных колебаний. Установлено, в частности, что частоты и моды собственных колебаний асимптотически разбиваются на два класса: это поверхностные волны, обусловленные действием в системе гравитационных и поверхностных сил и родственные колебаниям двух несжимаемых жидкостей постоянной плотности, а также акустические волны, отвечающие колебаниям лишь одного газа с неподвижной границей раздела.
Данная работа выполнена за счет средств гранта Российского научного фонда (проект 16-11-10125), выполняемого в Воронежском госуниверситете.
Авторы благодарят З. З. Ситшаеву за внимание и помощь в работе.
1.2. О задаче статики. Будем считать, что идеальная однородная жидкость и ба-ротропный газ заполняют некоторую область П С К3 и находятся под действием слабого однородного гравитационного поля с ускорением д. Тогда в процессе движения жидкости следует учитывать и действие капиллярных (поверхностных) сил, и данная гидросистема будет находиться в условиях, близких к невесомости (см. [6]). Постоянную плотность жидкости обозначим через р1 > 0, а область, занятую ею в состоянии покоя, — через П С П. Обозначим через Б1 ту часть твердой стенки Б = дП, которая примыкает к жидкости, а через Г — границу раздела сред в состоянии покоя. Соответственно через Б2 обозначим часть твердой стенки, примыкающую к газу: Б2 = Б \ Б1.
Введем декартову систему координат Ох1х2х3 таким образом, чтобы ось Ох3 была направлена против действия гравитационного поля: д = —де3 (ек - орт оси Ох к, к = 1, 3). Предполагаем, что газ является баротропным, т.е. зависимость градиента давления Ур2 от плотности газа р2 имеет вид
где а2 — квадрат скорости звука в газе, которую считаем постоянной. Тогда, учитывая условие равновесия в газе, получаем, что равновесная плотность газа р2,0(х), х = (х1,х2,х3), изменяется по закону
Vp2 = a2Vp2,
(1.2.1)
P2,o(x) = Р2,о(0) exp(-gx3/a2), x E П2,
(1.2.2)
а равновесное давление — соответственно по закону
P2,0(x) = c2 + a2p2,o(0) exp (—gx3/a2), c2 = const.
Равновесное давление в жидкости, как известно, изменяется по закону
p°(x) = ci — gpix3, ci = const.
(1.2.3)
1.3. Постановка задачи о малых колебаниях гидросистемы. Будем считать, что задача статики решена (см. [6], [1]), т.е. определена форма равновесной поверхности Г, потому и области ^ и П2, занятые в состоянии покоя жидкостью и газом соответственно.
Переходя к рассмотрению малых движений жидкости и газа относительно равновесного состояния, введем поля перемещений гу&(¿,ж) частиц жидкости и газа соответственно в областях , к = 1, 2, а также поля отклонений давлений рк(¿, х) и отклонение поля плотности в газе р2(£,ж) от их равновесных значений (см. (2.2)-(2.4)). Тогда после линеаризации уравнений движения в жидкости и газе, а также учитывая снос граничных условий с движущейся границы раздела на равновесную поверхность Г (эта процедура для одной жидкости подробно описана, например, в [6]), приходим к следующей начально-краевой задаче:
д2гу i
Pi-"д^Т = + Pi/i, divwi = 0 (в Qi),
P2,o^Jt = - P2ge3 + p2,o/2, P2 + div(p2,oww2) = 0 (в Q),
Wi • n = 0 (на Si), w2 •n = 0 (на S2),
Wi • П = W2 • П =: ( (на Г), J (¿Г = 0,
г д(
Pi - Р2 = L( := -аДг( + aa(x)( (на Г), — + x( = 0 (на дГ), аа(x) := + k|) + g(pi - p2,o(x)) cos(n, 63), x := (kr cos 5 - ks)/sin 5,
dw/
w-(0,x) = w-(x), -7^-(0,x)= w-(x), x G , k = 1, 2.
1.3.1)
1.3.2)
1.3.3)
1.3.4)
1.3.5)
Поясним обозначения в уравнениях и граничных условиях (3.1)-(3.1). Через /-(t,x) (k = 1, 2) обозначены дополнительные малые поля плотности массовых сил, наложенных на гравитационное поле. Далее, через П обозначен единичный вектор внешней нормали (на Г он направлен внутрь Q2), а через V — аналогичный вектор к дГ в плоскости, касательной к Г на контуре дГ. Затем 5 — это угол смачивания (двугранный угол между Г и Si, 0 < 5 < п); kr и ks — кривизны сечений поверхностей Г и S плоскостью, перпендикулярной к дГ; Дг — оператор Лапласа—Бельтра-ми, действующий на поверхности Г; а = const > 0 — коэффициент поверхностного натяжения на границе "жидкость-газ", т. е. на Г; ki и k2 — главные кривизны поверхности Г.
Отметим еще, что функция ( = ((t, x), x G Г описывает малые перемещения движущейся границы раздела "жидкость-газ" относительно равновесной поверхности Г
вдоль нормали П к Г. Заметим также, что последнее условие в (3.4) есть следствие условия сохранения объема жидкости в процессе малых колебаний гидросистемы, а последнее условие в (3.5) — следствие сохранения угла смачивания в этом процессе (см. [6]).
1.4. Применение метода ортогонального проектирования к исследуемой проблеме. Будем исследовать задачу (3.1)-(3.1) методами теории операторов, действующих в гильбертовом пространстве (см., например, [2], [6]). В связи с этим введем необходимые для дальнейшего функциональные гильбертовы пространства. 1°. Пространство векторных полей L2(П1) с квадратом нормы
1Ы1|2(П1) :=У Ni|2
Hi
2°. Пространство L2(П2; р2,°) векторных полей с весом:
11™2|1!2(п2;р2,0) :=/ P2,°(x)|W2|2 H2
3°. Пространство скалярных полей L2(r) с квадратом нормы
IZHL(r) := / 1С|2 dr
г
и его подпространство
L2,r := L2(r) е{1г},
где 1г — единичная функция, заданная на Г, а {1г} — одномерное подпространство констант.
Будем далее считать, что искомые векторные и скалярные поля в задаче (3.1)-(3.1) являются функциями переменной t со значениями в соответствующих введенных гильбертовых пространствах. Заметим также, что в силу (2.1), (2.2) в правой части первого уравнения (3.2)
—Vp2 — Р2дез = —a2Р2,°(x)V(р—1 (x) Р2).
Поэтому поля w2(t,x) и V(p—°(x)p2(t,x)) можно считать элементами пространства L2(П2; р2,°). Соответственно гг 1(t,x) и Vp1(t,x) считаем элементами из L2(П1), а Z(t,x) — элементом из L2,г.
Воспользуемся теперь ортогональным разложением
¿2(^1) = /°(^1) ф С°,г(^1) ф Gh,s(^1), (1.4.1)
о/о(^1) := {* ^ Ь2(П1) : divV1 = 0 (в П1), ■у1 ■ п = 0 (на дП^ | , бо,г(^1) := |«1 е ¿2(^1) : «1 = = 0 (на Г) | ,
бн,э(^1) := {г е ¿2(^1) : г = УФЬ АФ1 = 0 (в дФ = 0 (на &), ^ Ф^Г = о},
г
(см. [2], с. 106), а также аналогичным разложением в пространстве с весом (оно доказывается так же, как (4.2), но только на два подпространства):
¿2(^2; Р2,о) = С(^ Р2,о) Ф Р2,о), (1.4.2)
б(П2; Р2,о) := {и е ¿2(^2; Р2,о) : и = Чф, / Р2,0 = 0},
п
2
^0(^2; Р2,о) := {г е ¿2(^2; Р2,о) : div (р2,ог) = 0 (в П2),?; ■ п = 0 (на д^)}. (1.4.3)
(Здесь div (р2,0г7) и V ■ п, как и в (4.2), понимаются как функционалы в соответствующих пространствах с негативной нормой, см. [2], с. 101-102.)
Из (4.2), (4.3) приходим к выводам, что в задаче (3.1)-(3.1) поле смещений гя 1(^, ж) нужно искать в виде
гУ1(*,ж) = г?1(*,ж) + УФ^ж), г^ж) е /0(^1), УФ^ж) е б^(^), (1.4.4)
а поле давлений Ур1(^,ж) — в виде
Ур1(*,ж) = Ур1(*,ж) + У^(£,ж), Ур1 е б^Уф1 е бо,г(^). (1.4.5)
Соответственно, поле смещений гя2(£,ж) естественно разыскивать в виде
гУ2(*,ж) = г2(^,ж) + УФ2(*,ж), гъ е ^То(П2; Р2,о), УФ2(*,ж) е бР2,о), (1.4.6)
при этом функция У(р-0(ж)р2(£, ж)) уже является элементом из б(П2; р2,0). Наконец, £(£,ж) есть функция переменной £ со значениями в ¿2,г. Введем в рассмотрение ортопроекторы
Р1,о : ¿2(^1) ^ /о(^1),Р1,о,г : ¿2(^1) ^ 60,^1), Лд* : ¿2(^1) ^ (1.4.7)
а также ортопроекторы
Р2,о : ¿2(^2; Р2,о) ^ ^0(^2; Р2,о), р2,с : ¿2(^2; р2,о) ^ б(^2; Р2,о). (1.4.8)
Действуя ортопроекторами (4.9) на обе части первого уравнения (3.1), используя представление (4.6), (4.7) и начальные условия, придем к соотношениям
д2 VI дгТ|
"д^т = Р1,оЛ, г1(0,х) = Р1,ог(ж), (0,ж) = Р^й^х); (1.4.9)
= Р1Р1АГ/1, = 0 (на Г), (1.4.10)
д2 / \
Р1 Уф0 = + р1р1'ад Л, (1.4.11)
УФ1 ■ п = 0 (на 51), УФ1 ■ п = С (на Г), ^ (^Г = 0. (1.4.12)
г
Аналогичная процедура для уравнения (3.2) при действии ортопроекторов (4.1) дает соотношения
д 2 ^^ _^ д^2
Р2,^"д^22 = Р2,0^2,0/2, ^2(0,х) = Р2,0«(х), —(0,х) = Р2,огУ1(ж); (1.4.13)
д2 / \ -Р2,°= —a2p2,°V(p2,° Р2) + P2,°P2,G/2,
'1.4.14)
УФ2 ■ п = 0 (на £2), УФ2 ■ п = ( (на Г), у (^Г = о.
г
Преимуществом метода ортогонального проектирования на подпространства (4.2), (4.3) является то обстоятельство, что задачи (1.4.9), (1.4.10), а также (1.4.13) решаются непосредственно, а нетривиальной оказывается проблема (1.4.11), (1.4.12), (1.4.14) с учетом видоизмененных краевых и начальных условий.
Сформулируем постановку этой оставшейся начально-краевой задачи, опираясь на тот факт, что в (1.4.11) и (1.4.14) все векторные поля потенциальны. Тогда из (1.4.11) приходим к интегралу Коши—Лагранжа в области
д2Ф1 ~ _ ~ -
+ Р1 = Р1/1 + с1(^' У/"1 = /1.
В области П2 аналогично получаем
д 2ф ~ ~
+ а2р2,о-1р2 = /2 + С2(*), V/2 = Р2,о/2. (1.4.15)
С использованием этих соотношений динамическое граничное условие (3.5) (с учетом соотношения = 0 (на Г), см. (1.4.10)) после применения к нему ортопро-ектора Рг : ¿2 (Г) ^ ¿2,г приводится к виду
д2Ф1 д2 ( \ ~ ~
Р1^2" - VРГ(Р2,0Ф2^ + ВаС = Р1 /1 - РГ(Р2,0/2) (на Г) ,
ВаС := Рг^РгС, £(ВСТ) = {С е Н2(Г) П ¿2,г : + ХС = 0 (на
С учетом (4.5) и (4.8) из второго уравнения (3.2) также имеем
Р2 = - ^у(р2,0«2) = - ^у(р2,0^2) - div(p2,оVФ2),
и тогда (1.4.15) принимает вид
-2ф ~
--ф = а2ЛоФ2 + /2^, х), А0Ф2 := р-0 &у(р^Ф2).
Таким образом, в терминах потенциалов смещений нетривиальная начально-краевая задача о малых движениях гидросистемы "идеальная жидкость-баротропный газ" формулируется следующим образом. Необходимо найти функции Ф1 (¿, х) и Ф2 (¿, х) из следующих уравнений, краевых и начальных условий:
АФ1 = 0 (в П1); (1.4.16)
- 2Ф _
-дФ = а2Аоф2 + /2^,х) (в ад (1417)
А0Ф2 := р-1 div(p2)oVФ2), V/2 := Рг/
-Ф1 -Ф2 -Ф1 -Ф2
-7— = 0 (на б!), -7— = 0 (на ад -7— = -7— =: ( (на Г), -п -п -п -п
J С^Г = 0, ^ Ф1^Г = 0, ^ Р2,оФ2 = 0, ^ Р2,о/2 = 0;
Г Г П2 П2
'1.4.18)
-2Ф1 -2
Р1 "-ф - -¿2Рг (Р2,оФ2) + ВС = Р1 /1 - Рг(Р2,о/2) (на Г), V/1 := Р^,*/1; (1.4.19) В ( := Рг^ РгС, ^ ( = ^ РгС = -^АгС + ^ (х)<, -V + хС = 0 (на - Г); (1.4.20)
Ф1(0,х) = Фо(х), -ф(0,х) = Ф1 (х), х е ^1,
-фФ (1.4.21)
Ф2(0,х) = Ф2(х), -ф(0,х) = Ф2(х), х е ^2.
Кроме того, для Ф?(х) и Ф°(х), а также Ф1(х) и Ф2(х) должны выполняться условия согласования в виде
= М = (о, М = М =:(. (на Г). (1.4.22)
-п -п -п -п
1.5. Постановка задачи о собственных колебаниях гидросистемы. Будем рассматривать, наряду с начально-краевой задачей (1.4.16)-(1.4.21), задачу о собственных колебаниях системы "жидкость-газ", т.е. такие решения этой задачи, которые описывают свободные движения (/1 (¿, х) = 0, /2(£,х) = 0) в исходной постановке, см. (3.1)-(3.1). В этом случае решения задачи (1.4.16)-(1.4.21) можно искать
в виде
Фк(г, ж) = ехр(гш£)Фк(ж), к = 1, 2,
где ш — частота колебаний, а Ф& (ж) — амплитудные функции.
Для амплитудных элементов приходим к следующей спектральной проблеме
ДФ1 = 0 (в П^, -Д0Ф2 = Ла-2Ф2 (в П2), Л := ш2, (1.5.1)
5Фт д Ф2 5Фт дФ2
д_! = о (на ^1), дФ = 0 (на $2), дФ = дФ =: С (на Г), (1.5.2) дп дп дп дп
БаС = А(Р1Ф1 - Рг(Р2,оФ2)) (на Г), (1.5.3)
Ус^Г = 0, У Ф1 ^Г = 0, ^р2>0Ф2 ^П2 = 0. (1.5.4)
Г Г П2
Здесь спектральный параметр Л входит как в уравнение в области П2, так и в граничное условие (1.5.3). Кроме того, порядки дифференциальных операторов в уравнениях (1.5.1) и (1.5.3) совпадают, так как Д, Д0 и Дг — эллиптические операторы одного и того же (второго) порядка.
Будем далее предполагать, что область П имеет липшицеву границу дП. Более того, считаем, что поверхности $1, $2 и Г — кусочно-гладкие с ненулевыми внутренними углами, а контур дП (граница между Г и $ = дП) также обладает этими свойствами.
Лемма 1. Пусть функции аа(ж), ж € Г, и х(ж), ж € дГ, определяемые состоянием равновесия системы, непрерывны. Тогда оператор Ба, заданный соотношениями (1.4.20) на функциях из Н2(Г) П Ь2Г, допускает расширение по Фридрихсу до самосопряженного ограниченного снизу оператора с дискретным спектром:
(БстС, С)^2,г ^ с 11С|Ц,г , У С € 9(Бст) С Н 1(Г) П ¿2,Г, С € К. (1.5.5)
Доказательство. Оно такое же, как аналогичное утверждение для одной идеальной жидкости, см. [2, с. 163-164]. □
Определение 1. Будем говорить, что система "жидкость-газ" статически устойчива по линейному приближению, если оператор Ба положительно определен (Бст ^ 0), т.е. в (1.5.5) с > 0. □
Физический смысл оператора Ба состоит в том, что его квадратичная форма (Бст(, ()^2г равна удвоенной потенциальной энергии исследуемой системы, отвечающей действию на нее гравитационных и поверхностных сил. При этом
(Б.С,С)^2,г = |2 + аа(ж)К|2КГ + а^Х(в)К|2Ж, С € 9(Бст). (1.5.6)
Г дГ
Если Ба ^ 0, то правая часть в (1.5.6) задает квадрат нормы ||В в энергетическом
1 /2
пространстве Ивст = &(Б</ ), причем эта норма эквивалентна норме Дирихле:
а |УгС|2^Г <||< ||В„ < С2 / |УгС|2^Г,
Г Г (1.5.7)
УС е Ива = И!(Г) П ¿2,Г =: ИГ.
(Доказательство этого факта такое же, как в [2, с. 164]).
Отметим теперь простое свойство решений задачи (1.5.1)—(1.5.4): собственные значения этой задачи вещественны. Для доказательства этого факта приведем сначала обобщенные формулы Грина для операторов А, Д0 и Дг, рассматриваемые в соответствующих гильбертовых пространствах (см. [4]). Применительно к исследуемой задаче они имеют следующий вид:
(Пъ «1)д1(П1) := J ■ V«! = (П1, -Дм1)ь2(п1} +
+ (71,гП1,д1,ги1)ь2(г) + (751 «1 ^ф), УП,«1 е И 1(^1) с И 1(^1), Д«1 е (Иад))*, 71.ГП1 := П1|г е И 1/2(Г), д1,г«1 := ^ е Я-1/2(Г),
дп
Г
751П1 := тк е И 1/2(ад 5^1 «1 := ^ е #-1/2(ад (1.5.8)
дп "
51
(П2,«2)я1(П2;р2,о) := J Р2,о(х)УП2 ■ ^2 ^2 = (П2, - До^^^^о) +
П2
+ (72,Г^2, Р2,од2;Г«2)ь2(Г) + (752П2,Р2,0д^2«2^2(52), УП2,«2 е Я1^) С И ^2),
72,ГП2 := П2|г е И1/2(Г), д2,Г«2 := ^ е Я-1/2(Г),
дп Г
752П2 := П2|52 е И 1/2(ад д52«2 := ^ е Я-1^); (1.5.9)
дп 52
(п,С)нГ := / Vгn = (п, -ДгС)^2(Г) + ЫЖ)^(дГ), Уп,С е ИГ,
Г
7о П := п|дГ е И 1/2(дГ), до С := ^ е И-1/2(дГ). (1.5.10)
д^
дГ
Здесь косыми скобками обозначены значения функционалов из сопряженного пространства на элементах из основного пространства, а Н 1(П^) — те продпростран-ства из Н 1(П^), у элементов которых производные по нормали, заданные на части границы области, продолжимы нулем в классе Н-1/2(дП) (см. [4]). Для области П1 это будут оснащения (с компактными вложениями)
Н 1(П1) ^ ¿2(П1) ^ (Н 1(П1))*,
НГ/2 := Н1/2(Г) П ¿2,Г ^^ ¿2,Г ^^ (Н/2)* = НГ-1/2,
Н 1/2($1) ^^ ¿2($1) ^^ (Н 1/2($1)Г = я-1/2($).
Для области П2 соответственно имеем
Н 1(П2; Р2,о) ^^ ¿2(П2; Р2,о) ^^ (Н 1(П2; Р2,о))* , / Р2,0«2 ^П2 = 0,
П2
НГ/2 ^^ ¿2,Г ^^ (НГ/2)*, Н 1/2($2) ^^ ¿2($2) ^^ (Н1/2($2))* = Я-1/2($2).
Наконец, для границы Г:
Нг ^^ ¿2,Г ^^ (н1/2)*,
Н 1/2(дГ) ^^ Ь2(дГ) ^^ (Н 1/2(дГ))* = Н-1/2(дГ).
Лемма 2. Если Бст ^ 0, то собственные значения А задачи (1.5.1)—(1.5.4) находятся среди значений вариационного отношения
Р1 У |УФ1|2 ¿П1 + I Р2,о(Ж)|уФ2|2 ^П2
Ф2) :=-1-----. (1.5.11)
а-2 J Р2,о(ж)|Ф2 |2 ^П2 + ||Б-1/2(р1 Ф1 - Рг(Р2,о(ж)Ф2))Ц2,г
-2
В общем случае, когда выполнено лишь условие ограниченности снизу (1.5.5), эти собственные значения можно найти среди значений вариационного отношения
a2 / р2,о(ж)|ДоФ2|2 + >L2,P
Pi / |УФ!|2 + / Р2,о(х)|УФ2|2
F^i; Ф2) := —^-f-. (1.5.12)
Из (1.5.12) следует, что собственные значения А вещественны, а из (1.5.11) когда Ба ^ 0, — что они положительны.
Доказательство. Из условия В ^ 0 получаем, что существует обратный компактный положительный оператор В-1 > 0. Значит, условие (1.5.3) можно переписать в виде
С = ЛВ-1 (Р1Ф1 - Рг(Р2,о(Х)ф2)),
а затем воспользоваться уравнениями и граничными условиями задачи (1.5.1)-(1.5.4) и формулами Грина (1.5.7)-(1.5.10). Тогда Л будет равно правой части (1.5.11). Аналогичные преобразования в случае ограниченности снизу оператора Вст приводят к формуле (1.5.12). □
1.6. Применение операторного подхода. Переход к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения в гильбертовом пространстве.
Вернемся к задаче (1.4.16)-(1.4.20) и воспользуемся для ее исследования операторным подходом, разработанным для линейных задач гидродинамики в [2]. С этой целью рассмотрим ряд вспомогательных краевых задач, связанных с (1.4.16)-(1.4.20) и отвечающих этим задачам операторов. 1°. Рассмотрим краевую задачу
дФт дФт Г Г
ДФ1 = 0 (в ПД = 0 (на ЯЛ —1 = ( (на Г), /(¿Г = 0, /Ф1 ¿Г = 0. (1.6.1) дп дп ] ]
г г
Опираясь на обобщенную формулу Грина (1.5.8), определим слабое решение задачи (1.6.1) как такую функцию из Н^^) С Н 1(П), для которой выполнено тождество
(ф1, Ф1)я1(п1) := / VФl -УФ1 ¿П = (71,гФ1,0ь2,г, VФl е НН1 (П1). (1.6.2)
Здесь
НН1(П1) := {Ф1 е Н1 (П1) : дФ^1! е Н-1/2(Г), | Ф^Г = 0}.
г
Приведем без доказательства следующее утверждение: задача (1.6.1) имеет слабое решение Ф1(х) е Н^П^ С Нр (П1) С НЦП^ тогда и только тогда, когда ( е Н-1/2(Г), т.е. ( продолжима нулем на всю Г в классе Н-1/2(дП1). При этом решение выражается формулой
Ф1(х) = У1С, V е Я(Н-1/2(Г); Н^(П1)),
НН1,г(П1) :^Ф1 е Н1(П1) : ДФ1 = 0 (в .
2°. Рассмотрим теперь аналогичную проблему для области П2:
дФ22
Д0Ф22 = 0 (в П2), Р2,о(х)д-22 = 0 (на Я),
дп
дФ22
Р2,о(ж)"дп- = Р2,о(ж)( (на Г), / (о!Г = 0, / Р2,о(ж)Ф22 ^П2 = 0. (1.6.3)
Г -2
Здесь слабое решение определяется на базе обобщенной формулы Грина (1.5.9) как такая функция из Н-2.р2 о), для которой выполнено тождество
(^2, Ф22)Я1 = Р2,о(Ж)УФ2 ■ УФ22 =
П2,Р2,0 ] -2
= -<72,ГФ2,Р2,оС>Ь2(Г), € 2,Р2,0 , (1.6.4)
^ 2,,2,0 := {Ф2 € Нп 2,Р2,0 : (Р2,0(ж) ^дп2 )Г € Я-1/2(Г), / Р2,о(ж)ф2 ¿П2 =
-2
Соответствующее утверждение о разрешимости задачи (1.6.3) таково: эта задача имеет слабое решение тогда и только тогда, когда ( € Н-1/2(Г), и это решение решение выражается формулой
Ф22 = ^2 € Я(Н-1/2(Г); #¿-2^2,0),
^Т,-2,Р2,0 := {Ф2 € Н^2,Р2,0 : ДФ2 = 0 (в П2)}. 3°. Рассмотрим еще вспомогательную задачу типа задачи Неймана для уравнения Пуассона:
дФ21
- ДоФ21(ж) = /2 (в П2), Р2,0"Ф1 = 0 (на дП2),
дп
У Р2,о(Ж)/2 ^П2 = 0,1 Р2,о(Ж)Ф21 ¿П = 0. (1.6.5)
-2 -2 Слабое решение этой задачи определим как такую функцию Ф21 из
Н12,р2,0 :^Ф21 € Н 1(П2,Р2,о) : I Р2,о(Ж)Ф21 ^ = 0},
-2
для которой имеет место тождество
(ф2, Ф21)я^2 ^ = <Ф2,/2>Ь2,02,Р2,0 , Уф2 € 2,Р2,0. (1.6.6)
Заметим, что (1.6.6) следует из формулы Грина (см. [5])
^>«2^ ,р20 = <П2, -Д0«2>Ь2,02,Р2,0 +
,Р2,0
+ (72П2,Р2,од2М2>Ь2(дП2), V^2,«2 G Я^2
Р2,0 '
- До«2 е (Н2,р2 0)*, 72П2 := П2|дп2 е Н 1/2(дП2), д2«2 := ^ е Н-1/2(д
, дп дП2
Как следует из теории пар гильбертовых пространств, а также слабых решений соответствующих операторных уравнений, задача (1.6.5) равносильна операторному уравнению
АФ21 = /2, Ф21 е 9(А) = Н^о,
где А : Н02,р2,0 ^ (Н02,р2,0Г - оператор гильбертовой пары (Нп2,р2 0; ¿2,02,^,0). Поэтому слабое решение задачи (1.6.5) существует тогда и только тогда, когда выполнено условие /2 е (Н02,р2,0)*, причем Ф21 = А-1/ е ^^.
Отметим еще, что сужение оператора А на область определения 9(А) С НО2,р20 такую, что область значений этого суженного оператора совпадает с пространством
¿2,02,^2,0 :^Ф2 е ¿(^2; р2,о) : У Р2,°(х)Ф2 ¿^2 = 0},
02
является самосопряженным положительно определенным оператором, действующим
в ¿2,02,Р2,0 , причем теперь 9(А1/2) = Н02,р2,0 .
Опираясь на решения вспомогательных краевых задач 1°-3° и возвращаясь к проблеме (1.4.16)-(1.4.22), представим искомую функцию Ф2(£,ж) в виде суммы Ф2 = Ф21 + Ф22, где Ф22 — решение вспомогательной задачи 2°, а Ф21 — задачи 3°. Тогда, используя введенные операторы V!, V2 и А (в задачах 1°-3°), перепишем соотношения (1.4.17) и (1.4.19) в виде
(п + ) + а2Ап = £(*), П := Ф21, (1.6.7)
( - Рг72(р2,о(х)п) + С<) + ВС = /г(*) := Р171 /1 - Рг72(р2,о(х)/2), (1.6.8)
:= С1С + С2С := Р171^1С - Рг72(р2,о(х)У2С), , л
(1.6.9)
71Ф1 := Ф11г, 72Ф22 := Ф221г.
При этом все остальные уравнения из (1.4.16)-(1.4.18) уже учтены введением операторов У1, У2, А и В-, однако к (1.6.7)-(1.6.9) следует еще присоединить видоизмененные начальные условия:
д Ф°
дп
д Ф°
С(0) = С° = = ^ , С(0) = С
г/ V дп
дФ1
дФ
22
дп
г дп ^22 (
п(0) = Ф°1 (х) = Ф°(х) - У2С° =: п°, п'(0) = Ф11(х) = Ф2(х) - 1 =: п1. (1.6.10)
Ф°(х) = °, Ф^2(х) = V* С°, Ф1(х) = 1, Ф22(х) = V* С1,
1
1
Таким образом, начально-краевая задача (1.4.16)-(1.4.21) преобразована в задачу Коши (1.6.7)-(1.6.10) для системы двух дифференциально-операторных уравнений второго порядка: первое — для функций переменной £ со значениями в Ь2,- 2,Р20, а второе — со значениями в ¿2,г.
Приведем эту систему к более симметричному виду, осуществляя в ней замену искомой функции:
П = А-1/2Н; (1.6.11)
действуя еще оператором А1/2 на обе части (1.6.7), приходим к задаче
^(Н + А1/2^с) + а2АН = А1/2У2(£), Н(0) := А1/2п0, Н'(0) := А1/2У, (1.6.12) ( - рг72(р2,о(ж)а-1/2н) + С() + Бст( = /г(£), С(0) := С0, С'(0) := С1. (1.6.13)
Эту задачу, в свою очередь, можно переписать в векторно-матричной форме в виде задачи Коши для одного дифференциально-операторного уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве Н = Ь2,п2,Р20 Ф Ь2,г:
(Аи) + Ви = /(£), и(0) = и0 := (Н(0); С0)т, «'(0) = и1 := (Н! С 1)т, (1.6.14) «(£) = (Н(£); С (£))т, / (£) = (А1/2/2(£); /г(£))т; (1.6.15)
А ^ <С* ^ , В а20А ^ у 9(В) = 9(А) Ф £(БСТ) с Н, (1.6.16)
Я := -Рг72(р2,о(ж)А-1/2), Я* := А1/2^, где символом (■; -)т обозначена операция транспонирования, в данном случае вектор-строки.
1.7. О свойствах операторных коэффициентов эволюционного уравнения.
Выясним свойства операторных коэффициентов задачи (1.6.14)-(1.6.16).
Лемма 3. Операторы Я и Я* из (1.6.16) являются взаимно сопряженными компактными операторами.
Доказательство. Из тождества (1.6.16) при ( € Н-1/2, Ф2 = А-1/2Н € Н^о, Н € ¿2,п2,р2 , 0, имеем
(ф2,^2( )я^2 , Р2 , 0 = (А1/2Ф2,А1/2^2С )Ь2 , 02 , Р2 , 0 = (Н,Я*С )Ь2 , 02 , Р2 , 0 =
= <72^2, (Р2,0(ж)|Г)С>^2,г = -<72(Р2,0(ж))А-1/2Н,С>^2,г =
= -<Рг(72(р2,о(ж)А-1/2Н)),С Кг = <ЯН,С >^2,г. (1.7.1)
1 /2
В этом соотношении оператор Q : ¿2,02,Р20 ^ Нг' ограничен. Действительно, при п е ¿2,02,р2 , 0 имеем А-1/2п е НО2,р2 , 0, Р2,°(х)А"1/2^ е Н 1(^2), 72 : Н 1(П2) ^ Н1/2 (Г) также ограничен (по теореме Гальярдо для области П2 с липшицевой границей дП2). Поскольку при этом Н1/2(Г) компактно вложено в ¿2(Г), то Q : ¿2,02,Р20 ^ ¿2,г — компактный оператор. Тогда из (1.7.1) следует, что
Q* := А1/2У2 : _НГ1/2 ^ ¿2,02 ,Р2 , 0 сопряжен с Q : ¿2,02,Р2 , 0 ^ Н1/2 и ограничен. Поэтому Q* := А1/2У2 : ¿2,г ^ ¿2,02,Р2 0 — компактный оператор. □
Теперь установим свойства оператора С.
Лемма 4. Оператор С := Н- 1/2 ^ Н^2 (см. (1.6.9)) является ограниченным. Его сужение на ¿2,г является компактным положительным оператором, действующим в ¿2,г.
Доказательство. Пусть ( е Н-1/2. Тогда из (1.6.2) при Ф1 = Ф1 = , (дФ1/дп)г = (, имеем
(С1С,С>Ь2,г = (Р171^1С, С>Ь2,г = Р1 (Ф1, Ф1)нГ(01) = Р1 у |VФl |2^.
01
Далее, из (1.6.4) при Ф2 = Ф22 = , (дФ22/дп)г = (, получаем аналогично
9Ф22 дп
дФ22
(С2С,С >^2,г = -(Рг72(Р2,0(х)^>С ),С >^2,г = (72 (Р2,0 (х)Ф22) , 7\ >Ь2,г =
= (Ф22, Ф22)Н1 = Р2,°(Ж)|УФ22|2^П2.
П2,Р2,0 ] 02
Отсюда получаем, что
(СС,С>Ь2,г = ((С1 + С2)С,С>Ь2,г = Р1 / ^Ф^П + 1 Р2,°(х)|УФ22|2^^2. (1.7.2)
01 02
Здесь оператор Р171У1, как следует из свойств У1 е Я(Н-1/2; НЦП^), 71 е Я(Н 1(П1); Н 1/2(Г)) (снова теорема Гальярдо для области П1 с липшицевой границей д) ограничен: С1 е Я(Н- 1/2; Н1/2). Аналогично, как и выше, проверяем, что С2 = -Рг72(Р2,°(х)У2) е Я(Н-1/2; н1/2). Значит, С = 1 + 2 е Я(НН-1/2; н1/2) и для него справедлива формула (1.7.2).
Так как Н^2 компактно вложено в ¿2,г, то С : ¿2, г ^ ¿2,г — компактный оператор. Теперь из (1.7.2) получаем, что С|^2г — положительный оператор. Действительно, ((С|^2 г)£, С)ь2 г =0 лишь при Ф1 = с1 = 0 и Ф2 = с2 = 0 (с учетом нормировок (1.4.18)). □
Следствием лемм 3 и 4 является такое утверждение.
Лемма 5. Операторная матрица А из (1.6.15) является ограниченным положительным оператором, действующим в пространстве Н.
Доказательство. Ограниченность и самосопряженность А очевидна в силу лемм 3 и 4. Убедимся, что А — положительный оператор. Имеем
(A u,u)h
I Q* Q C
+ 2Re(H, Q*(+ (ССС)ь2,г =
= |А1/2пЦ2,П2,р2,о + 2Ке(А1/2п,А1/2У2( + (С<,< Ь2,г =
= ЦФ21ПН1 +2Ие(Ф21, Ф22)Я1 + Р1 / + / Р2,о(х)|УФ22|2^П2 =
Пх П2
= Р^ |УФ1|2^^1 + 1 Р2;о(Х)|УФ2|2^^2 (Ф2 = Ф21 + Ф22). (1.7.3)
пх п2
Здесь при выводе были использованы обозначение (1.6.7), замена (1.6.11), определения операторов У1, V и С, а также формула (1.7.2). Теперь из (1.7.3) следует, что А — неотрицательный оператор, а с учетом нормировок для Ф1 и Ф2 — что этот оператор положителен. □
Установленные в леммах 3-5 свойства операторов позволяют далее исследовать как задачу Коши (1.6.14)-(1.6.16), так и исходную начально-краевую задачу (3.1)-(3.1), а также соответствующие спектральные проблемы.
1.8. Собственные колебания системы "жидкость—газ". Рассмотрим задачу о собственных колебаниях гидросистемы на основе полученной в операторной форме задачи Коши (1.6.14)-(1.6.16). Полагая
f (¿) = 0, и(£) = ехр(гш£)и,
приходим для амплитудных элементов и к спектральной проблеме
Ви = ААи, и = (И С)т е ^(В) с Н, А = ш2. (1.8.1)
Будем считать сначала, что система статически устойчива, т. е. оператор В ^ 0. Тогда и оператор В ^ 0, причем обратный
В-1 = ^(а-2А-1; В-1)
положителен и компактен в Н = ¿2,о2,Р2 0 Ф ¿2,г. Осуществим в (1.8.1) замену
В1/2и = т е 9(В1/2) (1.8.2)
и подействуем слева оператором В-1/2. Возникает спектральная задача
В-1/2АВ-1/2т = рт, р := Л-1, (1.8.3)
равносильная задаче (1.8.1). Действительно, из (1.8.3) следует, что т е 9(В1/2) и потому В1/2т = ЛАВ-1/2т. После замены (1.8.2) приходим к задаче (1.8.1).
В уравнении (1.8.3) оператор В-1/2 АВ-1/2 компактный и положительный. Отсюда по теореме Гильберта—Шмидта приходим к следующему выводу.
Теорема 1. Пусть B ^ 0. Тогда задача (1.8.1) имеет дискретный положительный спектр {Ak, lim Ak = и систему собственных элементов uk = (щ, Zfc)т, образующую ортогональный базис как в энергетическом пространстве HB = D(B1/2) С H, так и по форме (Au,u)H оператора A. При этом выполнены следующие свойства ортонормировки:
(ufc ,ui)b = (B1/2ufc, B1/2 щ)н = Afc ¿ы,
(A ufc ,иг)н = (A 1/2ufc, A 1/2u )H = ¿ы.
Собственные значения Ak могут быть найдены как последовательные минимумы вариационного отношения Р1(Ф1;Ф2) из (1.5.11) либо вариационного отношения Р2(Фь Ф2) из (1.5.12), где
(Z,B z )L2,r = (£У2с,вУ2с )ь2,г = (С,С ь„.
Эти отношения следует рассматривать на классе функций Ф1; Ф2, для которых выполнены граничные условия (1.5.2), условия нормировки (1.5.4), а также первое уравнение (1.5.1).
Числа pk = A"1 могут быть найдены также как последовательные максимумы вариационного отношения
Рэ(ФъФ2 ) = Ff1^ ;Ф2) =
a"^ р2,о(х)|ф2|2 + |В-1/2(р1Ф1 - Рг(Р2,0(^2)) |ц2,г =-П-,-,-, (1.8.4)
Р^ |УФ1|2 + J р2,о(х)|уф2|2
Пх П2
рассматриваемого на всем пространстве Щ(П1) ф Н^2 о. При этом уравнения (1.5.1), граничные условия (1.5.2), (1.5.3) для решений задачи (1.8.1) будут выполнены автоматически, так как они для проблемы (1.8.4) являются естественными с вариационной точки зрения. □
1.9. Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости. Рассмотрим теперь спектральную задачу (1.8.1) в случае, когда оператор из (1.6.15), имеющий дискретный спектр {Ак(В-)}£=!, см. лемму 1, уже не является положительно определенным, т.е. система "жидкость-газ" не является статически устойчивой по линейному приближению. Считая, что константа с в (1.5.5) отрицательна, будем иметь
-гс < с < А^Д,) < ... < Ак(Д,) < 0 = Ак+1(ВСТ) = ... = Ак+д (Д,) < Ак+д+1(Вст) < < ... < Ак(Вст) < ..., к > 1, д > 0, Ак(Вст) ^ +гс (к ^ гс), (1.9.1)
где собственные значения А& (Вст) выписаны с учетом кратностей.
Тогда в силу определения оператора В из (1.6.15), дискретности и положительности спектра оператора А (см. задачу 3° в п. 6) приходим к выводу, что оператор В имеет дискретный спектр с теми же свойствами:
- гс < с < А1(В) < ... < Ак(В) < 0 = Ак+1 (В) = ... = Ак+Я (В) < Ак+д+1(В) <
< ... < Ак(В) < ..., к > 1, д > 0, Ак(В) ^ +гс (к ^гс). (1.9.2)
Переходя к изучению задачи (1.8.1) с учетом свойств (1.9.1), (1.9.2) операторов Д- и В, рассмотрим ортогональное разложение
¿2,г =: Н = Но ф Н1, Но := кег Вст, Но = д, Н1 := Н 0 Но,
а также соответствующие ортопроекторы Ро и Р1. Тогда, подставляя £ е Н в виде £ = С0 + Съ С0 е Н0, е Н1, в уравнение (1.8.1), записанное в векторно-матричной форме (см. (1.6.15), (1.6.16)), и проектируя обе части второго уравнения этой системы на подпространства Н1 и Н0 соответственно, придем к спектральной задаче
а2 АН = А(Н + д*РоСо + О^ДСО
В1С1 = А(Р1^Н + ДСРоСо + Р1СР1С1) , (1.9.3)
0 = А(Ро^Н + Р0СР0С0 + Р0СР1С1)
В1 := (Р1Д )|ях, кег В1 = {0}.
Далее в задаче (1.9.3) следует провести рассуждения, описываемые в общей ситуации в п. 1.5.3 из [2, с. 57-60] и использующие теорию операторов в пространстве Пк с индефинитной метрикой. Не приводя подробных выкладок, сформулируем итоговое утверждение.
Теорема 2. Задача (1.8.1) при условиях (1.9.1), (1.9.2) имеет дискретный спектр (Л^)}^=1, расположенный на вещественной оси и имеющий предельную точку Л = +то. При этом к собственных значений (нумерация с учетом их кратно-стей) отрицательны, д последующих собственных значений нулевые, а остальные положительны, т. е.
-ТО < Л1 < ... < Лк < 0 = Лк+1 = ... = Лк+д <
< Лк+д+1 < ... < Лй < ... , Лй ^ +то (к ^ то). (1.9.4)
Собственные элементы задачи (1.8.1), отвечающие собственным зна-
чениям (1.9.4), образуют ортонормированный базис по форме оператора А. При этом выполнены свойства ортогональности
Из теоремы 2 получаем важный физический вывод, который хорошо известен в механике систем с конечным числом степеней свободы.
Теорема 3. (Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости). Пусть состояние равновесия гидросистемы "жидкость-газ" не является статически устойчивым, и оператор потенциальной энергии В имеет по крайней мере одно отрицательное собственное значение (см. (1.9.1)). Тогда эта система и динамически неустойчива, т. е. задача (1.8.1) будет иметь по крайней мере одно отрицательное собственное значение Л = ш2, и потому существует решение однородной задачи (1.6.14), экспоненциально возрастающее во времени по закону ехр(£^/Щ). □
1.10. О существовании сильного решения задачи Коши. Вернемся к задаче (1.6.14)-(1.6.16) и выясним условия, при которых она однозначно разрешима на любом отрезке времени [0, Т] в общей ситуации, когда оператор потенциальной энергии В- лишь ограничен снизу и для его собственных значений выполнены свойства (1.9.1).
Итак, имеем задачу
(А, «)н = , (Ви, «)Н = Лй
□
— (Аи) + Ви = /(г), и(0) = и°, и'(0) = и1,
«(г) = (п(г); С(г)т, /(г) := (А1/2/2(г); /г(г))т, = (п°; с°)т, и1 = (п1; С 1)т,
(1.10.1)
(1.10.2)
где и(£) — функция переменной £ со значениями в пространстве Н = Ь2)п2)Р2 0 фЬ2,г, а операторы А и В определены в (1.6.14), (1.6.16).
Определение 2. Назовем сильным решением задачи (1.10.1), (1.10.2) на отрезке [0,Т] функцию и(£) со значениями в 9(А-1/2) с Н, для которой выполнены следующие условия:
1°. и(£) е 9(А-1/2В) при любом £ е [0,Т] и А-1/2Ви(£) е С([0,Т]; Н); 2°. и'(£) е 9(|В|1/2) и |В|1/2^и/^£ е С([0, Т]; Н); 3°. и(£) е С2([0,Т]; 9(А-1/2));
4°. для любого £ е [0,Т] выполнено уравнение (1.10.1), где все слагаемые являются непрерывными функциями £ со значениями в 9(А-1/2);
5°. выполнены начальные условия (1.10.1). □
Замечание 1. Если считать, что оператор А действует в шкале пространств = 9(А-а), а е К, то для сильного решения задачи (1.10.1), (1.10.2)
(Аи) = А1/2-£2(А 1/2и) = А-и е С([0,Т]; 9(А-1/2)). (1.10.3)
□
Докажем существование сильного решения задачи (1.10.1), (1.10.2) с использованием теории сжимающих полугрупп операторов. С этой целью осуществим в (1.10.1) замену искомой функции по формуле
и(£) = е64 -(£), Ь > 0.
Тогда задача (1.10.1) с учетом (1.10.3) преобразуется к виду
А — + 2ЬА— + Вь- = е-64f(£), Вь := В + Ь2А, 9(Вь) = 9(В),
-(0) = -0 := и0, -(0) = -1 := и1 - Ьи0. Осуществим еще здесь формальную замену
А 1/2-(£) =:
и подействуем оператором А-1/2 слева на обе части полученного уравнения (для сильного решения это можно сделать). В итоге возникает следующая задача Коши для полного дифференциального уравнения второго порядка в пространстве Н:
+ 2Ь-^ + а-1/2Вь А-1/2^ = е-64А-1/2f (£), (1.10.4)
dt2 dt
w(0) = w0 := A 1/2v0 = A 1/2u0, w'(0) = w1 := A 1/2^ = A 1/2(U - bu0). (1.10.5)
Подберем теперь параметр Ь > 0 таким образом, чтобы оператор Вь = В + Ь2А был положительно определенным. С этой целью введем оператор Вь = А-1/2ВьА-1/2 = А-1/2ВА-1/2 + Ь21 и заметим, что задача на собственные значения для оператора А-1/2 В А-1/2 равносильна спектральной задаче (1.8.1). Тогда по теореме 2 этот оператор имеет дискретный спектр (1.9.4), в котором минимальное собственное значение А1 := А1(А-1/2ВА-1/2), возможно, отрицательно. Поэтому можно в качестве Ь > 0 взять такое число, чтобы
А1 + Ь2 =: б2 > 0. (1.10.6)
Тогда минимальное собственное значение оператора Вь будет положительным, и потому он будет положительно определенным. В этом случае и оператор Вь будет положительно определенным, так как, во-первых, при условии (1.10.6) этот оператор будет положительным, а во-вторых, поскольку он имеет дискретный спектр (В имеет дискретный спектр, а Ь2А — ограничен), то Вь ^ 0.
Итак, далее считаем, что выполнено условие (1.10.6). Тогда в (1.10.4) можно ввести в рассмотрение еще одну искомую функцию соотношением
- гВь1/2А-1/2w = *(0) = 0, (1.10.7)
и после дифференцирования по £ (для сильного решения это законно) приходим к связям
-2|+*в;/2А-1/2 ^ = 0,
-£2 6 (1.10.8)
*'(0) = -гВь1/2А-1/2w(0) = -гВь1/2-(0) = -гВь1/2и(0).
Теперь задачу (1.10.4), (1.10.5), (1.10.7), (1.10.8) можно переписать в виде задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в ортогональной сумме пространств Н2 = Н ф Н:
-и + ^ = /(*),« = (Й1 ,«2)т:= (^; )Т, /(£) = (е-64А-1/2f (£);0)т, (1.10.9)
)т = (А 1/2(и1 - Ьи0), -гВ1/2и^т
ЭД = := (А1/2-1, -гВь1/2-°)т = (А 1/2(и1 - Ьи0), -гВь1/2и°)7
2Ь1 гА-1/2Вь1/2\ чгВь1/2 А-1/2 0 у ,
9 (<§) = 9 (Вь1/2А-1/2) (А -1/2Вь1/2)= ^ (А 1/2Вь-1/2) ф^ (Вь-1/2 А1/2). (1.10.10)
Лемма 6. Оператор В с областью определения (1.10.10) является максимальным аккретивным оператором, действующим в гильбертовом пространстве Н2 :
Яе (Ви,м)Н2 > 0, Ум е 9(В). (1.10.11)
Доказательство. Свойство (1.10.11) проверяется непосредственно, а свойство максимальной аккретивности — из того факта, что область значений М(В) = Н2, так как обратный оператор
£-1 = ( 0 -¿А 1/2В-1/2
В = у-¿В-1/2А1/2 26Bг1/2ABг1/2/
задан на всем пространстве Н2 и является компактным. □
В силу леммы 6 оператор - В является максимальным диссипативным оператором и потому генератором сжимающей С°-полугруппы. Поэтому по известной теореме Р. С. Филлипса задача (1.10.9)-(1.10.10) имеет сильное решение и(£) на отрезке [0, Т], если выполнены условия
ад = е 9(В), /(г) е С 1([0,Т]; Н2).
Опираясь на установленные факты, приведем без доказательства (оно проводится непосредственно рассудениями в обратном порядке к приведенным построениям) итоговый результат.
Теорема 4. Пусть выполнены условия
м° е 9(А-1/2В), м1 е 9(|В|1/2), /(г) е С1([0,Т];9(А-1/2)). (1.10.12)
Тогда задача Коши (1.10.1)-(1.10.2) имеет сильное решение в смысле определения 2.
□
1.11. Теорема о разрешимости исходной начально-краевой задачи. С помощью теоремы 4 докажем теперь, что исходная начально-краевая задача (1.4.16)-(1.4.22) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,Т].
Предварительно опишем свойства элементов из 9(А-1/2) (см. (1.10.12)).
Лемма 7. Операторная матрица А из (1.6.15), (1.6.16) допускает факторизацию вида
А (0 с0/2)(ГЖ0 Д) С-1/^О-С-1/2,
где V и V* — взаимно сопряженные ограниченные операторы. При этом операторная матрица
АуЛ1 ^
является ограниченным положительно определенным оператором, действующим в пространстве Н = Ь2)п2)Р2 0 ф ¿2,г.
Доказательство. Свойство ограниченности оператора
V* = ф*С-1/2^ = А1^С-1/2 : ¿2,г ^ ¿2,02,^2,0 следует из того, что С-1/2 Е ^(¿2,г; Яг 1/2) (следствие из леммы 4 и теории шкал гильбертовых пространств), V2 Е ^(Яг-1/2; ЯО2,,2,0), ЯО2,^ = 9(А1/2), А1/2 Е ^(ЯО2,^; ¿2,02,^0). Отсюда получаем и свойство ограниченности оператора V = -С-1/2Рг(72(р2,°(ж)А-1/2)) из ¿2,02,р2,0 в ¿2,г.
Докажем теперь, что оператор Ау ^ 0. Пусть у = (И ()т — произвольный элемент из Н. Тогда
(Ау у,у)Н = М^,^ + 2^ *С,^)Ь2,02„2,0 + НСН^з.г.
Возьмем здесь г\ = А1/2п, п Е 9(А1/2), ( = С 1/2(, ( Е -Яг и воспользуемся тождеством (1.7.3). Имеем
(Ау у,у)Н = |А1/2п||2,о2„2,0 + 2Ке(А1/2 V2C, Л1^,^ +
+ Н^СНЯ^ + НЯ1(О) > (1 - +
+ (1-г-1)^1^Н^,р2,0 + р^сНН№), > 0. (1.11.1)
Заметим теперь, что для слабых решений задач 1° и 2° из п. 6 операторы V и имеют ограниченные обратные:
V-1 е ^(<£(Т1) п яг(П1); Я-1/2), V2-1 е ^(^(Т2) п яо2,^2,0; Я-1/2).
Поэтому справедливо неравенство
Н^К,Р20 = НV2V1-1V1CНя^< НV2V1-1Н ■ Н^^СНнг(П1)=: с-1!!^Ня1 (П1).
Положим в (1.11.1)
0 < е = 1/\/ 1 + р1с2 < 1, с° = 1 - е. Тогда получим неравенство
(АУу,у)Н > с°{нНн!2,о2„2,0 + Н^гСНЯ^2+ Р^СНЯГ(01)
12
2
2 +
IL2,n2,p2,Q
2
L2,r
Со I
2
Ih .
= тит.~ „ + нс 'ч нь,. <■ = со
Лемма доказана.
В качестве следствия получаем такой результат. Лемма 8. Областью определения оператора А-1/2 является множество
9(А-1/2) = {и = (п; С)т : п е ¿2;п2)р2,0,С е 9(С-1/2) = нУ2 с ¿2 Л. (1.11.2 Доказательство. Из леммы 7 следует, что
□
A
-1
I 0
0 C-1/2
I V* V I
1
I0
0 C-1/2
где средний сомножитель ограничен и положительно определен в Н. Поэтому (и, А-1и)н = IIА-1/2иЦН = ИА-1/2у||Н,
u
(т Z)т G D(A-1/2) С H, y = (?7; C-1/2Z)т G D(A-1/2) С H.
Так как Ау 1/2 и Ау/2 — ограниченные операторы в Н, то Ц Ау 1/2уЦ^ конечно тогда и только тогда, когда ту е ¿2,п2,Р20, С-1/2С е ¿2,г, откуда и следует (1.11.2). □
С целью формулировки последующих результатов введем следующие подпространства пространств Н(П1) и НА2,р20:
W := {Ф1 G Я1(^1) : ДФ1 = 0 (в
дФ1
5 Ф1
Si
Z G H-1/2, / Ф^Г = Zdr = ^ = R(V1),
Hh,S2 (^2; P2,o) := {Ф2 G HQ2,^2 , 0 : Д0Ф2 = 0 (в ^), P2,o
дФ2
д Ф,
S2
P2,0"
dn
= P2,oZ G H-1/2,J р2,о(х)ф2^^2 = J Zdr = 0 ¡> = R(V2).
П2 г
Определение 3. Назовем сильным решением {Ф1 (¿, ж); Ф2(£, ж)} исходной задачи (1.4.16)-(1.4.22) на отрезке [0,Т] такие функции Ф1 (¿, ж) и Ф2(£, ж), для которых выполнены следующие условия:
10. Ф2(¿, ж) = Ф21(*,ж) + Ф22(*,ж), причем Ф2(¿, ж) е С2([0, Т]; Н2 ^ 0), ДоФ21(*,ж) е С ([0, Т ]; НА- 0), Ф22(*,ж) е С2([0,Т]; Н> Р2,о 2);,
20. Ф^,ж) G C2([0, T]; Hh,Si (П1)) и Z :
д Ф1 д Ф2 дФ22
dn г dn г dn
G C([0, T]; D(C-1/2BCT)),
0
I'
0
1'
I'
т.е. В( Е С([0,Т]; ЯГ/2);
3°. для любого £ Е [0,Т] выполняется уравнение (1.4.17), где все слагаемые являются непрерывными по £ функциями со значениями в Н02 0;
4°. Ф1(£,х)|г Е С2([0,Т]; ЯГ/2), Ф2(*,ж)|г Е С2([0,Т]; ЯГ/2) и для любого £ Е [0,Т] выполнено граничное условие (1.4.19), где все слагаемые являются непрерывными по £ функциями со значениями в ЯГ/2;
5°. выполнены начальные условия (1.4.21)-(1.4.22). □
Опираясь на это определение и теорему 4, сформулируем итоговую теорему о разрешимости исходной начально-краевой задачи (1.4.16)-(1.4.22).
Теорема 5. Пусть в задаче (1.4.21)—(1.4.22) выполнены условия гладкости началь-
с о е^
ных функций и правых частей:
Ф1(х) Е Я^ («1), Ф°(х) = Ф°1(х) + Ф22(х), Ф^2(х) Е Я^(«2,р2,о), (1.11.3)
дф1
Д°Ф21(х) Е Я02,Р2,0 ,
дп
д Ф°
дп
д Ф22
дп
=: С° Е 9(В) П ЯГ/2,
Ф1(х) Е Я1,^1 («1), Ф2(х) = Ф21 (х) + Ф^я), ф22(х) Е Я^(«2,р2,о)
Ф21(х) Е 9(А) С НО2,р2,0 ,
д Ф1
дп
д Ф2
дп
д Ф22
дп
= : (1 Е 9(|Д,|1/2),
Л(£,Х) Е С1 ([0,Т]; Я^(«1)), /2(£,Х) Е С1([0,Т]; Я02,^0).
.11.4) .11.5)
.11.6) .11.7)
Тогда эта задача имеет на отрезке [0,Т] единственное сильное решение {Ф1(£, х); Ф2(£, х)} в смысле определения 3.
Доказательство. 1) Проверим сначала, что при условиях (1.11.3)—(1.11.7) выполнены условия (1.10.12) разрешимости задачи Коши (1.10.1), (1.10.2). Действительно, как следует из формул (1.6.11), (1.6.14)-(1.6.16), а также (1.11.3), (1.11.4),
и
Ви°
2А3/2Ф
21
в сс
Е ¿2,02 ,Р2,0 ф ЯГ/2,
/ А1/2П°
с0 г V <0
и потому в силу леммы 8 Ви° Е 9(А-1/2). Далее, из (1.11.5), (1.11.6) имеем
Н1 = А1/2п1 = А1/2Ф11 е 9(А1/2) = НО2,,2,,
С1 е 9(В|1/2) и1 = (Н1; С 1)т е 9(|В|1/2). Наконец, из (1.11.7), (1.6.8) получаем
f (£) = (А1/272(£); /Г(£))т = (А1/272(£); р^Л - Р^Р^ШГ Е С 1([0,Т]; 9(А-1/2)), где снова использована лемма 8, а также теорема вложения Гальярдо.
г
г
г
г
г
2) Так как при выполнении условий (1.10.12) по теореме 4 задача (1.10.1), (1.10.2) имеет единственное сильное решение и(£) на отрезке [0,Т] (в смысле определения 2), то при любом £ е [0,Т] справедливы соотношения (1.6.12), (1.6.13), где в уравнениях все слагаемые являются непрерывными функциями £ со значениями в ¿2,п2,Р2 0 и Н1/2 соответственно. Действительно, из свойства 30 определения 2 следует, что ^2и/^2 е С([0,Т]; 9(А-1/2)) и по лемме 8 получаем, что е Р2,п2)Р20, ^2(С()М2 е С([0, Т]; 9(С-1/2)), 9(С-1/2) = Н/2. Поэтому аналогичными свойствами обладают и другие слагаемые в (1.6.12), (1.6.13).
3) Из доказанных свойств решений задачи (1.6.12), (1.6.13) после замены (1.6.11) получаем, что справедливы уравнения (1.6.7), (1.6.8), где в первом уравнении все
слагаемые непрерывны по £ со значениями в 9(А1/2) = Н^2 р2 0, а во втором — по-
1/2 2 2,0
прежнему со значениями в Н .
4) Из (1.6.7), (1.6.8) с учетом обратных замен, связанных с переходом от исходной задачи (1.4.16)-(1.4.22) к задаче (1.6.7), (1.6.8), получаем, что выполнены уравнения, начальные и краевые условия задачи (1.4.16)-(1.4.22), причем {Ф1(£, ж); Ф2(£, ж)} является сильным решением этой задачи в смысле определения 3. В частности, свойство Ф2(£,ж) е С2([0,Т]; Н^2,р20) следует из того, что Ф2 = п + Т/^С, и из уравнения (1.6.7). Соответственно, Ф1(£,ж) е С2([0, Т]; Н^М), так как ^(р^ - Рг(р2,о(ж)Ф2))|гМ2 е С([0,Т]; Н^/2), а также ^2(-Рг(Р2,о (ж)Ф2))|гМ2 е С([0, Т]; Н1/2). □
Таким образом, теорема 5 дает достаточные условия согласования гладкости начальных данных, такие, чтобы существовало сильное решение задачи (1.4.16)-(1.4.22) при его естественном определении на произвольном временном интервале в произвольной составной области с липшицевыми границами.
2. Часть II. Колебания системы "жидкость-гАз" в цилиндрической области
2.1. Постановка спектральной задачи. Применение метода разделения переменных. Будем теперь считать, что цилиндрический контейнер П С R3 с произвольным поперечным сечением Г заполнен идеальной несжимаемой жидкостью плотности р1 и баротропным газом. Жидкость занимает область = Г х (—h1, 0), а газ — область П2 = Г х (0, h2). Считаем, что декартова система координат Oxyz выбрана таким образом, что граница раздела Г лежит в плоскости Oxy, а образующая цилиндра направлена вдоль оси Oz. Считаем также, что вдоль оси Oz сверху вниз действует гравитационное поле с ускорением g > 0, а газ является баротропным и в
состоянии покоя его плотность определяется по формуле
P2,0 = P2,o(z) = P2,o(0) exp(-gz/a2). (2.1.1)
При этом равновесное давление
P = P0(z) = а2р2,0(0) exp(-gz/a2) + const.
Рассмотрим малые колебания гидросистемы "жидкость-газ", близкие к состоянию покоя. Тогда для данной конфигурации системы в цилиндрическом сосуде для искомых амплитудных функций Ф1(х,у, z) и Ф2(ж,у^) потенциалов смещений (см. п. 5, уравнения (1.5.1)—(1.5.4)) возникает следующая спектральная задача:
ДФ1 = 0 (в ),
-Д0Ф2 = Aa 2Ф2 (в П2)
д Ф1
дп
дф2 = дп
= 0 (на S1), 0 (на S2), A :=
ш
дФ1 дФ2
=: Z (наГ, т.е. при z = 0),
дz дz [ <^Г = 0, [ Ф^Г = 0, [ Ф2^Г = 0,
(2.1.2)
- аДгZ + gДрC = А(р1Ф1 - Р2,0(0)Ф2) (на Г),
дпг
0 (на дГ),
(2.1.3)
Др := р1 - P2,0(0), Дг :=
д2 д2
+
дх2 ду2
д2
АоФ2 := РЙ(*0 ¿1у(р2,о(^)УФ2). (2.1.4)
Здесь: 51 := {дГ х (—,0)} и {(ж,у,г) : (ж,у) е Г, г = — — твердая стенка, примыкающая к жидкости, 52 := {дГ х (0,Л,2)} и {(ж, у, г) : (ж, у) е Г, г = Л,2} — твердая стенка, примыкающая к газу, п — внешняя нормаль к цилиндру П, а > 0 — коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела "жидкость-газ", т.е. при г = 0, Пг — внешняя нормаль к границе дГ сечения Г. Будем далее считать дГ гладкой кривой класса С2.
Введем, как и в п. 5, пространство Ь2;г и оператор , который здесь действует по закону
( := —аДгС + #ДрС, С е 9(Д,) := {С е ¿2,г П Н2(Г) : д^ = 0 (на дГ)}. (2.1.5)
Так как дГ — кривая класса С2, то с использованием формулы Грина для оператора Дг, получаем, что и
(Д^О^г = /(^гС|2 + £Др|С|2) ¿г=:(С,С)вст, VC е ) С ¿2,г.
г
Отсюда следует, что ^ 0 и существует положительный и притом компактный обратный оператор В-1, действующий в Ь2;г, а потому граничное условие (2.1.3) можно переписать в виде
с = АВ-1(Р1Ф1 - Р2,о(0)Ф2) (на Г). (2.1.6)
Опираясь на (2.1.6) и используя формулы Грина для операторов Дг и Д0, можно установить, как и в теореме 1, что собственные значения А задачи (2.1.2)-(2.1.4) являются последовательными минимумами вариационного отношения
F (ФьФ2 )= (pi / |УФ1|2 dQ + i р2,с(г)|УФ2|2 d^) /
>"2у Р2,о(^)|Ф2|2 ^2 + (Д-1(Р1Ф1 - Р2,о(0)Ф2), (Р1Ф1 - Р2,о(0)Ф2)Ь2
П2
Заметим еще, что задача (2.1.2)-(2.1.4) не имеет нетривиальных решений вида Ф1(ж,у,г) = 0, Ф2(х,у,г) = Ф2(г), отвечающих случаю, когда жидкость и граница раздела системы "жидкость-газ" неподвижны, а в газе имеются лишь вертикальные волны сжатия-растяжения.
Цилиндричность области П, заполненной жидкостью и газом, позволяет провести разделение переменных в задаче (2.1.2)-(2.1.4), если искать решения в виде
Ф1(х,у,г) = ^(г)м(х,у), Ф2(х,у,г) = ^(г)м(х,у), С = П«(х,у). (2.1.7)
Тогда вместо задачи (2.1.2)-(2.1.4) возникает спектральная задача
ди Г
- Дгм = рм (на Г), — = 0 (на дГ), /м^Г = 0, (2.1.8)
дпг ]
г
а также спектральная проблема, которую далее будем называть основной: 2
^ - = 0 (-&1 <г< 0), ^ = 0 (^ = -Ы, (2.1.9)
аг2 аг
- Р-0(г)0г(Р2'о(г)0") + № = Аа"2^2 (0 < г < = 0 (г = М, (2.1.10)
ООг1 = ^ =: П (г = 0), (^ + уДр)п = А(р^(0) - Р2,о(0Ы0)). (2.1.11)
Как известно, спектральная задача Неймана (2.1.8) имеет дискретный спектр {рк }^=1, состоящий из положительных конечнократных собственных значений р^ с предельной точкой на Отвечающая этому спектру система собственных функций {мк(ж,у)}^=1 задачи образует ортогональный базис в пространстве Ь2>г, а также в энергетическом пространстве Нр = Н1 (Г) П Ь2> г с квадратом нормы
1М1я1 := у IVгм|2^Г, J м^Г = 0.
г г
Далее будем считать, что выполнены следующие свойства ортонормировки: («к, «г)ь2,г = («к, «г )нг = Рк^г, к, I е N.
Таким образом, для определения функций {г^(г), г2&(г)} возникает счетное множество спектральных задач (2.1.9)-(2.1.11), отвечающих значениям р = р^, к е N. Отметим еще, что собственные функции (ж, у) задачи (2.1.8) являются также собственными функциями оператора из (2.1.5), отвечающими собственным значениям
Ак (£ст ) = арк + #Др, к = 1, 2,....
Заметим, наконец, что собственные значения А задачи (2.1.9)—(2.1.11) при р = р*. являются последовательными минимумами вариационного отношения
о /12
^(гь г2)= (р^ (|г!(г)|2 + р;кМг)|2)^ + ^ р^ХК(г)|2 + р;кМг)|2)^)/ -/1 о
/2
,-2 / „ / М„. 7 , л-1/п м„ „. _
р2,о(г)|г2(г)+ А-1 (Вст)|рт(0) — р2,о(0)г2(0). о
Этот факт для задачи (2.1.9)—(2.1.11) доказывается так же, как в теореме 1 соответствующее утверждение для задачи (1.8.1) (см. (1.8.4)).
2.2. Вспомогательные спектральные задачи. Прежде чем изучать задачи (2.1.9)—(2.1.11) при р = р^, рассмотрим две вспомогательные спектральные задачи, имеющие непосредственное отношение к (2.1.9)—(2.1.11) с физической точки зрения. Это — задача о собственных колебаниях двух идеальных несжимаемых жидкостей, расположенных в областях П1 и П2 соответственно и имеющих постоянные плотности р1 и р2,о(0), а также задача об акустических колебаниях баротропного газа в области П2.
Формулировка первой задачи формально получается из (2.1.2)-(2.1.4) при
2
а2 —У гс и имеет вид
дФт дФ2
ДФ1 = 0 (в П1), —1 = 0 (на ^1), ДФ2 = 0 (в П-), = 0 (на £-), (2.2.1)
дп дп
дФт дФ2 Г Г Г
= -г^ =: С (на Г, т. е. при г = 0), / Ф1 -Г = Ф2 -Г = С -Г = 0,
ггг С = А(Р1Ф1 - Р2,о(0)Ф2) (на Г). (2.2.2)
Формулировка второй задачи получается из (2.1.2)-(2.1.4) при ( = 0:
дФ2 дФ2 Г
- ДоФ2 = Аа-2Ф- (в П-), = 0 (на £-), = 0 (на Г), Ф2 -Г = 0. (2.2.3)
дп дг ]
г
Каждая из задач допускает разделение переменных вида (2.1.7) и приводит снова к задаче (2.1.8), а также следующим одномерным проблемам.
Первая задача: 2
- = 0 (-Д < г < 0), = 0 (г = -М, (2.2.4)
а2^22 „ , ч а^22 _ , ,,
"а"^ - р^-- = 0 (0 < г < Д-), = 0 (г = Д-),
а^22
dz dz Вторая задача:
: n (z = 0), Afc(B)n = A(pivi(0) - P2;o(0)v22(0)). (2.2.5)
— 1/ \ d / / ч d^A , , Л_2 / т\
- P2,o(z)dz(4P2,o(z^"d^J = vv2i(z), v := Aa - p, (0 < z < hU,
(2.2.6)
^ = 0 (" = 0), ^ = 0 (" = Л-). (2.2.7)
а" а"
Решения задач (2.2.4)-(2.2.5) и (2.2.6)-(2.2.7) находятся в явной форме с учетом формулы (2.1.1) для функции р2,0("). Для задачи (2.2.4)-(2.2.5) имеем
I \ -1 сЬК(" + Д1)] , ^ ^ п
^ = (Г) = а- Пк вЬ^М , - " - 0,
( \ -1 сЬК(" - Д2)] п ^ ^ 1/2
V— = V—к(") = -а- Пк-Г7—г^—, 0 - " - ^2,, ак := рк7 ,
эЦак Дг)
А =: Ак1) = акАк(Д,)(р1с1Ь(акМ + р-,о(0) сШ(акД-))-1, к =1, 2,... . (2.2.8) Этим решениям отвечают пограничные волны, экспоненциально затухающие при отходе от границы Г (т. е. при " = 0) вдоль нормали к этой границе. Для задачи (2.2.6)-(2.2.7) справедливо следующее утверждение.
Лемма 9. Эта задача имеет дискретный спектр {^р}^=о,
0 = V) < < ... < < ..., ^р ^ +то (р ^ то)
и систему собственных функций {г21р(г)}^=о,
/2
г21о(г) = 1, У р2,о(г)г21р(г)^ = 0, р =1, 2,... ,
о
г21р(г) = ехр(дг/(2а2))(еов(прг/^2) — дЛ,2/(2пра2) в1п(прг/^2)),
полную и ортогональную в гильбертовом пространстве ¿2([0,Л,2]; р2,о(г)) со скалярным произведением
/2
(г,^)Ь2([о,/2];Р2,0(^)} :=у р2,о(г М^М^^
о
а также в энергетическом пространстве Н 1([0,^2]; р2,о(г)) с квадратом нормы
/2 /-2
1М1я 1([о,/2];Р2,0(^)) р2,о(г)|г/(г)|2^ + У р2,о(г)г(г^
оо
эквивалентной стандартной норме пространства Н 1([0,^2]).
□
Лемма 10. Вторая вспомогательная задача (2.2.3) имеет дискретный спектр
2 2
А^Р := а2(рк + ^) = + + , к = 1, 2,..., р = 0,1, 2,..., (2.2.9)
и систему собственных функций
Ф2кр(ж,у,г) := г21Р(г К (ж, у), к = 1, 2,..., р = 0,1, 2,..., (2.2.10)
где (ж, у) — собственные функции задачи (2.1.8).
При этом функции (2.2.10) образуют ортогональный базис как в пространстве Ь2(П2; р2,о(г)) со скалярным произведением
(ф Ф)Ь2(П2;Р2,0(^)) := / р2,о(г)ф(ж,у,гЖ^у^^
П2
так и в пространстве Н 1(П2; р2,о(г)) с квадратом нормы
1ФП 2
■= J р2,о(г)Ф|2+ J р2,о(г)Ф ^
П2 П2
2
эквивалентной стандартной норме пространства Н 1(П2).
Если для задачи (2.2.6)-(2.2.7) выполнены свойства ортонормировки
,М;Р2,о(*0) 5рд, (г,21р,'у21д)Я 1([0,^2];р2,о(^)) ^р 5рд,
а также свойства ортонормировки (2.1.5) для собственных функций задачи (2.1.8) то для функций (2.2.10) выполнены свойства ортонормировки
(ф2Ар Ф2^7)Ь2(П2;р2,о(^)) = 5рЬ (ф2кр, ф2.?7 )Я1(П2;р2,о(^)) = Лк;р а ¿р.
□
Переходя теперь к рассмотрению первой вспомогательной задачи (2.2.1)-(2.2.2), введем подпространство тех пар Ф := (Ф1; Ф2) гармонических функций из Н 1(П1) и Н 1(П2), для которых выполнены свойства из (2.2.1)-(2.2.2):
Н^г(П) :^(Ф1(х,у,г);Ф2(х,у,г)) : ДФ1 = 0 (в ад дф = 0 (на й),
5Ф2 дФт 5 Ф2
ДФ2 = 0 (в ад 5ф2 = 0 (на ад 5ф1 = 5ф2 =: С (на Г, т. е. при г = 0),
Zdr = 0, /ф^Г=/ф2 dr = o},
'2 с
г г г
а норма введена по закону
1|Ф|1Н1Г(П) := Р1 / ^Ф^П + Р2,0(0)/|УФ2|2^2, УФ = (Ф1;Ф2) € Н1,г(П).
П1 П2
Лемма 11. Собственные функции вспомогательной задачи (2.2.1)-(2.2.2) имеют, вид
Ф^(х,у,г)= ^(х,у), Ф2к(х,у,г) = ^(г(х,у), к = 1, 2,...,
а собственные значения выражаются формулой (2.2.8). При этом имеют место следующие условия ортономировки:
(ф,ф)яад) = , Cfc :=
д Ф
дФ
2k
г=о dz
z=0
(в. Ск, С? )Ь2,Г = (Ск, С? )в„ = у V г а ■ V г с? СГ = л£1)5к?, к, ^ = 1, 2,..., ,
г
причем функции Фк := {Ф1к; Ф2к} образуют ортонормированный базис в Н^П), а функции Ск(х,у) — ортогональный базис в энергетическом пространстве НВст оператора В., а также в пространстве Ь2,г.
□
2.3. Характеристическое уравнение основной спектральной задачи. Опираясь на установленные факты, перейдем к рассмотрению спектральной задачи (2.1.9)— (2.1.11) при p = pk = a|.
Прежде всего, решение уравнения (2.1.9) c учетом граничного условия имеет вид
vi(z) = bich[afc (z + hi)], 6i = 0.
Далее, с учетом (2.1.1) из (2.1.10) приходим к соотношениям
v2'(z) - (g/a2)v2(z) + v v>2(z) = 0, 0 < z < h2, v2(h2) = 0, v = A/a2 - pfc. (2.3.1)
Общее решение этого однородного уравнения имеет вид
V2(z) = [62 cos(yz) + 63 sin(7z)], y2 = v - 52 > 0, 5 := g/(2a2), (2.3.2)
где 62 и 63 — произвольные постоянные.
С учетом граничного условия в (2.3.1) и условия (2.1.11) получаем систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных 6^, k = 1, 3:
62[5cos(Yh2) - ysin(Yh2)] + 6з[5sin(Yh2) + 7cos(Yh2)] = 0,
6iafc sh(afchi) - 625 - 637 = 0,
6i[Afc(B) afc sh(afchi) - Apich(afchi)] + 62Ap2,o(0) = 0.
Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к характеристическому уравнению для нахождения собственных значений A:
- 7[5 cos(Yh2) - y sin(Yh2)] ■ [Afc(B)afc - Apicth(afchi)] + [5 sin(Yh2) +
+ ycos(Yh2)]{afcAp2,o(0) + 5[Afc(B)afc - Apicth(afchi)]} = 0, k = 1, 2,... ,
a = pk/2, Y2 = Aa-2 - pfc - 52 > 0, Afc(B) = apfc + g(pi - P2,o(0)). (2.3.3) После простых преобразований получаем уравнение
v sin(Yh2)[Afc(B)afc - Apicth(afchi)] +
+ Aafc p2,o(0)[5 sin(Yh2) + 7 cos^)] = 0. (2.3.4)
Нетрудно видеть, что для решений этого уравнения sin(Yh2) = 0 (иначе cos(Yh2) = 0).
Для удобства последующих рассмотрений выберем в качестве характерного размера задачи (2.1.9)—(2.1.11) высоту h2 столба газа, а также какие-либо другие характерные величины для времени и других физических параметров системы. Тогда безразмерная высота столба газа будет равна 1, а другие параметры в (2.1.9)—(2.1.11)
можно считать безразмерными. Учитывая еще свойство эт^Д-) = вт(7) = 0, перепишем с учетом (2.3.3) уравнение (2.3.4) в безразмерном виде:
4. , X Г Ак(Д) , 2 . Х2 . 2ч_1 . Р1^Ь(ак Д1) 1 , -
7с^ё7 + - = -^ (7 + - + ак) +-77Г\- (- + 7 ) =
1 а-Р2,о(0) Р2,о(0)ак 1
=: /к (7-), к =1, 2,.... (2.3.5)
Здесь правая часть /к (72) как функция переменной 7 является четной и асимптотически близкой к параболе при 7 — гс. Так как левая часть (2.3.5) также является четной функцией 7, то корни уравнения (2.3.5) расположены симметрично относительно начала координат и потому далее можно рассматривать лишь его положительные корни.
Из графического рассмотрения уравнения (2.3.5), а также из равносильного ему уравнения
^7 = - - + 1 /к (7-), к =1, 2,...
7 7
приходим к следующим выводам.
1°. При любом к = 1, 2,... задача имеет счетное множество собственных значений
Акр := а2(7-р + рк + £-/(4а4)), р =1, 2,... , (2.3.6)
7кр = пр + вкр, 0 < вкр < п, отвечающих акустическим колебаниям в гидросистеме "идеальная жидкость-баротропный газ".
2°. При фиксированном к и р — гс имеют место свойства вкр — 0, то есть
Акр = Ак-)[1 + о(1)] (р — гс),
где Акр — квадраты частот акустических колебаний газа с неподвижной границей раздела Г (см. (2.2.9)).
3°. При фиксированном р и к — гс из (2.3.6) и (2.2.9) также следует свойство
Акр = Ак-)[1 + о(1)] (к — гс, Vp =1, 2,...),
так как рк — гс при к — гс (см. п. 12). Таким образом,
Акр = Акр [1 + о(1)], к,р — гс.
4°. Рассмотрим теперь промежуток [0,п], где также может находиться корень уравнения (2.3.5), которое выведено при условии, что 7- = V - -2 > 0 (см. (2.3.2)).
Если, в частности, выполнено условие (см. (2.3.5))
1 + 5 > - Лк2(В)52 (52 + а2)-1 + р1С^(ак^
а2р2,о(0) Р2,о(0)ак
то такой (единственный) корень имеется на этом промежутке. В противном случае следует рассмотреть уравнение
Лк(В.) ^ 2 | г2 ^р^Ь^^1)"
: гк (С2), к =1, 2,..., (2.3.7)
Г . лк(в.) ^ 2 , г2 л2ч-1 , ^1) ( 2 ¿2ч
5 + С= -Т^ К + 5- + -77ГЛ- (5 - С )
- а2р2,о(0) Р2,о(0)ак -
которое получается формальной заменой 72 на -С2 и соответствует случаю V - 52 = -С2 < 0 в (2.3.2).
Обозначим через 7ко корень уравнения (2.3.5) на промежутке [0,п], а через Ско — соответствующий корень уравнения (2.3.7). Тогда этим корням (одному либо другому) отвечают собственные значения
Лко = а2(7ко + ^ + £2/(4а4)), к =1, 2,...
либо
Лко = а2(-С2о + ^ + #2/(4а4)), к = 1, 2,.... (2.3.8)
5°. При а2 ^ то собственные значения (2.3.8), соответствующие корням уравнения (2.3.7), имеют асимптотическое поведение
Л*о = Л£1)[1 + о(1)] (а2 ^ то), (2.3.9)
т. е. отвечают решениям первой вспомогательной задачи (2.2.1)-(2.2.2), а именно случаю, когда обе жидкостные среды несжимаемы и имеют плотности р1 и р2,о(0) соответственно.
Для доказательства свойства (2.3.9) рассмотрим уравнение (2.3.7) с искомой переменной С, которое перепишем в виде
(5 + С с^С)а2(а2 + 52 - С 2К Р2,о(0) + Л (В.) - а2(а2 + 52- С2)р1сЛ(а,к^)](52 - С2) = 0, 5 = ^/(2а2) = 0(а-2) (а ^ то), (2.3.10)
и будем искать его корни с асимптотическим поведением
Ско = ак + вкоа-2 + 0(а-4) (а ^ то).
Подстановка С&о в (2.3.10) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях а-2 приводит к формуле
вко = -Лк1)/(2ак), к = 1, 2,... .
Отсюда и следует асимптотическая формула (2.3.9).
Таким образом, в системе "идеальная жидкость-баротропный газ" имеются собственные колебания, родственные поверхностным колебаниям системы, состоящей из двух идеальных несжимаемых жидкостей, а также акустическим колебаниям в газе при почти неподвижной границе раздела между жидкостью и газом и состоянию покоя в жидкости.
Численные расчеты, связанные с нахождением решений уравнений (2.3.5) и (2.3.9), подтвердили эти общие выводы. Они показали также, что формы собственных колебаний имеют следующее свойство: в жидкости они затухают при отходе от границы раздела Г, а в газе осциллируют, причем частота осцилляций, отвечающая значениям Акр, увеличивается при р — гс.
Заключение
В работе получены следующие результаты.
1°. Изучена проблема малых движений и собственных колебаний системы, состоящей из идеальной несжимаемой жидкости и баротропного газа. Эта система заполняет произвольную ограниченную область трехмерного пространства и находится в условиях, близких к невесомости. Граница области предполагается липшицевой.
2°. Исследована задача о собственных колебаниях гидросистемы, при этом применен операторный подход. Изучены свойства операторов потенциальной и кинетической энергии. На этой основе доказаны теоремы о дискретности спектра частот колебаний, о базисности системы форм собственных колебаний, а также обращение теоремы Лагранжа об устойчивости.
3°. Начально-краевая задача о малых движениях гидросистемы приведена к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. На этой основе доказана теорема о сильной разрешимости исходной начально-краевой задачи.
4°. Проведено подробное рассмотрение задачи о собственных колебаниях системы в случае, когда сосуд имеет цилиндрическую форму с произвольным поперечным сечением, а граница раздела между жидкостью и газом горизонтальна. Получено характеристическое уравнение задачи об определении спектрального параметра (квадрата частоты колебаний). Установлено, что спектр задачи асимптотически разбивается на два множества, отвечающие соответственно гравитационно-капиллярным волнам у границы раздела "жидкость-газ" и акустическим волнам в газе при неподвижной границе раздела.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Газиев, Э. Л., Копачевский, Н. Д. Малые движения и собственные колебания гидросистемы "жидкость-газ" // Украинский математический вестник. — Донецк: ИПММ, 2013. — Т. 10, № 1. — C. 10-53.
GAZIEV, E. & KOPACHEVSKY, N. (2004) Small motions and eigenoscillations of hydrosystem fluid-barotropic gas. Ukrainian Mathematical Bulletin. 10,1. p. 10-53.
2. Копачевский, Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан. — M.: Наука, 1989. — 416 с. KOPACHEVSKY, N. & KREIN, S. & NGO ZUI KAN (1989) Operator Methods in Linear Hydrodynamics: Evolutionary and Spectral Problems. Moscow: Nauka.
3. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для смешанных краевых задач и ее приложениях // Спектральные и эволюционные задачи: сб. трудов XXI Крымской осенней матем. школы-симпозиума. — Симферополь: Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, 2011. — Т. 21, № 1. — C. 2-39.
KOPACHEVSKY, N. (2004) On Abstract Green's Identity for Mixed Boundary Problems and its Applications. Spectral and Evolutionary Problems: Proceedings of the XXI Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. 10,1. p. 2-39.
4. Копачевский, Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбертовых пространств и полуторалинейных форм // Современная математика. Фундаментальные приложения. — М.: Российский университет Дружбы народов, 2015. — Т. 57. — C. 71-107.
KOPACHEVSKY, N. (2004) On Abstract Green's Identity for a Triple of Hilbert Spaces and Semilinear forms. Contemporary Mathematics Fundamental Directions. 57. p. 71-107.
5. Газиев, Э. Л., Копачевский, Н. Д. Об обращении оператора потенциальной энергии в проблеме собственных колебаний системы "капиллярная жидкость-баротропный газ" // Динамические системы. — Симферополь: Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, 2011. — Т. 4 (32), № 1-2. — C. 9-18.
GAZIEV, E. & KOPACHEVSKY, N. (2014) On inversion of the potential energy operator at the problem of eigenoscillations of the system "capillary fluid-gas". Dinamicheskie Sistemy. 4(32),1-2. p. 9-18.
6. Бабский, В. Г. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости / В. Г. Бабский, М. Ю. Жуков, Н. Д. Копачевский, А. Д. Мышкис и др. — M.: Наука, 1992. — 592 c. BABCKII, V. & GUKOV, M. & KOPACHEVSKII, N. & MYSHKIS, A. & SLOBOZHANIN, L. & TYUPTSOV, A. (1992) Methods of solving of fluid mechanics problems for zero gravity conditions. Kiev: Naukova dumka.
