CC BY
16Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 58-64.
УДК 517.98: 517.984.4: 517.2: 517.927.2: 517.927.2
н. д. копачевский, к. а. радомирская
АБСТРАКТНЫЕ СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ
В статье на базе абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств и обобщенной формулы Грина для оператора Лапласа рассмотрен новый класс смешанных краевых и спектральных задач и задач сопряжения.
Ключевые слова: формула Грина, липшицева граница, гильбертово пространство, слабое решение, вспомогательные задачи.
E-mail: kopachevsky@crimea.edu, radomirskaya@mail.ru
1. Введение
1.1. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств.
Пусть {E, (■, -)е}, {F, (■, ■)р}, {G, (■, -)g} - сепарабельные гильбертовы пространства с введенными скалярными произведениями. Будем считать, что для этой тройки пространств выполнены следующие условия.
(1) Пространство F плотно вложено в E, F E и
\\п\\е < а\\п\\р, Уп е F. (1)
(2) На пространстве F задан оператор y, который называется абстрактным оператором следа и ограниченно действует из F в G. Причем y ■ F ^ G+ ^ G и
\Ы\\с < Ь\\п\\р ,b> 0, п е F. (2)
(3) Ядро ker y оператора y плотно в E.
Теорема 1. Пусть для тройки гильбертовых пространств {E, (■, ■)е}, {F, (■, )р}, {G, (■, -)g} и для абстрактного оператора следа y выполнены условия (1)-(3). Тогда существует абстрактное дифференциальное выражение Ln е F* и абстрактная
производная по внешней нормали ди € (С+)* такие, что имеет место абстрактная формула Грина (аналог первой формулы Грина для оператора Лапласа)
(П,и)р = (п,Ьи)Е + (т>ди)с, Уп,и € Г. (3)
При этом ди по элементам и € Г и Ьи € Г * определяется однозначно.
Замечание 4. Косыми скобками (п,и)Е обозначают значение функционала V € Г * на элементе п € Г; аналогичный смысл имеет выражение (ф,ф)с-
1.2. Обобщенная формула Грина для оператора Лапласа. Пусть Е = Ь2(О,), Г = НС = Ь2(Г), Г = дО, 1и ■= и |г (Уи € НХ(П), О С Мт, Г = дО -липшицева граница области О.
Теорема 2. Если выполнены сформулированные выше условия, то имеет место следующая обобщенная формула Грина для оператора Лапласа:
(п, и)ыцп) '■= !(пи + ^П • Vи)дП = (п,и - Аи)ЫП) +
ди
+(1П,дП)ь2(Г), Уп,и € Н1(О),
(4)
о
и -Аи € (Н 1(П))*, щ € Н 1/2(Г), (Щ) г € Н-1/2(Г). (5)
1.3. Абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач. Пусть {'к}/г=1 - непрерывные проекторы, действующие в С+, причем ^як=1 рк = I+ (единичный оператор в С+). Пусть также выполнены условия
Рк = Шкрк,к = 1,д, ркШк = (1+)к,к = 1,д, (6)
где (1+)к - единичный оператор в (С+)к ■= ркС+, рк - непрерывный оператор сужения с С+ на (С+)к, а Шк - непрерывный оператор продолжения с (С+)к на С+. Тогда
р*к = р*кш*, р* ■ (С+)к ^ (С+)*, к = М, (7)
причем ш* - оператор сужения, а рк - оператор продолжения.
Теорема 3. Пусть выполнены условия (1)-(3), а также условие (6) либо (7) Тогда имеет .место абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач в следующей форме:
я
(П,и)Р = (п,Ьи)Е + ^ЫП,дки)Ск, Уп,и € Г, (8)
к=1
(С+)к ^ Ск ^ (С+)к, кП ■= рк 1П € (С+)к,
дки ■= ш*ди € (С+)к, к = 1,д. (9)
Здесь Yk - абстрактный оператор следа на часть границы области, а дк - абстрактный оператор производной по внешней нормали, действующий на этой части границы.
1.4. Обобщенная формула Грина для смешанных краевых задач. Рассмотрим в условиях п. (1.2) ситуацию, когда липшицева граница Г = dQ области Q С Rm разбита на непересекающиеся куски Гк с липшицевыми границами дГк, k = l,q.
Теорема 4. Если выполнены сформулированные условия, то имеет место следующая обобщенная формула Грина для смешанных краевых задач:
q
(П,п)я1(п) = {П,п-An}L2(n) + Y1 {Ykп,дkn}L2(гk), У п е H1(n), (10)
к=1
Ykп ■= п Irkе H 1/2(Гк), дкп ■=(дп)Гк е H-1/2(Гк), k = lTq. (11)
2. Смешанные краевые задачи сопряжения
2.1. Постановка задачи. Теорема (4) позволяет исследовать разрешимость смешанных краевых задач сопряжения для нескольких примыкающих друг к другу областей, на общих границах которых заданы условия сопряжения.
Аналогичные построения могут быть проведены и в абстрактной форме на основе теоремы (3).
Будем для определенности считать, что в Rm имеются три области Qi, Q2, Q3, примыкающие друг к другу по липшицевым кускам границ Гjk, Гjk = Г^, j,k = l, 2, 3, и имеющие внешние (свободные) границы Гкк, k = l, 3. Через YjkПк будем обозначать след функции Пк на Гjk, через djkПк - соответствующую производную по внешней нормали к области Qk.
Рассмотрим следующую смешанную краевую задачу (конфигурирация - разрезанный на три части арбуз с тремя примыкающими друг к другу внутренними границами):
ui -Ani = fi (Qi), Yiini = Ф1 (Гц), П2 -AU2 = f2 (Q2), Y22U2 = ф2 (Г22), (12)
пз - Апз = f3 (Q3), Y33U3 = фз (Гзз). В качестве условий сопряжения выберем следующие условия:
Y21U1 - Y12U2 = ф12, д21П1 + di2U2 = Ф12 (Г12 = Г21),
Y32U2 - Y23U3 = ф23, дз2П2 + д2зПз = ф23 (Г23 = Г32), (13)
-Y31U1 + Y13U3 = Ф31, дз1П1 + д1зпз = -фи (Г31 = Г13).
Наша цель - выяснить необходимые и достаточные условия на заданные функции fk, фк, k = l, 3, а также фjk и фjk, при которых задача (12), (13) имеет слабое
решение в пространстве
Н 1(0) := Н ф Н Ф Н 1(Оз)- (14)
В силу линейности задачи ее решение может быть представлено в виде суммы решений вспомогательных задач, содержащих неоднородности в уравнениях либо в краевых условиях лишь в одном месте (т. е. либо в уравнении, либо в краевом условии).
2.2. Вспомогательные задачи Зарембы. Пусть п(1) := (пц; П12; П13) - решение задачи
пц - Дпп = 0 (Qi), 711U11 = ф1 (Гц), U12 -ДП12 =0 (Q2), 722П12 = ф2 (Г22), П13 -ДП13 = 0 (Q3), 733П13 = Фз (Г33),
02Ш11 = 0 (Г12 = Г21), 03Ш11 = 0 (Г31 = Г13), Ö12U12 = 0 (Г12 = Г21), д32П12 = 0 (Г32 = Г23), д13П13 = 0 (Г13 = Г31), d23U13 = 0 (Г23 = Г32) ■
Теорема 5. Каждая из задач Зарембы имеет слабое решение из подпространства квазигармонических функций H1(Qk) С H 1(Qfc), k = 1, 3, тогда и только тогда, когда фк G H1/2 (Г kk), k = 1, 3. При этом
П1к = 7k"kVk, 7- G L(H 1/2(Гкк), H1(Qk)), k = !Д (15)
2.3. Вспомогательная задача Стеклова. Она формулируется для набора функций п(2) := (п21; п22; п23) в следующем виде
П21 - Дп21 =0 (Q1), 711П21 =0 (Г11), П22 — ДП22 = 0 (Q2), 722П22 = 0 (Г22), П23 - ДП23 = 0 (Q3), 733П23 = 0 (Г33)
721^21 - 712П22 = Ф12 := Ф12 - 721«11 + 712«12, ^21^21 + ^12^22 = 0 (Г12 = Г21) 732^22 - 723и23 = ф23 : = Ф23 - 732^12 + 723^13, ^32^22 + д23^23 = 0 (Г23 = Г32) -731^21 + 713^23 = Ф31 := Ф31 - 713^13 + 731«11, д31^21 + д13^23 = 0 (Г31 = Г13).
Теорема 6. Сформулированная вспомогательная задача Стеклова в условиях теоремы (12) имеет слабое решение П(2) € Н^(П) := Н^(01) ф Н^(02) ф Н^(03) тогда и только тогда, когда выполнены условия
Ф12 G H1/2(Г12), Ф23 G H1/2(Г23), Ф31 G H 1/2(Г31^ (16)
2.4. Первая вспомогательная задача С. Крейна. Для набора функций и(з) ■= (из1; и32; и33) задача формулируется следующим образом:
из1 - Аиз1 = /1 (О1) 7ииз1 = 0 (Гп) из2 - Аиз2 = /2 (О2) Ъ2из2 = 0 (Г22) изз - Аизз = /з (Оз) 7ззизз = 0 (Гзз)
721из1 - 712из2 = 0, д21из1 + д12из2 = 0 (Г12 = Г21), 7з2из2 - 72зизз = 0, дз2из2 + д2зизз = 0 (Г2з = Гз2), 7з1из1 - 71зизз = 0, дз1из1 + д1зизз = 0 (Гз1 = Г1з). Введем в рассмотрение подпространство
^(О) ■= {и = (и1; и2; из) € Н 1(О) ■ ^ззщ = 0 (Г33), 3 = 1,3;
1]кик - 7кзи = 0 (Гк), 3, к = 173} С Н 1(О)
Теорема 7. Первая вспомогательная задача С. Крейна имеет единственное слабое решение и(з) € Ур(О) тогда и только тогда, когда выполнено условие
/ ■= (/1; /2; /з) € У1 (О))*, УГ\О) ^ Ь2(О) ^ (УГ1(О))*. (17)
В частности, если
з
/ = (/1; /2; /з) € 0 Ь2(0к) ^ (Уг\О))*, (18)
к=1
то эта задача имеет единственное обобщенное решение.
2.5. Вторая вспомогательная задача С. Крейна. Для набора функций и(4) ■= (и41; и42; и4з) задача формулируется так:
и41 - Аи41 =0 (О1), 7Пи41 =0 (Гц), и42 - Аи42 = 0 (О2), ^22Щ2 = 0 (Г22), и4з - Аи4з = 0 (Оз), 7ззи4з = 0 (Гзз),
721и41 - 712и42 = 0, д21и41 + д12и42 = ^12 (Г 12 =Г21),
7з2и42 - 72зи4з = 0, дз2и42 + д2зи4з = ^2з (Г2з = Гз2), 7з1и41 - 71зи4з = 0, дз1и41 + д1зи4з = -фз1 (Гз1 =Г1з).
Теорема 8. Вторая вспомогательная задача С. Крейна имеет слабое решение и(4) € У1 (О) тогда и только тогда, когда выполнены условия
Ф12 € Н-1/2(Г12), ф2з € Н-1/2(Г2з), Фз1 € Н-1/2(Гз1). (19)
Итогом рассмотрения смешанной краевой задачи сопряжения (12), (13) является следующее утверждение.
Теорема 9. Эта задача имеет единственное слабое решение из пространства Н1(О) = ек = 1 Н 1(Ок) тогда и только тогда, когда выполнены условия (15)-(17), (19). Решение задачи (12), (13) является суммой решений вспомогательных задач, рассмотренных в пп. (13)- (2.5).
3. о спектральных задачах сопряжения
Методы, рассмотренные в параграфе (2), позволяют исследовать не только краевые, но и спектральные задачи сопряжения для одной, двух, трех и более примыкающих друг к другу областей.
3.1. Постановка задачи. Рассмотрим для простоты случай лишь одной области О С Кт с липшицевой границей Г = дО, разбитой на четыре липшицевых куска Гк с липшицевыми границами дГк, к = 1, 4.
Требуется найти решения следующей однородной смешанной задачи:
и - Аи = Хи (О), Ъи = 0 (Г1), д2и = Х^и (Г2), (20)
дз и = ц^зи (Гз), д4и = Х-1^4и (Г4).
Здесь Х и ц - комплексные параметры, один из которых можно считать спектральным, а другой - фиксированным. Решения задачи (20) будем считать принадлежащими пространству Н1(О).
3.2. Переход к спектральной задаче для операторного пучка. Представим решение задачи (20) в виде суммы решений четырех вспомогательных задач: одной - типа первой вспомогательной задачи С. Крейна, а трех других - типа второй вспомогательной задачи С. Крейна.
Теорема 10. Задача (20) равносильна спектральной проблеме
и = ХА-1и + ХТ2ъи + цТзъи + Х-1Т4^4и, и € Н 1(О), (21)
где А - оператор гильбертовой пары (Н 1(О), Ь2(О)), а Т3, 3 = 2, 4 - операторы вторых вспомогательных задач С. Крейна.
Теорема 11. Задача (21) равносильна спектральной задаче для операторного пучка
Ь(Х, I - Х(А-1 + В2) - В - Х-1 В4, (22)
действующего в пространстве Ь2(О), при этом
В3 ■= (А1/2Т3)(ЪА-1/2) = В* ^ 0, В3 € &Х(Ь2(О)), 3 = 2,4 (23)
В частности, если у ^ 0, то приходим к известному пучку С. Крейна; если ц > 0, то возникает индефинитная метрика в спектральной проблеме об устойчивости конвективных движений жидкости; при Imy = 0 получаем слабые возмущения пучка С. Крейна; при B4 = 0 - задачу сопряжения в теории дифракции.
Список литературы
[1] Копачевский Н.Д. Об абстрактной формуле Грина для смешанных краевых задач и некоторых ее приложениях // Спектральные и эволюционные задачи. - Симферополь: КНЦ ТНУ, - 2011.
[2] Копачевский Н.Д. Абстрактная формула Грина: специальный курс лекций. - Симферополь: ФЛП "Бондаренко О.Ф. - 2011 - С. 136.
[3] Агранович М.С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей // Успехи матем. наук. - 2002. - Т. 57. - Вып. 5(347). - С.3-78.
[4] Агранович М.С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. - М.:МЦНМО, - 2013 - С. 379.
Абстрактш змшаш крайов1 та спектральш задач1 спряження
У статтг на базг абстрактног формули Гргна для тргйки ггльбертових просторгв г узагальненог формули Гргна для оператора Лапласа розгляну-то новий клас змгшаних крайових, спектральних задач г задач спряження.
Ключов1 слова: формула Грша, лшшщева межа, гильбертовий простар, слабкий розв'язок, допом1жш задачь
Abstract mixed boundary and spectral transmission problems
On the basis of the abstract Green's formula for the triple of Hilbert spaces and the generatized Green's formula for the Laplace operator we consider a new class of mixed boundary value and spectral transmission problems.
Keywords: Green's formula, Lipschitz boundary, Hilbert space, weak solution, supporting tasks.
