Особенности фазирования электрооптических поверхностей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.63

ОСОБЕННОСТИ ФАЗИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

© 2009 С.А. Матюнин1, Г.И. Леонович2, В.Д. Паранин1

1 Самарский государственный аэрокосмический университет 2 Самарский научно-технического центр РАРАН

Поступила в редакцию 14.04.2009

Предложен функционал, позволяющий определить преимущественный тип электрооптического эффекта в конструкции дискретного оптического элемента. Проведен анализ влияния ориентации вектора напряженности электрического поля на показатель преломления электрооптического материала для волн различных поляризаций.

Ключевые слова: адаптивный оптический элемент, электрооптический материал, фазовая функция поверхности, функционал преимущественного типа электрооптического эффекта

ВВЕДЕНИЕ

Дискретные оптические элементы (ДОЭ), в т.ч. дифракционные оптические элементы, широко используются в качестве фокусаторов лазерного и широкополосного оптического излучения в произвольную область, корректоров волнового фронта, выполняют функции спектрального и амплитудного преобразования [1,2]. К настоящему времени сформированы обобщенные теоретические модели и методы расчета и синтеза ДОЭ со статическими параметрами, имеющие достаточно высокую практическую точность [2].

Одним из путей развития элементной базы оптики является создание перестраиваемых оптических элементов с управляемыми (адаптивными) оптическими характеристиками и синтезируемой апертурой, что позволит расширить функциональность элементов и устройств на их основе.

Разработка ДОЭ на периодических, в том числе дифракционных структурах (решетках), в силу малой величины электрооптического эффекта [3] требует оптимального сочетания параметров электрооптического материала (ЭОМ), взаимной пространственной ориентации оптических осей ЭОМ, светового потока и силовых линий электрического поля.

Проведенный анализ показывает, что даже для простых структур ДОЭ нельзя заранее предсказать эффективность выбранного конструктивного варианта реализации ДОЭ и применяе-

Матюнин Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой "Электронные системы и устройства". E-mail: mitrea.sgau@rambler.ru Леонович Георгий Иванович, доктор технических наук, профессор, Главный научный руководитель. E-mail: leogi1@rambler.ru Паранин Вячеслав Дмитриевич, студент. E-mail: vparanin@mail.ru

мого ЭОМ. В тоже время введение ряда критериев позволяет оценить как эффективность использования электрических полей в ДОЭ, так и эффективность пространственной ориентации оптических осей ЭОМ и световых потоков.

ФУНКЦИОНАЛ ПРЕИМУЩЕСТВЕННОГО ТИПА ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

Для упрощенного анализа ДОЭ с периодической структурой разобьем ДОЭ на ряд элемен -тарных базовых оптических элементов (ЭБОЭ) таким образом, чтобы добавление очередного ЭБОЭ к группе уже сформированных ЭБОЭ не влияло на характеристики последних. Для оценки типа распределения электрического поля в ЭБОЭ и выбора соответствующего типа электрооптического введем понятие функционала О преимущественного типа электрического поля в ЭБОЭ:

{{[ ¥х (х, у) - ¥у (х, у

G =

0 0

a d

№

0 0

Fx (x, y)

+

Fy (x,y)]dxdy

где: Рх (х, у) = Ех (х,у) • п (х,у) • ах (х,у) ¥у (х, у) = Еу (х, у) • п (х, у) • ау (х, у) ;

а, д - габаритные размеры ДОЭ вдоль осей х, у соответственно;

ЕХу, Еуу, а, ауу - проекции вектора электрической напряженности и вектора А направления распространения световой волны на оси

координат х, у; п(х,у) - координатная зависимость коэффициента преломления ЭОМ.

В частности, для ДОЭ на основе дифракционных решеток, в зависимости от отношения периода решетки к толщине резонансного слоя наблюдается существенное перераспределение продольной и поперечной составляющих электрооптического эффекта (рис. 1).

На рис. 1 вектор А указывает направление распространения световой волны.

На рис.2 величины функционала С от отно-

a

шения

d'

а

Из рис.1,2 видно, что при — = 8 доля Ех,

ё

компоненты электрического поля доминирует и составляет величину порядка 90%, а электрооптический эффект в этом случае поперечный.

a

При — — 1,2 доля Ei. компоненты элект-

d г, 1

рического поля уменьшается до величины порядка 60%, а электрооптический эффект в этом случае преимущественно поперечный с долей продольной компоненты порядка 30%.

a

При — — 0,3 доля Ei. компоненты элект-

d г, 1

■■0.3

г»

^ = 1.2

I«

Г" 1-е

-U.S — -1.0

ß,

Рис. 1. Распределение проекций вектора напряженности электрического поля

в зависимости от отношения

a d

0,1 и 0,9 (рис. 2), получим три зоны преимущественного типа электрооптического эффекта: I -преимущественно поперечный электрооптический эффект; II - смешанный (промежуточный) электрооптический эффект; III - преимущественно продольный электрооптический эффект.

Определение. Под фазированием оптической поверхности будем понимать создание требуемого одно- или двумерного распределения фазы Osurf светового пучка, пересекающего данную поверхность.

В общем случае световая волна может распространяться перпендикулярно фазируемой поверхности или пересекать ее под некоторым углом.

Поскольку фактически получаемая фазовая функция Фf может не совпадать с целевой Osurf , для количественной характеристики сходимости Of и Osurf можно ввести интегральную А(ртХ ошибку:

( — i Osurf -Of )2 dS , S

где S - фазируемая поверхность. В этом случае требование к формируемой фазовой функции Фf должно удовлетворять критерию минимума среднеквадратичной ошибки:

Л(

int

^ min

рического поля уменьшается до величины порядка 50%, а электрооптический эффект в этом случае смешанный с долей продольной компоненты порядка 50%.

Вывод. Устанавливая классификационную величину функционала С например по уровням

Для создания фазовой функции электрооп-тически активной поверхности можно предложить несколько методов, основанных на управлении распределением электрического поля в объеме ЭОМ, выборе определенной ориентации ЭОМ, а также их комбинации.

Для описания пространственных электрических полей и оптических осей ЭОК введем понятия системы координат кристалла (СКК) и электрического поля (СКЭП).

-+■ i:!

Рис. 2. Зависимость величины функционала G

a d

от отношения

Координатной системой СКК служит ортогональный базис векторов х2у2г2 , параллельных оптическим осям ЭОК, причем для рассматриваемых ниже одноосных кристаллов вектор 22 полагается совпадающим с осью оптической анизотропии.

Система СКЭП является фиксированной системой координат с ортогональными направляющими ху 1г1, в которой задаются величины и направления внешних электрических полей, геометрия и ориентация управляющих электродов, направление распространения световой волны, т.е. в СКЭП задается большинство исходных данных задачи. В общем случае оси х2у2г2 СКК могут быть как параллельными координатным осям ху г1 СКЭП, так и ориентированными под произвольными углами.

ВЛИЯНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ ВОЛН ОСНОВНЫХ ПОЛЯРИЗАЦИЙ

Данный частный случай характеризуется тем, что сочетание элементов матрицы электрооптических коэффициентов т.. и действующих

"г- 1

электрических полей Ек таково, что в уравнении эллипсоида показателей преломления коэффициенты при переменных х, у2, г2 зависят от двух или более составляющих Ек. Это позволяет, используя методы независимого регулирования по каждому из векторов электрического поля Ех2, Еу2, Ег2 путем выбора ориентации кристалла, поляризации световой волны, изменять показатель преломления в объеме ЭОК в соответствии с целевой функцией.

В качестве примера рассмотрим изменение показателей преломления х, у2 - поляризованных волн в ниобате лития, ориентированного так, как это показано на рис. 3. Электрическое поле создается с помощью двух протяженных электродов и включает составляющие Ех1 = Еу2 и Еу1 = Ег2 (оси х2,у2,г2 СКК параллельны осям г1,х1у1 СКЭП). Световая волна распространяется вдоль оси г2||у1.

Изменение эллипсоида показателей преломления в плоскости х2у2 примет вид:

(

\

V п0 С

+

2 - г22 Еу 2 + г13 Ez 2

х2 +

— + г22 Еу2 + г13 Ez 2

v

2

у 2 = 1

или в системе СКЭП:

Рис. 3. Ориентация оптических осей кристалла в СКЭП

2 - Г22 Ех1 + г13 Еу1

Vnо С 1

+

+

V по

2 + г22 Ех1 + г13 Еу1

х2 = 1

Показатели преломления для х2, у2-поляри-зованных волн будут равны:

1 3 с, 1 3 с,

пх2 = п0 + ^П0 Г22Еу2 - ^П0 Г13Ех2 ;

1 3 1 3

пу2 = п0 - ^п0 Г22Еу2 - ^п0 Г13Ех2 . (1)

Из выражений (1) следует, что фазовая функция светового пучка в выходном межэлектродном промежутке формируется двумя составляющими электрического поля - Еу2 и Ег2, которые являются соответствующими проекциями полей Ех1, Е СКЭП на оси симметрии кристалла х2,у2г2 (рис. 3). Поэтому, путем выбора ориентации ЭОК, возможно изменение вклада каждой составляющей электрического поля на показатели преломления материала. Например, вращение СКК вокруг оси г2 уменьшит электрическое поле Еу2 и увеличит составляющую Ех2 при неизменной величине Ег2. Таким образом, с использованием определенного среза ЭОК, возможно формирование требуемого фазового распределения световой волны на выходе структуры.

Для рассмотренного варианта фазирования необходимы, по крайней мере, две составляющие электрического поля, с целью изменения их соотношения в величине фазового набега, а также наличие определенных ненулевых электрооптических коэффициентов г . Для простого случая ориентации осей симметрии кристалла параллельно осям СКЭП данные требования оформлены в виде табл. 1.

Переход от векторов х1,у1г1 к х2,у2,г2 или от Ех1,Еу1,Ег1 к Ех2,Еу2,Ег2 в данном случае задается простым соответствием осей СКК и СКЭП, однако

Таблица 1. Требования к матрице электрооптических коэффициентов.

Направление световой волны Составляющие электрического поля в СКК Поляризация световой волны Электрооптические коэффициенты Класс симметрии кристалла

Е22, ЕХ2 Х2 г11, г13 1,ш,3,3ш

22||У1 У2 г21, г23 1,ш,3,3ш

Е72, ЕУ2 Х2 г12,г13 1,3,3ш

У2 г22, г23 1,3,3ш

У2ИУ1 Еу2, ЕХ2 Х2 22 г11, г12 г31, г32 1,ш,3, 6 1,ш,3

ЕУ2, Е22 Х2 г12,г13 1,3,3ш

22 г32, г33 1,3ш

Х2||У1 ЕХ2, ЕУ2 У2 22 г21, г22 г31, г32 1,ш,3, 6 1,ш

ЕХ2, Е22 У2 22 г21, г23 г31, г33 1,ш,3ш 1,ш

при произвольной ориентации СКК в СКЭП должен осуществляться через линейное преобразование базисных векторов в пространстве.

Вывод: для реализации рассмотренного типа фазирования оптической поверхности ЭОК должен иметь как минимум 2 ненулевых элемента, по крайней мере, в одной из первых трех строк матрицы электрооптических коэффициентов. Это обстоятельство ограничивает номенклатуру материалов, не позволяет выбрать материалы с высокими значениями электрооптических коэффициентов.

ВЛИЯНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ ВОЛН ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПОЛЯРИЗАЦИЙ

Данный частный случай характеризуется тем, что сочетание элементов матрицы электрооптических коэффициентов Т.. и действующих

"Г- 1

электрических полей Ьк таково, что в уравнении эллипсоида показателей преломления при наличии внешнего электрического поля возникают ненулевые коэффициенты как при переменных х2, у, г2 , так и при слагаемых х2 у2, х^ и т.п, причем изменение показателя преломления для волн х2-, у.-, г2- и ху-, Х£2- и т.п. поляризаций происходит под действием различных составляющих поля Ех2, Еу2, Е..

Влияние управляющего поля будет выражаться в одновременном изменении оптической индикатрисы вдоль основных осей х, у2, г2 и новых (наведенных) осей х3, у , х3 эллипсоида показателей преломления. Это позволяет использовать влияние векторов электрического поля

Ех2, Еу2, Е. на показатель преломления в объеме ЭОК путем выбора ориентации кристалла и поляризации световой волны. Принципиальным отличием от предыдущего частного случая будет использование световых волн с промежуточной поляризацией типа ху2-, х£2- и т.п., либо поляризованных вдоль новых оптических осей.

В качестве примера рассмотрим изменение показателей преломления х2^2 - поляризованных волн в ниобате лития, ориентированного так, как это показано на рис. 4. Электрическое поле создается с помощью двух протяженных электродов и включает составляющие Ех1= Ех2 и Еу1=Еу2 (оси г2,у2,х2 СКК параллельны осям г1, у1,х1 СКЭП). Световая волна распространяется вдоль

оси у2Цууг

Изменение эллипсоида показателей преломления в плоскости х£2 примет вид:

— г22 Е

22 ^ 2

Х9 +

' 1 ^

V П2 /

2 2 + 22 2 х 2 Г51Е х2 = 1 . (2)

Наличие в выражении (2) слагаемого 2г2х/;иЕх2 приводит к связи г2-, х2-поляризован-ных волн и повороту главных осей эллипса показателей преломления в плоскости х^2 на угол 0 (рис. 5). В частном случае, когда уравнение (2) симметрично относительно переменных х, г2, угол 0 постоянен и равен п / 4.

Тогда преобразование осей х, г2 к новым главным осям ху г3 примет вид:

\ Х2 = Х3 008 0 - 23 0 | ?2 = Х3 0 + 23 008 0 .

(3)

Подставляя систему выражений (3) в уравнение (2) и полагая коэффициент при х^3 равным нулю, получим показатели преломления для новых осей и угол их поворота 0 :

п

У,

У2

Рис. 4. Ориентация оптических осей кристалла в СКЭП

х3 =

ооэ2(0) sm2((9)

2 «0 2 пе

г3 =

81П2(0 со^(&)

«0 «2

г22Еу2 со^®) + 2гЦЕх2 зт(©)оо^©)

- г22^у2 §1п2(@) - 2г51Ех2 ягп((9)еоа(@)

18 (20) =

2г5\Ех2

( \

1 1

"Г + ~2 - Г22Еу2

"0

(4)

Из выражений (4) следует, что фазовая функция светового пучка, поляризованного под углом 0 к осям х2, г2 ЭОК, в выходном межэлектродном промежутке формируется двумя составляющими электрического поля - Ех2 и Еу2. В данном случае это достигается только при одном ненулевом элементе т22 матрицы электрооптических коэффициентов в первых трех строках и ненулевом элементе т51 для волн связанных поляризаций. Составляющие поля Ех2, Е в общем случае являются проекциями полей Е , Е 1 СКЭП на оптические оси кристалла х2,у2,72. По этому, путем выбора ориентации ЭОК возможно изменение вклада каждой составляющей электрического поля на показатели преломления материала.

Для рассмотренного случая существуют обязательные требования к ЭОК, заключающиеся в наличии определенных ненулевых электрооптических коэффициентов г.. Для ориентации осей симметрии кристалла параллельно осям СКЭП данные требования оформлены в виде табл. 2. По сравнению с табл. 1 отсутствует графа "Используемая поляризация световой волны", поскольку электрическое поле изменяет показатель преломления для волн промежуточных поляризаций.

Рис. 5. Поворот главных осей эллипса показателей преломления в плоскости х^2

Вывод: для реализации рассмотренного типа фазирования оптической поверхности ЭОК должен иметь как минимум 2 ненулевых элемента матрицы электрооптических коэффициентов, обуславливающих влияние ортогональных составляющих электрического поля на показатель преломления и фазовую функцию волн промежуточных поляризаций.

Данный способ управления оптическим элементом может быть реализован для большего числа материалов по сравнению с предыдущим методом, однако также не позволяет использовать наиболее эффективные кристаллы классов 2шш, 4шш.

ВЛИЯНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ОСЕЙ ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКОГО КРИСТАЛЛА. СЛУЧАЙ, КОГДА ОДНА ИЗ ОСЕЙ ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКОГО КРИСТАЛЛА ПАРАЛЛЕЛЬНА БАЗИСНОМУ ВЕКТОРУ СКЭП И НАПРАВЛЕНИЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

Рассмотрим частный случай ориентации ЭОК, когда одна из его оптических осей (например, ось анизотропии г2) сонаправлена с осью СКЭП (например, г1) и направлением распространения световой волны, а две другие ориентированы под произвольным углом а к базисным векторам х1,у1 СКЭП (рис. 6).

Переход от системы координат х1, у1 СКЭП к х2, у2 СКК будет осуществляться с помощью матрицы А линейного преобразования [4]:

Л

'2 У2

= А

1

Л

"11 "12

"21 "22,

V х1 ^ у1.

(5)

Если оси х2, у2 ортогональны и угол между векторами х1, х2 составляет а , то элементы а. матрицы в выражении (5) равны а11=ео8(а), а12=8т( а ), а21=-8т( а ), а22=ео8( а ):

х2 = х1 оо8(а) + у1 8т(а) у 2 = - х1 81п (а)+ у1 оо8(а).

1

1

Таблица 2. Требования к матрице электрооптических коэффициентов

Направление световой волны Составляющие электрического поля в СКК Электрооптические коэффициенты Класс симметрии кристалла

г11, г63 1

г13, г61 1,3,3т

г11, г13, г61 1,3

Б72, ех2 г11, г13, г63 г11, г61, г63 г13, г61, г63 1 1 1

22||У1 г11, г13, г61, г63 1

г22, г63 г23, г62 г22, г23 ,г62 1,2 1 1

Б72, Бу2 г22, г23, г63 г22, г62, г63 г23, г62, г63 г22, £23, г62, г63 1,3 1 1 1

г11, г52 1,3,32

г12, г51 1,3,3т

г11, г12, г51 1,3

Бу2, ех2 г11, г12, г52 г11, г51, г52 г12, г51, г52 1,3 1,3 1,3

У2иУ1 г11, г12, г51, г52 1,3

г32, г53 г33, г52 г32, г33, г52 1,т 1,2 1,3,4,6

Бу2, Б72 г32, г33, г53 г32, г52, г53 г33, г52, г53 г32, г33, г52, г53 1 1 1 1

г21, г42 1,т,3,3т

г22, г41 1,2,3

г21, г22, г41 1,3

ех2, Бу2 г21, г22, г42 г21, г41, г42 г22, г41, г42 1,3 1,3 1,3

Х2иУ1 г21, г22, г41, г42 1,3

ех2, Б72 г31, г43 г33, г41 г31, г33, г41 г31, г33, г43 г31, г41, г43 г33, г41, г43 г31, г33, г41, г43 1,т 1,2,3,4,6 1 1 1 1 1

Рис. 6. Ориентация осей х2, у2 кристалла относительно базиса х1, у1 СКЭП

Переход из системы СКК в СКЭП будет осуществляться аналогичным образом с помощью обратной матрицы А-1, равной:

Л-1 =

]_ [Л]

( Л

11

Л Л21

12 л22.

где [А] - определитель матрицы А (в данном случае равный 1). Элементы А11, А12, А21, А22 являются алгебраическими дополнениями а11, а12, а21, а22 и соответственно равны еоз(а ), -зт(а ), з1и(а ), еоз(а ):

x1 = x2 cos(a) - y 2 sin (а) у1 = X2 sin(a) + y2 cos(a)'

Таким образом, между базисами СКК и СКЭП существует однозначная связь, определяемая углом поворота а , позволяющая по заданным координатам элемента (вектора, точки, плоскости) в одной системе координат определить его положение в другой системе.

Используя рассмотренный выше математический аппарат, определим электрические поля Ex2, Ey2, наведенные составляющими Ex1, Ey1 и действующие вдоль оптических осей кристалла х, y2.

В дальнейшем будем учитывать только абсолютные значения векторов поля, поскольку их направления при расчете величины электрооптического эффекта не принципиальны.

Исходя из сделанных утверждений, для величин ex2, E2 с учетом выражения (6) можно записать:

EX2 =

ЕУ 2 =

(7)

Exi cos(a) + Еу^ sin(a)

- Exi sin (a) + Еу^ cos(a)

Необходимо отметить, что в общем случае Ex2+Ey2 < Ex1+Ey1 вследствие того, что производится векторное сложение полей, при этом ни одна из составляющих поля не может быть отрицательной.

Вид эллипса показателей преломления в плоскости xy, запишем, полагая координату z2=0:

f

\

— + r11 ex 2 + r12 Еу 2

V 2

x 2 +

+

Л

l

+ + ^Е.

2 21x2 22 у2 2

У 2

2

у 2 +

+ 2 x 2 у 2 (r61Ex2 + r62 Еу 2 )= 1

. (8)

b11x 2 + 2 b12 x 2 у 2 + b22 У 2 = 1 . (9)

Для приведения квадратичной формы (9) к каноническому виду 5x3 + Суз необходимо вместо переменных х, y2 подставить их значения, выраженные через новые оси х3, y3:

x2 = x3 cos(0) - уз sin(0)

у2 = x3 sin 0) + уз cos(0). (10)

где 0 - угол поворота новых осей относительно осей СКК. Тогда выражение (9) примет вид:

x32 [b11 cos2 (0) + 2b12 sin(0) cos(0)+b22 sin2 (0)]+ + у22 [b11 sin2 (0) -2b12 sin(0) cos(0)+b22 cos2 (0)] + x2 у2 [- 2b11 sin(0)cos(0) + 2b12 (cos2 (0) -- sin2 (0))+2b22 sin(0)cos(0)] = 1

. (11)

Для приведения (11) к канонической форме приравняем множитель при ху3 к нулю:

- 2b11 sin(0) cos( 0) + 2b12 (cos2 (0) -

- sin2 (0)) + 2b22 sin(0) cos( 0) = 0 .

(12)

Учитывая тождества 2$1и(0 )со&(0 )=&т(20 ) и со&2(и)-&т2(0 )=со&(20 ), разделим (12) на со&(2 0) и выразим из него переменную 0:

( 2ъ„ ^

. (13)

1

0 = — arctg

12

v b11 - b22j

где составляющие Ех2, Еу2 определены в (7).

Последующий анализ электрооптического эффекта по выражениям (7), (8) включает в себя две задачи:

1) определение новых главных осей х3, у3 эллипса показателей преломления в системе СКК при наличии внешних электрических полей и положения новых осей в СКЭП с помощью матрицы перехода А-1;

2) определение показателя преломления п^ для волны с произвольным вектором поляризации у4 и положения (координат) этого вектора в СКЭП.

С целью упрощения анализа перепишем (8) в виде:

Из (13) следует, что при одинаковых значениях b11, b22угол 0 будет равенп/4 , при b12=0 значение 0 будет равно 0 при любых b11, b22, т.к. в отсутствие электрического поля деформации индикатрисы не происходит. Коэффициенты b11, b12, b22 в общем случае содержат не только показатели преломления материала, но также электрооптические константы и величины действующих электрических полей, поэтому угол поворота оптических осей для b11, b22 будет зависеть от напряженности поля.

Поскольку при задании системы (10) полагалось, что поворот осей х, y2 происходит в положительном направлении против хода часовой стрелки, то для нахождения положения осей х3, y3 в СКЭП (векторы х31, y31) справедливы зависимости:

x21 = x1 cos(a + 0) + у2 sin(a + 0)

у21 =-x2 sin(a + &) + у2 cos(a + 0)

x3 1 e x1tg(a + 0) уз,1 = - x1ctg(a + 0)

Для определения показателя преломления пр для световой волны произвольной поляризации

р2 воспользуемся квадратичной формой (9). Состояние поляризации зададим в виде вектора, ориентированного под углом в к оси х2:

Р2 = Рх2Х2 + Ру2У2 = Х2 С0$(в) + у2 вт(в).(14) Как следует из (14), вектор поляризации р лежит на прямой у2 = tg( в )х2 (аналогично рис. 5).

Для нахождения показателя преломления в точке (х21;у21), (-х21;-у2) решим систему уравнений:

[6ц Х22 + Й22 y^ + 2 Х2 y2bl2 = 1

IУ 2 = tg (ß)x2

(15)

Значение показателя преломления пр определится как модуль вектора, соединяющего центр координат х, у2 и найденное решение, например (х21;у21). Решая систему (15) стандартным методом подстановки и учитывая тригонометрическое тождество 1 + tg2( в ) = 1/соз2( в ), найдем значение пр:

I 2 2 np = V x 2,1 + У 2,1 =

1

cos(ß)bu + 2bi2 tg(e)+ b22 tg2 (в)

(16)

Для упрощенного определения положения вектора р2 в исходной системе координат х1, у1, без использования матриц линейного преобразования, можно воспользоваться зависимостью:

Р1 = Рх1 Х1 + Ру1 у1 = Х1 С08(а + в) + + у1 зт(а + в)

р1 е У1 = ^(а + в)х1

где знак "+" перед а , в соответствует углам откладываемым в положительном направлении знак "-" - для углов а , в, откладываемых в от-

(17)

рицательных направлениях.

В случае, когда вектор поляризации задается в системе СКЭП в виде р1=х1со&(у )+у£1п(у ), а затем преобразуется в СКК с целью нахождения показателя преломления, для определения вектора р2 в базисе х2у2 предлагается воспользоваться формулой:

(18)

p2 = Px2x2 + Py2y2 = x2 cos(Y - a)

+ y2 sin(y - a)

p2 e y2 = tg(Y - a)x2

Вывод: задавая вектор поляризации световой волны в системе координат xy1 или x2y2 с помощью зависимостей (16) - (18) можно определить показатель преломления np для волны любой поляризации при наличии внешних управляющих электрических полей в кристалле, произвольно ориентированных в плоскости.

Благодарности. Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы", проект № 10в-Б001-053.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бобров С.Т., И. Грейсух Г.И., Туркевич Ю.Г. Оптика дифракционных элементов и систем. Л.: Машиностроение, 1986. 223 с.

2. Сойфер В А. Методы компьютерной оптики. М.: Физ-матлит, 2003. 688 с.

3. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. М.: Мир, 1987. 616 с.

4. Данко П. Е., Попов А.Г., Кожевникова ТЯ. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: ОНИКС 21 век, 2003. 304 с.

FEATURES OF ELECTRO-OPTICAL SURFACES PHASING

© 2009 S.A. Matyunin1, G.I. Leonovich2, V.D. Paranin1

1 Samara State Aerospace University 2 RARAS Samara Scientific and Technical Centre

Primary electro-optical effect functional for discrete optical element construction is proposed. An influence of electric field vector orientation on electro-optical material refractive index for optical waves with various polarizations is considered.

Keywords: adaptive optical element, electro-optical material, phase surface function, functional of primary electro-optical effect

Sergey Matyunin, Doctor of Technics, Professor, Head at "Electronic systems and devices" Department. E-mail: mitrea.sgau@rambler.ru

George Leonovich, Doctor of Technical Science, professor, Chief scientific adviser. E-mail: leogi1@rambler.ru Vyacheslav Paranin, student. E-mail: vparanin@mail.ru