К проблеме малых движений системы трёх сочленённых маятников с полостями, заполненными однородными несжимаемыми жидкостями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Динамические системы, 2018, том 8(36), №4, 337-356 УДК 517.98+517.955+532.5

К проблеме малых движений системы трёх сочленённых маятников с полостями, заполненными однородными несжимаемыми жидкостями

В. И. Войтицкий

Таврическая академия,

Крымский федеральный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе представлена физическая и математическая постановка новой линейной начально-краевой задачи, моделирующей малые движения гидросистемы, состоящей из трёх сочленённых маятников с полостями, заполненными однородными несжимаемыми жидкостями. Задача состоит из трёх линеаризованных уравнений изменения кинетического момента (относительно точек подвеса маятников), линеаризованных уравнений Эйлера и Навье-Стокса для идеальных и вязких жидкостей соответственно, динамических и кинематических условий на границе раздела жидкостей, вспомогательных краевых условий и начальных условий. Доказан закон баланса полной энергии и описаны основные ожидаемые свойства решений. Ключевые слова: физический маятник, уравнение изменения кинетического момента, однородная несжимаемая жидкость, граничное условие, формула Грина, закон баланса полной энергии.

To the Small Motion Problem of Three Joined Pendulums with Cavities Filled with Homogeneous Incompressible Fluids

V. I. Voytitsky

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, 295007.

Abstract. We provide physical and mathematical statement of new linear initial boundary value problem modeling small motion of hydromechanics system consists of three joined pendulums with cavities filled with homogeneous incompressible fluids. The problem consists of three linearized equations of angular momentum deviation (relative to the point of suspension), linearized Euler and Navier-Stokes equations for ideal and viscous fluids respectively, dynamical and kinetic boundary conditions on free boundary surfaces, auxiliary boundary conditions and initial conditions. We prove the law of full energy balance and describe general properties of solutions.

Keywords: physical pendulum, equation of angular momentum deviation, homogeneous incompressible fluid, boundary condition, Green's formula, law of full energy balance. MSC 20 10: 70E55, 35M33

© В. И. ВОЙТИЦКИЙ

1. Введение

В работе приводится вывод новой начально-краевой задачи о малых движениях системы трёх сочленённых маятников с полостями, заполненными однородными несмешивающимися несжимаемыми жидкостями. Данная задача попадает в класс наиболее интересных и распространенных частично-диссипативных гидромеханических систем, и моделирует случай общего положения, когда часть жидкостей являются идеальными, часть — вязкими.

Задачи для одного маятника с жидкостью исследовались ранее многими авторами, начиная с работы Н.Е. Жуковского [5]. Отметим вклад Н.Н. Моисеева, Г.С. Нариманова, Д.Е. Охоцимского, Б.И. Рабиновича, Л.Н. Сретенского, Ф.Л. Черноусько, С.Ф. Фещенко, И.А. Луковского, С.Г. Крейна, Н.Д. Копачевского (см. [6]) и др.

С помощью использования операторных методов математической физики подобные линейные динамические системы с жидкостями изучаются в последнее время Н. Д. Копачевским и соавторами (Э. Батыром, В. И. Войтицким, З. З. Ситшаевой), см. работы [2]-[4], [7]-[10]. Отметим, что ранее рассматривались преимущественно более простые задачи для консервативных и диссипатив-ных систем. При этом в последних работах был предложен универсальный операторный подход, позволяющий сводить различные постановки задач к задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве с операторными коэффициентами, имеющими определённых физический смысл. Далее предполагается провести полное исследование задачи с доказательством теоремы существования и единственности, а также описанием спектральных свойств. В данной работе сделан первый шаг — проведён формальный вывод уравнений движения маятников и жидкостей и сопутствующих краевых условий, а также доказан закон баланса полной энергии, соответствующий физическому смыслу задачи.

2. Постановка задачи. Вывод уравнений изменения кинетических моментов

Пусть имеется система из трёх сочленённых маятников О к, к = 1, 3, имеющих массы Шк. В каждом теле имеется точка подвеса, относительно который совершаются малые свободные колебания. Пусть тело О1 имеет неподвижную точку 0\, а тела Ок (к = 2, 3) — соответственно точки 0к, соединяющие Ок с Ок-\, в которых расположены сферические шарниры.

Предположим, что внутри каждого тела имеется по одной полости, причём в теле О1 полость целиком занята системой двух однородных идеальных несжимаемых жидкостей с плотностями р11 > р12, занимающих в состоянии равновесия области Пц и П12, разделённых движущейся поверхностью Гц(£); в теле О2 полость целиком занята системой трёх однородных вязких несжимаемых жидкостей с плотностями р21 > р22 > р23, занимающих в состоянии равновесия области П21, П22 и П23, с движущимися границами раздела Г21(£), Г22 (¿), а полость П31 тела

О3 целиком заполнена однородной идеальной несжимаемой жидкостью с плотностью р31 > 0. Пусть кроме движущихся поверхностей жидкости Qij (г = 1, 2) контактируют с твердыми стенками Б^.

Будем считать, что на данную систему тел в состоянии покоя действует однородное гравитационное поле д, а в процессе малых движений — силовое поле Г := д + /(Ь,х), где /(Ь,х) — малая динамическая добавка к гравитационному полю. Предполагаем также, что в шарнире О к сила трения пропорциональна разности угловых скоростей примыкающих тел О к и причем коэффициент пропорциональности ак > 0, к = 1, 3.

Для описания малых движений системы введем неподвижную систему координат О1х1х2х'3 с ортами ^, ] = 1, 2, 3, так, чтобы д = -де'3. Кроме того, введем подвижные системы координат О к хк хк х\, жестко связанные с телами О к, к = 1, 3. Единичные векторы вдоль осей Окхк обозначим через ек, ] = 1, 3. Кроме того, будем считать, что в состоянии покоя центры масс Ск тел О к, а также точки О к находятся на одной оси Ох = О2х3 = О3х3.

Положение подвижной системы координат Ок хк хк х\ относительно неподвижной системы О^1 х2х3 в процессе малых движений гидромеханической системы будем задавать малым вектором углового перемещения

4 = j(t)ej, k = 1,3. j=i

Тогда угловая скорость Qk (t) тела Gk будет равна dSk/dt, а угловое ускорение этого

тела - величине d2 8k/dt2 = duk/dt.

Обозначим через Rk — радиус-вектор, идущий из полюса Oi в любую точку

тела Gk, rk — радиус-вектор, идущий из полюса Ok в любую точку тела Gk. Введем

также векторы hk = OkOk+i, к = 1, 2. Тогда, очевидно, что Ri = ri, R2 = hi + r2, k-i-, Rk = E hi + rk. i=i

Как известно из курса теоретической механики (см., например [6], с. 123), скорость изменения переменного вектора a(t) в неподвижной системе координат d'a/dt и скорость его изменения в подвижной системе координат da/dt связаны соотношением

d a _,, , _,, , , _ -

л = dt + Q(t) x a(t)• (2Л)

где Q(t) — мгновенная угловая скорость подвижной системы координат. Отсюда следует, что векторы абсолютных скоростей Vk произвольной точки тела Gk связаны с малыми векторами относительных скоростей Uk по формулам:

f (k-i \ k-i

hi + rk J = Qi xhi + & xSk + Uk.

\ i=i J i=i

Vk = = Jt{ ^ hi + rk 1 = > Qi x hi + Qk xSk + Uk. (2.2)

Аналогично получаем формулы для абсолютного ускорения: в! к-1

™к = (X!Ш1 Х Ь + Шк Х?к + йк) = 1=1

¿Д ¿Шг т _ т \ \ вшк _ вйк

= у (— х / + Шг х (шг х /+ х Гк + Шк х — + Шк х Ш х Гк) + ^т + шк х йк = аъ аъ аъ аъ

г=1

к—1

= ^^(—¡7 х^г + Шг х (Шг х /)) + —^ х Гк + Шк х (Шк х Гк) + 2Шк х йк + к

dt dt dt i=i

(2.3)

Введем обозначения

(...)dmi := /(...)pi(Ai + {...)piidÜll + (...)pi2dQi2, (2.4)

С\ Пю Пц П12

3

у (. . ,)вШ2 := У (.. .)Р2(А2 + У (.. •)Р2]вП23, (2.5)

С 2 П 2 0 ^ =1П2^

У(.. .)вшз :=](••.)РзовПзо + У (.. .)рз1вПз1, (2.6)

Оз П30 П31

где П0к С О к — область, занятая твердым телом плотности рк0 > 0, к = 1, 3.

2.1. Уравнения изменения кинетического момента относительно полюса 01 системы тел {О1; О2; Оз}.

Уравнение изменения кинетического момента системы сочлёненных тел относительно точки 01 в движущейся системе координат 01ж1^2жз имеет вид:

а' к

—1 = М1 + И? + Щ + Щ0, (2.7)

аъ111

где К1 — кинетический момент системы в ее движении относительно неподвижной системы координат; М1 — главный момент всех внешних сил (силы тяжести и других малых сил), действующих на систему тел; М^ — момент сил трения; МI — момент переносных сил инерции; — момент кориолисовых сил.

Имеем,

К = Г1 х #1 аШ1 + ( Ь,1 + г2) х Щ аШ2 + ( ¡1 + Ь,2 + Гз) х Уз ашз =

о О1 о О2 */ Оз

= Г1 х (Ш1 х Г1 + й1) аШ1 + / ( /¡1 + г2) х (Ш1 х /¡1 + Ш2 х Г2 + й2) аШ2 +

О О1 О О2

+ / ( ¡1 + ¡2 + Тз) х (Ш1 х ¡1 + Ш2 х ¡2 + Шз х Гз + йз) ашз; (2.8)

¿Оз

И? = -агШг. (2.9)

С точностью до малых второго порядка имеет место формула (см. [6], с. 132)

9 = -9 + 96к - 96к ек- (2.10)

Пусть (11(х,1) (х £ Гц) — функция, описывающая малые отклонения свободной границы раздела Гц(£) от плоской равновесной поверхности Гц вдоль нормали. Пусть аналогично функции (21(х,1) (х £ Г21), (22(х,1) (х £ Г22) описывают отклонения Г21(£) и Г22(1) вдоль нормалей относительно плоских равновесных поверхностей Г21 и Г22. Из условия сохранения объёмов жидкостей во время колебаний следует, что /г (.к ЛГ.. = 0, тогда с точностью до малых более высоких

2к

порядков справедливы соотношения

/ Г1 х 9¿Ш1 = Ш1 Г1,с х 9 + / (Г1 х 9)(пАрп dГll =

•УСх ¿Гц

= Ш1—11 еЦ] х [-д(в13 - ¿12вЦ + ¿11 в!2)] - Арпд (п х вЦХп dГll =

•/Гц

= -9Ш111Р261 + Арцд (е3 х пХн dГll, (2.11)

•/Гц

/ 62 х 9dШ2 = Ш2Г2,с х 9 + ( 62 х 9)(21^р21 dГ21 + ( 62 х 9)(22^р22 dГ22 =

./О2 м Г21 ^Г22

= Ш2П26в2] х [-д(в2 - 62е2, + 62 ё%)] - ^ АР219 I (62 х е^г dГ2l =

1=1 Г21

= -9Ш212Р262 + &Р219 (е2 х 62)^21 ^Г21 + Ар229 (е3 х 62)^22 dГ22, (2.12)

¿Г21 V Г22

/ Гз х 9 Лшз = ШзГз,с х 9 = -9Ш313Р2$3, (2.13)

" Оз

где Ар. = р. -Рг(з+1), Гк,с ■= Окс1, Шк — масса тела С., ¡к ■= \Око1\ — расстояние

2 .

от точки подвеса до центра масс тела С к в состоянии равновесия, Р2 6к ■= е..

з=1

Также имеем

/ (к1 х 9) ЛшШ2 = Ш2(Ь,1 х 9) + Ар21 (к1 х 9)(21 dГ2l + Ар22 (к-1 х 9)^2 dГ22 =

02 Г21 Г22

= Ш2[-к1 е2] х [-9(е2 - 6?е1 + $1е*)] = -9Ш2к1 Р26Ъ (2.14) / (к-1 + к2) х 9Лш2 = Шз((к1 + К2) х 9) = -9Шз(к1 Р261 + к2Р262). (2.15)

0з

В последних соотношениях предполагается, что кг = —кгез (с точностью до малых более высокого порядка), где кг := \0г0г+1\ — расстояние между шарнирами. Отсюда следует, что

М1 = Г1х(д+Т) аш1+ (к1+Т2)х(д+Т) 0ш2+/ ( /¡1+¡2+Тз)х(д+/з) аШз =

С1 С2 Сз

= —дш111Р2Т1 + Арцд ( е1 х Т1Х11 аги + / Т1 х /1 0ш1 — gш2(кlP2Т1 + /2Р2 Т2)+

,/Гп ,/О1

+ Ар21д I ( б| х Г2)(21 аГ21 + Ар22д I ( е| х Т2Х22 аГ22 + ( ¡1 + Г2) х /2 аШ2 —

V Г21 о Г22 V О2

— —дШз(к1Р2Т1 + к2Р2Т2 + /зР2 Тз) + ( ¡1 + ¡2 + Гз) х Т ашз, (2.16)

Сз

где ¡к(ъ,х) := /(ъ,х)\ой.

Очевидно, М{е = 0, при этом

з „к-1

' сог

М10 = — Г1 х (2Ш1 х й1) аш1 — ^ (^ кг + Гк) х (2Шк х йк) йшк (2.17)

^01 к=2 Ок г=1

является величиной второго порядка малости, поэтому мы ею пренебрегаем. Вычислим теперь производную по времени от кинетического момента К1:

а'К1 а Г1 аШ1 а Г1 а й1

= и -жх (Ш1 х Т1+й1 ) аШ1 + 4 Т1 х (игх Т1+Ш1 х + жт) аш1+

+ Ш1 х Г1 х (Ш1 х Т1 + й1) ¿ш1+

С1

з /* а к 1 к 1

+ ^ / аъ (^ кг + Гк) х (^Ш3 х к + Шк х Гк + йк) ашк+

к=2 Ок г=1 j=1

г /¿—^г ^ N /¿^ ^Шп г ^ акп1 аШк _ агк айк. ,

+£ / Е кг+Гк) х (Г ^х к+Шх жг]+жтх /к+Шк х -ж+жг) ашк+

к=2и Ок г=1 п=1

з „к-1 к-1

+ У^Шк х / (^ кг + /к) х (^Шп х к + Шк х Гк + йк) ашк. (2.18) к=2 ^Ок г=1 п=1

Поскольку мы предполагаем, что поля а/к /аъ = йк (в Пк) и Шк являются бесконечно малыми, то в формуле

^ТТ = ^^т + (йк •У)йк, к = 1, 2,

аъ дъ

можно пренебречь вторым слагаемым. Отсюда после линеаризации (2.18) получаем уравнение изменения кинетического момента относительно точки 01 системы

тел в подвижной системе координат

а'К1 Г _ ЛШ1^ [_ дйц [_ дй12 ,п ,

= СГ1 х х Г1) аШ1 + р11У Г1 х "дГаП11 + р12У Г1 х^таП12+

П11 П12 з „к-1 к-1

Т аШк

+ ¿ I Е hl + /k) х (J^£ x hj + -djtk x Гк) dmfc+ k=2 ^Gfc l=1 j=1 3 ^ _ д _

P21 J( hi + /2) x -__2 d^2i + P3 J ( hi + h2 + r3) x d^i =

l=1 П31

3 k-i „

-ttiti - gmiIP2 öi - дУ^тк(У^hiP2öl + lkP25k)+ gApii / ( ец3 x ri)(n drn +

k=2 l=i ^^ 2 n n n n к i

+ gj^ Аря ( б«3 x r=2)C2l dr2l + / ri x /i dmi + ^ / (h + /k) x Д dmk.

l=i 2; •''G1 k=2 G l=i

(2.19)

2.2. Уравнения изменения кинетического момента относительно полюса 02 системы тел {О2; Оз}.

Вывод уравнения производится аналогично предыдущему подпункту. В подвижной системе координат 02х^х^2х2 имеем

K2 = Г2 x (t2 x r2 + U2) dm2 + ( h2 + /3) x (t2 xh2 + t3 x r3 + U3) dm3;

JG2 J G3

(2.20)

Mf = -^(t - tti), «2 > 0; (2.21)

M2 = /2 x ( g + /2) dm2 + / ( h2 + /3) x ( g + /3) dm3 =

G2 G3

= -gm2hP2Ö2 + /2 x /2 dm2 - gm3(h2P2Ö2 + I3P2 f3)+

G2

+ gAp2W ( е| x /2)^2i dr2i + gAp22 ( ¿f x /2X22 dr22 + / ( h2 + /3) x /3 dm3; J Г21 J Г22 J G3

(2.22)

M2e = - r2 xtf2 dm2 - ( h2 + /3) x a\ dm3, (2.23)

G2 G3

ЛШ1 6 -> / -> 6 \ ЛШ1 6 ^

где а2 = —— х к1 + ш1 х (^ х к1) ~ —— х к1 — ускорение точки 02. Момент

ль ль

кориолисовых сил является бесконечно малой величиной, порядка выше единицы:

М2сог = - Г2 х (2Ш2 х 42) ЛШ2 - I (к2 + т%) х (2Шз х из) Лшз. (2.24)

02 0з

Вычислим производную по времени от величины К2 (см. (2.20)):

Л К [ Лб2 ^ , ^ , , [ ^ Л^2 ^ , ^ Ощ , ,

—— = -— х (Ш2 х Г2 + щ) ЛШ2 + Г2 х (— х Т2 + Ш2 х — + -г-) ЛШ2 + ЛЬ ,/02 ЛЬ ]02 ЛЬ ЛЬ дЬ

+ Ш2 х [ Г2 х (Ш2 х Г2 + щ) ЛШ2 + [ Л (к,2 + 63) х (Ш2 х Ь,2 + Шз х Гз + Нз) Лшз + Зо2 УОз ЛЬ

+ ( к2 + г з) х (—— хк2 + Ш2 х — + — хгз + Шз х — + —) Лшз + ]0з ЛЬ ЛЬ ЛЬ ЛЬ дЬ

+ Шз х (к2 + Гз) х (Ш2 хк2 + Шз х Гз + из) Лшз. (2.25)

0з

После линеаризации (2.25) получаем искомое уравнение изменения кинетического момента системы тел {С2; Сз} относительно точки 02:

Л'К " ^ 3

^2 1 - dä2 ^ [_ ди21

Г2 X (— X Г2) dm2 + Р21 Г2 х -д^- dil2l +

ЛЬ у ЛЬ =

О2 = П21

+ / (к2 + Гз) х (хк2 + хГз) Лшз + рЛ (к2 + Гз) х ЛПз1 = Уоз ЛЬ ЛЬ ]пз1 дЬ

= -а2(Ш2 - Ш1) - 9Ш212Р262 - 9Шз(к2Р262 + ¡зР26з) +

2

+ 9^Ар21 (е2 х 62)^21 ЛГ21 + 62 х ¡2 ЛШ2 + (к2 + Гз) х ¡з Лшз-

1=1 *Г21 ^ О2 ¿Оз

- I 62 х (^ х к) ЛШ2 - I (к2 + Гз) х (^ х к1) Лшз. (2.26) Зо^ ЛЬ УОз ЛЬ

2.3. Уравнения изменения кинетического момента относительно полюса 0з тела Сз.

В этом случае получаем

Кз = Гз х (Шз х Гз + из) Лшз; (2.27)

¿Оз

Мг = -аз(Шз - Ш2), аз > 0 ; (2.28)

Мз = 6з х (9 + /з) Лшз = -9Шз1зР26з + 6з х ¡з Лшз; (2.29)

Оз Оз

Мзе = — Тз хае ашз, (2.30)

Сз

-<е аШП Т , - Т NN аШ1 Т , аШ2 Т

где аз = ^ х к + х Ш х к)) ~ -—— х к1 + -—— х к2 — ускорение точки

аъ аъ аъ

п=1

0з. Моментом кориолисовых сил пренебрегаем.

Вычислим производную по времени от величины Кз:

а'Кз гаТз ^ г _ аГз дйз

— = ^ х (шз х Г 3 + йз) ашз + 4 Г 3 х ( ЖГ х Т3 + Шз х -ж + -ж) ашз+

+ Шз х Тз х (Шз хТз + йз) ашз. (2.31)

Сз

После линеаризации уравнение изменения кинетического момента относительно точки 0з тела Оз в подвижной системе 03ж3ж3ж3 координат принимает вид:

У Тз х (х Тз) ашз + Р31 У Гз х аПз1 = —«з(Шз — Ш2) —

Сз Пз1

аШ1 аШ2

— дшз/3Р2 Тз + / Тз х /з ашз — Тз х (—1 х Ьц + —2 х ¡2) ашз. (2.32)

Сз Сз аъ аъ

2.4. Преобразование уравнений изменения кинетического момента системы тел.

Из уравнений (2.19), (2.26) и (2.32) следует, что левые и правые части последующего уравнения целиком входят в левые и правые части предыдущего. Вычитая соответствующие левые и правые части, получаем упрощенную форму записи уравнений движения системы тел. Уравнение изменения кинетического момента относительно точки 0з переписываем без изменений.

/i x (di x dmi + pii £ ri x ^Ui düu + pi2 ^ /i x ^^ d^i+

G1 Пц П12

dt i dt 2 + hi x —— xhi + —- x rH dm2+

G2 dt dt

f (dt dt dt \ 3 f d и

+Lh14Jdtxhi +xh2+it xrVdm3+£P21 Lhi x ~жdÜ2l+

f du

+ P3i / hi x —-3 d^3i + «iti - «2(t2 - ti) + g(mili + him2 + him3)P2 öi-J П31 ^

- gApiW ( ei3 x ri)Cii drn = ri x fi dmi + ^ / hi x fk dmk =: Mi(t);

"11 k=2 Gfc

(2.33)

G2

(d1х hi + х rl) dm2 + ^p2lJ62 х жdÜ2l+

l— 1 о

/ dw1

¿AP2i f ( ё

+ I h2 х ^х hl + xh2 + d3 х dm3 + p3i J Я2 х ^ d^si+

2

+ «2 (£2 - £i) - «3(^3 - £2) + g(m2l2 + h2m3)P262 - g^Ap2i ( e| х 62X21 d^i =

l—l 2i

= 62 х f2 dm2 + h2 х 6з dm3 =: M2W, (2.34)

J G2 J G3

х hl + ~dt х h2 + ht х 63)

Гз х i "d^ х hl + -d^ х h2 + -d^ х r3 1 dm3 + p3i f 63 х ^ d^3i +

G3 П31

+ «3(^3 - £2) + gm3hP263 = 63 х f3 dm3 =: M3(t). (2.35)

JG3

3. Уравнения движения жидкостей в полостях

Первый маятник заполнен двумя идеальными жидкостями Пц, П12, для которых выполнены линеаризованные уравнения Эйлера:

—и —Т

—+ —1 ХП = -рп^рц + ¡11, П11 = 0 (в П11), (3.1) —Ь -Ь

—и —Т

-ттт + —ТГ ХГ1 = -р-2^р12 + ¡2, и 12 = 0 (в П12), (3.2) дЬ —Ь

с граничными условиями непротекания

и11 • п11 = 0 (на Б11) , и12 ■ п12 = 0 (на $12), (3.3) На свободной границе раздела Г11 выполнены кинематические условия

—Си [

—11 = ип ■ пи = М12 ■пц, (на Гц), С11 —Г11 = 0, (3.4)

—Ь ¡Гц

а также линеаризованное динамическое условие

Р11 - Р12 = АрцрССц + вп(Р281 х г!) ■ е13) (на Гп). (3.5)

Отметим, что с учётом условия сохранения объемов жидкостей , т.е. равенства /Гп Си — Гц = 0, следует, что -п € ¿2,гп := ^(Гц) 0 ер {1гп}. В силу того, что давления определяются с точностью до константы, считаем, что p1j € ¿2,Гп, отсюда в краевом условии (3.5) целесообразно использовать орто-проектор вц : ^(Гц) ^ ¿2,г11 •

Будем предполагать, что однородные вязкие жидкости i2i имеют кинематические вязкости > 0. Малые движения этой системы описывается линеаризованными уравнениями Навье-Стокса в подвижных системах координат Okxfxfxf (см. [6], c. 124):

dn2i dui т* du2 i

~7ГГ + ГТ xhi + —— X Г2 = -p2i VP21 + V21AU21 + J21, dlV U21 =0 (в П21), dt dt dt

(3.6)

du22 dwl т du2 1 Тт^

+ x hi + x r 2 = -P22 VP22 + V22AU22 + J 22, divU22 = 0 (в I¿22),

(3.7)

du23 dwl т du2 1 Ti^

~7ГГ + ГТ X hi + —— X Г 2 = -Pж VP23 + V23AU23 + J 23, div U23 = 0 (в ii23). dt dt dt

(3.8)

На твёрдых стенках выполнены условия прилипания

U21 = 0 (на S21), l = 1, 2, 3. (3.9)

Предполагаем, что капиллярными силами можно пренебречь, тогда в состоянии равновесия свободные поверхности r2i(t) являются неподвижными плоскостями, ортогональными вектору e 3. Они могут быть заданы уравнениями x'3 = -b2i < 0, где b2l = const.

Приравнивая напряжения в жидкостях на границах раздела после линеаризации получаем касательные динамические условия

Ц21Т.з(и21) = Ц22Гзз(П22) (на Г21) , (3.10)

1^22Гзз(и22) = 1^2зТзз(п2з) (на Г22) , ] = 1, 2, (3.11)

где ¡121 ■= р2г^2г — динамические вязкости в жидкости 0,2г,

. и Ц+И (312)

Из условия = Ь2г + (2г (Ь, х2г, х2г), после линеаризации приходим к динамическим краевым условиям для нормального напряжения

= Ар219(^21 + О21Р62 х 62) • е2) (на Г21),

(3.13)

= Ар229(^22 + О22Р62 х 62) • е%) (на Г22),

(3.14)

Р21 - 2ß2\

du2

21

dx2

21

P22 - 2ß

du2

22

22

dx2

22

P22 - 2ß22

du2

22

dx2

22

P23 - 2ß

du2

23

23

dx2

23

а также к кинематическим условиям

--21

dt 9(22 dt

= U2i • ™2i = U22 • U2i, (на ^i) = U22 • П22 = U23 • П22, (на Г22)

(3.15)

(3.16)

с условиями сохранения объемов -21 -Г2г = 0, I = 1, 2. В силу последних соотношений в краевых условиях (3.13), (3.14) используются ортопроекторы в21 :

Ь2(Г21) ^ Ь2,г21 := ЫГИ) 0 8р {1Г21}, I =1, 2.

По условию полость Пз1 целиком заполнена однородной несжимаемой идеальной жидкостью. Ее малые движения описываются линеаризованными уравнениями Эйлера:

—Пз1 -Т1 - —Ш2 - . —Тз ^ _1 г ^ . . , .

—— + — х ¡11 + — хк2 + — х гз = -PзlVpзl + /31, ¿IV из1 = 0 (в П31), (3.17) —Ь —Ь —Ь —Ь

с граничным условием непротекания

U3i • n3i = 0 (на S,3i)

(3.18)

где пз1 — внешняя единичная нормаль к 5з1.

Для полной постановки задачи необходимо также задать очевидные условия связи

— _ — _ _

-77Р28к = Р2Тк, — = к = 1, 3, —Ь —Ь

(3.19)

и начальные данные

Ujk(0,x) = Ujk(x), x е j, Zjk(0,x) = j(x), x e rjk £k (0) = £0, 6k (0) = 60, k = 1,3.

(3.20)

(3.21)

4. Закон баланса полной энергии

Будем считать, что задача (2.33)-(3.21) имеет классическое решение, т.е. в уравнениях, начальных и граничных условиях все слагаемые являются непрерывными функциями по своим переменным. Будем также для простоты обозначений скалярные произведения в Сз и Ь2 (П^) обозначать без комплексного сопряжения второго сомножителя. Тогда, умножая обе части уравнения (2.33) скалярно на Т1, используя свойства смешанного произведения векторов, а также очевидное тождество

1 — [ \ш х т\2 —П=!(ш Х Г) ■ (х г) —П, (4.1)

2 —Ь 3п Уп —Ь

получим

f 5/1- х *i2 +

2 f (du д u \

p.'L,u Xfl)' {-dtXfi + -w)

dQ

13

+

P20 (u1 х h.)

J П20

Qij

du.

+

r d-2 _ , dT xhi + х Г2 1 dÜ20

2

+

+

+

3 f (du

j^p23 (uix h.) • ( xh i +

_j=1 2j

d-2 д U2j .

X h 1 + X Г2 + ) dÜ2j

dt

dt

f r ч (du 1 r du2 r dti3 _

Рзо I (u 1 Xh 1) • ( — Xh 1 + Xh2 + X r^ dQ,3o

'П30

dt

dt

+

+

+

f Г \ (d-1 r , d-2 r , d-3 дщ.

P31 u Xh1) • — Xh1 + — Xh2 + — X Г3 + — I dQ31

Jn 31 V

dt

dt

dt

dt

+

g d r

+ (a1 + a2)iu1i2 - a2—2 • u + m1I1 + h(m2 + m3))dtP2r1|2+

+

IgApnj^ ^(dttP261) X r^efCn dTnJ = M^t) • (4.2)

1

2

3

4

5

Аналогично, умножая обе части уравнений (2.34), (2.35) соответственно ска-лярно на Ш2 и Шз, после преобразований получаем

Р20 (и2 X Г2) •

'П20

+

du1

\~Ж

du2

X h1 + —— X Г2) dÜ20

dt

2

+

С:

dt

dt

dt

+

sr^ I ,-> -> \ I du1 т* du2 du2j .

2^P2j (u2 X r 2) • ( — Xh1 + — X r2 + -ЦТ ) dQ2j j=1 n2j

P30 i (u2 X K2) • (^ Jn30 \ dt

du2 du3

Xh1 + -7T X h2 + -7T X r^ dQ30 dt dt dt

+

+

+

f r \ (du1 r , du2 r , du3 , du3 ,

p31 (u2 Xh2) • — Xh1 + — Xh2 + — X r3 + — ) dQ31

Jn 31 V

dt

dt

dt

dt

)

+

g

d

+ (a2 + a3)lu2l — а2Ш1 • Ш2 — а3Ш3 • Ш2 + ~(m2h + h2m3) — IP2621 +

W g ^ AP21 i

l 1=1 Jv2i

dV

(dp62) Xr^e^(21 dT2i } = M1(t) • u2; (4.3)

1

2

3

4

5

Р30 (£3 х 63) • ( Jn30 V

d£i d£2 d£3

~тг х hi + — xh2 + -7Т х 63 d^30 dt dt dt

3

+

+

, ^ , d£i 6 , d£2 6 , d£3 ^¿3 , ,n

p3i '„..(£3 х r3) 4 d х'ц + ^Tх h2 + х Г3 + ~St ' d"3i

0

+

д — — —

+ аз|£з|2 - «з£2 ■ £з + 2тз1з —Ь\Р28з\2 = Мз(Ь) ■ £з. (4.4)

Умножая обе части уравнений (3.1), (3.2) соответственно скалярно на и11 и и12 и интегрируя полученные равенства по областям П11 и П12 с учётом соленоидаль-ности полей п—, условий непротекания (3 .18) и формулы Гаусса-Остроградского, которая имеет вид . (p1jп1-) — П1j = /П1. Vp1j ■ п1- — П1j = _/Гп P1j ( п— ■п) — Г11 ( п — внешняя нормаль к области П—), после суммирования и использования краевых условий (3.4), (3.5) получаем

2

Е

.j—i

Pij ¿ij Jn.j

(duij d£i Л

{-äf + -ж ^J dih-j

+ / Vpij • Uij dQij

i j—WQij

+ f (Pii - Pi2) "ГЦ

i ./Гц dt

+

+ <j 2Apii I [ICiil2 + 20ii((P26i х ri) • ei3)^l1 ] "Гц

{2^11

I = £ pij L

J i j—i JQ

6ij • Uij d^ij•

ij

(4.5)

Считая, что решения уравнений движения вязких жидкостей (3.6)-(3.8) являются непрерывными функциями по всем своим переменным, выполнены классические формулы Грина для соленоидальных векторных полей в областях П^ (] = 1, 2, 3) (см. [1], с. 14):

( ^2i A¿2i + Vp2i) • V2i dÜ2i

Q21

ß2i E2i( ¿2i,V2i) - / ^2(^2iTjk ( ¿2i) - P2i6jk )(v2i)j COs( Щъ^ ) d^b

Г21

j,k—i

( ^22A¿22 + VP22) • V22 "^22 = ^22^22(622, V22)-

П22

У^ (ß22Tjk (U22) - P226jk )(V22)j COs( П22, ) "Г22 +

Г22

j,k—i

+ / ^2(^22Tjk (¿22) - P226jk )(V22)j COs( i^i,^ ) d^i,

Г21

j,k—i

4

5

i

( — ß23 A U23 + VP23) • r 23 dÜ23

n23

ß23 E23 (U23,V23) + / ^ &23j (U23 ) — P23^jk )(v23)j COs( П22, e2 ) ^22

Г22

j,k=1

где П21 = П22 = eg, E2i(mi ,V2i) : = -

У^ т.к(и2г)тзк(621) , I = 1, 2, 3.

\.,к=1 П21

Умножая скалярно обе части уравнений (3.6)-(3.8) соответственно на и2., интегрируя их по областям , после суммирования, использования приведенных формул Грина и краевых условий (3.10)-(3.16) получим

3 д U2j du1 du2

P2j j U2j ^+ — Xh1 + — X rH dQ2j

dt

dt

2

+

+ ( ß2j Au2j — Vp1j) • U2j dQ

2j

j=1 2j

+ ^2j E2j (U2j ,U2j ) +

j=1

i / « дп2л du22, d(21

+ / (P21 — P22 — 2ß21 -X1 + ^22 ) '

'Г21

21

dx22 dt

dr21+

3

3

.ff о du22 . 0 du23 ч d<22 ,-p

+ (P22 — P23 — 2ß22^3- + 2^23^)— dr

Г22

'dx322

dx23 dt

22

+ Y1 ^2j E2j (U2j ,U2j ) +

f£

11=1

d(2i

+ {} v Ap2ig (Z21 + &2i((P2 62 X r2) • e*))-£ dr

'Г21

dt

2i

}- £

) 2 j=1

j=1

P2j f2j • U2j dQ2j.

n2j

(4.6)

Аналогично выводу тождества (4.5) уравнение для третьей жидкости (3.17) приводит к соотношению

du31 dw1 r , du2 r , du3 ^ i

p31 I П31 • ( -^7" + ~ Xh1 + — Xh2 + TT- X r3 ) dQ31

n31

t

dt dt

dt

dt

+

+ / VP31 • U31 dQ31

n31

P31 f31 • U31 dÜ31- (4.7

n31

Складывая теперь полученные тождества (4.2)-(4.7), можно заметить, что с учётом соотношения (4.1) группы слагаемых в скобках с одинаковыми индексами можно объединить в одну формулу, а именно

P1j d j=1 ni

E[-] 1 = £?dtl uXf1+Uji2dQj

3

5

5

Е[-Е

Р20 d f . Т* ,2 1Гл

= "ТГ^ £ х hl + £2 X Г2\ а^20; 2 2 dt I

П20

3

P2j d

3 = ^ dt J X hl + ^2 X Г2 + «2j |2 dÜ2j, j=1

= P20 dt I £ X hl + ^2 Xh2 + £3 X r3|2 d^30;

E Е

4 2 dt „

^ 3 0 d f

5 = ir dt '£1 X h1 + £2 X h2 + £3 X Г3 + U31I2 d^31;

П31

= gApn d_ 1 = 2 dt

K11 + Ö11 ((P281 X Г1) • ef)'2 - MP¿1 X г!) • e?)|2

drn;

Г11

E{^} 2 = E ^ H

2 2 dt l=1

IC21 + 021 ((P2¿2 X r2) • e|)|2 - |02i((P2¿2 X Г2) • e|)|2

dr

2l •

Г2г

При этом несложно заметить, что слагаемые для моментов трения в шарнирах сворачиваются в сумму

ai|£i|2 + а2\ш2 — £i|2 + «з|£з — £2|2 •

Отсюда общая сумма приводит к закону баланса полной энергии в дифференциальной форме:

1 d 2 dt

jp10 У |£1 X г112 dQw + Pj j £1 X ¿1 + U1j |2 dÜ1j+

П10 j=1 Qij

+ P20 £ Xh1 + £2 X r2|2 dÜ20 + У2 P2j £ Xh1 + £2 X ¿2 + U2j |2 d^2j +

П20

j=1

n2j

+P30 I £1X h+£2 X h2+£3 Xf3p d^30+P31 I £1 x h +£2 X /¡2+£3 xr3+U31P +

Ы

Г11

gd

+ 2 dP""u

K11 + 011((P2¿1 x Г1) • e3)|2 - |011((P2¿1 x Г1) • e?)|5

+ ^ AP2Л [|<2l + 02l((P2 ¿2 Xr2) • e|)|2 -^21 ((P2¿2 X f2) •б|)|2

drn+ dr2l+

l=1

Г21

+ (m^ + (m2 + m3)h1)|P2 ¿1|2 + (m2l2 + m3h2)p2 ¿2|2 + ^3/3^2 ¿3|2 f =

)

\ E2j (U2j ,U2j) + «i|£i|2 + «2|£2 - £i|2 + «3|£3 - £2|2 +

j—i

+ Y1 pij fij • ¿ij dÜij + Y1 p2j f>2j • ¿2j d^2j +

j—i Q.j j—i Q2j

3

+ p3i f 3i • ¿3i dÜ3i + Y1 Mj • £j• (4.8

П31 j = 1

Поясним смысл групп слагаемых, стоящих в формуле (4.8). Первое выражение, стоящее слева в фигурных скобках, есть удвоенная кинетическая энергия гидромеханической системы, соответственно второе выражение в фигурных скобках — удвоенная потенциальная энергия. Изменение потенциальной энергии обусловливается поворотами маятников и смещением свободных границ раздела жидкостей, отвечающих отклонениям -11, -21 и -22. Справа в (4.8) имеем мощность внутренних и внешних сил, состоящая из мощности сил вязкости (второй маятник) и сил трения в шарнирах, а также мощности малых внешних сил, наложенных на гравитационное поле.

5Т Г и и и

. Предварительные свойства решений начально-краевой задачи

Далее предполагается изучать задачу (2.33)-(3.21), используя методы ортогонального проектирования на подпространства потенциальных и соленоидальных векторных полей и свойства слабых решений вспомогательных начально-краевых задач. Предполагается, что в операторной форме в соответственно подобранном гильбертовом пространстве Н = Н1 ф Н2 исходная начально-краевая задача сведётся к задаче Коши вида

Ci -i + Aizi + gBi2Z2 = fi(t), zi(0) = z0;

ж (5.1)

дС^-2 + дБ21г1 = 0, ¿2 (0) = ¿0, —Ь

где г1 £ Н1 — набор динамических переменных, г2 £ Н2 — набор кинематических переменных, 0 ^ С1 € С(Н1) — оператор кинетической энергии, С2 = С2 £ С,(Н2) — оператор потенциальной энергии, 0 < А1 — оператор диссипации энергии, а Б12 и Б21 = -Б12 — ограниченные операторы, связанные с обменом между кинетической и потенциальной энергиями системы. В частности, к такой форме сводятся задачи для одного маятника с тремя видами рассмотренных видов заполнений полости жидкостями, см. [9], [10]. В [7] доказана теорема о существовании единственного сильного решения задачи (5.1) на заданном отрезке времени [0; Т] в предположении статической устойчивости по линейному приближению (С2 ^ 0), либо в ее отсутствие. Основываясь на данной теореме предполагается доказать

сильную разрешимость исходной задачи, а также изучить свойства соответствующей спектральной задачи, которые существенно зависят от свойств операторов C2 и A1.

Автор выражает благодарность Н. Д. Копачевскому за постановку задачи и руководство работой.

Список цитируемых источников

1. Азизов Т. Я., Копачевский Н.Д. Абстрактная формула Грина и её приложения. -Симферополь: ТНУ, 2011. - 136 с.

Azizov, T. Ya., Kopachevsky, N. D. Abstract Green's formula and its applications. Simferopol: Bondarenko O.A., 2011. (in Russian)

2. Азизов Т. Я., Копачевский Н.Д. Приложения индефинитной метрики. - Симферополь: ДИАЙПИ, 2014. - 276 с.

Azizov, T. Ya., Kopachevsky, N. D. Applications of indefinite metrics. Simferopol: DIAIPI, 2014. (in Russian)

3. Батыр Э. И. Малые движения системы последовательно сочлененных тел с полостями, содержащими вязкую несжимаемую жидкость // Динамические системы. -2001. - Вып. 17. - С. 120-125.

Batyr, E. I. Small motions of a system of joined bodies with cavities contains a viscous incompressible fluid. Dinamicheskie sistemy 17, 120-125 (2001). (in Russian)

4. Батыр Э. И., Копачевский Н. Д. Малые движения и нормальные колебания системы сочлененных гиростатов // Современная математика. Фундам. направления. - 2013. - Том 49. - С. 5-88.

Batyr, E. I., Kopachevsky, N. D. Small motions and normal oscillations of a system of joined gyrostats. Contemporary math. Fundamental directions. 49, 5-88 (2013). (in Russian)

5. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Избранные сочинения. - Т. 1. - М., Л.: Гостехиздат, 1948. - С. 31-52.

Zhukovskiy, N. E. On motions of rigid body with cavities filled with homogeneous ideal fluid. Selected works. Moscow: Gostechizdat, 31-52 (1948). (in Russian)

6. Копачевский Н. Д., КрейнС.Г, Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989. - 416 с.

Kopachevsky, N. D., Krein, S. G. & Ngo Zui Kan Operator methods in linear hydrodynamics. Evolution and spectral problems. Moscow: Nauka, 1989. (in Russian)

7. Копачевский Н. Д., Войтицкий В. И., Ситшаева З. З. О колебаниях двух сочлененных маятников, содержащих полости, частично заполненные несжимаемой жидкостью // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2017. - Т.63, №4 . - С. 627-677.

Kopachevsky, N. D., Voytitsky, V I., Sitshaeva, Z. Z. On oscillations of joined pendulums with cavities partially filled with incompressible fluid. Contemporary math. Fundamental directions. Vol. 63, issue 4, 627-677 (2017). (in Russian)

8. Войтицкий В. И., Копачевский Н. Д. О малых колебаниях системы из трёх сочленённых маятников с полостями, заполненными несмешивающимися несжимаемыми жидкостями // Материалы международной научной конференции "Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2018" (3-8 мая 2018 г., Воронеж). - 2018. - С. 84-91.

Voytitsky, V I., Kopachevsky, N. D. On small oscillations of a system of three joined pendulums with cavities filled with incompressible immiscible fluids. Proceedings of int. conf. "Modern methods and problems of mathematical hydrodynamics-2018" (3-8 May 2018, Voronezh), 84-91 (2018). (in Russian)

9. Войтицкий В. И., Копачевский Н. Д. О малых движениях физического маятника, содержащего полость, заполненную системой однородных несмешивающихся жидкостей // Сборник материалов международной конференции XXIX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КР0МШ-2018). Секции 1-3. - Симферополь: "Полипринт2018. - С. 58-62.

Voytitsky, VI., Kopachevsky, N. D. On small motions of a physical pendulum with cavity filled with system of homogeneous immiscible fluids. Proceedings of int. conf. "XXIX Crimea Autumn Mathematical School-symposium (KR0MSH-2018)" (17-29 September 2018, Laspi), 58-62 (2018). (in Russian)

10. Войтицкий В. И., Копачевский Н. Д. О малых движениях физического маятника с полостью, заполненной системой трёх однородных несмешивающихся вязких жидкостей // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ). - 2018. - № 3(40). - С. 22-45.

Voytitsky, V I., Kopachevsky, N. D. On small motions of a physical pendulum with cavity filled with system of three homogeneous immiscible viscous fluids. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics (TVIM). Vol. 3(40), 22-45 (2018). (in Russian)

Получена 11.11.2018