О малых движениях гидросистмы “вязкоупругая жидкость-баротропный газ” Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.958

MSC2010: 76D05, 35Q30, 39A14, 39B42

О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ГИДРОСИСТМЫ "ВЯЗКОУПРУГАЯ ЖИДКОСТЬ - БАРОТРОПНЫЙ ГАЗ"1

© Н. Д. Копачевский

КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРсИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ТАВРИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

On Small Movements of a System "fluid-gas" in a Bounded Region.

Kopachevsky N. D.

Abstract. In the paper, we consider a problem on small motions of a system of viscoelastic fluid and gas in a stationary container. One of models of such viscoelastic fluid is Oldroid's model. It is described, for example, in the book Eirich, F. R. Rheology. Theory and Applications. New York: Academic Press, 1956. It should be noted that the present paper is based on the previous N. D. Kopachevsky works together with Azizov, T. Ya., OrlovaL. D., Krein, S. G. Namely, problem on small movements of one viscoelastic fluid for generalized Oldroid's model, small motions of a viscoelastic fluid in an open container, oscillations of a system of ideal fluids were investigated in these papers.

The aim of this paper is to use an operator approach of mentioned works, to develop new approach and to prove the theorem on strong solvability for initial-boundary-value problem generated by a problem on small motions of a system of viscoelastic fluid and gas in an immovable container.

This paper is organized as follows. Section 1 is an introduction. In section 2 we formulate mathematical statement of the problem: linearized equations of movements, stickiness condition, kinematic and dynamic conditions. Further, in this section we receive the law of full energy balance. In section 3 we choose the functional spaces generated by the problem for each fluid. For applying of method of orthogonal projection we need to choose orthogonal decomposition on corresponding spaces. Section 4 is devoted to the method of orthogonal projection which allow us to get new statement of the problem without some trivial equations. Important part of section 4 is formulation of auxiliary problems which help us to make transition to the Cauchy problem for a system of integro-differential equation in some Hilbert space. In section 5 we reduce this problem to a system of integro-differential equation. This system can be rewrite in section 6 as operator integro-differential equation in the sum of Hilbert spaces. Properties of main operator of this problem are studied in section 6 too. Transition to operator differential equation in the

1Работа выполнена при частичной поддержке гранта Российского научного фонда (16-11-10125, выполняемого в Воронежском госуниверситете).

sum of Hilbert spaces is realized in section 7. Section 8 is devoted to the existence and uniqueness theorems for final operator differential equation as for original initial boundary-value problem. This result based on factorization, closure and accretivity property of operator matrix. Finally, in section 9 we consider the spectral problem on normal oscillations corresponding to the evolution problem.

Keywords: viscoelastic fluid, gas, hydrodynamic system, orthogonal projector, Cauchy problem

1. Введение

Одними из первых работ, связанных с применением методов функционального анализа к исследованию проблемы малых движений и нормальных колебаний вяз-коупругой жидкости в частично заполненном сосуде, являются работы А. И. Ми-лославского [1-3]. В них для обобщенной модели Олдройта (m ^ 1) применен операторный подход, развивающий построения, проведенные ранее С. Г. Крейном и его учениками (см. [4-6]) применительно к задаче о малых колебаниях вязкой жидкости в частично заполненном сосуде. Исследования А. И. Милославского отражены, в частности, в монографии [7], гл. 8. Случай полного заполнения сосуда вязкоупругой жидкостью рассмотрен в [8], а также в [7, п. 7.1]. Наконец, вариант, когда нижняя жидкость — обычная вязкая, а верхняя — идеальная сжимаемая жидкость, т. е. газ, изучен Б. М. Вронским и Н. Д. Копачевским [9-11].

Данная работа посвящена исследованию операторными методами начально-краевой задачи о малых движениях составной гидросистемы "вязкоупругая жидкость - баротропный газ". Предполагается, что жидкость занимает в состоянии покоя нижнюю часть сосуда, а газ находится под ней. В процессе малых колебаний такой гидросистемы учитывается действие гравитационного поля с постоянным ускорением, а также малого поля внешних сил, наложенных на это поле.

Изложим кратко содержание работы. После введения (параграф 1) в параграфе 2 дается математическая постановка начально-краевой задачи о малых движениях гидросистемы. Затем выводится закон баланса полной энергии гидросистемы для классического решения задачи. Это дает возможность в параграфе 3 осуществить выбор функциональных гильбертовых пространств и их подпространств, в которых естественно проводить исследование задачи. Далее в параграфе 4 проводится применение метода ортогонального проектирования на выбранные подпространства и на его основе — изучение свойств операторов вспомогательных краевых задач, действующих в выбранных подпространствах. Затем в параграфе 5 осуществляется преобразование операторными методами уравнений движения вязкоупругой жидкости, а также кинематического условия на границе раздела "жидкость - газ"

и уравнения движения газа. В параграфе 6 исходная начально-краевая задача переформулируется в векторно-матричной форме в виде задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения первого порядка в ортогональной сумме пространств. При этом изучаются свойства возникших операторных матриц, являющихся операторными коэффициентами уравнения. Далее в параграфе 7 с использованием формы модели Олдройта вязкоупругой жидкости проводится дальнейшее видоизменение задачи и ее переформулировка в виде задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения в расширенном гильбертовом пространстве. Выясняется, что основной оператор задачи (операторная матрица) является аккретивным и может быть расширен путем его замыкания до максимального аккретивного оператора. Это дает возможность в параграфе 8 использовать теорию сжимающих полугрупп операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и на этой основе доказать теорему существования сильного (по времени) решения задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения первого порядка, к исследованию которого была приведена исходная начально-краевая задача. В параграфе 9, являющимся последним в работе, дана постановка задачи о нормальных (собственных) колебаниях гидросистемы и сформулирована соответствующая спектральная задача для оператор-функции (операторного пучка), обобщающей как известный пучок С. Г. Крейна (вязкая жидкость в частично заполненном сосуде), так и операторный пучок, отвечающий проблеме нормальных колебаний вязкоупругой жидкости в полностью заполненном сосуде.

2. Математическая постановка задачи

Будем считать, что неподвижный сосуд ^ С М3 заполнен двумя средами: вязкоупругой жидкостью (обобщенная модель Олдройта, см. [1], [12]) и баротропным газом. Эта гидросистема находится в поле сил тяжести, и в состоянии покоя граница Г раздела жидкости и газа горизонтальна, т. е. расположена перпендикулярно действию гравитационного поля. При этом жидкость занимает область ограниченную твердой стенкой 51 и поверхностью Г, а газ находится выше жидкости и ограничен твердой стенкой 52 и снизу равновесной поверхностью Г (см. рис.1). Выберем декартову систему координат Ох1х2х3 таким образом, чтобы ее начало было на Г, а ось Ох3 была направлена вертикально вверх. Тогда ускорение силы тяжести

9 = -9^3, д > 0.

В состоянии покоя давление в жидкости Р1,0(х) изменяется по закону Архимеда:

Р1,0 = Р1,о(0) - Р1дх3,

Рис. 1

где pi = const > 0 — плотность жидкости, а Pi;o(0) — давление на границе Г. Далее, газ называют баротропным, если его давление P2(t,x) связано с полем плотности p2 соотношением

P2(i, x) = a2p2(t, x), x = (xi; x2; хз) G , (1)

a2 — квадрат скорости звука. В состоянии покоя имеем связь

P2,o(x) = a2p2,o(x), VP2,o = -gP2,o (x)e3, (2)

откуда следует, что

— дхз

P2,o = P2,o(x3) = P2,o(0)e a2 , P2,o(0) > 0,

(3)

0 —дхз V /

P2,o = P2,o(x3) = P2,o(0) + a2p2,o(0)e~ , P2,o = Pi,o(0).

Рассмотрим малые движения гидросистемы, близкие к состоянию покоя. В качестве искомых функций, описывающих движение системы, будем рассматривать: для жидкости — малое поле скоростей U(t,x), x G , и функцию x3 = Z(t, x), x = (x1,x2) G Г, — вертикальное отклонение границы раздела жидкости и газа; для газа соответственно считаем искомыми p2(t, x) — отклонение давления от равновесного (2), (3), U2(t,x) — поле скоростей в газе, а также p2(t, x) — отклонение поля плотности от равновесного поля (3).

Заметим еще, что жидкость считаем вязкоупругой, подчиненной обобщенной модели Олдройта, когда напряжения в ней определяется не полем U1(t,x), а полем

t

m „

vi(t, x) = Ui(t, x) + ^ a J e-l3k (t-s)Ui(s, x)ds =: Ioi(t)ui, (4)

fc=i {

где ак ^ 0, > 0, к = 1, т (см. [1],[2]), — коэффициенты вязкоупругости. При ак = 0, к = 1,т, получаем, в частности, модель обычной вязкой несжимаемой жидкости, а при к = 1 — модель Олдройта.

Выпишем теперь полную постановку начально-краевой задачи о малых движениях рассматриваемой гидросистемы.

Линеаризованные уравнения Навье - Стокса имеют вид —и

Р1 "—Г - + = Р1 /1(Ь, х), а1уи1 = 0 (в П1), (5)

где ц1 > 0 — коэффициент динамической вязкости, а /1 (Ь, х) — малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное поле д = — де3. Линеаризованные уравнения движения газа и уравнение неразрывности таковы

—и

Р2,0 ¡Ц2 + + = 02,0/2, Р2 = а2р2, (6)

¡Р- + ¿1у(р2,ои2) = 0, (в П2), (7)

где /2(Ь,х) — заданное малое поле внешних сил в газе.

Выпишем теперь краевые условия в исследуемой проблеме. Для вязкой жидкости — это условия прилипания на твердой стенке:

Ц =0 (на 51), (8)

а для газа — условие непротекания:

и2 • п = 0 (на 52), (9)

где п — внешняя нормаль к 52.

Далее, на границе раздела Г должны выполняться кинематические условия

—С

Ц • е3 = Ц • е3 = —, (10)

а также динамические условия

^= 0, 3 = 1, 2, т,к:= ^^ + —х^ (11)

[-Р1 + ^1^33(^1)] - [-Р2] = -д(р1 - Р2,о(0))С.

Кроме того, должно выполняться линеаризованное условие сохранения объема жидкости:

У С ¿Г = 0. (12)

г

Наконец, в начальный момент времени Ь = 0 следует задать начальные условия для полей скоростей, а также для отклонения границы раздела и поля давлений в

газе:

ик(0,х) = и0(х), х е , к = 1, 2,

о (13)

Р2(0,х) = р?(х), х е ^2, С(0,х1,х2), (х1,х2) е г.

Таким образом, начально-краевая задача о малых совместных движениях вязко-упругой жидкости и баротропного газа, заполняющих неподвижный сосуд состоит в нахождении искомых функций из уравнений движения (5)-(7), краевых условий (8), (9), кинематических условий (10), динамических условий (11), условий сохранения объема (12) и начальных условий (13).

Будем считать, что задача (5)-(13) имеет классическое решение, т. е. все слагаемые в уравнениях, краевых и начальных условиях являются непрерывными функциями своих переменных. Для вывода закона баланса полной энергии гидросистемы воспользуемся следующими тождествами.

Первое тождество следует из (1)-(3):

^2 + Р2дёз = а2р2,о V(р-0р2) = ^^(р-^). (14)

Второе тождество — это формула Грина для соленоидальных векторных полей, удовлетворяющих условию прилипания на твердой стенке:

У И1 ■ (—+ ^1)^1 = ^1^1(^1, VI) —

Здесь

- / ^ uij cos(n,efc)[rjk(Vi) - pij] I dr,

Г Vj',k=1 J

divU1 = divV1 =0 (в Ui, V1 = 0 (на S1).

Ei(Ui,U1) := 2 I ^ |Tjk(Ui)|2dfib

(15)

2

П1 ^'к=1

а Е1(и1, V!) — соответствующее полуторалинейное выражение. Величина р1Е1(и1, V!) равна скорости диссипации энергии в вязкоупругой жидкости, занимающей область

Из уравнения (5) получаем соотношение

Р1 / И1 ' ^Цк + / И1 ' (—+ = р1 У И1 ■ (16)

Из (6) с учетом (14) имеем

У Р2,0и2 • ¡д2^2 ^ У и2 • (р2^(Р2,002)М^2 = у Р2,0М2 • ,/2¿^2. (17)

Второе слагаемое слева в (16) с учетом (15) и граничных условий (10), (11), а также уравнения (7), преобразуется следующим образом:

/ Ц • (-0оД/о + Vpl)dfil = 01Е1 (иь /1 )-еов(п, /к) \Т]к(/1) - 01^'к] ¿г =

/ I «У еоБ(п, /к)[т^к(/1) - 01^к] I г \3,к=1 /

г ^',к=1

= («1, /1) - м^р^Г + д(р1 - Р2,0(0)) / («1 • ё3)С¿Г =

(18)

= 01^1(^1, /1) ^ м^р^Г + д(р1 - Р2,0(0)^ (и1 • ё3)С¿Г = г г

= 01^1(^1, /1) - д(р1 - Р2,0(0)) / ¡^С¿Г + /(«1 • й)0^Г =

гг

01^1(^1, /1) - 1д(р1 - р2,0(0))^ У 1С№ + У («1 • /3)02 ¿Г.

гг

Второе слагаемое слева в (17) преобразуется с учетом (7), (10) и связи 02 = а2р2 так:

1

У ^2 • (Р2^(Р2,0Р2)М^2 ^ у ¿^(02^2^2

У Р20P2div(р2,оU2)dfi2 = - У 02^2 • ^¿Г + а~2 I р-^¡д02¿^2 = (19)

^2 г ^2

в

= - I 02^2 • е^Г + а 2 — у Р2,110212¿^^2.

^2

Складывая левые и правые части (16) и (17) и учитывая (18), (19), приходим к тождеству

1 ^ \ р11 1*|Я^ + / + I

1 d + 2 dt

-2

!2d^2 + g(pi - P2,c(0)W |Z|2dr V =

(20)

= -^1^1 («1, ^1) + Р1 у «1 ■ /1+ ^ Р2,оИ2 ■

которое является законом баланса полной энергии исследуемой гидросистемы, записанным в дифференциальной форме. Здесь слева в фигурных скобках стоит удвоенная кинетическая энергия (первое слагаемое), отвечающая полю скоростей в жидкости и газе, а второе слагаемое — это потенциальная энергия, отвечающая отклонению ( границы раздела Г и изменению плотности в баротропном газе (р2 = а2р2) в процессе малых колебаний. Справа в (20) стоит мощность сил, действующих на систему: это внутренние вязкоупругие силы (первое слагаемое) и внешние силы в областях (остальные слагаемые).

3. ВЫБОР ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Из формулы (20) следует, что для описания движения гидросистемы следует привлечь к рассмотрению такие функциональные гильбертовы пространства, для которых поля скоростей и давлений должны приводить в любой момент времени к конечной кинетической и потенциальной энергиям системы, а также к конечной скорости диссипации энергии.

Перейдем к подробному рассмотрению этого вопроса и введем соответствующие пространства и их подпространства.

1. Прежде всего введем (комплексное) гильбертово пространство L2(^1) векторных полей (и1(ж)}, x £ с квадратом нормы

||Ui|||2(ni) :=/ |Ui(x)|2d^i

n1

и соответствующим скалярным произведением. Как известно (см. [13], [14]), пространство L2(^1) имеет ортогональное разложение

L2) = Jc(fii) Ф Gh,Si(fii) Ф Gс,г(ад (21)

</0(^1) := (гЯ 1 € £2(^2) : div■гЯ 1 = 0 (в гЯ1 ■ Я =0 (на д^)},

дФт [

(^1):=(^1=УФ1€Ь2(^1): ДФ1=0 (в ^=0 (на ), /Ф^Г=0},

г

Со,г(^1) := € £2(^1) : ^ = 0 (на Г)}. (22)

д

Здесь Я1 — внешняя нормаль к д^ь Я1 = е3 (на Г), а операции div и —— понимают

д п1

в смысле обобщенных функций (распределений).

Будем считать, что части и Г границы д^1 области являются липшицевыми, причем контур д51 = дГ также липшицев (см. [15]-[17]). Тогда для функций из

НГ(П1) := (Ф(х) € Н1 (П1) : I ФdГ = 0}, ||Ф||(п0 := / ^Ф^,

г

имеет место обобщенная формула Грина для оператора Лапласа (см. [18]):

дФ

(Ф, Ф)Н1 (П1):^VФ ■ VФdfil=(Ф, -ДФ)Ь2(^1)+(7Ф, —)Ь2 Г, VФ, Ф €НГ(^). (23)

Здесь £2,г := £2(Г) Э {1г} — подпространство пространства £2(Г), ортогональное единичной функции 1г := 1|г,

-ДФ € (НГ(^1))*, НГ(^1) со £2(^1) со (Над)*, ддф € (Н1/2)*, Н1/2 : = Н1/2(Г) П £2,г ос; £2,г СО (Н1/2)*, Я1 = е3, (24)

7Ф := Ф|г, 7 : %(Н^); Н/2)

есть оператор следа на Г. Косыми скобками в (23) обозначаются значения соответствующих функционалов, отвечающих оснащениям в (24).

Отметим, что в силу постановки задачи (см.(5), (8), (10)) поле скоростей х) должно принадлежать при любом £ ^ 0 подпространству </0(^1) ф (((^1), а поле градиентов давлений — подпространству (((^1) ф (С0,г(^1). 2. Введем теперь пространство Ь2(^2;р2,0) с квадратом нормы

||и2||^2(^2 ;Р2,0) :=/ Р2,0(х)|и2|2^2,

отвечающее полю скоростей в газе. Его ортогональное разложение, которое далее понадобится, таково:

£2(^2; Р2,0) = <0(^2; Р2,0) ф ((^2; Р2,0), (25)

</0(^2; Р2,0 ):= (V € £2 (^2; Р2,0) : div(p2,оV) = 0 (в ^2), Р2,0^ ■ Я = 0 (на д^)}, (26)

<3(^2; Р2,о) := {V— е ¿2(^2; Р2,о) : 02,о-2^2 = 0} =

«2 (27)

<3о,г(^2; Р2,о) Ф <3М2 (^2; Р2,о),

<3о,г(^2; Р2,о) := {е ¿2(^2; Р2,о) : ^2 = 0 (на Г)},

д Ф2

<3/^2(^2; Р2,о):=^Ф2е£2(^2; Р2,о): ¿МР2,оУФ2)=0 (в Р2,о^-=0 (на ^2)}.

д П2

Из (6), (7), (9) следует, что поле скоростей и2(£, ж), ж е для газа следует считать (при любом £ ^ 0) элементом подпространства </о(^2; Р2,о) ф (3н,,з2 (^2; Р2,о).

3. Для поля давлений р2(£, ж) в газе введем, опираясь на (20), гильбертово пространство

¿2(^2; Р-о) := {Р2 : ||Р2||^2(«2;р2-1) '■= J Р-1(ж)|Р2|2Й^2 <

«2

с нормой, эквивалентной норме Ь2(^2).

4. Далее, для конечности потенциальной энергии системы, отвечающей отклонению ( движущейся границы раздела между жидкостью и газом, введем уже встретившееся выше (см. (24)) подпространство

¿2,г ■= {С е ¿2(Г) : ||С ||^2,г := / К |^Г < то, | С ¿Г = 0}

г г

пространства ¿2(Г).

5. Наконец, для конечности скорости диссипации энергии в вязкоупругой жидкости (снова см. (20)) введем пространство вектор-функций Н 1(^1) и его подпространство

—±1 —* -1

Л),51 (^1):= {и1 е Н ) : Е1 (и1; и1) < то, г?1 = 0 (на 51), ¿1уи1 = 0 (в ^1)}.

Отметим, что норма в (^1) эквивалентна стандартной норме пространства Н 1(^1) при условии прилипания г?1 = 0 (на 51), так как в этом случае имеет место неравенство Корна (см. [4])

3

||и1||/15 («1) := Е1(иьи1) ^ с||и1||| 1(«1) := с^ ||ы1,кПЬ(«^ с> (28)

к=1

Таким образом, далее в исследуемой проблеме искомые векторные и скалярные поля будем считать функциями переменной £ со значениями в соответствующих введенных выше пространствах и подпространствах.

4. Применение метода ортогонального проектирования для

УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА

Введем согласно разложениям (25)-(27), ортопроекторы

Ро,2 : £2(^2; Р2,о) ^ ./0(^2; Р2,о), РЪ,2 : ¿2(^2; Р2,о) ^ <3(^2; Р2,о), и перепишем уравнения движения газа (6), (7) с учетом (14) в виде

^ + оР2) = /2, а-2 ^ + ¿Мр^) = 0 (29)

Будем теперь считать, что поле скоростей в газе имеет вид

И2 = г^2 + ^Ф2, г^2 е ./о(^2; Р2,о), ^Ф2 € <3(^2; Р2,о)

(см. параграф 3, п.2). Применяя ортопроекторы Ро,2 и к левой и правой частям

первого уравнения (29), получим два соотношения / } _

= Р/ УФ2 + ^Р2>2) = Рс,2/2 =: ^2- (30)

Далее, в силу (26) второе уравнение (29) приобретает вид

а-2 др2 + ¿1у(р2,о^Ф2) = 0. (31)

Заметим теперь, что первое уравнение (30) тривиально разрешимо, если задано начальное условие гг2(0,х) = Ро,2и!](ж). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать связи для р2 и Ф2, исходя из второго соотношения (30), уравнения (31) и с учетом краевых и начальных условий. В частности, из (9), определения (26) подпространства </о(^2; р2,о) и из кинематического условия (10) имеем:

дФ2 дФ2 . е дС ( дФ2 0( „ )

зпг = -зет = ■ ез = -ж(наг), зпг =0(на^

Отсюда получ аем кр аевую задачу, описыв ающую связь функций Ф2 и р2:

-ДоФ2 := -р2,0а1у(р21оУФ2) = а 2 р^ =: f (в

дФ2 дФ2

= 0 (на S2), Р^о"^ = -P2,o(0)Ui ■ ез =: ^ (на Г).

(32)

Будем исследовать задачу (32), используя теорию обобщенных и слабых решений краевых задач в негладких (липшицевых) областях. Заметим, что однородная задача (32), т. е. отвечающая случаю f = 0, <£> = 0, имеет нетривиальное решение Ф2 = c2 = const. Поэтому решение задачи (32) можно представить в виде

Ф2 = Ф21 + Ф22 + С2,

где Ф21 и Ф22 — решения задач при однородном краевом условии и однородном уравнении соответственно:

д Ф2 Г

А0Ф21 = / (в ^2), Р2,0"дп = 0 (на д^2), Р2,оФ21^2 = 0, (33)

^2

дФ2 дФ2 Г

-Д0Ф22 = 0 (в ^2), = 0 (на S2), Р2,0^ = ^ (на Г), Ф22dr = 0, (34)

г

а c2 = const.

При изучении этих задач понадобится обобщенная формула Грина, аналогичная формуле (23), применительно к оператору Д0 из (32). Отметим сначала, что необходимым условием разрешимости задачи (33) является условие

(f, 1П2)L2№;Р2,0) :=/ If !2d^2. (35)

Обозначим соответствующее подпространство функций через L2,^2 ,Р2 0. Введем теперь пространство Hх(^2; р2,0) с квадратом нормы

1|Ф| IH1 (^2,0) = J Р2,01^Ф12d^2 + | У Р2,0ФdП2|2,

эквивалентной норме H), и его подпространство H^ р2,0) тех элементов которые удовлетворяют условию (35), т. е.

У P2^d^2 = 0. (36)

Тогда нетрудно видеть, что (H^ р2,0); L2,^2,P20) — гильбертова пара пространств, причем Hi р2,0) компактно вложено в L2,^2,P2 0. Для элементов Ф2, Ф2 из Hi2 р2,0) имеет место обобщенная формула Грина

(Ф2, Ф2)Я12, р2о = j Р2^Ф2 ■ VФ2dfi2 = (Ф2, -Д0Ф2)L2,Q2, р2 ,0 +

' Ъ (37)

. т дФ^, А дФ2,

+ (YS2 Ф2, P2,0^n)L2(S2) + (7гф2, P2,0^n^(Г^

где ys2 и Yr — операторы следа на S2 и Г, а косыми скобками обозначены значения соответствующих функционалов.

Уточним некоторые факты, связанные с формулой (37) (см. [18]). Она справедлива для тех элементов из Hi2 р2,0), которые обладают следующими свойствами: для этих элементов производные по нормали на S2 и Г обладают тем свойством,

что они продолжимы нулем с $2 и Г соответственно на оставшуюся часть границы д^2 в класссе функций из И-1/2(д^2). Соответствующую совокупность элементов из И^ (^2; р2,о) обозначим через И^ , так что формула (37) справедлива для элементов из . При этом класс таких продолжимых нулем производных по нормали обозначается через И^-1/2(52) и И-1/2(Г) соответственно, причем эти подпространства являются сопряженными к И1/2(52) и И1/2(Г) (см. [16],[17]).

Опираясь на формулу Грина (37), определим слабое решение задачи (33) как такой элемент Ф21 из И^ (^2; р2,0), для которого выполнено тождество

(Ф2, ф21)я^2№,Р2,0) = (ф2,/)ь2,п2,Р210, VФ2 € И12р2,о). (38)

Тогда из теории пар гильбертовых пространств следует, что задача (33) имеет слабое решение тогда и только тогда, когда

/ € (И12 (^2; Р2,о)Г ^ ¿2,П2,Р2 , 0• При / е ¿2,П 2,Р2 0 эта задача имеет обобщенное решение, определяемое тождеством

(Ф2, Ф21 )я!2 (П2;Р2,0) = (Ф2,/)Ь2,02 ,Р2,0 , V Ф2 € И^ (^2; р2,о). (39)

Оба решения задач (38), (39) выражаются одной формулой:

Ф21 = А-1/,

где А2 — оператор гильбертовой пары (И^ (^2; р2,0); ¿2, П2,Р2 0). При этом для слабого решения Ф21 € 3(А^/2) = И^ (^2; р2,0), а для обобщенного решения Ф21 е 3(А2) с 3(А2/2). 2

Таким образом, при / € ¿2,П 2,Р2 0 задача (33) равносильна соотношению

А2Ф21 = / = а-2^ др2, (40)

0 < А = А; : 3(А2) ^ ¿2,П2,Р2 , 0, А-1 € ©«,(¿2,^2,0)• Перейдем теперь к рассмотрению задачи (34). Опираясь формулу Грина (37), заметим сначала, что необходимым условием разрешимости этой задачи является условие

(1г, ^(г) =0. (41)

Если <£> € ¿2(Г), то получаем условие

/ ^аг = 0,

т. е. условие ортогональности с £2(Г) заданной функции <£> к единичной функции 1г, определенной на Г. В связи с этим введем в Н 1(^2; р2,о) норму

1|Ф|1н 1(П2;Р2.0) := I Р2,о | ^^ Ф |2 ¿^^2 + | У Фаг|2,

Г

эквивалентную стандартной норме пространства Н 1(^2), и подпространство Н (^ 2, Р2,о) функций, для которых

J Фаг = 0.

г

Снова опираясь на формулу Грина (37) определим слабое решение задачи (34) как такой элемент из Ф22 из Н (^2; р2,о), для которого выполнено тождество

(ф2, Ф22)Я,12(^2,Р2,п) = (72Ф2,^¿2(Г), VФ2 е Нг(^2;Р2,о), (42)

72Ф2 := Ф|г. Из (34) следует, что для слабого решения функция <£> должна быть продолжима нулем в классе Н-1/2(д^2), т. е. необходимым и достаточным условия разрешимости задачи (34) является условие

^ € Н-1/2 = (Н/2)*, Н1/2 := Н 1/2(Г) П ¿2,г-

тогда эта задача имеет единственное слабое решение

Ф22 =: VV = V(-р2,о(0)Ц?1 ■ ез) = V(-р2,о(0)^), V € %(Н-1/2; Н*,^; Р2,о)), (43)

Н^ад Р2,о) = {Ф22 € Н1 (П2; Р2,о) : -ДоФ22 = 0 (в ^2),

Р2,одф22 = 0 (на й), / Р2,о(0Ф22аГ = 0) } С Н(П2; Р2,о). (44)

г

Заметим теперь, что для области с липшицевой границей д, разбитой на липшицевы куски $2 и Г, имеет место теорема Гальярдо (см. [19]), согласно которой оператор следа 72 обладает свойством

72 € %(Н(П2; Р2,о); Н/2). (45)

Отсюда получаем следующее утверждение.

Лемма 1. Операторы V : Н-1/2 ^ Н1Л(^2; р2,о) С Н(^2; р2,о) и 72 : Н(^2; р2,о) ^ Н-1/2 являются взаимно сопряженными (ограниченными) операторами:

V = 72*.

Доказательство. Оно следует из тождества (42) и определения оператора V:

(Ф2, (П2;р2,0) = (72^2, •

□

Итогом рассмотрения задачи (32) и вспомогательных задач (33), (34) является такой вывод: задача (32) имеет решение из пространства Нр2,о), которое выражается формулой

Ф2| ^2 = Ф21 + Ф22 + С2 = А2-1(а-2р2"0 ^) + V (-Р2,о(0) ^) + ¿2, (46)

где с2 — произвольная функция ¿.

5. Преобразования операторными методами уравнений движения

жидкости

Преобразуем теперь уравнения движения жидкости (5) в области ^ с учетом граничных условий (8), (11). Опираясь на ортогональные разложения (21)-(22), будем считать при каждом t поле U1(í,x) элементом J^Sl(^1) С Jo,Si(^1), а Vp1 — элементом подпространства G= Go,г(Ü1) ф Gh,s1 (^1). Введем далее ортопроек-тор

Po,Si : L2(Ü1) ^ J0,Si(^1) и подействуем им на обе части уравнения (5). Будем иметь соотношения

duu

Р1 - Po,Si Д + Vp1 = p1Po,Si /1, VP1 := Po,Si VP1, (47)

Др1 = 0 (в ), ^ = 0 (на S1), í^1dr = 0, (48)

dn J

r

щ = 0 (на S1), p1Tj3(V1) = 0, j = 1, 2 (на Г),

[-Р1Р1тзз(V1)] - [—P2] = -g(p1 - P2,o(0))Z (на Г). Здесь уже учтено, что в силу (22) будет p1 = p>1 (на Г). Представим теперь поле Vp>1 в виде

Vp1 = Vpn + VP12, Vp1Z e Gh,Si (^1), l = 1, 2,

и рассмотрим две вспомогательные краевые задачи, сумма решений которых дает решение задачи (47)-(49).

(49)

Первая вспомогательная задача (ее называют задачей С.Г. Крейна, см. [4, 20]): -^1 Рол + Урц = Д := -Ур12 - Р1 + Р1ро,5х,/1,

(50)

= 0 (в ^1), ■и1 = 0 (на £), ^1^53(^1) = 0 (на Г), ] = 1, 2; -Р11 + ^1Тзз(^1) = 0 (на Г). Вторая вспомогательная задача (задача Зарембы):

△р12 = 0 (в ^1), = 0 (на £1), Р12 = Р2 + д(р>1 - Р2,о(0))С =: П (на Г). (51)

Рассмотрим сначала задачу о слабых решениях проблемы (51). Заметим предварительно, что в силу условий

У р12аГ = 0, у с ¿г = 0

г г

возникает требование нормировки для давления в газе:

У Р2аг = 0. (52)

г

Тогда задача Зарембы (51) имеет при п € Н^/2 единственное решение р12, для которого

Ур12 =: Яп = ЯЫг + 0(Р1 - Р2,о(0))С), Я € %(Н/2; (ВД. (53) Чтобы получить окончательное выражение для Ур12, найдем значение р2|г с учетом нормировки (52). С этой целью воспользуемся следствием из второй формулы (30), которое называют интегралом Коши-Лагранжа:

дФ2 _1

+ Р-,оР2 = ^2 + ф) (в П2),

где е(£) — произвольная функция ¿. Отсюда получаем, что

д Ф2

Р2|г = Р2,о (0)72( + ^2) + Р2,о(0)е(^),

откуда с учетом (46) приходим к формуле

д

Р2 |г = Р2,о (0)72 {^777 Ф21 - Р2,о(0) V 7пдИ1} + ^2,о(0)(72 ^2 + с(£)).

ОТ

Наконец, учитывая интегральное условие (52), окончательно имеем

д

Р2|г = -Р2,о(0){Рг72У-1(УФ21) - P2,о(0)72V7n,lИl} + Р2,о(0)Рг72^2, (54)

где Рг : Р2(Г) ^ Р2,г — ортопроектор.

Рассмотрим теперь первую вспомогательную задачу (50), считая Р1 заданным элементом. Здесь понадобится обобщенная формула Грина для соленоидальных полей и векторного оператора Лапласа. Для гладких полей она имеет вид (15), а для полей из /¿^(^1) эта формула приобретает вид (см. [13],[18])

з

(«1, ^1)=(г?1, -^1Ро,51 Аг71+Ур1 )г2(П1)+^(«У С08(пг,ез), [,(^1) -р1,])^(г ). (55)

5, к=1

Используя формулу (55), определим слабое решение задачи (50) как такой элемент ■и1 € <7(151 (^1), для которого выполнено тождество

= (9l,F0)L2(^1), V 771 € 4,51 (^1).

Заметим теперь, что в силу неравенства Корна (28) пространство (^1) компактно вложено в </о, 51 (^1). Поэтому эти пространства образуют гильбертову пару (4 51 (^1); <о,51 (^1)), причем оператор этой гилЬбертовой пары

А : 3(А1) С /о,51 ад ^ /о,51 ад (56)

неограничен, положительно определен и имеет компактный обратный оператор А-1. При этом

ад, Й1) = (п°, ^^ (П1) = И^Ъ^Ч)/0^1 (П1) = ^Ь^^ (П1),

V 771, € 4,51 (^1).

Эти рассуждения показывают, что задача (50) имеет слабое решение € /ад (^1) тогда и только тогда, когда выполнено условие

Д € (4,51 адг, (57)

и это решение выражается формулой

£1 = ^-1А-1Р1. (58)

Если Р1 € </о,51 (^1) С (//¿^ (^1))*, то формула (58) дает обобщенное решение задача

(50), и при этом £1 € 3(А1) С 3(А1/2) = 4,51 (^1).

Формула (58) позволяет с учетом определения Д (см. (50)) выписать

дифференциально-операторную связь между искомыми функциями в исследуемой

проблеме и данными задачи. Как уже упоминалось выше, все эти функции считаем

функциями переменной £ со значениями в соответствующем гильбертовом простран-

д й

стве и в соответствии с этим далее производные — заменим на —.

от щ;

Подставляя выражение для в соотношение рзА щ = следующее из (57), и используя формулы (53) и (54) для Ур12 и р2|г, приходим к соотношению

^{[^1^1 + (р2,с(0))2(д72)(^7п,1)и1] - р2,с(0)(дРг72У-1)(УФ21)}+

(59)

+Р1А1 Р1 + - Р2,0(0))^С = ^1^0,51 Л - Р2,о(0)дРг72Р2,

г

т „

7п,1И1 := (и ■ п)г, Р1 = иД^ж) + ^ аИ е-^*-^^, ж^в := /01(^)^1.

*=1 0

Выпишем теперь дополнительно к (59) другие соотношения, связанные с изучаемой задачей. Перепишем кинематические условия (10) в эквивалентной форме:

0(Р1 - Р2,о(0)) — - д(р1 - Р2,о(0))7п,1«1 = 0, (60)

приведем также выведенные ранее соответствующие связи (31), (40) для газа и учтем формулу (43). Будем иметь соотношения

^ ^21 - Р2,о(0)У(У7пДи1)) + У(Р2,0(0)-1Р2) = РЪ,2 р2 =: ОД, (61)

а-2 ^ + ^Ф21) = 0. (62)

Итогом проведенных рассуждений является следующее утверждение. Исходная начально-краевая задача о малых движениях системы, состоящей из вязкоупругой жидкости и баротропного газа, заполняющих произвольный неподвижный сосуд, приводится, кроме тривиальной связи (30) (первое уравнение), к задаче Коши для системы дифференциально-операторных уравнений (59)-(62) с соответствующими начальными условиями. Искомыми функциями являются: поле скоростей и1 (£,ж) со значениями в р0,51 ), вертикальное отклонение ((¿,ж1,ж2), (ж1,ж2) € Г, границы раздела со значениями в Р2,г, потенциальная компонента УФ21(£,ж), описывающая одно из полей скоростей газа, со значениями в Ср2,0), а также поле давлений в газе р2 (£,ж) со значениями в Р2(^1; р-1).

6. Формулировка задачи в векторно-матричной форме. Свойства операторных коэффициентов задачи

Перепишем задачу (59)-(62) в векторно-матричном виде, введя в качестве искомого объекта вектор-столбец

*(*) := («1; С; УФ21; Р2)т

со значениями в пространстве

Н := /с,51 (^х) Ф L2Г ф С(^2; Р2,о) ф ; р—1). Введем также операторные матрицы

(63)

/рхЛ + (Р2,о)2(д72)(^7п,1)

с=

0

0

- Р2,о(0))/2

V

Р2,о(0)УУ 7п,1 0

Р2,о(0)дРг72У"Х 0 1з

0 0 0

0

0

2

(64)

V

где — единичные операторы в пространствах (63),

( рхАх/ох^) ^(рх - Р2,о(0))д 0 0 \

В =

-1

^(Р1 - Р2,о(0))7п,1 0

0 0

00

0 Вз4

/

0 0 В4з 0

В34Р2 := У(р—^2), В43(УФ21) := ¿¡у(р2,оУФ21), а также вектор-столбец заданных функций:

/ := (р1Ро,51 /1 - Р2,о(0)дРг72^2; 0; ОД; 0)т.

Тогда систему дифференциальных уравнений (59)-(62) вместе с начальными условиями можно коротко записать в виде задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения первого порядка в пространстве Н:

С§ + В^ = /, г(0) = ¿о.

(65)

Цель дальнейших рассмотрений — изучить свойства коэффициентов операторных матриц С и В и преобразовать задачу (65) таким образом, чтобы можно было доказать теорему существования ее решения на произвольном отрезке времени и на этой основе доказать теорему существования решения исходной начально-краевой задачи (5)—(13).

Напомним сначала, что по лемме 1 операторы V Е Я(НН—1^2; Н"Гь(^2; р2,о)) и 72 Е Я(Н(^2; р2,о); Н"Г/2) взаимно сопряжены. Докажем теперь аналогичное свойство для операторов Я и 7пд (см. (53), (59), (60)).

0

Лемма 2. Операторы

Я Е Я(ЯГ/2; ^,51 (ВД и 7п,1 Е Я(сл,51 (ЗД НН—1/2) (66)

взаимно сопряжены.

1/2 -» -»

Доказательство. Пусть п — произвольный элемент из Нг7 , а u1 = w 1 + УФ1 — гладкий элемент из Jo,Si = Ф Gh,Si (^). Тогда согласно (53),

Qn = Vp G G?h,s1 (^). Опираясь на свойства элементов из J0(^г), будем иметь

(Qn, иГ)^) = J Vp ■ = J div^U)d^r — J pdivu1d^1 =

^i ^i ^i

= J p(u1 ■ n)dr = (n, 7n,1U1)L2r. г

Замыкая это тождество с гладких u1 на произвольные элементы из t/o,si (^1), приходим к выводу, что 7^,1 G L(G(ВД H"1/2) и Q* = 7пД. □

Следствием лемм 1 и 2 является такой вывод.

Лемма 3. Оператор (Q72)(V7n,1) является ограниченным неотрицательным оператором, действующем в пространстве t/o,si (^1) ^ Gh,si (fi1).

Доказательство. В самом деле, на подпространстве t/0(^1 ) = t/0,si© Gh,si этот оператор нулевой, а на Gh,si он положителен. Кроме того, в силу свойств Q, y2, V и Yn,1 получаем, что

Q72V7n,1 G L(Jo,Si (^1 ), Jo,Si (^1 )), R(Q72V7n,1) С Gh,Si(П1) С Jo,Si(^1).

□

Лемма 4. Операторы

QPr72V"1 : G(П2; P2,o) ^ Gh,si (П1)

и

VV7n,1 : Jo,Si (П1) ^ GGh,r(^2; P2,o) С G(^2; P2,o) взаимно сопряжены и ограничены:

QPr72V"1 GL(G(П2; P2,o); Gh,si(ВД, VV7n,1 GL(J^(^1 ); Gh,r(^2; P2,o)). (67)

Доказательство. Проверим сначала, что эти операторы обладают свойствами (67). В самом деле, пусть VФ21 — элемент из Gop2,o). Тогда Ф21 |о2 = V-1^21) — элемент из H^ P2,o), 72V"1(ДФ2l) G Н1/2(Г) (теорема Гальярдо), Pr72V-1^21) G L2,r П H1/2(Г) = H/2, QPr72V"1(VФ2l) G Gh,Si(^1), (см. (53)), причем каждый из операторов является непрерывным из одного пространства в другое.

Аналогично можно проверить второе свойство (67). Действительно, если u1 — произвольный элемент из ^Si(^1), то 7n,1u1 G H"1/2, V7n,1u1 G H1h(^2;p2,o)

(см. (43), (44)), У (У7пдИ1) € б^2(^2; Р2,о) и является градиентом слабого решения задачи (33). Здесь снова все переходы осуществляются с помощью операторов, ограниченных из одного пространства в другое.

Докажем теперь свойство взаимной сопряженности этих операторов. Пусть и = € №) С /о,51 Ф1), УФ21 € б(^2; Р2,о). Тогда

/ Р2,0У(У( р2,0 (ОЭЬпдй) ■ УФ^2 = I Р2,оУФ22 ■ УФ21а^2, (68)

где Ф22 € Н к(^2; р2,о) — слабое решение задачи (34) при = -Р2 ,о(0)(г?1 ■ ез)г = -р2,о(0)7п, 1и (см. (43)).

Далее, для другого оператора из (67) имеем для гладкого и1 = У^1 € б^ , ,1 (^1):

I [(-Р2,о(0))дРг 72У-1(УФ21)] ■ = у р 72Ф21)(-Р2,о(0))7пдМг =

г

^ У(72Ф21)(-Р2,о(0))7п,1и1ЙГ = (ф21, У((-Р2,о(0))7п,1и1)Я]1 (^2;Р2,п) = (69) Г

= J Р2,оУФ21 ■ УФ22^2-

Здесь при выводе были использованы следующие свойства: взаимная сопряженность Я и 7пд, свойства Рг = Р^ и Рг7пдИ1 = 7п,1и1, а также взаимная сопряженность 72 и У .

Переходя в (69) от гладких и1 = У^1 к произвольным элементам из бн,,з1 (^1), убеждаемся, что тождество (69) справедливо и для произвольных У0ь Сравнивая тогда (68) и (69), получаем, что операторы (67) взаимно сопряжены. □

Опираясь на доказанные свойства элементов операторной матрицы С из (64), установим теперь общие свойства этой матрицы как оператора, действующего в пространстве Н (см. (63)).

Лемма 5. Операторная матрица С : Н ^ Н является ограниченным положительно определенным оператором, ее квадратичная форма равна удвоенной полной энергии исследуемой гидромеханической системы и отвечает потенциальным движениям баротропного газа и произвольным движениям вязкоупругой жидкости.

Доказательство. Факт ограниченности операторной матрицы С следует из лемм 1, 2-4, и ее вида (64). Вычислим квадратичную форму матрицы С, учитывая свойства операторных коэффициентов, формулы (68), (69), а также связь (43), т. е.

Ф22к = V (-р2,о(0)7пДи1), (70)

из которой следует соотношение

(р2,о(0))2У (д72)^7пДи1) ■ = У Р2,0 |УФ22 Г^2.

Отсюда получаем формулу

= Р^ |и1|2а^1 + У Р2,0|УФ21 + УФ22|2а^2 +

^ (71)

+^(Р1 - Р2,0(0)^ К |2аг + а-2 у и2^2,

Г ^2

в которой правая часть есть удвоенная полная энергия гидросистемы, отвечающая потенциальным движениям газа с полем скорости УФ2 = УФ21 + УФ22 (см. (20)). Из (71) следует, что С — самосопряженный неотрицательный оператор. Покажем, что он положительно определен. Из представления (70) и свойств операторов V и 7пД (см. леммы 1 и 2) следует, что имеет место неравенство

||ф22||я12 №;Р2,0) = ^У]Р2,оУф22|2^| < , С >

Отсюда при а + в = 1, а, в > 0, получаем что

Р1 у |и1|2а^1 + У Р2,о|УФ21 + УФ22|2^2 > Р1а||и1||2, +

2

Pieс-2 у р2,о|УФ22|2а^2 + у р2,о|УФ22|2а^2 + у |УФ21|2а^2

^2 ^2 ^2

-в J Р2,о|УФ21|2а^2 - в-1 У Р2,о|УФ22|2^2 > Pi« ||U J ^ +

+ (pi^c-2 + 1 - в-1) У Р2,о|УФ22|2а^2 + (1 - в) J |УФ21|2а^2, в > 0.

^2 ^2

(72)

Выбирая е так, чтобы было выполнено условие

(1 + Р1вс-2)-1 < е < 1,

приходим к выводу, что квадратичная форма в левой части (72) положительно определена в пространстве Зо,1 ) Ф б(^2; Р2,о).

Отсюда и из (71) следует, что оператор C положительно определен в Н = /о,,1 Ф Ь2,Г Ф б(^2; Р2,о) Ф ¿2^ Р-,1). □

7. Дальнейшие преобразования задачи

Изучив свойства оператора полной энергии С из (65), продолжим рассмотрение этой задачи и напомним, что оператор В из (65) содержит интегральный оператор Вольтерра /о1(£) (см. (4)), отвечающий обобщенной модели Олдройта. Это позволяет перейти от (65) к дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве, введя новые искомые функции в изучаемой задаче.

Проделаем соответствующие преобразования для простоты при т = 2 (для других т € N преобразования аналогичные). Именно, введем функции

г

тк(г,х) := р1/2акА/2 ^ е-вк(г-з)Ш1(8,х)Ав, гик(0,х) = 0, к = 1, 2. (73)

о

Отсюда имеем

Ц = р1/2«1/2- вк<, к = 1, 2. (74)

Введем также новый искомый вектор-столбец

¿(г) := (¿[; )т, ¿[ = (й; 102; С), 4 = (УФ21;Р2). (75)

Тогда задача (65) перейдет с учетом (74) в задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида

-15

С - + В 5 = Л, г(0) = 5°, (76)

С:=( С" С.Л , в :=( В" 0 V

V (¿21 С22 у У 0 В22 у

Л = (Р1Ро,,1 Л - Р2,о(0)ЯРг72^2; 0; 0; 0; У^; 0)Т (77)

(¿11 := ^(р^ + (Р2,о(0))2(д72)(У7п,1); ¿2; ¿3; ^(Р1 - Р2,о(0))54);

С22 := diag(J55; а-216),

где Д — единичные операторы в пространствах элементов из (75). Далее,

/ -р2,о(0)дРгТ2У-1 0 \

' -Р2,о(0)УУ7п,1 0 0 0

C12 : —

V

Bii :—

0 0 0

-^1/2«1/2Al/2 V -g(Pl - P2,0(0))Yn,1

0

0 0

C21 :— ^

0 0 0

^1/2a1/2A1/2 ^1/2«1/2A1/2 g(p1 - p2,o(0))Q \

^1/2 0 0

0 в2/з 0

0 0 0

(78)

B22 : —

( 0 B34 \ V B43 0 j

(79)

0 В34 В43 0

Заметим, что искомые элементы 5 (£) теперь считаются функциями переменной £ со значениями в пространстве (см. (63))

H = (Jo,5i (^1) Ф Jo,Si (^1) Ф Jo,Si (^1) Ф ¿2,г) Ф (б (^2; Р2,о) Ф ¿2(^2; Р-0)) =:

=: H Ф H2.

Дальнейший план исследований — изучить свойства операторных матриц C и B в (76) и доказать теорему существования сильного по переменной t решения этой задачи.

Отметим предварительно следующий факт.

Лемма 6. Оператор C : H ^ H является ограниченным положительно определенным оператором, действующим в H.

Доказательство. Оно непосредственно следует из леммы 5 с учетом вида операторной матрицы C11, в частности, с учетом добавления единичных элементов I2, I3 на диагонали. □

Изучим теперь свойства операторных блоков B11 и B22 в операторной матрице B (см. (78), (79)).

Лемма 7. Операторная матрица B11 заданная на области определения

D(Bn) = D(A1) Ф D(A1) Ф D(A1) Ф H1/2, плотной в пространстве

H1 = J0,Si (П1) Ф J0,Si (^1) Ф J0,Si (^1) Ф ¿2,Г,

0

-а!/2Л в152 0 0

-а2/2Л 0 в2/з 0

допускает факторизацию с симметричными крайними множителями:

Вп = ^(р1/2А1/2; /2; ¿3; /4) ■ Е ■ ^(р1/2А1/2; ¿2; /3; ¿4), (80)

( ¿1 «1/2/2 «1/2/з ^-1/2(Р1 - Р2,о(0))А-1/2д\

Ео:=

\-^р-1/2(Р1 - Р2,о(0))7пДА-1/2 0 0 0 )

(81)

Эта операторная матрица является аккретивным оператором:

Ее(Вп^1, ¿1)2 > 0, V ¿1 € 3(Вп). (82)

При любом Ь > 0 операторная матрица

Вп,ь := Вп + ЬР4, Р4 := diag(0; 0; 0; /4) (83)

является равномерно аккретивным оператором:

Б^Ви,^,^ > с||^1||2#1, с> 0, V ¿1 € 3(Вп,ь) = 3(Ви). (84)

Доказательство. Факторизация (80) матрицы В11 проверяется непосредственно. Свойство аккретивности (82) следует из равенства

2

^11*1, ¿Он = Р1||А1/2°1||2го51 (П1) + вк ||<к ||2го51 (П1).

к=1

Отсюда получаем свойство равномерной аккретивности (84), если заметить, что

|К2г (0.) > А1(А1)||а1||Зол,П1),

где Л1 (А1) > 0 — первое собственное значение оператора А1. Тогда в (84) имеем

с = шах^Л^А^; въ в2; Ь} > 0. (85)

□

Лемма 8. Оператор 7пдА-1/2 : ^о^ (^1) ^ ¿2,г компактен. Оператор А-1/2д : з(д) ^ (^1) обладает следующими свойствами:

А-1/2д = (7п,1 А-1/2 л* (0),

а его замыкание

А-1/2д = (7п,1^-1/2)*. (86)

Доказательство. Оператор А-1/2 переводит ^То,^(^1) в (^1) С Н?1(^1), а тогда (по теореме Гальярдо, см.[19]) 7пдА-1/2 ограниченно действует из ^То,^ (^1) в

Н\!2 = Н1/2 (Г) П Ь2,г. Так как Н]1/2 компактно вложено в Ь2,г, то 7пдА-1/2 — компактный оператор.

Далее, пусть 01 — произвольный элемент из ^/о,51 (^1), а Z € 3(д) С Ь2,г. Тогда

(7п,1А-1/2°l, С)Ь2 ,г = (А-1/2° 1,дС)/о,^ (П1) = (01,А-1/2дС)/о,^ (П1).

Отсюда следует, что А- 1/2д = (7П,1А11/2)*(о), и так как 3(д) С Н^/2 плотно в Ь2,г, то имеет место свойство (86), причем А-1/2д — компактный оператор. □

Заметим теперь, что оператор В11,ь из (83) также допускает факторизацию вида (80) с теми же крайними множителями и со средним множителем

( ¿1 «1/2/2 «1/2/з ^-1/2(Р1 - Р2,о(0))А-1/2д\

£ь:=

al/2/i ^112 0 0

h ii 1/2 Ч 1i

.-1/^ (r\W„. /1-1/2

-a2/21i 0 ^2/3 0

\-^1/2(Р1 - Р2,о(0))7п,1А- 1/2 0 0 ЬД /

(87)

Следствием приведенных фактов является такое утверждение.

Лемма 9. Оператор В11,ь из (83) допускает расширение путем замыкания среднего множителя (87) на основе (86). При этом замыкание В11,ь имеет факторизацию

Вц,ь = diag(p1/2Al/2; ¿2; ¿з; ¿4) ■ Еь ■ diag(p1/2Al/2; ¿2; ¿з; ¿4),

является максимальным равномерно аккретивным оператором в Н, заданным на области определения

D(Bn,b) = {zi = (ui; w 1; W2; Z)T :

2

pi/2Ai/2^i + Y, ai/2Wk + gp-1/2(pi - P2,c(0))(7n,iQ)*C € D(Ai/2)}

(89)

k=i

и действует по закону

Bn,bZi=

^i/2Ai/2(pi/2Ai/2^i + £ afwfc + gp-1/2(pi - P2,c(0))(Yn, 1A-1/2)*Z)X

k=

—p i/2a i/2Ai/2ml + в "W —p 1 /2a 1 /2A 1/2И] + ^2 WW2 V —gp- 1/2(Pi — P2,c(0))7n, 1Щ + bZ /

Доказательство. В доказательстве нуждается лишь свойство максимальности оператора В11,ь. Однако этот факт следует из того, что в представлении (88) каждая операторная матрица ограниченно обратима в Н, в частности, для это следует

из того, что неравенство (84) сохраняется и для В11;ь и потому область значений &(Вп,ь) есть все пространство Н. □

Из леммы 9 получаем такой важный вывод.

Лемма 10. Оператор — В11;ь является генератором сжимающей полугруппы и1(£), причем ||и1(£)|| ^ е-с4, с > 0 (см. (84), (85)). При этом оператор —В11 := — (£п,ь — ЬР4) также является генератором сжимающей полугруппы операторов. □

Перейдем теперь к изучению свойств оператора В22 из (79), отвечающего движению газа в исследуемой системе. Этот оператор действует в пространстве Н2 = (5(^2; р2,0) Ф Р2(^2; р-°°) с элементами 52 = (УФ21; р2)т. Очевидно, это оператор неограничен и его область значений должна совпадать с Н2. Поэтому далее будем считать, что

^(В22)= УФ21 е (5Р2 УФ21) е ¿2(^2; р-1),

дФ ' (90)

Р2,од^ = 0 (на ад} ф {Р2 е ¿2(^2;р-,1): У(р-ор2) е (5Р2,о)}.

Лемма 11. Оператор В22 : ^(В22) С Н2 ^ Н2 является кососамосопряженным, то есть

£2*2 = —В22. (91)

Доказательство. Пусть 52 = (УФ21; Р2Г е ^(В22), У2 = ^Ф2ь ^Г е ^(В22). Тогда, используя формулу вида ) = + ■ А, вычислим выражение

(В2252,У2)н2 = J Р2,оУФ21 ■ + ^ Р-(^(р2,о VФ2l)g2¿^2 =

^2 ^2

= {у ¿^Р-^^Уф21)^2 — I Р^Р^^оVф2l)dfi2} + { / ¿^(р-^Р2,оVФ2l)dfi2 — Р2,оУФ21 ■ V(р-0q2)dfi2} =

^2 ^2

= — ^ Р2,оУФ21 ■ V(р-о92)dfi2 + у Р-оP2div(р2IоVФ2l)dfi2] =

= — (52,В22У2)н2 , ^ 52, У2 е ^(В22). (Здесь при выводе использовано граничное условие на дсм. (90) и теорема Гаусса-Остроградского). Отсюда и следует свойство (91). □

Рассмотрим подробней другие свойства оператора В22 и его связь с оператором задачи Неймана (33).

Лемма 12. Оператор В22 : ^(В22) С Н2 ^ Н2 обратим.

Доказательство. Рассмотрим уравнение В2252 = у2 е Н2, 52 = ^Ф^;р2)т, причем у2 представим в виде у2 = ^(р-1^); р2,0»2)т, с заданными произвольными функциями и »2. Тогда будем иметь соотношения

^Р-о Р2) = ^р-,^ X дФ21

^2^21) = Р2,о»2 (в Р2,^—д^^ = 0 (на д^2). (92)

Отсюда в силу нормировки У р2,о(р-О-02^^2 = 0 (см. (27)) для элементов из

((^2; р2,0) получаем р2 = ^>2, а в задаче (92) возникает проблема

—Д0Ф21 = —р-0div(р2,оVФ2l) = — <?2 (в ^2), дФ21

р2,о^дП° = 0 (на д^2), 02,оФ2^2 = 0,

(см. (36)), равносильная уравнению

А2Ф21 = —92 е ¿2,^2,0 (93)

(см. (35)), где 42 — оператор гильбертовой пары (И°2(^2; р2,0); Ь2,^2,Р20), изученный в параграфе 4. Отсюда следует, что задача (93) однозначно разрешима: Ф21 = — 4-1д2 е (^2; р2,0) и потому VФ21 е (((^2; р2,0) (между элементами из ((^2; р2,0) и И^ (^2; р2,0) имеется изоморфизм, осуществляемый операторами V и V-1). □

Лемма 13. Спектр оператора В22 дискретен и расположен на мнимой оси. Его собственные значения образуют множество {А^В^)}^ с двумя ветвями:

А±(В22) = (42), к = 1, 2,...,

где {А*(42)}^=

0 — собственные значения оператора А2 (см. (93)): 0 < Ао(42) < А2(42) < ... < А*(42) < ...,

/Ю \ -2/3 (94)

А*(42) = (Щ к2/3[1 + о(1)](к

Собственные элементы

+ ТОО _ Г/'У7Л± .

отвечающие собственным значениям оператора B22, образуют ортогональный базис в Ж2 и выражаются через ортонормированные собственные элементы оператора A2, т. е. решения спектральной задачи

д Ф21 Г

-ДсФ21 = ЛФ21 (в ад P2,c-df = 0(на д^2), / р2,оФ2А = 0, (95)

по формулам

= (УФ21,Ь; Л±р2,оФ21,к)т, k = 1, 2,....

При этом для ортонормированных в L2,^2,Р2 0 собственных элементов задачи (95) выполнены следующие формулы ортогональности для ортонормированных элементов (z±}fc=i;

(z± ,z±)H2 = ((1 + (±1)(±1))/2)1/2*и,

где учтены все четыре варианта знаков слева.

Доказательство. Оно проводится непосредственной проверкой всех связей возникающих задач для операторов B22 и A2. Асимптотическая формула (94) — это известная асимптотика Вейля в спектральной задаче Неймана для оператора Лапласа при Р2,0 = const. □

Подводя итоги исследования свойств оператора B = diag(B11, B22) в задаче Ко-ши (76), отметим, что первый блок B11 характеризует диссипативную вязкоупругую часть исследуемой гидросистемы (жидкость), а второй блок B22 — консервативную часть (газ). В итоге приходим к следующему выводу.

Лемма 14. После замыкания (оператора B11) оператор B является максимальным аккретивным оператором, действующим в Ж = Ж ф Ж2 и заданным на области определения

D(B) = D(Bn) ф D(B22), D(B11) = D(Bn,b), R(B) = Ж.

Доказательство. Так как B22 кососамосопряжен в Ж2, то он является генератором группы унитарных операторов, действующих в Поэтому вместе с утверждениями лемм 9 и 10 получаем утверждение данной леммы. □

8. О РАЗРЕШИМОСТИ исходной НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Опираясь на установленные факты, докажем утверждение о разрешимости задачи Коши (65), к которой была приведена исходная начально-краевая задача (5)-(13).

Определение 1. Будем говорить, что задача Коши (65) имеет сильное по переменной t решение z(t) = (и1; Z; УФ21; p2)т на отрезке [0, T], если все слагаемые в

уравнении (65) являются непрерывными функциями £ со значениями в пространстве Н := ^/0,51 (П0) ф ¿2,г ф (((П2; р2,0) ф ¿2(П2; р-0) и выполнено начальное условие 5(0) = 50. □

Согласно этому определению для сильного решения задачи все слагаемые в уравнении (59) должны быть элементами из С([0,Т]; /ад(П0)), в уравнении (60) — элементами из С([0, Т]; Ь2,г), в уравнении (61) — элементами из С([0, Т]; (((П2; р2,о)), а в уравнении (62) — элементами из С([0,Т]; ¿2(П2; р-0)).

Теорема 1. Пусть в задаче (65) выполнены условия

Ц е 9(4о) с 9(41/2) = (По), С0 е 9(д) = И/2, Ф01 е 9(42) с 9(40/2) = 2р2,о), V(р->0) е (р2,о),

а также условия

Л(*,х) е С0([0,Т]; ¿2(По)), /(¿,ж) е С0([0,Т]; ¿2(ВД. (97)

Тогда задача (65) имеет сильнее по переменной £ решение 5(£) на отрезке [0, Т] (в смысле определения 1).

Доказательство. Оно состоит из нескольких этапов.

1. Рассмотрим задачу Коши вида (76), однако с оператором В = diag(B11; В22),

который, согласно леммам 9-11, 14, является максимальным аккретивным:

~ — ~

С- + В5 = / (£), 5 (0)= 5 0. (98)

При этом начальные данные выберем в виде (96), т. е. из области определения оператора В из (65), и дополним их тривиальными начальными условиями

(0) = 0, к = 1, 2,

(см. (73), (74)). Тогда эти условия порождают начальный элемент

50 = (иО; 0; 0; С0; VФ0l;р2)т е 9(В) с 9(В). (99)

Аналогично проверяем, что если выполнено условие (97), то заданная функция /(£) (см. (77)) обладает свойством

/ (£) е С0([0,Т]; Н), (100)

(см. (77)). Воспользуемся теперь тем фактом, что оператор С в (98) положительно определен и ограничен в Н, и введем в Н эквивалентную норму, порожденную скалярным произведением

(5 ,5)с :=(С5 ,5)н. (101)

Перепишем затем задачу (98) в виде

15 ~ — ~ ~

_ = -С-1В5 + С-1/(£), 5 (0) = 5°, (102)

и заметим, что оператор — С-1В является максимальным диссипативным в пространстве НС со скалярным произведением (101). Поэтому (см., например, [21], с.166) при условиях (99), (100) задача (102) имеет единственное сильное решение 5 (£), т. е. такое, что все слагаемые в (102) являются элементами из С([0,Т]; НС). Отсюда следует, что 5 (£) является также сильным решением задачи Коши (98), где все слагаемые являются непрерывными функциями £ со значениями в Н.

2. Выпишем теперь эту систему уравнений построчно с учетом представления операторной матрицы В в факторизованном виде (см. (80), (81), (87)-(89)). Будем иметь задачу

1 {[Р1^1 + (р2,° (о))2 (д72)(^7п,1)и1] - Р2,°(0)(дРг 72У-1)(уф21)}+

2

+р1/2А1/2{р1/2А1/2и1 + £ о^Ч + ^-1/2(р1 - Р2,о(0))(7пдА-1/2ГС}

к-=1

(103)

= Р1Рад/1 - Р2,°(0)дРг72Р2, УР2 = Р/ ^(0) =

^ - р1/2«1/2а1/2И1 + 1 = 0, (0) = 0,

^ - р1/2«1/2А1/2и1 + в1^2 = 0, ^(0) = 0,

0(Р1 - Р2,о(0))^ - ^(Р1 - Р2,°(0))7п,1и1 = 0, С(0) = С°,

1 (УФ21 -Р2,°(0)У(У7п,1и1))+ У(Р2,°(0)-1Р2)= Рс/ =: УР2, УФ21(0)= УФ^1,

-2 1^2

Заметим про этом, что система уравнений, отвечающая задаче (76) с незамкнутым оператором В, отличается от (103) лишь тем, что в первом уравнении (103) слева раскрыты вторые скобки, а также оператор (7П,1А11/2)* заменен на А-1^ (см. лемму 8). Таким образом, теперь возникает проблема доказать, что при условиях данной теоремы (см. (96), (97)) можно раскрыть упомянутые скобки, и тогда все полученные слагаемые в первом уравнении (103) будут элементами из С([0,Т]; (^1)).

3. Переходя к доказательству этого факта, отметим, что для сильного решния задачи (98) функция переменной £ в упомянутых скобках является элементом из

а

+ а1у(р2,°УФ21) = 0, Р2 (0) = Р2-

C([0, T]; D(A}/2)) = C([0, T]; J^ (ЗД. Но тогда

2

Vi := |Ui + ^ afc/2p-1/2A-1/2wwfc+ fc=i

/2(pi - p2,o(0))A- 1 /2(7n, iA- 1 /2)*C} G C([0, T]; D(A i)).

(104)

Однако из второго, третьего и четвертого уравнений задачи (103) следует, что (см. (73), (74))

г(£) = ^;/2а1/2Л}/2 у е-вк^4(5)^, к = 1, 2, С(*) = } 1^(5)^ + С0. (105)

0 0

Подставляя эти выражения в (104), приходим к соотношению

2 *

7--1 ^

o

t

+gp-i(pi - P2,o(0))A-i/2(7niiA-i/2)* I I Yn,iUi(s)ds + Z0 I =

(106)

o

= VI(£) е С([0,Т]; ^(А1)).

Рассмотрим (106) как интегральное уравнение Вольтерра в пространстве Н(А1) с нормой графика оператора А1. Тогда в силу леммы 8 имеем для и^) е С([0, Т]; Н(А1)) = С([0, Т]; ^(А)) соотношение

А-1/2(7П,1 А-1/2 ПТпдИО = А-1/2(А-1/2д)(7п,1и1) = = А-1(д7пДИ1) е С([0, Т]; ^(А1)).

(см. лемму 2 и свойство (66)). Отсюда следует, что в интегральном уравнении Вольтерра (106) ядро является непрерывной по в оператор функцией в треугольнике := {(£, в) : 0 ^ в ^ £ ^ Т}, принимающей значения из ^(Н(А1)). Поэтому уравнение (106) имеет единственное решение и1(£) е С([0,Т]; ^(А1)), причем все остальные слагаемые в (106) также принадлежат этому пространству.

4. Но тогда в первом уравнении (103) можно раскрыть скобки во втором слагаемом слева, а затем из системы исключить функции гк(£), к = 1,2 (см. (105)). В итоге возникает система уравнений (59)-(62), где все слагаемые являются непрерывными функциями £ со значениями в соответствующих пространствах. Значит, задача (59)-(62), т. е. задача (65), имеет единственное сильное решение в смысле определения 1. □

В качестве замечания к теореме 96 отметим, что для сильного решения задачи (65) при условиях (96), (97) имеют место свойства:

и е С([0, Т]; &(А1)) П С 1([0, Т]; (ВД;

УФ21 е С 1([0,Т];СР2,°)); с е С 1([0,Т]; н1/2); Р2 е С1 ([0, Т]; Ь21Па1Ра-1) П С([0, Т]; Я*2Р2,°)). Опираясь на теорему 96, можно получить утверждение об однозначной разрешимости исходной начально-краевой задачи (5)-(13) на произвольном отрезке времени [0,Т].

9. К ПРОБЛЕМЕ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ "ВЯЗКОУПРУГАЯ ЖИДКОСТЬ-БАРОТРОПНЫЙ ГАЗ"

Рассмотрим решения однородной задачи (98), зависящие от времени по закону

5 (£) =

Функции такого вида называют нормальными движениями исследуемой системы, числа Л — комплексными декрементами затухания нормальных движений, а 5 = 0 — амплитудными элементами.

Для нахождения амплитудных элементов и чисел Л возникает из (98) спектральная задача

В5 = ЛС 5 , 5 е & (В) с Н,

которая, в частности, следует из системы уравнений (103) и выглядит следующим образом:

^1/2А1/2{^1/2А1/2и1 + а^й 1 + О/2^ + др-1/2(р! - р2,°(0))(7пДА-1/2)*С} =

= Л[р1«1 + (р2,°(0))2(д72)(^7пд)и1] - Р2,°(0)дРг72Ф21),

-р1/2«1/2А1/2И1 + 1 = ЛгП 1, -^1/2а2/2А1/2г?1 + ^2^2 = Л^2, (107)

-^(Р1 - Р2,°(0))7п,1И1 = Л^(Р1 - Р2,°(0))С,

У(Р2,°(0)-1Р2) = Л(УФ21 - Р2,°(0)У(У7П,1И1)),

а1у(р2,°УФ21) = Ла-2Р2.

Наша дальнейшая цель — исключить из системы уравнений (107) часть неизвестных, перейти к спектральной задаче для операторного пучка (оператор-функции от

Л) с ограниченными операторными коэффициентами (см., например, [20]) и исследовать ее методами спектральной теории.

Установим сначала следующий простой факт.

Лемма 15. Числа Л = 0, Л = вк, к = 1, 2, не являются собственными значениями спектральной задачи (107).

Доказательство. 1. Положим в (107) Л = 0. Тогда из предпоследнего уравнения получаем, что У(р2,0(0)-1р2) = 0. Так как это элемент из С(^2; р2,0) (см. (27)), то р2 = 0. Далее, из последнего уравнения и граничных условий для Ф21 возникает задача

д Ф21 Г

-Д0Ф21 = 0 (в П2), Р2,0^ = 0 (на д^2), Р2,0Ф21^2 = 0,

„2

которая имеет лишь тривиальное решение: Ф21 = 0.

Из второго-четвертого уравнений (107) имеем также связи

вк- = р!/2а. в-1А1/2И1, к = 1,2, 7пдИ1 = 0,

а тогда из первого уравнения получаем соотношение

^1/2 (1 + е ^ А1/2И1 + ^-1/2(р - р2,0(0))(7пДА-1/2Гс = 0. Отсюда следует, что

(1 + £ |) ПЛ^'Ч ! !!2(П„ =0,

так как

((7пДА-1/2)*с, <2 их)!2(П1) = (С, (ТпдА-^А^Ч)^ = (С, Тм^.г = 0. Значит, и1 = 0.

Наконец, из оставшейся связи (7пд А-1/2)*( = 0 при любом и е 70,51 (^1) имеем

(П, (ТпдА-1/2)*С)/ол(„1) = (7П,1А-1/29, С)ь2,г = 0,

и так как совокупность элементов вида 7пДА-1/2п при и е (^1) образует множество Н/2, плотное в Ь2,7, то ( = 0. Это доказывает первое утверждение леммы.

2. Положим теперь в (107) Л = вь Тогда из второго уравнения получаем А^2^ = 0 и потому щ = 0. Поэтому из третьего уравнения следует (в1 = в2), что го2 = 0, а из четвертого имеем ( = 0.

Далее, для функций Ф21 и р2 возникает задача

У(Р2,°(0)-1Р2) = в1УФ21, а1у(а1у(р2,°УФ21)) = в1а-2р2 (в ^2), д Ф21 [

Р2,°^- = 0 (на д^2), 02^21^2

которая приводится к задаче на собственные значения

А2Ф21 = -в?Ф21, Ф21 е Я*2(П2; Р2,°),

(см. (32), (33), (40)). Поскольку оператор А2 имеет дискретный положительный спектр, то эта задача имеет лишь нулевое решение, и потому УФ21 = 0, р2 = 0. Теперь из первого уравнения (107) получаем, что а^2— 1 = 0, т. е. — 1 = 0.

Случай Л = в2 рассматривается аналогично, что и доказывает полностью утверждения леммы. □

Опираясь на лемму 15, исключим при Л = 0, Л = вк, к = 1,2 в уравнениях (107) все искомые элементы, кроме и1 и УФ21. Из второго-четвертого соотношений будем иметь

1/2 1/2

— = ^ ¿^Ч, к = 1, 2, С = -Л-17п,1И1. вк - л

Подставляя их в первое уравнение и осуществляя замену

1/2

А/ и = е (^1),

приходим к уравнению

Р1в2(Л)п1 = Л{А-1/2(р1/1 + (р21°(0))2(д72)(у7п,1))А-1/2П1-

-р2,°(0)А-1/2дРг 72Ф21}+

+Л-1^(Р1 - Р21°(0))(7п,1А-1/2)*(7п,1 А-1/2)П1, е2(Л) := 1 + £

вк - Л

(108)

к-=1

Последние два уравнения (107) приводят к связи

А2Ф21 = -Л2а-2(Ф21 - Р2,°у(7п,1А-1/2)^1). (109)

Осуществляя еще здесь замену

А2/2ф 21 = ^2 е ^2,^2,^2,0, (110)

(см.(40), (41)), получим окончательно из (108)-( 110) задачу на собственные значения

Р1в2(Л)п1 = Л(АИ^1 + ^12^2) + Л-1В1П1, ^2 = -Л2 а-2(^21^1 + ^22^2), (111)

A11 := A-1/2(pi/i + (p2,o(0))2(Q72)(V7n,i))A1

-1/2

A22 := A

1

(113)

А12 := -р2,°(0)А-1/2дРг72^-1/2, А21 := -p2l°(0)(Al-1/V)(7пДА-1/2), (112)

В := 0(р1 - Р2,°(0))(7п,1А-1/2)*(7п11А-1/2).

Перепишем задачу (111)—(112) в векторно-матричном виде в двух формах. Первая форма такова:

/р1в2(Л)/1 0\/77Л =х( А11 А1ЛЛ

^ 0 0) ^^ ^ А21 ^

Вторая форма выглядит следующим образом:

( Р1в2(Л)/1 0 \ ( пЛ = Л( V 0 /2 Д ^ ) V

7 0 0 ^ (71 ^1+ Л-1 ( в 0

А21 ¿22 М ^2 / V 0 0

Bi 0

0

a2L,

A11 A12 00

2 -2

Л2а

(114)

ад е ^ад (^1) ф Ь21^21Р2,о.

Лемма 16. Операторные коэффициенты , к = 1,2, компактны, причем = Ак,, Акк ^ 0. Кроме того, операторный коэффициент В1 — компактный неотрицательный оператор, действующий в (^1).

Доказательство. Эти свойства следуют непосредственно из определений (112) операторов и лемм 1, 2-4, 8, 13, а также свойств, описанных в (41), (45), (56). □

Опираясь на эти факты, укажем на некоторые простые свойства спектра исследуемой задачи (111).

Первое свойство. Спектр задачи (111) симметричен относительно вещественной

оси.

Доказательство. Перепишем коротко задачу (113) в виде

¿1(Л)£ = 0, е :=(71; ад, (115)

и заметим, что операторный пучок Ь1(Л) является самосопряженным (см. [22]), т. е.

(МЛ))* = МЛ).

Отсюда и следует данное утверждение. □

Второе свойство. Спектр задачи (111) дискретен, т. е. состоит из счетного множества конечнократных собственных значений с возможными предельным точками

Л = 0, Л = то, Л = вк, к = 1,2, а также точками Л = , е2(5к) = 0, к = 1, 2, то есть нулями функции е2(Л).

Доказательство. Задачу (114) коротко перепишем в виде

где I — единичный оператор в (^1) ф Ь2,„2,Р2 п, а Ф(Л) — аналитическая оператор-функция, принимающая компактные значения. Заметим теперь, что оператор (I + Ф(Л))!д=-1 обратим, так как

— положительно определенный оператор, поскольку операторная матрица (А^)2к=1 — компактный положительный оператор (факт положительности проверяется непосредственно), а е2(—1) > 0. Поэтому по теореме Келдыша (см. [22]; иногда ее называют теоремой Гохберга, см. [23]) получаем доказываемое утверждение. □

Третье свойство. Спектр задачи (111)—(112) расположен в правой комплексной полуплоскости.

Доказательство. Оно основано на неравенстве

которое можно вывести из уравнения (113) либо (115) и учесть, что квадратичные формы операторных матриц А и Ва справа в (113) — положительная и неотрица-

Дальнейшее подробное исследование свойств решений задачи (111)—(112) будет проведено в другой работе. Будут получены свойства полноты и базисности системы корневых (собственных и присоединенных) элементов этой задачи, наличие шести ветвей собственных значений, их асимптотическое поведение и физический смысл. Будут рассмотрены также и другие близкие вопросы.

2

/{£ ¡^^!!П1 !!!2(„1) + (^,о +!Л!-2(^£)} > 0

тельная соответственно.

□

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Милославский, А. И. Спектральный анализ малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом контейнере / Институт математики НАН Украины. — Киев. — 1989. Деп. Рукопись № 1221.

MILOSLAVSKII, A. I. (1989). Spectral Analysis of Small Oscillations of Visco-elastic fluid in the open container. Institute of mathematics NAS of Ukraine. Preprint No. 1221. Kiev.

2. MILOSLAVSKII, A. (1985) Stability of a viscoelastic isotropic medium. Soviet Physics Doklady. 33. p. 300.

3. MILOSLAVSKY, A. (1985) Stability of certain classes of evolution equations. Siberian Math.Journal. 26 (5). p. 723-735.

4. Крейн, С. Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде // Доклады АН СССР. — 1964. — Т. 159, № 2. — C. 262-265.

KREIN, S. (1964) O kolebaniyah vyazkoj zhidkosti v sosude. Doklady AN SSSR. 159 (2). p. 262-265.

5. Крейн, С. Г., Лаптев, Г. И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде // Функциональный анализ и его приложения. — 1968. — Т. 2, № 1. — C. 40-50.

KREIN, S., LAPTEV, G. (1968) Motion of a viscous liquid in an open vessel. Functional Analysis and Its Applications. 2 (1). p. 38-47.

6. Аскеров, Н. К., Крейн, С. Г., Лаптев, Г. И. Задача о колебаниях вязкой жидкости связанные с ней операторные уравнения // Функциональный анализ и его приложения. — 1968. — Т. 2, № 2. — C. 21-32.

ASKEROV, N., KREIN, S., LAPTEV, G. (1968) Oscillations of a viscous liquid and the associated operational equations. Functional Analysis and Its Applications. 2 (2). p. 21-32.

7. KOPACHEVSKY,N., KREIN, S. (2003) Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluids. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 146. Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin.

8. AZIZOV, T., KOPACHEVSKII, N., ORLOVA, L. (2000) Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid.

Proceedings of the St.-Petersburg Math. Society, Vol. VI. AMS Translations (2). 199. p. 1-24.

9. Вронский, Б. М. О малых движениях системы «жидкость-газ» в ограниченной области // Украинский математический журнал. — 2006. — Т. 58, № 10. — C. 1326-1334.

WRONSKY, B. (2006) On small motions of a "liquid-gas" system in a bounded domain. Ukrainian Mathematical Journal. 58 (10). p. 1501-1511.

10. KOPACHEVSKY, N., PADULA,M., VRONSKY, B. (2007) Small movements and eigenoscillations of a system "fluid-gas" in a bounded region. Scientific Notes of V. I. Vernadsky Taurida National University, seriya Matematika. Mechanika. Informatika i kibernetika. 20(59) (1). p. 3-55.

11. Вронский, Б. М. Нормальные колебания частично диссипативной гидросистемы // Динамические системы. — 2012. — T. 2 (30), № 1-2. — C. 53-56.

WRONSKY, B. (2012) Normal oscillations in partially dissipative system. Dynamical Systems. 2(30) (1-2). p. 53-56.

12. EIRICH, F. (1956) Rheology. Theory and Applications. New York: Academic Press.

13. Копачевский, Н. Д., Крейн, С. Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. — M.: Наука, 1989. — 416 c.

KOPACHEVSKY, N., KREIN, S., NGOZUIKAN (1989) Operator methods in linear hydrodynamic. Evolutional and Spectral problems. Moscow: Nauka.

14. KOPACHEVSKY, N., KREIN, S. (2001) Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 128. Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin.

15. Агранович, М. С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей // УМН. — 2002. — Т. 57, Вып. 5(347). — C. 3-78.

AGRANOVICH, M. (2002) Spectral problems for second-order strongly elliptic systems in smooth and non-smooth domains. Russian Mathematical Surveys. 57 (5 (347)). p. 3-78.

16. RYCHKOV, V. (1999) On Restrictions and Extensions of the Besov and Triebel-Lizorkin Spaces with Respect to Lipschitz Domains. Journal of London Math. Sor. 60 (1). p. 237-257.

17. AGRANOVICH, M. (2008) Remarks on potential spaces and Besov spaces in a Lipschitz domain and on Whitney arrays on its boundary. Russian Journal of Mathematical Physics. 15 (2). p. 146-155.

18. Копачевский, Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые ее приложения: монография. — Симферополь: ООО «Форма», 2016. — 280 c.

KOPACHEVSKY, N. (2016) Abstract Green's Formula and Applications. Simferopol: FLP OOO "FORMA".

19. GAGLIARDO, E. (1957) Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili. Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova. 27. p. 284-305.

20. Маркус, А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. — Кишинев: Штиинца, 1986. — 260 c.

MARCUS, A. (1986) Introduction to the spectral theory of polinomial operator pencils. Kishinyov: Shtiintsa.

21. Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 464 c.

KREIN, S. (1967) Linear differential equations in a Banach space. Moscow: Nauka.

22. Келдыш, М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН. — 1971. — Т. 26, вып. 4 (100). — C. 15-41.

KELDISH, M. (1971) On the completeness of the eigenfunctions of some classes of non-selfadjoint linear operators. Russian Mathematical Surveys. 26 (4). p. 15-41.

23. Гохберг, Н. Ц., Крейн, М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М: Наука, 1965. — 448 c. GOHBERG,N., KREIN, M. (1965) Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators in Hilbert space. M: Nauka.