О малых движениях гидросистемы из трёх несмешивающихся жидкостей, заполняющих неподвижный сосуд Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

О малых движениях гидросистемы из трёх несмешивающихся жидкостей,

1

заполняющих неподвижный сосуд

Н. Д. Копачевский, Е. В. Сёмкина

Крымский федеральный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: [email protected]

Аннотация. В данной работе изучается проблема малых движений гидросистемы "вязкоупругая жидкость-идеальная жидкость-идеальная жидкость", заполняющих неподвижный сосуд. Методы, развитые в предыдущих работах авторов, посвящённых исследованию проблем малых движений и нормальных колебаний вязкоупругой жидкости, а также систем идеальных жидкостей, позволяют получить результаты о разрешимости начально-краевой задачи для исследуемой проблемы.

Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, идеальная жидкость, гидродинамическая система, ортопроектор, операторно-дифференциальное уравнение, задача Коши.

Small movements of partially dissipative hydrosystem in stationary containers

N. D. Kopachevsky, E. V. Syomkina

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.

Abstract. In the paper, we consider a problem on small motions of a system of viscoelastic and two ideal fluids in a stationary container. One of models of such viscoelastic fluid is Oldroid's model. It is described, for example, in the book Eirich, F.R. Rheology. Theory and Applications. New York: Academic Press, 1956. It should be noted that the present paper based on the previous N. D. Kopachevsky works together with Azizov, T. Ya., OrlovaL.D., Krein, S.G. Namely, problem on small movements of one viscoelastic fluid for generalized Oldroid's model, small motions of a viscoelastic fluid in an open container, oscillations of a system of ideal fluids were investigated in these papers. The aim of this paper is to use an operator approach of mentioned works, to develop new approach and to prove the theorem on strong solvability for initial-boundary-value problem generated by a problem of small motions of a system of viscoelastic and two ideal fluids in an immovable container. This paper is organized as follows. In section 1 we formulate mathematical statement of the problem: linearized equations of movements, stickiness condition, kinematic and dynamic conditions. Further, in this section we receive the law of full energy balance. In section 2 we choose the functional spaces generated by the problem for each fluid. For applying of method of orthogonal projection we need to choose orthogonal decomposition of corresponding spaces. After projection we get new statement of the problem without some trivial equations. Important part of section 2 is formulation

1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта Российского научного фонда (16-1110125 "Операторные уравнения в функциональных пространствах и приложения к нелинейному анализу", выполняемого в Воронежском госуниверситете).

© Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Е. В. СЁМКИНА

of auxiliary problems which help us to make transition to the the Cauchy problem for the system of integro-differential equation in some Hilbert space. In section 3 we reduce this problem to a system of differential equation. This system can be rewrite as operator differential equation in the sum of Hilbert spaces. Properties of main operators of this problem are studied in section 3 too. Section 4 is devoted to the existence and uniqueness theorems for final operator differential equation as for original initial-boundary-value problem. This result based on factorization, closure and accretivity property of operator matrix. Finally, in section 4 we consider the spectral problem on normal oscillations corresponding to the evolution problem. This means that external forces equal to zero and dependence by time for the unknown function has the form e-xt. Here we obtain the spectral problem for operator pencil. This pencil has similar properties like pencil associated with spectral problem generated by the problem on normal oscillations of a system of viscoelastic and ideal fluids.

Keywords: viscoelastic fluid, ideal fluid, hydrodynamic system, orthogonal projector, operator differential equation, Cauchy problem MSC 2010: 76D05, 35Q30, 39A14, 39B42

Введение

В этой работе изучается задача о малых движениях системы из трёх тяжёлых несмешивающихся однородных жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд. При этом нижняя жидкость считается вязкоупругой, а остальные две идеальными. Случай, когда сосуд полностью заполнен системой из двух жидкостей, одна из которых является вязкоупругой, а другая идеальной, рассмотрен в работе [4]. В данной работе предполагается, что вязкоупругая жидкость удовлетворяет обобщённой модели Олдройта (см. [7],[8]). Вариант, когда неподвижный сосуд заполнен системой из двух вязкоупругих жидкостей, изучен в [2], а случай полного заполнения сосуда одной вязкоупругой жидкостью — в [10].

1. Постановка задачи. Закон баланса полной энергии системы

1.1. Постановка задачи

Рассмотрим неподвижный сосуд Q, полностью заполненный системой из трёх несмешивающихся жидкостей. Жидкости предполагаются тяжёлыми, и в силу этого действие капиллярных сил в этой задаче не учитывается. Область Qi, нижняя по отношению к действию силы тяжести, заполнена несжимаемой вязкоупру-гой жидкостью обобщённой модели Олдройта (см., например, [7, 8, 11, 14]). В этой модели связь между тензором вязких напряжений и удвоенным тензором скоростей деформаций в вязкоупругой жидкости описывается не простейшим законом Гука, а линейным дифференциальным соотношением, где фигурируют производные порядка m > 1 по времени как у тензора вязких напряжений, так и у тензора скоростей деформаций. Далее, pi, — соответственно плотность и динамический коэффициент вязкости вязкоупругой жидкости. Области Q2 и Q3 заполнены идеальными несжимаемыми жидкостями с плотностями р2 и р3.

Обозначим через nk единичный вектор, нормальный к dQk и направленный вне Qk (к = 1, 3). Через Sk обозначим часть стенки сосуда, граничащей с областью

Пк (к = 1, 3). Горизонтальную границу раздела между вязкоупругой и идеальной жидкостями в состоянии равновесия обозначим через Г1, а между идеальными жидкостями — через Г2. Введём систему координат Ох1х2х3, жёстко связанную с сосудом, таким образом, чтобы ось Ох3 была направлена против действия силы тяжести. Тогда ускорение гравитационного поля д = —де3, д > 0, а в состоянии покоя поля давлений в жидкостях выражаются по законам

Ро,к(хз) = ск — ркдхз, к = 1, 3, (1.1)

где константы Ск определяются из условия равенства давлений на границах раздела Г, ] = 1, 2, при х3 = 0.

Теперь перейдём к уравнениям, описывающим движение гидросистемы. Обозначим через ик поля скоростей жидкостей в Пк (к = 1, 3), а через рк(Ь,х) — отклонения полей давлений от их равновесных значений (см.(1.1)). Кроме того, полагаем, что на исследуемую гидродинамическую систему дополнительно к гравитационному полю действует малое поле внешних сил / = / (¿,х), х £ П.

Тогда линеаризованные уравнения движения жидкостей имеют следующий вид (см., например, [13, 14]):

Pi= + ^Аvi + p1f1(t,x), div Ui = 0 (в (1.2)

t

m r.

v1(t,x) = u1(t,x) + Yl ar e-ßr(t-s)u1(s,x)ds =: I0,1(t)u1, (1.3) r=1 0

du

Pi= -Vpi + pi fi(t,x), div щ = 0 (в йг), l = 2, 3, (1.4)

где ar > 0, ßr > 0, r = 1,m, — коэффициенты, характеризующие свойства вязко-упругости жидкости обобщённой модели Олдройта, f (t, x) := f (t, x) |^gnfc, k = 1, 3, а А — трёхмерный оператор Лапласа.

Для вязкоупругой жидкости, как известно, на твёрдой стенке S1 сосуда должно выполняться условие прилипания, т.е.

u1 = 0 (на S]), (1.5)

а для идеальных на поверхностях Sl, l = 2, 3, — условия непротекания

ui •ni = 0 (на Si), l = 2,3. (1.6)

Будем описывать малые перемещения границ раздела между жидкостями с помощью функций вертикального отклонения

xa = Zj(t,x1,x2), (xbx2) e rj, j = 1, 2. (1.7)

Тогда на Г, 3 = 1, 2, должны выполняться кинематические условия

Ч • Щ =■ Щ = -щ+г • щ+1 =■ щ = ез = - щ+г, 3 = 1, 2

dZj

(1.8)

а символом , 3 = 1, 2, обозначена операция взятия нормального следа на Г,, т.е. следа нормальной компоненты поля скорости. Заметим ещё, что из условия сохранения объёма каждой из жидкостей имеем интегральные связи

ЧЯГ, = 0, 3 = 1, 2. (1.9)

Г'

Сформулируем теперь динамические условия на Г,, 3 = 1, 2. Они состоят в том, что на движущейся границе раздела векторное поле напряжений при переходе от одной жидкости к другой изменяется непрерывно. Линеаризация этого условия и его снос на Г, приводят к следующим соотношениям: на Г, касательные напряжения (т.е. вдоль Г,) изменяются непрерывно, а нормальные напряжения (т.е. вдоль оси Ох3) компенсируются гравитационным скачком давлений. Имеем

Ц\Тдз(щ) = 0, д = 1, 2;

[-рг + ЦгТзз(щ)} - [-р2] = -д(рг - Р2Х1 (на Г1), (1.10)

Р2 - Рз = д(р2 - рз)(2 (на Г2).

Зи Зи

Здесь Тдг ( и) ■= тг^(д,т = 1, 2, 3) — удвоенный тензор скоростей деформаций.

ЗХу зх^

Наконец, для искомых функций ик(Ь,х), к = 1, 3, и (1,хг,х2), 3 = 1, 2, необходимо ещё задать начальные условия:

ик(0,х) = и°к(х), х Е , Щ • Щ = -ии0+1 • Пу+и х Е Г,, к = 1, 3, 3 = 1, 2, О(0,х) = (°(х), х Е Г,, 3 = 1, 2.

(1.11)

1.2. Закон баланса полной энергии

Будем считать, что задача (1.2)-(1.11) имеет классической решение, и выведем закон баланса полной энергии гидросистемы. Предварительно выпишем формулы Грина для векторных полей скоростей в областях 0,к, к = 1, 3. Для дважды

непрерывно дифференцируемых полей они имеют следующий вид:

Y1 (ni)Tqr (ui)

i W=1 /

П1 • (-ßiAui + Vpi)äQi + / (ßi Tqßiui) - piSq3)dTi, (1.12)

ßiEi(ni,ui) := 1 ßi I \ у ] Tqr(ni)Tqr( Ui) ) dÜi

Г1 q=i

3

divni = divui = 0 (в Qi), ni = ui = 0 (на Si), щ = ^^ eq,

q=i

J П2 • Ур2Я^2 = - у П2,зР2ЯГг + ^ П2,зР2ЯГ2,

П Г1 Г2

У пз • УрзЯ^з = - J Пз,зРзЯГ2, (1.13)

Пз Г2

= = 0 (в ), п • п = щ • п = 0 (на Б1), I = 2, 3.

(В этих формулах учтено, что направление внешних нормалей на Г,, 3 = 1, 2, для областей 0>к, к = 1, 3, будет п, = ез = —nj+1, 3 = 1, 2.)

Умножим обе части (1.2) и (1.4) слева на ик, к = 1,3, проинтегрируем по соответственно и сложим результаты; будем иметь (для вещественнозначных полей):

з С Зи з С Р

^2рк ик • ЗкЯ^к = - Щк • VРкЯПк + 1^1 иг • (△ +

=1 П^ П1

pk uk • f kdÜk■ 1 J

k i Lk

Используя формулы Грина (1.12), (1.13), а также граничные условия задачи (1.2) (1.11), отсюда получаем соотношение

1 d ^Рк I \Uk\2 dÜk= -ßiEi(Ui,Vi) + ^2 рк j Uk • fkdÜk+

2 dt i f

„ 3

k i Lk ) k i Lk

+ / ^ Ui,q (ßiTq3(Ui) - (Pi - P2)$q3) dTi + Щ,3 (P3 - P2)) dT2

Г1 q=i Г2

Учитывая ещё соотношения (1.9) и (1.10), окончательно приходим к выводу, что 2 ^ )¿ Рк { 1ик I2 ^Пк + д(Р1 — р2) I' 1С112 dГl + д(р2 — рз) ! Ы2 ^Г2

к=1 ^к Г1 Г2 У (1 14)

3 '

-ß1^1(иьг?1) + ^ pk Uk • fkdük•

к 1 ^к

Это тождество есть закон баланса полной энергии системы в дифференциальной форме. Здесь в фигурных скобках стоит удвоенная полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия гидросистемы, а справа — мощность диссипатив-ных вязкоупругих сил и мощность дополнительных внешних сил, действующих на систему. После интегрирования (1.14) по Ь в пределах от 0 до Ь получаем закон баланса полной энергии в интегральной форме, т.е. на произвольном отрезке времени (0,Ь).

2. Метод ортогонального проектирования. Переход к системе операторных уравнений

2.1. Проектирование уравнений Эйлера

Воспользуемся далее разложением пространства векторных полей Ь2(Пг) в ортогональную сумму (см. [3, е.113]):

Ь2(Пг) = /с(Пг) 0 Снл(Пг) 0 (Пг), I = 2, 3,

30(Пг) := {и £ Ь2(Пг) : div'u = 0 (в Пг), ип = 0 (на дПг)},

Снл(Пг) := {V = Ъф £ Ь2(Пг) : Аф = 0 (в Пг), ^ = 0 (на Бг)},

доГ1 (Пг) := {й = Ъф £ ЫП) : Аф = 0 (в Пг), ф = 0 (на Гг)}.

Здесь Г2 := Г1 и Г2, Г3 := Г2.

Введём ортопроекторы на соответствующие подпространства: Р0,г, Рн,Эх, Р02 гх, I = 2, 3.

Основываясь на разложении (2.1), применим метод ортогонального проектирования к уравнениям движения начально-краевой задачи (1.2)-(1.11). В силу условия соленоидальности, условия непротекания на твёрдых стенках Бг и условия сохранения объёма на свободных границах Г, ] = 1, 2, (так как жидкости несжимаемы) считаем, что

иг £ /с(Пг) 0 (Пг) =: Лад(Пг), I = 2, 3. (2.1)

Поля Vpi, l = 2, 3, потенциальны и поэтому

Vpi е G(üi) = Gh,st (üi) 0 G0 rl (üi), l = 2, 3.

Представим поля щ и Vpi, l = 2, 3, в виде:

Ui = wi + VФl, wi е J(üi), V^^i е Ghs(üi), l = 2, 3; (2.2)

Vpi = Vpi + V^i, Vpi е Ghs(üi), Vw е G0>Fi(üi), l = 2,3. (2.3)

Подставим эти представления в уравнения (1.4) для идеальных жидкостей и применим к ним ортопроекторы, отвечающие разложению (2.1). Получим:

о —*

-W = Po,i fi (в üi), l = 2, 3, (2.4)

д

piд^VФl = -Vpi + piPh,s fi (в üi), l = 2, 3, (2.5)

Vw = piPoÄ fi (в üi), l = 2, 3. (2.6)

Из (2.4), с учётом начальных условий (1.11), сразу получаем

t

wi(t,x) = J Potifi(r,x)dr + PoiiUO, l = 2, 3. 0

Члены в уравнении (2.6) — это составляющие градиентов давлений в подпространстве G0 рг (üi), l = 2, 3. Потенциал этого поля ф обращается в нуль на Ti и поэтому в граничных условиях не участвует. Далее соотношения (2.6) не рассматриваем.

Условимся называть решения уравнений (2.4), а также составляющие градиентов давлений из (2.6) — тривиальными решениями. Итак, основные уравнения, которые будем рассматривать для идеальных жидкостей, это уравнения (2.5).

2.2. Проектирование уравнения Навье-Стокса

Для области ü1 введём аналогичное разложение пространства векторных полей L2(ü1) в ортогональную сумму (см. [3]):

L2(ü1) = f0 ,Sl (ü1) 0 Go , Г1 (ül), Jo,Si (ü1) = fo(ü1) 0 Gh,Si (ü1).

Введём ортопроекторы Po, Sl и Po1 , Г1 на подпространства Jo,Sl (ü1) и Go , r1 (ü1) соответственно. В силу условия соленоидальности и условия прилипания на S1 для u1 считаем, что поле u1 принадлежит пространству векторных полей с конечной скоростью диссипации энергии в жидкости:

JU(ü1) := {U1 е H 1(ü1): divu1 = 0 (в ü1), U1 = 0 (на S1)} С Jo,s1 (ü1). ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2018, том 8(36), №2

Здесь скалярное произведение определяется по формуле (см. (1.12)

(П1) ■= ЕгММ = 2 I ( ^ V(Щ1)тдг(^ )

f Tqr(Ui)Tqr(^

Отметим, что sí (^1) плотно вложено в (^1). Подействуем введёнными операторами Р0,81 и Р01 , г1 на обе части уравнения для вязкоупругой жидкости (1.2), получим:

З и1

Р1 -Щ = -VР1 + »1 Ро,81 △ Щ + Р1Р0,81 ¡1 (в ад (2.7)

1Р01Г1 Ащ + Р01,Г1 Vpl = Р1Р01Г1Ь (в ^1).

Здесь через Vp1 обозначено поле Р0Vp1 =■ Vp1 Е Ои,я1 (^1) в силу разложения пространства Ь2(0,1). Потенциал поля РслгVp1 в граничных условиях не участвует, так как обращается в нуль на Г1 . Поэтому для вязкоупругой жидкости рассматриваем только уравнение (2.7).

2.3. Формулировка задачи после отделения тривиальных решений

Заметим, что в силу представлений (2.2) полей Щ, I = 2, 3, кинематические условия (1.8) можно записать в виде

ж = ^ = (на Г3= 1-2

В свою очередь динамические условия (1.10) в силу представлений (2.3) для Vpl, I = 2, 3, примут вид

»1Тдз(щ) = 0, д =1, 2 (на Г1), [-])1 + /11Тзз(У1)] - [-p2} = -д(р1 - р2)(1 (на Г1), (2.8)

[Р2 - Рз} = д(р2 - Рз)(2 (на Г2).

Введём ещё ортопроекторы 9, на Ь2 Г. ■= Ь2(Г,) © {1г^}, 3 = 1, 2. Тогда итогом проведенных выше преобразований является следующая

Теорема 1. Пусть ик, Vpk, к = 1,3, , 3 = 1,2, — классическое решение начально-краевой задачи (1.2)-(1.11), тогда функции и1, Vp1, VФl, Vpl, I = 2, 3, , 3 = 1, 2, являются решением следующей начально-краевой задачи:

с\ —>

Р1 -Щ = + тР0,31 Ащ + Р1Р0>81 л (в ад (2.9)

а1у и1 = 0 (в П1), и1 = 0 (на Б1), (2.10)

-

Р1—VФl + Vpl = р1 РНЛЛ (в )} I = 2, 3, (2.11)

дФl

ДФ1 = 0 (в üi), —^ = 0 (на Si) (2.12)

дщ

дф1 DQ-1 -Yni-1 Ui-1 (на Г—1), l = 2,3. (2.13)

дпг дЬ

1^1Тдз(щ) = 0, д = 1, 2 (на Г1), [-О1Р1 + ^1X33(^1)] - [—^1р52] = -д(р1 - Р2)(1 (на Г1), (2.14)

[6>2р2 — в2р3] = д(р2 — Р3)С2 (на Г2),

г?1(0,ж) = Ро,э1 и0(х) = и?(х), х £ П1, ЪФг(0,х) = Рн,эхи0(х), х £ Пг, I = 2, 3

с,(0, х) = <°(х), х £ Г, 3 = 1, 2.

(2.15)

Замечание 1. Отметим, что введение ортопроекторов в,, 3 = 1, 2, обусловлено стремлением избежать произвола в нормировке на границах Г1 и Г2 для функций р2. Действительно, в динамических условиях (2.8) функции £ Ь2,г, 3 = 1, 2, Т33/1) £ ¿2, Г1 (см.[3, е.114]), откуда следует, что

У (р1 — р2МГ = 0, У (р2 — р3МГ = 0.

Г1 Г2

Из определения ортопроекторов в,, 3 = 1,2, следует, что р1 = в1'р1 + с1, р3 = в2р3 + с3. Константы с1, с3 позволяют ввести однозначную нормировку для р2 на границах Г1 и Г2:

С1 = |Г-| У Т^ъ С3 = |Г"| / р2^2-

Г1 Г2

2.4. Вспомогательные краевые задачи и их операторы

Для перехода к операторной формулировке исследуемой задачи рассмотрим ряд вспомогательных краевых задач. Вспомогательная задача I.

—Р0,31 Аи + ¡х-1 Ър = / (в П1) div и = 0 (в П1), и = 0 (на Б1),

¡1^3 (и) = 0, д = 1, 2, —р + цТ33(и) = 0 (на Г1).

Это так называемая первая вспомогательная задача С.Г. Крейна (см. [3, е.116]). Она имеет единственное обобщённое решение и = А-1/ для любого вектора / из (П1). Область определения ^(А^ оператора А 1 плотна в пространстве /1 э1 (П1), а "Р(А^2) = /о[э1 (П1). Оператор А-1 является положительным и компактным в ./0,э1 (П1).

Вспомогательная задача II.

△p = 0 (в Üi), ^ = 0 (на Si), p = ti (на ГЛ f TidTi = 0. dni J

Г1

Это — известная задача Зарембы для уравнения Лапласа. Она имеет единственное решение (см. [3, c.45]) p = GiTi E (Üi) при Ti E НГ{2,

Hii (Üi) := {Ф E H i(Üi) : j = 0}, Ы\2Н^ m := J \V^\2dÜb

Г1 L

(Определение пространств HiL, Нд^/2 для областей Ü с липшицевой границей dÜ, а также соответствующие теоремы вложения и продолжения c границы см. в работе Gagliardo E. [12]).

Вспомогательная задача III.

△Ф = 0 (в Ü3), дФ = 0 (на S3), дФ = Ф3 (на Г2), J ФdГ2 = J fod^ = 0.

Г2 Г2

Это задача Неймана для уравнения Лапласа. Если ф3 E Н-^2, то задача имеет единственное решение Ф = У3ф3 E Н^2 (Ü3). Здесь символом ~ обозначен класс функций из Н-^2, продолжимых нулём на всю границу дÜ3 в классе Н -i/2(d Ü3) (см. [1, 9]). Введём по решению задачи III оператор:

&2Ф\Г2 = С3Ф3 =: С3Ф3, C3 := 7Г2V3, 7Г2Ф3 := Ф3\г2■ (2.16)

Отметим, что C3 самосопряжённый, положительный и компактный оператор в L2,r2.

Вспомогательная задача IV.1.

д Ф21 -Ф21

△Ф21 = 0 (в Ü2), = 0 (на S2 U Г2), ^ = Ф1 (на ri),

дп2 дn2

j Ф2idГi = J фdГl = 0.

Г1 Г1

Это снова задача Неймана для уравнения Лапласа. Если Ф1 E Н-1"2 , то задача имеет единственное решение Ф21 = У21Ф1 E Н^1 (Ü2). Вспомогательная задача IV.2.

△Ф22 = 0 (в Ü2), = 0 (на S2 и Г1), = Ф2 (на Г2),

дп2 дп2

J Ф22С1Г2 = j фdГ2 = 0.

2 2

Это тоже задача Неймана для уравнения Лапласа. Если ф2 £ ЯНГ21/2, то задача имеет единственное решение Ф22 = У22ф2 £ И^2 (П2). Введём по решению задач 1У.1 и 1У.2 операторы:

^1$21|г1 = О1С11Ф1 = : <Сц : = 7гхУ21, 7г-ф1 : = ф1|г-.

$1Ф221 Гх = $1С12Ф2 = С12Ф2, С12 = 7Гх V22, 7Гх Ф2 = Ф2|Гх

$2^21 |Г2 = $2<С21Ф1 = С21Ф1, С21 = 7Г2 V21, 7Г2 Ф1 = Ф1|Г2

$2$22|Г2 = 62СС22Ф2 = С22Ф2, С22 = 7Г2 V22, 7Г2 Ф2 = Ф2|Г2

Отметим, что компактные операторы Сдг, д,т = 1, 2 образуют самосопряжённую, положительную матрицу {Сдг}2=1 в Ь2,г1 Ф ¿2,г2.

Вспомогательная задача У.

др

△p = 0 (в П2),

дп2

0 (на S2 П Г1), p = Т2 (на Г2),

T2dr2 = 0.

Г2

Это, как и I, задача Зарембы для уравнения Лапласа. Она имеет единственное решение (см. [3, с.45]) р = С2т2 £ (П2) при т2 £ Я^2.

2.5. Вывод системы операторных уравнений

Переходя к формулировке исходной задачи (1.2)-(1.11) в операторной форме, представим поле Ур1 в виде Ур1 = Ури + Ур12 и подберём поле Ури таким образом, чтобы поле щ являлось решением следующей краевой задачи

-Po,Si △ vi + ß- Vpn = ß

■H

Pid1 + PiPQ.Si Л - VP12) (в ^i)

div щ = 0 (в П1), щ = 0 (на Б1),

тдз(щ) = 0, д = 1, 2, -91рп + ^тзз(й) = 0 (на Г1).

Используя вспомогательную задачу I, заключаем, что краевая задача (2.17) имеет единственное обобщённое решение

(2.17)

(2.18) (2.19) (2.19)

11

v1 = ß- A

д Ui _ ? _ „ \ Р11Й + p1P°'Sl Л1 - VPU )

для правой части из (^1). Тогда можно записать

ди1

Р1

dt

+ ß1A1 V1 + Vp12 = P1Po,Si/1 (в П1).

Заметим, что при расщеплении условия для нормального напряжения на (2.14) осталось условие

(2.20) Г1 из

$1p12 = $1p2 + g(p1 - Р2Х1 (на Г1).

Учитывая принадлежность Vp12 Е 0и,я1 (П^, найдём, что потенциал 91Р>12 удовлетворяет вспомогательной задаче II при Т1 = 91,р2 + д(р1 - р2)(1. Поэтому можно считать, что

Рl2 = 01(9^2 + д(р1 - Р2)(1)-Оператор 01 ограниченно действует из пространства Н1/2 в пространство

0к,Я1 (П0.

Подставим последнее представление для градиента давления в (2.20), получим - и1

Р1—1 + »1А1 щ + О191Р2 + д(р1 - Р2)01^1 = Р1Р081 л1 (в П1). (2.21)

Далее, в силу принадлежности VФ2 пространству 0и,я2 (П2) потенциал Ф2 с помощью решений вспомогательных задач 1У.1 и 1У.2 можно представить в виде:

Ф2 = Ф21 + ^22 при ф1 = -^п,1П1, ф2 = чП,2п2-

Рассмотрим уравнения (2.11) для идеальных жидкостей. Из них следуют интегралы Коши-Лагранжа

З Ф1

Р^ + Р1 = Ъ + ф) (в П), I = 2, 3. (2.22)

где через Ъ обозначены потенциалы полей р1ръ,,^1л1 , а о^) — произвольные функции переменной ¿, I = 2, 3. Рассмотрим эти уравнения на Г2 и спроектируем на Ь2,г2, тогда динамическое условие (см. третье уравнение (2.14)) можно преобразовать к следующему виду:

З Фз

92Р2 = 92Рз + д(р2 - Рз)(2 = Рз92Ъз + Рз9+ д(р2 - Рз)(2 (на Г2). (2.23) Выразим теперь 92Фз\г2 с помощью представления (2.16) и оператора Сз:

92^з\Г2 = -СзЧп,2и2 на Г2. Тогда вместо (2.23) получим

З

92Р2 = Рз 92Ъз - Рз З^Сз1п,2П2 + д(р2 - Рз)(,2 (на Г2). Значит, согласно вспомогательной задаче У,

Р2 \ П2 = О^ Рз92 Ъз - Рз З^СзЧп^ + д(р2 - Рз)(^ .

Выразим при I = 2 функцию Р2 из (2.22), тогда уравнение (2.21) можно переписать в виде:

д Ui д

Pi--t + ßiAiVi + Gidil P2F2 - Р2 -t (CiiYn,iUi + Ci2Yn,2U2)j + g(pi - P2)Gi(i

= Р1Р ,/1 (в П1).

Далее для всех функций переменной Ь со значениями в гильбертовых простран-

^ й д ствах их производные по Ь будем обозначать — вместо —.

аЬ дЬ

Проведенные в этом пункте рассуждения можно сформулировать в виде следующей леммы.

Лемма 1. Пусть и1} Ур1; УФг, VI, I = 2, 3, (j, 3 = 1, 2, — классическое решение начально-краевой задачи (2.9)-(2.15), тогда функции йк, к = 1, 2, ^, 3 = 1, 2 являются решением следующей задачи Коши:

а

аЬ 1

(2.24)

а

— (р2 (02С121^п, 1 й1 + С2С221п,2й2)+Рз<2Сз7п ,2 й2)+g(р2-Рз)<2<2 = Р2^2^2^2—Рз&З^з, аЬ

(2.25)

а

(д(р1— Р2)<1) = д(р1— Р2)7п, 1й1, (2.26)

а

йЬ (д(р2 — Рз)С2) = д(р2 — рз)1п,2й2, (2.27)

йк(0, х) = йк(х), х Е Пк, к = 1, 2, 0(0,х) = С°(х) X € Г,3 = 1, 2. (2.28)

Введём операторы С1 := д(р1 — р2)С1; С2 := д(р2 — рз)С2. Тогда справедлива следующая

Лемма 2. Имеют .место соотношения

С1 = д(р1 — р2)1п, 1, 1п, 1 € ЦХ,31 (П1); Нг"11/2).

С2 = д(Р2 — РзЬп ,2, 7п ,2 € С(/,32 (П2); ННГ21/2)-

Доказательство. См. доказательство леммы 6 из [2]. □

3. Преобразование задачи к стандартному виду

3.1. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

В задаче (2.24)-(2.28) введём новые искомые функции по формулам

г

(Ь) := а1г/2 [ е~вг(г~з)щ^йв Е /,31 (П1), г = Т~т. (3.1

Тогда

dwr ~dt

alJ2Üi — ßral/2 e ßr(t sUl(s)ds = alr/2nl — ßrwr, r = l,m.

(3.2)

Теперь с учётом (3.1),(3.2) задача (2.24)-(2.28) переписывается в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

d

dt ((PlI + p2GlCnYn,l) Щ + p2GlCi2Yn,2U2)+ßlÄl ( Щ +

л m л

I ul + у. ar wr I

\+g{pi-p2 )Gi(i =

PlP0,Si fl — P2 GlF2

dw ~dt

r — a^r/2nl + ßr wr = 0, r = 1,m.

(3.3)

d

— (P2G2C2lYn,lUl + (P2G2C22In,2 + P3G2C3Yn,2) U2)+g(p2 —P:î)G2<2 = P2G2F2 — P3G2F3, dt

d ô dt (g(pl— p2)(l) — G lUl =0>

d ô dt (g(P2 — P3i)(2) — G*U2 = 0,

Uk(0,x) = Uk(x), x e Qk, k = 1, 2, (0,x) = Z0(x) x e Г,j = 1, 2,

wr(0,x) = 0, r = l,m. Коротко эта задача может быть записана в виде:

Т^ = -Az + g(t), z(0) = z0,

PlI + P2GiCiiYn,l 0T P2G1C12 Yn,2

T := diag{C, B}, C := | 0 î 0

P2G2C2lYn,l 0 P2G2C22 Yn,2 + P3G2C3 Yn,2

(3.4)

3.5)

3.6)

л-= ( A G )

A "V —G* O )

о

00 00

B := diag{g(p2 — pi)I,g(pa — p2)I}

A ат 0 \ / g(p2 — pl)Gl 0

A = I —a ß 0 I, G = I ô ô

0 0 0 ) V 0 g(p3 — P2)G2

(3.7)

/ Ul \ i PiPo,s1 fl — P2GF \

y 0

U2 , g(t)= P2G2F2 — P3G2F3 . (3.8)

Zl 0

V <2 ) \ 0 /

t

Здесь

А := ¡цАъ а := (а1/2,а1/2, /5:= }, и2 = УФ22,

(3.9)

5 := (А1/2$ь А1/2^2,... , А1/2$т)т, 0 := (О, О, 0)т, 1т := ^{0, 0}

т раз т раз

(3.10)

Операторная матрица А задана на области определения

т

V(A)= V(A) 0Т/(А1/2) 0 Ш 0 #;12 0 я;/2, Р(А1/2) := 0 Р(А1/2), (3.11)

Г=1

Ш := {УФ22 е 0^2,г2 (П) : (йь УФ22, УФз)т € ^(П), «1 € V(A), Щ • П1 = -УФ22 • Н е ЯГ12, УФ22 • Н = -УФз • Н € Я^} ,

и действует в пространстве Н := у ,(П) 0 у0 ,(П) 0 0s2,г2 (П) 0 ¿2 , гх 0 ¿2 ,г2,

где (П1) := 0 у0Л(П), Oh.S2.r2(П) := { V = У^ е 0^2(П) : ^ = 0 (Г1)}. Г=1 он

Замечание 2. Необходимо отметить, что задача (3.4) получена после дополнительной симметризации путём замены

$г = А-1/2уг, уг е Jо,Sх(П1), г =1,т.

Тогда из (3.3) имеем соотношения

а _

О- (А-1/2уг) = а\/2й1 - вгА-1/2уг, г = 1,т, (3.12)

аъ

и если й1(Ъ), — непрерывная по Ъ функция со значениями в у0^х(П1), а уг(Ъ), г = 1,т, — со значениями в у0^х(П1), то правая часть в (3.12) непрерывна по Ъ со значениями в у0^х(П1) = Т>(А1/2). Поэтому к обеим частям в (3.12) можно применить оператор

А1/2.

3.2. Свойства операторных коэффициентов

Лемма 3. Оператор Т из (3.5)-(3.6) ограничен, самосопряжён и положительно определён.

Доказательство. Свойство ограниченности следует из того, что ограничены все операторные коэффициенты матрицы Т. Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить ограниченность, например, оператора С1С117га>1. Он действует из J0,Sх (П1) в (П1). Действительно, для у € У0,зх (П1) элемент е ЯГх1/2. С

помощью вспомогательной задачи 1У.1 найдём функцию Ф21 при условии, что

ф1 = 7пдЛ. Тогда в силу свойств ограниченности операторов С11 и 01 оператор 01С11/уп,1 ограничен, а его действие следующее:

ОСп^пЛ = 0ЛФ21\Г1 Е 0^1 (П) С л081 (П).

Найдём квадратичную форму оператора Т в комплексном гильбертовом пространстве Н. Для любого г Е Н имеем

m

(Tz, z)h = Pi J ^i^d^ + P2 J GiCiiYn,iUi • UidÜi + ^ J \yr\2dÜi+

П1 П1 Г i П1

+Р^ 01С12ЧП,2УФ22 • П1&П1+Р2! 02С21^п,1 Щ • VФ22dП2+Р^ 02С221п,2^Ф22 • VФ22dП2+

^2 ^2

(3.13)

+Рз У 02Сз^п,2^Ф22 • VФ22dПl + д(Р2 - Р1) ^ \б№ + д(Рз - Р2) I \б№

П2 Г1 Г2

Преобразуем второе и четвёртое слагаемые в (3.13), используя свойства решения вспомогательных задач 1У.1, 1У.2, операторов С11, С12, взаимную сопряжённость операторов 01 и ^п^, и свойства потенциала Ф21:

р2 J GiCiiYn,iUi • UidÜi + Р2 J GlCl2Yn,2VФ22 • UidÜi = Р2 J CiiYn,iUi • Yn,iUi n1 n1 r1

+P2 J Ci2 ^п^Ф22 •1п,1П1^Г1 = P2 J 0^2l •-пД^МГ + P2 J Ql Ф22 •-ТП.АМГ =

Г1 Г1 Г1

¡\ З Ф21Л^> [ ^ З Ф21.„ г , , З Ф21 _

= Р2 Ф21 • + Р2 Ф22 • = Р2 (Ф21 + Ф22) • - -З^ ¿ГЬ

Г1 Г1 Г1

Аналогично с учётом свойств операторов С21 и С22, 02 преобразуем пятое и шестое слагаемые, получим:

-Ф

Р2 J G2C2lYn,lUl•VФ22dÜ2+р2 J G2C22Yn,2VФ22•VФ22dÜ2 = р2 J (Ф21 +Ф22)^—2dГ2■

П2 П2 Г2

Кроме того, используя вспомогательную задачу III, преобразуем седьмое слагаемое в (3.13):

р3 I G2C3Yn,2U2 • VФ22dÜ2 = р3 / Ф3 • ( -) dГ2

П2 Г2

(-Р)

-n2

Тогда взамен (3.13) получим

(Тг,г)п = Р1 у |й1|2а^1 + ^ J у|2а^1 + Р2! |УФ2|2ап2 + рз у |УФз|2аПз+

Пх Г 1 Пх П2 Пз

(3.14)

+д(Р2 - Р1) I Ы2^ + д(рз - Р2)! |С2|2аг2 > р. гх г2

С учётом ограниченности оператора Т из (3.14) можно установить, что он самосопряжён и положительно определён. □ Изучим теперь общие свойства оператора А из (3.7), (3.11).

Лемма 4. Операторная матрица А допускает факторизацию в виде произведения трёх матриц с симметричным окаймлением средней матрицы:

A=(A I)(i $)(A D• ™

где

(д(р2 - Р1)А-1/201 0 \ /д(р2 - р1)С1А-1/2 0 0

3+:=| 5 0 I, <:=| 0 0

0 д(рз - Р2)02) \ 0 0 д(рз - р2)02

А1/2 0т 0 \ / I ат 0 \

А := | 5 //т 0 I , I := | -а в? 0 I , ? := diag{I, I} □

, 0 0т I ) \ 0 00/

Лемма 5.

А-1/201 = (СХА^Пщо,),

причём замыкание по непрерывности оператора А-1/201 совпадает с (0*А-1/2)*.

Доказательство. См. доказательство леммы 9 из [2]. □

Из леммы 5 непосредственно следует следующий результат.

Лемма 6. Справедливо соотношение 3+ = <3*, <3+ = 3*^(сх)^(с2).

Лемма 7. Операторная матрица А из (3.7)-(3.11) является аккретивной в пространстве Н, т.е.

Яе(Аг, г)н > 0, У* е V(A) СН. □

Доказательство. Действительно, (М*)н = (Ай1,Щ1)/ол(Пх) + (атУ^^Х^(Пх) + Ь1(°1<1,й1)10^1 (Пх) - (ай1,у)/0,5х(Пх) +

+ (ßy,y) fo Si ш + b2(G2(2, V Ф22) G h , S2 (n2) - bl(Yn,lUl,Cl)L2 , г1 - b2(Yn,2V Ф22,(2) L2,

(AUl,Ul)J0:S1 (П1) + (ßy,y)J0sS1 (П1) + &y,Ul)XSS1 (П1) - &y,Ul)Jo,S1 (П1) +

ЫСьТп^^г - Ь1(С1,^п,1'и1)Ь2Г1 + Ь2((2,7п,2VФ22)L2,г2 - Ь^Пп^§22)^ ^ , откуда следует, что

т

Ке(Лг,г)н = ^и^и^^, % ш + ^&(Уг,Уг)/0 ,51 т > 0 □

Г=1

Введём операторную матрицу

X ■= X + а ^(0;0Т; I; I; I), а> 0, X ■= . (3.16)

Тогда для Ха выполняется неравенство

)н > о\\г\\2н, о> 0. (3.17)

Из (3.16) следует, что операторная матрица Л из (3.15) принимает вид

Л = сИ^(Л; ¡2)Ха&щ(Л; Ь) - а сИ^(0; 0Т; I; I; I) =■

(3.18)

=■ Ла - а &^(0;0Т; I; I; I).

При этом оператор Ла представлен в виде произведения трёх сомножителей, каждый из которых имеет ограниченный обратный. Поэтому Ла допускает расширение путём замыкания среднего сомножителя, и в итоге возникает максимальный равномерно аккретивный оператор.

Лемма 8. Замыкание Аа оператора Ла представляется в виде

Аа = diag(A1/2; I; I)Х<И^(А1/2; I; I),

(-g Gl) , 1 := 1 + а diag{0;0; I}

Ха 1 -С а1

где Ха — равномерно аккретивный оператор, для которого выполнено свойство (3.17) (с заменой Ха ^ Ха). При этом

m

D(Aa) = <; У = (Ui; y; VФ22; (i; (2)" : U E V(A1'2), Al/2ui + J] al/2yr+

r=l

+g(pi - p2)(G*iA-l/2)*Zi E V(A1'2)} , R(Aa) = H, ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2018, том 8(36), №2

г

2

и оператор Aa действует на V(Aa) по закону

/ Al/2(Al/2Üi + Ó-у + gfa - p2)(G*1A-1/2)*(i) \ -aA1/2u1 + ву AaZ = aV^22 + g(p2 - Рз)G2Z2

g(pi - p2)g*IuI + a(i

V -g(p2 - Рз)0*2^Ф22 + a(2 )

□

4. Теорема о разрешимости задачи

Вернёмся к задаче (3.7)-(3.11) и перепишем её с учётом (3.18) в виде

r^ = -(Aa - aP)z + g(t), z(0) = z° := (ü?; 0; Uj; Z°; C2°)T, z = (U?; у; УФ22; Zi; C2)r, P := diag(0; 0r; I; I; I).

Рассмотрим также аналогичную задачу с замкнутым максимальным аккретивным оператором:

dz —

Г- = -(Aa - aP)z + g(t), z(0) = z°. (4.1)

dt

Оператор Г самосопряжённый, положительно определённый и ограниченный в H, значит, для него существует оператор Г-1, обладающий теми же свойствами. Тогда из (4.1) имеем:

dz = Г-1 (Aa - aP)z + r-1g(t), z(0) = z°. (4.2)

dt

Введём в H эквивалентную норму по формуле

(z,z) := (Tz,z)H = (T1/2z, r1/2z)H.

Эквивалентность этой нормы стандартной норме следует из свойств оператора Г.

Легко проверить, что оператор T-1(Aa - aP) будет максимальным аккретивным в новом скалярном произведении, и тогда -T-1(Aa - aP) является генератором сжимающей С°-полугруппы. Поэтому по теореме Филлипса (см. [5, с.166]) задача Коши (4.2) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,Т], если выполнены следующие условия

z° eV(A) cV(Aa), g(t) e C1([0,T]; H). (4.3)

Из условий (4.3) получим соответствующие условия на начальные данные исходной задачи (1.2)-(1.11).

Так, из принадлежности элемента z0 области определения оператора A следует,

что

U° e V(A) с V(A1/2), Z° e V(Gj) = яГ/2, j = 1,2.

3

Аналогично получим условие для f j (t):

fk(t) e C 1([0,T]; Í2(ük))), k = 173.

Определение 1. Будем говорить, что исходная начально-краевая задача (1.2)-(1.11) имеет сильное решение { й1 (¿); й2(^); йз(^); (1^); (2(^)} на отрезке [0,Т], если выполнены следующие условия:

1. йк(г) е С 1([0,т]; (Пк)), к = ТТ3;

2. щ(г) = ^^(^щ(г) (см. (1.3)) обладает свойством щ(г) е С([0,Т]; Т>(А));

3. О(г) е С1 ([0, Т]; я;/2), 3 = 1, 2;

4. для любого г е [0,Т] выполнена система уравнений (2.24)-(2.27), где все слагаемые в первом уравнении — элементы из С([0,Т]; уо,,дх (^1)), во втором — элементы из С([0, Т]; у0,з2 (^2)), а в третьем и четвёртом — из С([0,Т]; ЯГ/2) и С([0,Т]; Я^/2) соответственно;

5. выполнены начальные условия (2.28). □

Сформулируем теперь теорему существования и единственности сильного решения задачи (1.2)-(1.11).

Теорема 2. Пусть выполнены условия

Щ еV(A), й е Я 1(Пг) п Уо,81 (П), (0 е я1/2, 3 = 1, 2,1 = 2, 3.

3

ук(г) е С 1([0, Т]; Ь2(Пк)), к = ТТ3;

тогда начально-краевая задача (1.2)-(1.11), имеет единственное сильное решение на [0; Т].

Доказательство. Доказательство, основанное на обратном переходе от задачи Коши (4.2) к начально-краевой задаче (1.2)-(1.11) с использованием результатов лемм 2, 3-8, проводится по схеме доказательства теорем 2, 3 и 5 работы [2] и здесь не приводится. □

4.1. К задаче о нормальных колебаниях гидросистемы

Рассмотрим теперь постановку задачи о малых нормальных движениях исследуемой гидросистемы, т.е. о таких решениях однородной задачи (4.1) с замкнутым основным оператором, которые зависят от г по закону

г(1) := ( ЗД); /(г); УФ22(г); С1СО; С2СОГ = (йь у; УФ22; <1; С2)те-Л

где Л е С — комплексный декремент затухания, а ( й1; у; УФ22; С2)т — амплитудный элемент.

Тогда для отыскания амплитудных элементов возникает спектральная задача

А1/2(А1/2й1 + а у + д(р1 - р2)(С1А-1/2)*С1) = Л((рlI + Р201Си1п,1)й1 +Р201С127п,2^Ф22),

- а\,/2 А1/2и1 + /гуг = Луг, г = 1, т,

д(р2 - Рз)&2(2 = Л(р202С211п,1й1 + (р202С221п,2 + РзС2Сз!п,2)^Ф22),

- С1 й1 = Л£ь

- С2УФ22 = Л(2.

(4.4)

В случае Л = 0 приходим к соотношениям

А1/2(А1/2щ + ату + д(Р1 - Р2)(0*1А-1/2)*(1) = 0,

вг Уг = а1г/2А1/2и1, г = 1,т,

О2С2 = 0, (4.5)

01 и1 = 0, 0*^22 = 0.

Домножим скалярно третье соотношение на элемент и2 Е (П2), будем иметь

0 = (02(2,и2)£2(П2) = {(2,Yn,2'U2}L2,г2 ,

откуда в силу произвольности и2 следует, что (2 = 0. Аналогично из последних двух связей получаем, что и1 = 0, VФ22 = 0, тогда из второго соотношения следует, что ууг = 0, г = 1, т, и, наконец, из первого —

А1/2(д(Р1 - Р2)(01А-1/2)*(1) = 0.

Домножая это соотношение на (д(Р1 - Р2))-1, а затем скалярно на элемент и1 Е (П^, получим

0=(А1/2(01А-1/2)* (1 Щ1)ЫП1) = {(1,01А-1/2А1/2щ ^2,Г1 = {Cl,ln,lUl)L2гГ1.

Отсюда можем заключить, что £1 = 0 в силу произвольности элемента и1.

Таким образом, задача (4.5) имеет лишь тривиальное решение, т.е. Л = 0 не является собственным значением задачи (4.4).

Рассмотрим ещё случай, когда Л = [в3, в = 1,т. Вместо (4.4) теперь будем иметь систему уравнений

А1/2(А1/2щ+У+д(Р1 - Р2)(01А-1/2)* С1 ) = вэ(Ы+Р201С111пЛ)щ + Р2 ОС^п,24^22), - о1г/2А1/2и1 + вгУг = в У, г = 1,т,

д(Р2 - Рз)02(2 = вз(Р202С21^п,1Щ1 + (р2О2С227Щ2 + Рз02Сз7п,2^Ф22), 01и1 = в 3(1,

0*2VФ22 = вз(2-

Из второго соотношения при г = в заключаем, что и1 = 0 в силу обратимости оператора А1/2. Тогда из четвертого уравнения получим, что £1 = 0, а из второго при г = в — свойство уг = 0. Выразим из последнего соотношения (2 и подставим в третье. Получим

(д(Р2 - Рз)в-10202 - вз(Р202С221п,2 + Рз02СзЧп,2^Ф22 = 0. (4.6) Домножим (4.6) скалярно на элемент VФ22 Е Оь,6'2,г2 (П2), получим

0 = д(Р2 - Рз)в-1(0202VФ22, VФ22)L2(íh)- (4.7)

-взр2{С2С221п,2^Ф22, VФ22)L2(П2) - ваРэ^Оз^УФ22, £2(П2)"

Используя свойства операторов О22, Оэ и G2 для каждого из слагаемых получим следующие соотношения

2

аг2,

/ с2с2уф22 -уф22ап2 — 7п,2УФ 22 ' Yn,2УФ22ЙГ2 — / 'п2 ./г2 ./г2

д Ф

22

дп

/ G2Ü22Yn,2УФ22 • УФ22Й^2 — C22Yn,2VФ22 • Yn,2УФ22ЙГ2

'П2 -М

-[ О2Ф22 •-^ dr — -f |УФ22|2а^2,

,/Г2 дп J0.2

/ G2Ü3jn,2УФ22 • VФ22dП2 — Сз7п,2^Ф22 • Yn)2VФ22dГ2 'П2 -М

-[ О2Ф3 • ^dr2 — -[ 92Ф3 •-дФзdr2 — -[ |VФз|2dПз ' дп2 ,/г2 дп2 Jn4

'Г2

Подставляя эти результаты в (4.7) получим

О — g(p2 - Рз)Д

-1

s

'Г2

д Ф

22

дп

dr2 + ßsP2 |VФ22|2 d^2 + ßsP3 ^Фз№,

Jn2 Jn:i

откуда следует, что УФ22 = 0, а значит и (2 = 0. С учётом этих равенств из первого уравнения приходим к выводу, что уа = 0, т.е. Л = ва, в = 1,т, тоже не является собственным значением задачи (4.4).

Опираясь на эти факты, преобразуем при Л = 0, Л = ва, в = 1,т, задачу (4.4) к спектральной проблеме, исключив уг и Zj, г = 1,т, ] = 1, 2. Имеем

Л

(

PiI + p2GiCnYn,i

P2GlCi2Yn,2

Р2 G2C2lYn,1 P2G2C22Yn,2 + P3G2C3Yn,2

+Ц g(pi - p2)GiGi 0

+ Л1 0 g(p2 - P3)G2G2

Ai1 -1

r=i 0

0 0

) ( V Ф22 )

) ( V Ф>22

( -i ) — ( 0) V VФ2^ V 0 у

+

Осуществляя ещё здесь замену

А1/2щ =: ф е /оЛ (П), приходим к спектральной проблеме для элемента х(£) := (ф; УФ22)Т

Ь(Л)х:=(¿\^{во(Л);;0}-Лdiag{A1/2; 0}Cdiag{A1/2; 0}-Л-1diag{blQQ*; b2G2G*2}^х =0

x-4.8)

2

во(Х) := 1+V^(вг-X)-1, C :=( pJ + ^ f^ClG \

^ \ p2G2C2lYn,1 p2G2C22Yn,2 + P3G2 C3Jn,2 )

r=1 4 7

в пространстве J0,Sl (^1) Ф Jo,s2 (^2) для операторного пучка L(X).

Задачу (4.8) можно исследовать методами спектральной теории операторных пучков (см. [6]). В частности, можно установить, что спектр этой задачи дискретен, расположен в правой комплексной полуплоскости и состоит из шести ветвей собственных значений, которым отвечают пограничные волны на границе раздела Г1, поверхностные волны на Г2, внутренние диссипативные волны в области П1, а также диссипативные волны, обусловленные вязкоупругостью жидкости.

Подробно эти свойства решений спектральной задачи (4.8), а также свойства полноты и базисности её корневых (собственных и присоединённых) элементов будут изучены в другой работе.

Список цитируемых источников

1. Агранович, М. С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей. // Успехи матем. наук. — 2002. — Т. 57, Вып. 5(347). — C. 3-78.

Agranovich, M. S. Spectral problems for second-order strongly elliptic systems in smooth and non-smooth domains. Russian Mathematical Surveys, 57:5(347), 3-78 (2002).

2. Копачевский, Н. Д. О малых движениях системы из двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижный сосуд. // Динамические системы. — 2017. — Т.7(35), №1. — С. 109-145.

Kopachevsky, N. D. Small motions of two viscoelastic fluids in stationary containers. Dinamicheskie Sistemy, 7(35):1, 109-145 (2017).

3. Копачевский, Н. Д., Крейн, С. Г., НгоЗуйКан Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. — М.: Наука, 1989. — 416 с.

Kopachevsky, N. D., Krein, S. G., Ngo Zuy Kan Operator methods in linear hydrodynamic. Evolutional and Spectral problems. Moscow: Nauka, 1989.

4. Копачевский, Н.Д., Сёмкина, Е. В. О малых движениях гидросистемы "вязкоупругая жидкость-идеальная жидкость", заполняющей неподвижный сосуд. // Динамические системы. — 2017. — Т.7(35), №3 — С. 207-228.

Kopachevsky, N. D., Syomkina, E. V. Small movements of hidrosystem in stationary containers. Dinamicheskie Sistemy, 7(35):3, 207-228 (2017).

5. Крейн, C. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 464 с.

Krein, S.G. Linear differential equations in a Banach space. Moscow: Nauka, 1967. (in Russian)

6. Маркус, А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинев: «Штиинца», 1986. — 260 с.

Marcus, A. S. Introduction to the spectral theory of polynomial operator pencils. Kishinyov: Shtiintsa, 1986. (in Russian)

7. Милославский, А. И. Спектр малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом сосуде // Успехи матем. наук. — 1989. — Т.44, №4.

Miloslavskiy, A. I. Spectrum of small oscillations of a viscoelastic fluid in an open vessel. Uspehi Matem. Nauk, 44:4 (1989). (in Russian)

8. Милославский, А. И. Спектр малых колебаний вязкоупругой наследственной среды // ДАН СССР. — 1990. — Т. 309. — №3.— С. 532 — 536.

Miloslavskij, A. I. The spectrum of small oscillations of a viscoelastic hereditary medium. Sov. Math., Dokl. 40, No. 3, 538-541 (1990).

9. Agranovich, M. S. Remarks on potential spaces and Besov spaces in a Lipschitz domain and on Whitney arrays on its boundary. // Russian Journal of Mathematical Physics — 2008. — Vol. 15., No.2. — P. 146-155.

10. Azizov, T. Ya, Kopachevskii, N. D, Orlova, L. D. Evolution and Spectral Problems Related to Small Motions of Viscoelastic Fluid // Proceedings of the St.-Petersburg Math. Society, Vol. VI. AMS Translations (2) —2000. — Vol. 199. — P. 1-24.

11. Eirich, F. R. Rheology. Theory and Applications. — New York: Academic Press, 1956. — 761p.

12. Gagliardo, E. Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova — 1957. — Vol. 27. — P. 284-305.

13. Kopachevsky, Nikolay D, Krein, Selim G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. — Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid. (Operator Theory: Advances and Applications. Vol.128) — Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 2001. — 384 p.

14. Kopachevsky, Nikolay D, Krein, Selim G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics.. — Vol. 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluids. (Operator Theory: Advances and Applications. Vol.146) — Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 2003. — 444 p.

Получена 17.05.2018