CC BY
5Динамические системы, 2017, том 7(35), №1, 17-51 УДК 517.958
О малых движениях системы из двух
вязкоупругих жидкостей, заполняющих
1
неподвижный сосуд
Н. Д. Копачевский
Крымский федеральный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: kopachevsky@crimea.edu
Аннотация. В данной работе изучается проблема малых движений двух вязкоупругих несжимаемых жидкостей модели Олдройта, заполняющих неподвижный сосуд. С помощью применения операторного подхода получена задача Коши для дифференциально-операторного уравнения в некотором гильбертовом пространстве, доказана теорема о корректной разрешимости проблемы на произвольном промежутке времени. Выведено уравнение для нормальных колебаний гидросистемы (обобщённый операторный пучок С. Г. Крейна).
Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, гидродинамическая система, ортопроектор, операторно-дифференциальное уравнение, задача Коши.
Small motions of two viscoelastic fluids in stationary containers
N. D. Kopachevsky
V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.
Abstract. In the paper, we consider a problem on small motions of two viscoelastic fluids in a stationary container. One of models of such fluids is Oldroid's model. It is described, for example, in the book by F.R.Eirich Rheology. Theory and Applications. N.-Y.: AP, 1956. It should be noted that the present paper based on the previous N. D. Kopachevsky works together with T.Ya.Azizov, L. D. Orlova, S. G. Krein. Namely, problem on small movements of one viscoelastic fluid for generalized Oldroid's model and small motions of a viscoelastic fluid in an open container were investigated in these papers.
The aim of this paper is to use an operator approach of mentioned works, to develop new approach and to prove the theorem on correct solvability for initial-boundary-value problem generated by a problem of small motions of two viscoelastic fluids in a stationary container.
This paper is organized as follows. In section 1 we describe a model of viscoelastic fluid. In section 2 we formulate mathematical statement of the problem: linearized equations of movements, stickiness condition, kinematic and dynamic conditions. Further, in this section we receive the law of full energy balance. In section 3, we choose the functional spaces generated by the problem. For applying of method of orthogonal projection we need to get orthogonal projectors on corresponding spaces. The laws of action of this projectors we receive in section 4. In section 5 we make transition
1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта Российского научного фонда (16-1110125 "Операторные уравнения в функциональных пространствах и приложения к нелинейному анализу", выполняемого в Воронежском госуниверситете.)
© Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ
to operator equation by using orthogonal projectors derived in section 4. Further, we solve some auxiliary problems and obtain the Cauchy problem for the system of integro-differential equation in some Hilbert space. In section 6 we make transition to a system of differential equations. This system can be rewrite as operator differential equation in the sum of Hilbert spaces. Properties of main operator of this problem are studied in section 7. The existence and uniqueness theorems for final operator differential equation as for original initial-boundary-value problem based on factorization, closure and accretivity property of operator matrix. Finally, in section 7 we consider the spectral problem on normal oscillations corresponding to the evolution problem. This means that external forces are equal to zero and dependence by time for the unknown function has the form e-xt. Here we obtain the spectral problem for operator pencil. But its investigation will be the object of another paper.
Keywords: viscoelastic fluid, hydrodynamic system, orthogonal projector, operator differential
equation, Cauchy problem
MSC 2010: 76D05, 35Q30, 39A14, 39B42
1. Введение
1.1. О модели вязкоупругой жидкости
В данной работе изучается проблема малых движений вязкоупругих несжимаемых жидкостей модели Олдройта (см., например, [8]). В этой модели связь между тензором вязких напряжений и удвоенным тензором скоростей деформаций в вязкоупругой жидкости описывается не простейшим законом Гука, а линейным дифференциальным соотношением, где фигурируют производные первого порядка по времени как у тензора вязких напряжений, так и у тензора скоростей деформаций.
Некоторые исследователи (см., например, [5, 12, 13], а также [7, 11]) рассматривают так называемую обобщённую модель Олдройта, когда упомянутая выше связь описывается линейным дифференциальным соотношением порядка m > 1. Тогда при естественном условии, что если в начальный момент времени тензор скорости деформации и его производные по времени вплоть до порядка m — 1 равны нулю, то эти же условия выполнены и для тензора вязких напряжений, получается связь между этими тензорами в любой момент времени с помощью интегрального оператора Вольтерра. Этот переход от дифференциальной связи к интегральной описан, например, в [11, с.316-318].
3
Пусть u(t,x) = uk(t,x)ek — поле скоростей в вязкоупругой жидкости, к=1
duk öui
тк1(и) := —--+ ——, (k,l = 1, 2, 3) — удвоенный тензор скоростей деформаций,
dxl dxk
а aki — тензор вязких напряжений. Тогда связь между ними описывается соотношением
а' = ßIo(t)r, (1.1)
где ß > 0 — коэффициент динамической вязкой жидкости, а
t
m г.
I0(t)r := т(t) + J] ai e-ß3(t-S)r(s)ds, (1.2)
j=1 0
где aj и ßj — положительные константы, характеризующие вязкоупругую жидкость. Если aj = 0, j = 1,...,m, то отсюда получаем модель обычной вязкой несжимаемой жидкости, а из (1.1) — закон Гука. Отметим ещё следующий факт: интегральный оператор Вольтерра из (1.1) является обратимым интегральным оператором второго рода, причём обратный оператор также является интегральным оператором Вольтерра.
1.2. Об истории вопроса и содержании данной работы
Одними из первых работ, связанных с применением методов функционального анализа к исследованию проблемы малых движений и нормальных колебаний вязкоупругой жидкости в частично заполненном сосуде, являются работы А. И. Милославского (см. [5, 12, 13]). В них для обобщённой модели Ол-дройта (m > 1) применён операторный подход, развивающий построения, проведенные ранее С. Г. Крейном и его учениками применительно к задаче о малых колебаниях вязкой жидкости в частично заполненном сосуде. Исследования А. И. Милославского отражены, в частности, в главе 8 монографии [11]. Случай полного заполнения полости вязкоупругой жидкостью рассмотрен в [7], а также в параграфе 7.1 из [11].
В данной работе изучается проблема малых движений системы из двух вяз-коупругих несмешивающихся жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд. Для простоты взята модель Олдройта (m =1), хотя все построения можно провести и для обобщённой модели Олдройта (m > 1) по той же схеме. Аналогичный подход можно применить и к случаю, когда сосуд заполнен не двумя, а системой из произвольного числа несмешивающихся вязкоупругих жидкостей обобщённой модели Олдройта.
Изложение в данной работе проведено по следующей схеме. После введения в параграфе 2 даётся постановка начально-краевой задачи о малых движениях системы из двух несмешивающихся вязкоупругих жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд и находящихся в однородном гравитационном поле, действующем вертикально вниз. Для классического решения задачи выведен закон баланса полной энергии. Это позволяет в параграфе 3 осуществить выбор функциональных гильбертовых пространств, в которых естественно изучать поставленную проблему. Далее в параграфе 4 приводится вывод формул для ор-топроекторов, непосредственно связанных с указанными пространствами. После этого в параграфе 5 осуществлён операторный подход к исследуемой задаче, позволяющий привести проблему к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения в некотором гильбертовом пространстве. Затем в параграфе 6 осуществлён переход к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в ортогональной сумме гильбертовых пространств. После подробного изучения свойств операторной матрицы, отвечающей возникшей системе уравнений (факторизация, аккретивность, замыкание) в параграфе 7 доказываются теоремы о сильной разрешимости полученной задачи Коши на конечном интервале времени. На этой основе доказана также теорема о существовании обобщённого решения исходной
начально-краевой задачи. Наконец, для проблемы нормальных колебаний гидросистемы получено уравнение (операторный пучок), обобщающее соответствующие уравнения как для проблемы с двумя обычными вязкими жидкостями (пучок С. Г. Крейна), так и для задачи о колебаниях одной вязкой жидкости.
2. Постановка задачи. Закон баланса полной энергии
2.1. Классическая постановка задачи
Будем считать, что две вязкоупругие жидкости модели Олдройта заполняют произвольный сосуд П С R3 ив состоянии равновесия под действием гравитационного поля занимают области П и П2 соответственно с горизонтальной границей раздела Г. Обозначим через Si и S2 те части границы дП, которые примыкают к первой и второй жидкостям соответственно.
Введём декартову систему координат 0x\x2x3 таким образом, чтобы ось Ox3 была направлена вверх, т.е. против действия однородного гравитационного поля, а начало координат O находилось на Г. Тогда ускорение гравитационного поля g = -ge3, g > 0, а в состоянии покоя поля давлений в жидкостях выражаются по законам
Po,k(x3) = Po - Pkgx3, к = 1, 2, (2.1)
где pk — плотности жидкостей, а p0 — давление на границе раздела Г, т.е. при
x3 = 0.
Рассмотрим малые движения системы из двух жидкостей, близкие к состоянию покоя. Пусть Uk(t, x) — поля малых скоростей, а pk(t, x) — отклонения полей давлений от их равновесных значений (см.(2.1)). Для простоты рассматриваем вязкоупругие жидкости модели Олдройта, когда в (1.1) m =1. Кроме того, полагаем, что на исследуемую гидродинамическую систему дополнительно к гравитационному полю действует малое поле внешних сил f = f (t,x), x £ П.
Тогда линеаризованные уравнения движения жидкостей имеют следующий вид (см., например, [11, c.318, 342-343]):
д u
Pk^^ = Pk + ^k△vk + Pk f k(t,x), div Uk = 0 (в nk), (2.2) t
Vk(t,x) = Uk(t,x) + ak j e-ßk(t-s)Uk(s,x)ds =: Io,k(t)u, к = 1, 2, (2.3)
o
где ßk > 0 — динамические вязкости жидкостей, ak > 0, ßk > 0 — коэффициенты, характеризующие свойства вязкоупругости жидкостей модели Олдройта, f k(t,x) := f (t,x)\x&Qk, а △ — трёхмерный оператор Лапласа.
Для вязких жидкостей, как известно, на твёрдых стенках Sk сосуда должны выполняться условия прилипания, т.е.
uk = 0 (на Sk), к =1, 2, (2.4)
а на границе раздела Г — условие непрерывности полей скоростей:
их(Ь,х) = и2(Ь, х), х € Г. (2.5)
Будем описывать малые перемещения границы раздела между жидкостями с помощью функции вертикального отклонения
Хз = ((Ь,Х1,Х2), (Х1,Х2) € Г. (2.6)
Тогда на Г должно выполняться кинематическое условие
ее
— = их • п =: 7и,и = и • п =: ^и^, п = ез, (2.7)
а символом ^и,к обозначена операция взятия нормального следа на Г, т.е. следа нормальной компоненты поля скорости. Заметим ещё, что из условия сохранения объёма каждой из жидкостей имеем интегральную связь
У (¿Г = 0. (2.8)
г
Сформулируем теперь динамические условия на Г. Они состоят в том, что на движущейся границе раздела векторное поле напряжений при переходе от одной жидкости к другой изменяется непрерывно. Линеаризация этого условия и его снос на Г приводят к следующим соотношениям: на Г касательные напряжения (т.е. вдоль Г) изменяются непрерывно, а нормальное напряжение (т.е. вдоль оси Ох3) компенсируется гравитационным скачком давлений. Имеем
ЦхТуз^х) = №33^2), Vк = 1о,к(Ь)ик, к = 1, 2, ] = 1, 2; ^
[-рх + ЦхГзз&х)] - [-Р2+ Ц2Тзз&2)] = -д(рх - Р2К (на Г).
Наконец, для искомых функций ик(Ь,х), рк(Ь,х), к = 1, 2, и £(Ь,хх,х2) необходимо ещё задать начальные условия:
uk(0,x) = u°k(x), x E Qk, u°°(x) = u<0(x), x E Г С(0, x) = Z°(x), x E Г.
(2.10)
2.2. Закон баланса полной энергии
Будем считать, что задача (2.2)-(2.10) имеет классической решение, и выведем закон баланса полной энергии гидросистемы. Предварительно выпишем формулы Грина для векторных полей скоростей в областях и 0,2 соответственно. Для дважды непрерывно дифференцируемых полей они имеют следующий вид:
Y1 тИ(П1)тЛ (ui)
О \j,l=l '
Ц1Е1(пъ ui) := 1 ßi I [У ] Tji(ni)Tji М) dÜl
Ol
Г __Г * __(2.11)
: / ni • (—ßiAui + Vpi)dQi + 2^Vi,j(ßiTj,3(ui) — pi8j3)dT, Ol г j=i
divni = divui = 0 (в üi), ni = ui = 0 (на Si),
о„ Wl /
ß2E2(n2, u2) := 2у: )dQ2
П2 j
г __г 3 __(2.12)
= П2 • (-V2&U2 + Vp2 + / JJ^ ,j (^2Tj, 3U2) - P2
П2 Г j=1
divn2 = divu2 = 0 (в Q2), n2 = u2 = 0 (на ¿2).
(В этих формулах учтено, что направление внешней нормали на Г для области Q будет n1 = e3, а для Q2 — соответственно n2 = -n1 = — e3.)
Умножим обе части (2.2) слева на Uk, проинтегрируем по Q и сложим результаты; будем иметь (для вещественнозначных полей):
2 f dut 2 С 2 С
^2pk J Uk • dQk = — J Uk • VpkdQk + Vk J Uk • (△Vk)dQk+
к
п к=1ъ к=1 п
Ofc Ok Olk
+ É Рк /
к=1 O
Ok
ик • f кdû к.
Используя формулы Грина (2.11), (2.12), а также граничные условия задачи (2.2) (2.10), отсюда получаем соотношение
1 d 2 dt
2 л 12 2 а
^Рк \ик |2 d^к= ^к Ек (ик, Гк ) + Рк ик • f к d^к +
к=1 о I к=1 к=1 о
Ok / Ok
k
3
+ / ик'3 - №Т]з(и2) - (Р1 - Р2)5]3) dг.
Г з=1
Учитывая ещё соотношения (2.8) и (2.9), окончательно приходим к выводу, что
1 ^ ¿Р^ и |2 d^k + д (Р1 - Р2) [ К |2 dГ= Vк Ек (ик, Vk) +
2 dt
к— 1 Q -pi I к— 1
Ok 1 J (2.13)
+ У] Рк j ик • f к dû к.
к=1 о
Это тождество есть закон баланса полной энергии системы в дифференциальной форме. Здесь в фигурных скобках стоит удвоенная полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия гидросистемы, а справа — мощность диссипатив-ных вязкоупругих сил и мощность дополнительных внешних сил, действующих на систему. После интегрирования (2.13) по Ь в пределах от 0 до Ь получаем закон баланса полной энергии в интегральной форме, т.е. на произвольном отрезке времени (0,Ь).
3. Выбор функциональных пространств
3.1. Предварительные соображения
Будем исследовать задачу (2.2)-(2.10) методами теории операторов, действующих в гильбертовых пространствах (см. [3, 10, 11]). Тождество (2.13) показывает, что поля скоростей в данной задач следует считать элементами векторного пространства пар функций
и = [их; и2}, и Е Ь2(О), (3.1)
со скалярным произведением
22 (и, у)ь2(п) Рки, Ък)ь2(пк) Рк ик • ■
к=1 к=1 о
Мк
Точнее говоря, следует выбирать (см. [3]) лишь элементы
ик Е J о , ^ (Ок) := [ик Е Ь2(^к): ^уи = 0 (в Ок), к ик := ик • Пк = 0 (на 8к)}
где Пк — внешняя нормаль к дО,к. Такие поля отвечают конечной кинетической энергии системы.
Заметим, что пространство Ь2(Ок) со скалярным произведением
(ик, Ък)ЫПк, :=! ик • Л°к
имеет ортогональное разложение (см. [3])
Ь2(Ок) = Jо,8к (Ок) ® Со, г(Ок), (3.2)
Со,г(Ок) : = [Шк = Уфк Е Ь2(Ок) : фк = 0 (на Г)} , (3.3)
причём
Jо,8к(Ок) = Jо(Оk) ® аК^(Ок), (3.4)
J о(Ок ) = [.к Е Ь2(Ок): <Иу.к = 0 (в Ок), к Ук = 0 (на д Ок)} , (3.5)
(Ок) =
Шк = ЧФк Е Ь2 (Ок): АФк = 0(в Ок), дф = 0 (на ^), [ Фк dГ = 0■ (3.6)
Будем далее обозначать подпространство пар из Ь2(0,), у которых компоненты являются элементами из 3о ,вк (^к), через 3о,в(V), т.е.
3о,в(^)-.= {{и1; и}е Ь2(П): ик Е 3о,^ (Пк), к = 1, 2} . (3.7)
Тогда в силу (3.2)-(3.6) будем иметь
Ь2(П) = 3о,в(П) Ф Со ,г(Я),
3о ,в(V) = 3оШ Ф 3о(^2) Ф V) Ф Он^2(П2), (3.8)
Со ,Г^) = Оо ,ГФ Оо ,р(^2).
Далее, с конечной потенциальной энергией системы связано пространство Ь2(Г) скалярных функций, заданных на Г, с квадратом нормы
1К!Ц(Г) :=! К № Г
Точнее говоря, ввиду условия (2.8) далее будем считать, что вертикальные отклонения границы раздела жидкостей
С Е Ь2,Г := Ь2(Г) 0 {1Г},
где 1 Г — функция, тождественно равная 1 на Г.
Введём ещё пространства векторных полей с конечной скоростью диссипации энергии в жидкости:
3о ,як(Vк) .= {ик Е Н 1(Пк) . ^уик = 0 (в Пк), ик = 0 (на Бк)} . Здесь скалярное произведение определяется по формуле (см. (2.11), (2.12))
(ик, vkЬ(ок) .= Ек(ик, vk), (3.9)
а на множестве пар (3.1) — по формуле
2
(и' v)jl,s(О) VкЕк (ик, vk),
к=1
31 ,в(V) := 3о,*(«1) Ф 31 ,V).
Отметим, что 30 Зк («к) плотно вложено в 3о ,вк («к) и имеет место неравенство Корна:
11ик (ок) > Ск 11ик ||Н1(Ок) > Ск 11ик |^к (Ок)> Ск > ° Vик Е 3 («к ^
а метрика, порождённая скалярным произведением (3.9), эквивалентна стандартной метрике пространства Н 1(«к). Отсюда следует, что (3о,як(Vк); 3о^к(Vк)) —
гильбертова пара пространств. Обозначим через Ak : J0,Sk (Qk) ^ (jl,Sk (Qk)) *
оператор этой гильбертовой пары. Тогда будем иметь соотношения
i/2 i/2 1
(Uk, Vk )j0 Sk ш = (Ak uk ,Ak Vk )j0:sk (Qk) = {uk ,AkVk )j0 Sk m, VUk, Vk e J 0A (Qk ).
(3.10)
Здесь косыми скобками обозначено значение функционала, стоящего на втором месте, на элементе, стоящем на первом месте.
Таким образом, возникают оснащённые гильбертовы пространства
Jlsk(Qk) QQ Jo,sk(Qk) QQ (Jlsk(^k))*, k = 1, 2, (3.11)
причём вложения, обозначаемые символом QQ, компактные.
Введём, наконец, пространство J0 s(Q) пар векторных полей (3.1) со скалярным произведением
22
(u' v)j о, S w :=Y1 ^k(uk, vk )j0 , Sk (Qk) = Y1 ^ Ek (uk, vk). (3.12) k=i ' k=i
Из приведенных построений очевидно, что
(J1 ,s(Q); JО,S(Q))
— гильбертова пара пространств, причём оператор A этой пары имеет вид
A =(ßiAi; [I2A2), (3.13)
а формулы (3.10), (3.12) порождают соотношения
2
(U v)j0,S(Q) = (al/2u,al/2v)j0^s(Q) = Y1 VkEk (uk, Vk) =
k=1
2
= Vk (Ak2uk ,Al/2vk)jo,sk (Qk) = {u,av)j0S (Q) = (3Л4)
k=1
2
= Y{ {uk ,Vk Ak Vk )j 0, Sk (Qk), Vu = {ui; u2}, V = {Vi; V2} e J1 , s (Q). k=1
3.2. Выбор функциональных пространств, порождённых задачей
Кинематическое условие (2.7) показывает, что в данной задаче элементы uk, составляющие пару (3.1), не могут быть произвольными: для них нормальные компоненты на Г должны совпадать, т.е.
Yn,iui = Yn,2u (на Г). ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2017, том 7(35), №1
Совокупность таких пар u = [ui, u2} Е J0,s(ty образует подпространство, которое обозначим через Jo,S,r(n), т.е.
Jo,s,r(ty) ■= [u = [ui, U2} Е J0,S(ty) ■ Yn,iUi = YnU (на Г)}. (3.15)
Далее, условие (2.5) показывает также, что на Г всё векторное поле для пары u = [ui; u2} Е J0Sизменяется непрерывно, т.е.
Yiui = Y2u2 (на Г),
где Yk — операция(оператор) взятия полного следа векторного поля u из области на границу Г.
Такие пары векторных полей образуют подпространство в пространстве J^ s(П), которое обозначим через J^ sГ(П), т.е.
J0,s,г(^)'■= {u = [ui, u} Е J^ s■ Yiui = Y2u (на Г)} . (3.16)
Это подпространство плотно вложено в J0,s,и потому
(J0,s,r(ty); J0,s,г(Щ (3.17)
— гильбертова пара пространств.
Обозначим через A оператор гильбертовой пары (3.17). Очевидно, он является сужением оператора A из (3.13) с J0 s(П) на J0,s,r(ty), и для него в силу (3.14) выполнены тождества
(u V)J0, S,г(П) =(Al/2u,Al/2v)Jo,s,r(n) =
А (3.18)
= 2_^ ßkEk(uk; Vk) ={u,Av)j0sSrг(п), Vu, v Е J0,s,r(ty). k=i
Отметим ещё, что оснащения (3.11) порождают оснащение
J0,sQQ J0,sQQ (J0,s(ty)*, (3.19)
из которого следует, что
J0,sAn) QQ J0,s,r(ty) QQ (J0,sAn))*. (3.20)
Будем далее считать, что область П, составленная из двух областей и Q2, имеет липшицеву границу. При этом дty = Si U Г, дП2 = S2 U Г, где Sk — лип-шицевы куски дty, имеющие также липшицевы границы dSk ■ dSi = dS2 = дГ. Такие предположения позволяют использовать обобщённые формулы Грина для оператора Лапласа в случае как скалярных полей, заданных в ty, так и в случае векторных полей скоростей (см. [2]).
4. Вывод формул для ортопроекторов
4.1. Первая формула
Получим сначала закон действия ортопроектора
Ро := Ро ,з,Г : J0,3(0) ^ J0,3,г (О) (4.1)
(см. (3.7), (3.8), (3.15)). Для этого выясним, каково ортогональное дополнение в J0,sк подпространству J0,s,г(О).
Учтём структуру (3.8) подпространства J0,з(О,) и заметим, что для элементов из J0(О1) и J0(О2) нормальные компоненты полей равны нулю на всей границе. Отсюда получаем, что J0,з,г(О) имеет структуру
Jо,з,г(О) = Jо(О1) 0 Jо(n2) 0 СкЛг(О),
СНЛг(0) = \ и = \ — Уфх; — Уф2 1 : Афк = 0 (в Ок), 1 [Р1 Р2 ]
дФк п ( п ч 1 дф1 1 дф2 ( ^
-— = 0 (на Ьк),--=--(на Г), п = е3, (42)
дпк рх дп р2 дп К ■>
I фк¿т = о} С (Ох) 0 с^(О2). г
Пусть и = \ — Уфх, — Уф2 1 € Сь зг(О), а V = {Уфх, Уф2} ортогональна и в 1Р1 Р2 J Сн,з- (Ох) 0 Сн,з2 (О2). Тогда
Р1 I Уфх ' ( — Уф1 1 ^1 + р2 I Уф2 ' ( — Уф2) ¿02 = 0. (4.3)
Q 0,2
Воспользуемся теперь обобщёнными формулами Грина для оператора Лапласа и скалярных полей (см. [2]). В рассматриваемом случае для липшицевых областей 0х и 02 они имеют следующий вид:
дф
• Уф^ = (фъ (-Аф1))Ь2{П1) + {Ъфъ )ь2(г), (4.4)
/дф
Уф2 • Чф201П2 = (ф2, (-Аф2))Ь2(П1) - (Ъф2, ) Ь2(Г), (4.5)
Q2
Уфк, фк Е ffl(Qk), Ykфи := фи|г Е HJ2 := Н 1/2(Г) П Ь2,г, dn Е H-1/2 :=(Hlr/2y, n = e3, Афк Е (Н1(Пк))*, к = 1, 2. (4'6
Поясним смысл обозначений в (4.4)-(4.6). Прежде всего, слева в этих формулах стоит скалярное произведение функций из Н^(0,к)'•
(фк, фк)щ(пк) ■= у Vфк • Чфкд&к, J фкdГ = ! фкdГ = 0. (4.7)
пк г г
Соответствующая норма эквивалентна стандартной норме Н1 (&к), а Н^(0,к) —
подпространство пространства Н 1(&к) коразмерности 1. Далее, 7к — операторы
следа скалярных функций, заданных в 0,к, на границе Г С д. Согласно теореме
Гальярдо (см. [9]), следы 7кфк Е Н 1/2 (Г) и удовлетворяют условиям нормиров-
1 /2
ки (4.7). Как известно, см. [1, 14], множество Нг плотно в Ь2,г и имеет место оснащение
Н^2 СС L2,г СС Н- 1/2 ■= (уН^2
Здесь символом ~ обозначен класс функций из Н1/2, продолжимых нулем на всю границу дв классе Н~1/2(дО,к) (см. [1, 6]). В частности, в формулах Грина (4.4), (4.5) производные по нормали дфк/дп Е Н- 1/2, так как в силу постановки задачи (см. (3.6), (4.2)) должны быть выполнены условия Неймана дфк/дпк = 0 (на Бк). Отметим еще, что имеется также оснащение
Hi(Пк) QQ L2(Qk) QQ (ЯД
*
и потому Афк Е (Н1 )*, а косыми скобками в (4.4), (4.5) обозначены значения функционалов, стоящих на втором месте, на элементе, стоящем на первом месте.
Возвращаясь к тождеству (4.3) и используя (4.4), (4.5), будем иметь соотношение (с учетом свойств (4.2) для фк)
/(* 1 дф Vфl • Уф1 dQi + Vф2 • = о = {рхъфх - Р212Ф2, —дП
П П2
дф
Отсюда в силу свойства (1г, ^— )ь2 г =0 получаем, что
дп '
Р171Ф1 - Р212Ф2 = const = 0 (на Г),
где использовано также свойство нормировки (4.7) для фк, k = 1, 2.
Итогом проведенных рассмотрений является следующее утверждение.
Лемма 1. Элементы из (Gh,s,rобразуют множество
(Gh,s,r (П))± ={ W1; Vф2} : Афк = 0 (в (Пк )),ддффк = 0 (на Sk ),k = 1, 2,
ф := Р171ф1 = р212ф2 Е И12^ . □
(4.8)
Опираясь на представление (4.8), получим закон действия ортопроектора P0 из (4.1). Для любого u = {П\; u2} Е J0,sдолжно быть
Pou = Po{ui; U2} - {Уфъ } Е J0,s,r(П),
и потому
(Г> \ / D \
Yn,i(Pou)i = Yn,2(Pou)2 ^ Y u - |г = Y u - -r— \r, n = e3.
dn dn
Значит, для ф\ и ф2 должно выполняться условие
дфг дф2
Yn,iUi - Yu,2U2 (на Г).
dn дп
Таким образом, для определения пары функций {фр; ф2} возникает следующая задача сопряжения:
Афк = 0 (в Пк), ^ = 0 (на Sk), k = 1, 2,
д1 д (4-9)
, , , дфх дф2 . .
ф := Рхфх = Р2ф2, ---= Yn,iUi - Yn,2U2 (на Г).
дп дп
Найдём решение задачи (4-9), опираясь на свойства решений задач Неймана в областях Qk:
Афк = 0 (в Qk), дП = 0 (на Sk), дП = Zk (на Г), J (кdr = 0.
г
Используя известные результаты разрешимости таких задач в областях Qk с лип-шицевыми границами, разбитыми на липшицевы куски (см- [1, 6, 14]), сформулируем итоговые утверждения, основанные на формулах Грина (4-4), (4.5).
1- Слабое решение фk |nfc G Hр(Qk) существует и единственно тогда и только тогда, когда фк|г G Hг 1/2- В этом случае
фр = Vi(i, ф2 = -V2(2, Vk G L(Hr1/2; Hp(Qk)), (4-10)
при этом
-Шч = YiViддП =: Ciдп, C1 GL(Hr1/2; H1/2), (4,11)
и аналогично
Ъф2 = -Y2V2^ =: -C2д-ф, C2 G С(й-1/2; H1/2). (4-12)
2- Операторы Ck (их называют операторами Стеклова) обладают свойствами положительности:
Ckдфгк , Ж)b2г = í l^^^kl'dQk, ni = e3, П2 = -e3, k = 1, 2.
Qk
Они отображают Н- / на
Н 1/2
и потому существуют обратные операторы
С-1 ЕС(Н1/2; Н-1/2),
которые также обладают свойством положительности.
Учитывая эти свойства, вернемся к задаче (4.9) и будем считать, в силу уравнений и краевых условий этой задачи, что имеются связи (4.11), (4.12), а тогда
дп1 = С-1ъФ1 = Р-1С-1Ф, дп = -С-1Ъф2 = р-1С-1ф.
Подставляя эти соотношения во второе условие на Г из (4.9), приходим к уравнению для нахождения функции ф:
(р-1С-1 + р^1С-1)ф = ^и,1П1 - 7п,2П2. (4.13)
Из свойств положительности операторов С-1 и С-1 следует, что оператор р-1С-1 + Р--1С-1 также положителен и отображает Н^/2 на Нг 1/2. Поэтому существует обратный оператор
(р-1^-1 + р^С-1 )-1 Е £(Н-1/2; Н1Г/2).
Далее, ввиду ортогональных разложений (3.2)-(3.6) и описаний подпространств (Ок) приходим к выводу, что для любого поля и = {и1; и2} Е J0,5(О) имеют место свойства
Уп,к ик Е Н-1/2, к =1, 2,
и потому правая часть в (4.13) есть элемент этого пространства. Следовательно, уравнение (4.13) однозначно разрешимо и
ф = (р-1 С-1 + р-1 С-1)-1(^п,1 и1 - Чпи) Е НУ2.
Зная значение ф, теперь решаем задачи Зарембы
дфк 1 △фк = 0 (в Ок), "7,— = о (на Бк), к = 1, 2, 7к фк = р-1ф (на Г). дпк
Так как ф Е Н^/2, то каждая из этих задач имеет единственное решение из Н^(О,к), и тогда можно считать, что
Vфk = р-1 Ок (7к фк) = р-1Ок ф,
Ск ЕС(Н1/2; Он,8кШ), к = 1, 2. (4.14)
Проведенные рассуждения приводят к следующему выводу.
Лемма 2. Ортопроектор Р0,я,г ■ 30,я(О) ^ 30,я,г(О) действует по следующему закону: для любого и = {и^, и2} Е J^(О)
P0,s,ru = u - {р-1Gi (p- iC\ i + p2 iC2 ^ i (Yn,iui - Ynu);
-in (-in-i 1 n—in —^ — 1
(Y u Y u );
4.15)
P—1G2(p—1C—1 + p—1C—1) — 1 (Yn,iui - Yn,2u2)} . □
(Если u Е J0,s,ru, то, очевидно, P0,s,ru = u, как это и следует из (4.15).) Замечание 1. Имеет место тождество
(p-^C—1 + P—1C—1) — 1 = P2C2(PICI + P2C2) — 1PICI. □ зЗамечание 2. Так как для Gk выполнены свойства (4.14), то
w := Wi; ^2} =: Gф : H]J2 - Ghß(Q) С G^ (Qi) 0 Gh,s2 (Q2). □
4.2. Вторая формула
Получим теперь закон действия ортопроектора
Pi := Po,s,г : J0,s(Q) - J0,s,r(Q) (4.16)
(см. (3.12), (3.16)). Рассуждения проведём по тому же плану, который был реализован в п.4.1 для скалярных полей (потенциалов скоростей), однако теперь для векторных полей из J1 s(Q).
Найдём сначала ортогональное дополнение
J0,s(Q) © J0,s,r(Q)-Для этого понадобится обобщённая формула Грина
/kEk(Vk, uk) = {Пк, [-/kp0,sk&uk + Vpk}}ь2(пк)-
- {ЫVk,i,ßkTi3(uk))b2(г ) + ЫVk,2,ßkT23(uk))ь2(г)- (4.17)
+ {YkVk,3, [-pk + /kT33(uk)})L2(n} (-1)k—\ , uk Е J0,sk(Qk)
(см. [2]). (Здесь учтено, что на Г имеем n1 = e3, n2 = -e3.) В (4.17) слева стоит скалярное произведение в J0 sk(Qk) (см. (3.9)); далее, в первом слагаемом справа P0,sk — ортопроектор на J0,sk (Qk), а выражение
-/kP0A (Qk)&uk + Vpk Е (J0A (Qk)) *
(после замыкания на гладких функциях uk Е J0,sk (Qk) П H2(Qk)),
Vpk Е Gh,sk(Qk), /kTj3(uk) Е H—1/2(Г), j = 1, 2, -pk + /kT33(uk) Е H—1/2.
Предположим теперь, что n Е J0sr(Q), а u Е J^ s(Q) и ортогонален n Тогда, опираясь на (3.18) и (4.17), будем иметь тождество
2
ßiE1(ni, ui) + /2Е2(П2, u2 ) = {Vk, [-/k P0, sk&uk + ^Pk ])L2(ük )-
k=1
-{YiVi,1, [/iTi3(ui) - /2Ti3(u2)}) Ь2(г) - {YiVi,2, [/iT23(ui) - /2T23(u2)]) Ь2(Г)--ЫП1,з[(-р1 + /iT33(ui)) - (-P2 + /2T33(u2))])L2(r) = 0. Отсюда, пользуясь обычными приёмами вариационного исчисления, приходим к следующему выводу.
Лемма 3. Ортогональное дополнение [Л0,5Г(П))± к подпространству J0,5Г(П) в пространстве J0 8(П) состоит из слабых решений V = (VI, Е J05(П) краевых задач
,51 △VI + Ур1 = 0, divvl = 0 (в Пх), VI = 0 (на Бх), -Ц2Р0,Я2△V2 + Ур2 = о, divv2 = 0 (в П2), V2 = 0 (на Б2), (4 18)
^33^1) - Р2Г]3&2) = о (на Г), 3 = 1, 2, [(-р1 + Ц1ТззЫ) - ( р2 + Ц2ТззЫ)] = о (на Г). □
Опираясь на (4.18), выведем формулу действия ортопроектора Р1 из (4.16). Если и — любой элемент из J1 5(П), то должно быть
Р1и = Р1{и1; и} = [их, и} - {VI; V2}, (4.19)
где ^^ v2} — решение задачи (4.18) с дополнительным условием на Г, которое сейчас получим. Именно, должно выполняться свойство
71ри)1 = Ч2(Р1и)2 (на Г), откуда с учётом (4.19) получаем, что
- Y2V2 = ъи! - 12и2 =: ф Е Н1/2 := Н 1/2(Г)(+)Й 1'2(Г)(+)И1Т/2. (4.20)
Таким образом, для нахождения V = ^^ v2} возникает векторная задача Стек-лова (4.18), (4.20).
Переходя к её решению, будем считать, что на Г задано векторное поле
ф := {-Р15з3 + V1Тз3(и1)}3=1 = {-р2$з3 + V3Тз3(и2)}3=1 е Н-1/2 : =
:= ( Й1/2 (Г))*(+)( Й 1/2(Г))*(+)( Й1/2)*. .
Тогда из (4.18) возникает две независимые задачи (их называют вторыми вспомогательными задачами С.Г. Крейна) в областях ^ и П2:
-VкРо,5к△Vк + Урк = 0, divvk = 0 (в Пк), Vk = 0 (на Бк), -Рк$33 + ЦкТ]3^к) = (Ф)з =: Фз, 3 = 1, 2, 3, к = 1, 2.
Для существования слабого решения этих задач необходимо и достаточно (в областях Пк с липшицевыми дПк), чтобы выполнялось условие (4.21). Эти решения, с использованием формул Грина (4.17), определяются из следующих тождеств:
VlEl(nl, Vl) = {ЪП1, Ф)ь2(г), УП1 е J1 ,(П1), (4.22)
V2E2 (П2, '^2) = -(Ъ'n2, Ф) ь2(Г), УЩ е J 1я2 (П2), (4.23)
Ь2(Г) := Ь2(Г) 0 Ь2(Г) 0 Ь2,Г.
Каждая из задач (4.22), (4.23) имеет единственное слабое решение, и тогда можно считать, что
/ivi = 12V2 = -V2Ф, Vk EL(H—1/2; J0a (Qk)), k = 1, 2. (4.24)
Введём ещё операторы Стеклова
Ck := YkVk, k =1, 2, Ck EL(H—1/2; H)!2), (4.25)
переводящие (векторные) данные Неймана в (векторные) данные Дирихле. Тогда из (4.24),(4.25) и (4.20) получаем связь
(ß—1Ci + /1—0$ = Ф- (4.26)
Здесь снова, как и в п.4.1, операторы Ck из (4.25) обладают свойствами положительности:
{Ck , )L2(r) = Ek (vk, vk ),
при этом Ck отображает H2l/2 на Hi . Поэтому существует ограниченный оператор
GY1 EL(H —1/2;H /).
Отсюда следует, что существует ограниченный обратный положительный оператор
(l—1Ci + /—1C2)—1 EC(H—1/2; H1/2),
поэтому уравнение (4.26) однозначно разрешимо и
Ф = (i—1Ci + /—C)—1Ф. Тогда в силу (4.24) и (4.20) имеем
vi = /—1Vi(/—1Ci + i—1C2)— 1(Yiui - Y2u), V2 = -ß—1V2(i—1Ci + i—1C2)—1(Yiui - Y2u2)-
Итогом проведенных рассуждений является следующее утверждение.
Лемма 4. Ортопроектор P1 действует по закону
Piu = u-{ß—1Vi(i—lCi+ß— 1C2)—1(Yiui-Y2u2); -/—^(ß^Ci+ß—^^)—1 (yi)}, где Vk и Ck — операторы, определённые в (4.24), (4.25). □
(Если u = {щ; u2} Е J0^г(Q), то, очевидно, P1u = u.)
5. Применение операторного подхода. Переход к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения
5.1. Вспомогательные краевые задачи
Перепишем исходную задачу (2.2)-(2.10) в виде пар соотношений для искомых объектов; тогда уравнения (2.2) принимают вид
{^•Щ=Ч1 1Ч+{,/iAvi; ^+{f f'} - (5Л)
vk = ßk/pk, f k = f k, к =1, 2.
Дальнейшая цель состоит в том, чтобы перейти от (5.1) к уравнению в гильбертовом пространстве J0,s,r(П).
Для этого применим сначала слева ортопроекторы Po,sk на подпространства J0,sk (Пk), к = 1, 2, на первую и вторую составляющие. Будем иметь:
dt {щ; u} = - j 1 Vfi, P- + {v1Pots1 Avi, u2Po,s2 Av2} + { f 1; f J , (5.2)
Vk = Io,k(t)uk, f k = Po,s\ f k, к =1, 2.
Это соотношение — связь между элементами в J0, s(П). Теперь применим ещё слева в (5.2) ортопроектор
Po = Po,s,г : Jos (П1) 0 Jo,s2 (П2) = Jo,s(П) ^ Jo,s,г(П). Это даёт соотношение
dt{ui; U2} = -Po I^Vpi; 1 Vp2 J + Po {viPo,s1 Avi; V2P0& Av2} + Po | f 1; f 2} ■
Pl ^ _ (5.3)
Отметим ещё одно обстоятельство. Так как в (5.3) Vpk Е Gh,sk (Qk) (см.(3.6)),
то f pkdV = 0, к = 1, 2. Используя ещё соотношения г
Jr33(uk)dr = 0, к =1, 2,
г
см. [3, c.115], получаем, что в граничном условии (2.9) на Г можно pk|г заменить на pk|г = Ykpk, к = 1, 2.
Учитывая эти факты, представим решение исходной начально-краевой задачи в виде суммы пар векторных полей. Именно, будем считать, что
Pol — Vfi; — Vp2\ = { — Vpn; — Vpn\ + { — Vp2i; — Vp22\ , lPl p2 J Ipi p2 J Lpi p2 J
и потребуем, чтобы наборы
' 1 _ 1
{vi; v2}, {— Vpii;— Vpn\ pi p2
были решениями первой вспомогательной задачи
-Ро{^гРо,81 △VI, и2Ро,52Лv2} + { — Чрп, — Чр12\ = {Гь Г2} :=
[Р1 Р2 ]
= - д {щ; щ}-\ — Ур21, — Чр22\ + РоО 1; О 2}, (5.4)
оь [Р1 Р2 J
ик = 0 (на Бк), к = 1, 2; { р1^3 + у,1ЪзЫ}3=1-{-р2б]3 + Ц2Тз3^2)}3=1 = 0 (на Г),
а набор {—Vр21; — Vр22} — решением второй вспомогательной задачи для потен-
Р1 Р2 циалов (задачи Стеклова):
Лр2к = 0 (в ^), др^ = 0 (на ^), к =1, 2,
1 др21 1 др22 , ^ , . (5.5) р= рр21 -р22 =д(р1 - р2)( (на Г)-
Рассмотрим сначала задачу (5.5). Введём функции фк, к = 1, 2, которые являются решениями вспомогательной задачи
Лфк = 0 (в Пк), ^ = 0 (на Бк), у фкdГ = 0, к = 1, 2,
г (5.6)
9111ф1 - Р212ф2 = (Р1 - Р2)( (на Г).
дП дП
Обозначим
ф :=
дфк
дпк
дф2
дп
дф1
дп г
дф2
J фдГ = 0.
г
дп
Тогда, как и в (4.9)-(4.12), будем иметь
Yхфх = С\ф, Ч2ф2 = -С2Ф, и последнее условие на Г приводит к связи
(piC + Р2С2)ф = (pi - Р2)(.
Отсюда, учитывая, что
PiCi + Р2С2 е L(H-1/2; Hi/2)
i/2
является положительным оператором и действует на Нг , получаем:
ф = (pi - p2)(piCi + Р2С2)-1(,
и потому
ф1 = (pi - P2)Vl(PiCi + Р2С2)~1Z, ф2 = -(pi - p2)V2(piCi + Р2С2)-1(. (5.7) Таким образом, доказано следующее утверждение.
Лемма 5. Задача (5.6) имеет (единственное) слабое решение тогда и только тогда, когда выполнено условие
С е ИГ.
Это решение даётся формулами (5.7). □
Опираясь на эту лемму, введём оператор О по закону
0( := е СНЛГ(П), О е С(ИГ/2; СНЛг(П)) (5.8)
(определение г(П) см. в (4.2)), а также общий оператор нормального следа
%и := Чп,и = Чп,и = [щ; и} е Jо ,г(П). (5.9)
Лемма 6. Имеет .место соотношение
О* = (Р1 - Р2)1п, 1п е С,(Зо,з,г(П); И-1/2). (5.10)
1 /2
Доказательство. Пусть ( е Иг , п = [Пъ П2} е J ад г (П). Тогда
(О(, п)ыо,) = Р^ • Пid.ni + Р2 ! • П2dП2 =
пх п2
= ... = Р1 {Ч1ф1,Чп,1П1)ь2(Г) - Р2{12 ф2,Чп,2П2)ь2(Г) =
= \Чп,1П1 = 1п,2П2 = 1пП\ = {р111ф1 - р212ф2,1пП)ь2(Т) =
= (см. последнее условие (5.6)) = {(р1 - Р2)(,%п)ь2(г) = {С, (Р1 - Р2)%п)Ь2(г)-
Отсюда и следует утверждение леммы. □
С помощью оператора О из (5.8), функций ф1 и ф2 из (5.6) и из (5.5) получаем, что в задаче (5.5)
Р21\п-1 = ЯР1ф1, Р22 \ П2 = 9Р2ф2,
1 1 } (5.11)
- VР22> = дОС-
Р1 Р2
5.2. Переход к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения
Опираясь на полученные в п. 5.1 выводы, рассмотрим теперь вспомогательную задачу (5.4). Предварительно воспользуемся тождествами, следующими из (4.17). Имеем
/ЦЕ1(П1, + 12Е2(П2, 'и2) = {П1,Ро,Я! (-Р1АЬ1) + Vр\)£2(^.1) + + {П2,Р0,52 (-^2^2) + Vp2)l2(n2) + {ЪП1,1, [^ПЗ^^ - ^ПЭ^ШЬ2(Г) + + {ЪП1,2, [№23^1) - Ц2Т2Э («2)])ь2(Г) + {11П1ЭЭ, [(-р1 + Р1ТээЫ) - ( Р2 + №ГээЫ)])ь2(Г),
= [Пъ Щ} е Л0,5,г(П), V = ^1; V2} е Л0,Я(П)■
(5.12)
Так как п = РоП, П е 3о,в,Г(П) С 3о,5,г(П), Ро : 3о,5(П) ^ 30,5, г(П) — ортопро-ектор (см. (4.15)), то (5.12) можно переписать в виде
Р1Е1(П1, vl) + Р2Е2(Щ, ^ = (П, v)J0o,д(П) =
= {п,Ро{Ро,як (-"кЛЩ) + Vpk}Ll}Jo,s(П) + з (5.13)
+ ЫПи, [(-р1^з + рп-зз^^ - (-р2^з + ^Ъз^Мыг),
3 = 1
приспособленном к формулировке обобщённого решения вспомогательной задачи (5.4).
Определение 1. Назовём обобщённым решением задачи (5.4) такую функцию v(t) = {V1(Ь); V2(t)} = {1о,1(Ь)п1(Ь); 1о,2(Ь)п2(Ь)}
переменной Ь со значениями в 3^(П), для которой выполнено тождество, следующее из (5.13):
йи
(п, v(t))J 1 ,д(П) = (п, -- + р(Ь)^0,д(П), Уп е 3о^г(П). (5.14)
Здесь использовано обозначение (5.8) и последняя формула (5.11), а производные д/дЬ заменены на Н/йЬ (для функций переменной Ь со значениями в гильбертовом пространстве) и
р(Ь):= РоО 1; О2}. П (5.15)
Перейдём от (5.14) к интегро-дифференциальному уравнению в пространстве 3о,5, г(П). Так как
(П, V(t))J 1 , д (П) = (Р1П, V(t))J 1 , д (П) = (П, P1V(t))J 1 , д (П) = ( )
= (А1/2п, А1/2РМЬ)^0,д,Г(П), (5.16)
где А — оператор гильбертовой пары 5г(П); 3о,5,г(П)), см. (3.16)-(3.20), Р1 : 5(П) ^ 3^8г(П) — ортопроектор, то тождество (5.14) с учётом (5.16) равносильно соотношению
- Ни
АрМЬ) = - НЬ - дО( + р(Ь),
если правая часть — функция Ь со значениями в 3о,5,г(П).
Теорема 1. Исходная начально-краевая задача (2.2)-(2.10) о .малых движениях двух вязкоупругих жидкостей равносильна (после отделения тривиальных соотношений) задаче Коши
Ни ~
— = -АР1(1о(Ь)и) - дС( + р(Ь),
(5.17)
^ = % и, и(0) = и0, ((0) =
для системы двух уравнений, из которых первое является интегро-дифференциальным уравнением первого порядка,
t
v(t) = Io(t)u(t) = {uk}Li + К J e-ek(t-s)uk(s)ds}l=1, (5.18)
0
а второе — дифференциальным уравнением первого порядка.
Решение u(t) = {ul(t); u2(t)}, ((t) является функцией t со значениями в J0,s,rи L2tr соответственно. □
Замечание 3. Если жидкости невязкоупругие, то ak = 0 (k = 1, 2) и v(t) = u(t). Эта задача разобрана в параграфе 8.6 из [11, с.133-140]. □
6. Преобразование задачи к стандартному виду
6.1. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
Приведём задачу (5.17) к более симметричному виду, воспользовавшись формулой (5.10). Осуществим в (5.17) замену искомой функции по формуле
п = (gi.Pi - Р2)1/2)(. (6.1)
Тогда приходим к задаче Коши
du
— = -ÄP1(Io(t)u) - (g/P - p2))1/2GV + p(t)
dn = (g/(pi - P2)1/2G*u), u(0) = u°, n(0) = n0
(6.2)
Дальнейшее рассмотрение связано с выделением в задаче (6.2) операторной матрицы, отвечающей системе вязкоупругих жидкостей, изучению свойств этой матрицы, её расширению (путём замыкания) до максимального аккретивного оператора. Параллельно будет осуществлён переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Введём в (6.2) новую искомую функцию
t
w(t) := [a1'2 j e-l3k(t-sU(s)ds]2k=l E J0,Si (Qi) 0 J(Q2) = J0,s(ty, (6.3) о
см. (5.18), а также операторы
a1'2 := [ak'/2}Li, в := [вк}k=i, (6.4)
действующие в Л0 ,Я(П). Тогда
г
^ = [а\/2ик - вк[а\/2 I е-М-'иШв]}2^ = а1/2и - вш. (6.5)
0
С учётом (6.3)-(6.5) задачу (6.2) можно переписать в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
^ = -А(и + Р^1/2ш) - (д/(р1 - р2))1/2Оп + р(1), dt
^ = а1/2и - вш, и(0) = и0, ш(0) = 0, (6.6)
dt
^ = (д/(р1 - Р2))1/2О*и, п(0) = п0, р(Ь) : = Р0[Р0,Я1 f 1; Рол f 2}-Коротко эту задачу можно записать в виде
^ = -Аг + р^), г (0) = г0, dt
( А АРа1/2 (д/(р1 - р2))1/2О\ (и\ (р(^4
А= | -а1/2Р1 в 0 I , г = | ш I , р(^ = | 0
\-(д/(Р1 - Р2 ))1/2 о* о о ) \п) \о
6.2. Дополнительная симметризация
Осуществим в (6.6) ещё одну замену
ш = А-1/2ф, ф е (П).
Тогда из второй строчки (6.6) имеем соотношение
^(А-1/2ф) = а1/2Ри - вА-1/2ф, (6.7)
и если и(^ — непрерывная по t функция со значениями в Л0яг(П), а ф^) — со значениями в Л0, я(П), то правая часть в (6.7) непрерывна по t со значениями в Л1 я(П) = 'П(А1/2). Поэтому к обеим частям в (6.7) можно применить оператор А1/2. В итоге взамен (6.6) возникает задача Коши
^ = -(¿и + АРа1/2А-1/2ф) - ЪОп + рШ, dt
^ = А1/2а1/2Ри - А1/2вА-1/2ф, и(0) = и0, ф(0) = 0, (6.8)
dt
^ = ЪО*и, п(0) = (д(р1 - Р2))1/2СЪ : =(д/(р1 - Р2))1/2 > 0.
Эта система снова коротко переписывается в виде ¿У л.. , ..^ о
-t = -Ay + p(t), y(0) = У, y = (u; ф; V)T, (6.9)
где операторная матрица
( A ÄPia1/2A-1/2 bG \ A := I -A1/2a1/2Pi A1/2ßA-1/2 0 I (6.10)
V -bG* 0 0 )
задана на области определения
D(A) = V(Ä) ®V2 ®V(G) (6.11)
и действует в пространстве J0,s,r(ty Ф J0,s(ty Ф L2,r. Здесь
V2 := {ф е Jo,s(ty : Plal/2A-1'2ф е V(A)}. (6.12)
Замечание 4. Оператор P1 a1/2A-1/2 переводит пространство J0,s(Q) в J0 sr(ty = V(A1/2) D D(A), причём D(A) плотно в V(A1/2). □
Изучим теперь общие свойства оператора A из (6.10), (6.11).
Лемма 7. Операторная матрица A допускает факторизацию в виде произведения трёх матриц с симметричным окаймлением средней матрицы:
(A1/2 0 0\( I A1l2Pla1l2A-1l2 bA-1/2G\(A1/2 0 0\
A= I 0 I 0 К -A1l2a1l2P1Ä-1/2 A1l2ßA-1/2 0 II 0 I 0 I. □ V 0 0 I/\ -bG*A-1/2 0 0 J\ 0 0 i)
(6.13)
Лемма 8. Операторы
A112Pall2A-112 : J0,s(ty ^ J0,s,г(ty), All2all2P1A-112 : J0,s,r(ty ^ J0,s(ty
(6.14)
ограничены и взаимно сопряжены.
Доказательство. Ограниченность этих операторов проверяется непосредственно. Например, для оператора ~А1/2Рха1/2А-1/2 имеем свойства
А-1/2 е я(П); я(П)), а1/2 е £(Л~0,я(П)), Р1 е 1 Я(П); Л1 ЯТ(П)) (см. лемму 4.3),
А1/2 еС(Л0,я,г(П); Л0,Я,г(П)),
и потому имеет место первое свойство ограниченности в (6.14). Второе свойство из (6.14) проверяется аналогично.
Проверим теперь свойство взаимной сопряжённости этих операторов. Для любых и Е J0,3>г(П), ф Е Jо,з(П) имеем
(А1/2Р1а1/2А-1/2ф, и)а0 ,Нп) = Ра1/2.А-1/2ф, А-112и)3х з г(п) = = (а1/2 А-1/2ф,Р1 А-1/2и)а0 д т = (А-1/2ф,а1/2Р1 А-1/2и)а0 з т = = (ф, А1/2а1/2Р1 А-1/2и)а0,в{П).
Здесь при выводе были использованы свойства (3.14) и (3.18) для операторов А и А, а также свойство самосопряжённости оператора а1/2 в J0з(П), которое проверяется непосредственно. □
Замечание 5. Из определения оператора в (см. (6.4)) и структуры оператора А (см. (3.13)) следует, что
А1/2вА-1/2 = в- □ Лемма 9. Справедливо соотношение
А-1/2С = (0* А-1/2)*\ЧС), (6.15)
причём замыкание по непрерывности оператора А-1/2С совпадает с (0*А-1/2)*.
Доказательство.Убедимся сначала, что оператор 0*А-1/2 : J0,s,г(П) ^ Ь2,г ограничен и даже компактен. Действительно, А-1/2 Е ,зг(П); J1 зг(П)), а оператор 0* = (р1 — р2)А/п, согласно определению тп (см. (5.9)) и теореме Гальярдо [9], ограниченно действует из J¿3г(П) С Н 1(П) на Щ!2 С Н1"2 ОО Ь2 г. Пусть теперь п Е 'Р(С), и Е J0,s,г(П). Тогда
(А-1/2Сп, и)ао,г(п) = (0п, А-1/2и)а0,в,г(П) = (п,0*А-1/2и)Ь2,г.
1 /2
Отсюда и следует (6.15), и из плотности 'Е(С) = Нг (см. (5.8)) в Ь2,г получаем, что оператор А-1/20 ограничен (и даже компактен) на плотном множестве и поэтому допускает расширение путём замыкания до оператора А-1/20 = (С*А-1/2)*. □
7. Теоремы о корректной разрешимости
7.1. Свойства основной операторной матрицы
Опираясь на приведенные выше свойства коэффициентов операторной матрицы А (см. (6.10)-(6.13) и леммы 7-9), установим общие свойства этой матрицы.
Лемма 10. Операторная матрица (6.10) является аккретивной в пространстве Jо,s,г(П) 0 Jо,з(П) 0 Ь2,г =: Н, т.е.
Кв(Ау,у)н > 0, Уу Е 'Е(А) С Н.
Доказательство. В силу факторизации (6.13) достаточно убедиться, что средний множитель
( I ~А1/2Рха1/2А-1/2 ЪА-1/2О
Ло := | -А1/2а1/2РА-1/2 в 0
\ -ЪО*А-1/2 0 0
обладает свойством аккретивности на множестве
V(Jо) := Л0,я,г(П) 0 Ло,я(П) 0 V(О)-
Имеем
Ие (Лоу, у)н = Ие {(и, и)з0,«Г(П) + (А-1/2Ра1/2А-1/2ф, и)з0,«Г(П)+ +Ъ(А-1/2ОЛ, и)з0,« г(п) - (А1/2а1/2Р1 А-1/2и, ф)ь0,«п) + (вф, ф)ь0,«п)- (7.1) -Ъ(О* А-1/2и,п)ь2 1 г} = \\u\Jj о 1« 1 г(п) + (вФ, Ф)ьо 1 « (п) > 0.
Здесь при выводе были использованы свойства взаимной сопряжённости операторов из леммы 8 (второе и четвёртое слагаемые справа), а также утверждение леммы 9 (третье и шестое слагаемые). □
Введём операторную матрицу
Ла := Ло + а diag(0;0; I), а> 0. (7.2)
Тогда для Ла из (7.1) имеем
Ие(Лу,у)н = \\и\Ьо 1Ып) + (вф, ФЬо 1«(П) + а\\п\\1 г > с\\у\\2ю с > 0, (7.3)
так как в — положительно определённый оператор (см. (6.4), вк > 0, к = 1, 2). Из (7.2), (7.3) следует, что операторная матрица А из (6.13) принимает вид
A = diag(Ä^2; I; I)Jadiag(Ä1l2] I; I) - a diag(0; 0; I) =: =: Aa - a diag(0; 0; I).
(7.4)
При этом оператор Аа представлен в виде произведения трёх сомножителей, каждый из которых имеет ограниченный обратный. Поэтому Аа допускает расширение путём замыкания среднего сомножителя, и в итоге возникает максимальный равномерно аккретивный оператор.
Лемма 11. Замыкание Аа оператора Аа представляется в виде
Аа = ^(А1/2; I; I)Л<И^(А1/2; I; I),
I А1/2Р1а1/2А-1/2 Ъ(О* А-1/2)*
Л = | -А1/2а1/2Р1 А-1/2 в 0
-ЪО* А-1/2 0 а
где Ла — равномерно аккретивный оператор, для которого выполнено свойство (7.3) (с заменой Ja ^ Ла). При этом
(7.5)
V(Aa) = |y = (u; ф; п)Т : u Е V(Ä1/2), Ä1/2u + Ä-1/2P1a1/2A-1'2ф+
+b(G*Ä-1/2)*v Е V(Ä1/2)} , R(Aa) = H
и оператор Aa действует на V(Aa) по закону
A1'2(A1'2u + A1'2a1'2Pl A-1'2^ + b(G* Ä-1/2)*v) Aay = | -A1'2a1'2P1U + ßф | . □ (7.6)
-bG*u + an
7.2. Теорема о разрешимости задачи Коши
Вернёмся к задаче (6.9)-(6.13) и перепишем её с учётом (7.4) в виде
= -(Aa - aVs)y + p(t), y(0) = y = (u°; 0; V°)Т, (77)
y = (u; ф; n)T, P := diag(0;0; I).
Рассмотрим также аналогичную задачу с замкнутым максимальным аккретивным оператором:
dy = -(Aa - aVs)y + p(t), y(0) = y°. (7.8)
Теорема 2. Пусть в исходной начально-краевой задаче (2.2)-(2.10) выполнены условия
u = {< u2} Е D(A) С V(A1'2) = J(П), Z0 = Hl'2, fk(t,x) Е C1([0,T]; L2(ük)), k = 1, 2.
Тогда задача Коши (7.8) имеет единственное сильное решение y(t) на отрезке [0,T]; т.е. y(t) Е C([0,T]; V(Aa)), dy/dt Е C([0,T]; H), выполнено уравнение (7.8) при любом t Е [0,T] и начальное условие y(0) = y°.
Доказательство. Так как согласно лемме 11 оператор Aa является максимальным равномерно аккретивным оператором, а Aa - aI3 — максимальным аккретивным оператором, то оператор -(Aa - aI3) является генератором сжимающей полугруппы, действующей в гильбертовом пространстве H = J0;s,r(П) ф J0,s(П) ф Ь2,г. Поэтому для разрешимости задачи (7.8) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия (см. [4, c.166]):
y° = (u0; ф°; n°)T Е V(Aa - aV3) =V(Aa), p(t) = (p(t); 0;0)T Е C 1([0,T]; H). (. )
Проверим, что условия (7.9) являются достаточными для выполнения соотношений (7.10). В самом деле, если выполнены условия (7.9) для fк(Ь,х), то Ро,зк fk е С1([0,Т]; (Ок)), к = 1, 2, а потому Ро{Ра,з1 f1; Ра,з2 f2} = р(Ь) е С:([0,Т]; Л0,зг(О)) (см. (5.15)). Поэтому р(Ь) = (р(Ь); 0; 0)т е С:([0,Т]; Н), т.е. последнее условие (7.10) выполнено.
Далее, если выполнены условия (7.9) для и0 и £0, то при = 0 имеем свойство
А1/2и° + 0 + ЬА-1/2Сг/° е '0(А1/2) (7.11)
(см.
I. (7.5)), так как по лемме 9 (С*А-1/2)*\чс) = А-1/2С, V(G) = Нр/2 (см. (5.8))
и = (д(Р1 - Р2))1/2С0 е н1г/2 (см. (6.1)).
Таким образом при выполнении условий (7.9) имеют место условия (7.10). Значит, задача (7.8) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,Т]. □
Теорема 3. При выполнении условий (7.9) задача (7.7) также имеет единственное сильное решение на отрезке [0,Т].
Доказательство. Если выполнены условия (7.9), то по теореме 2 задача (7.8) имеет сильное решение на отрезке [0,Т]. Это означает, согласно закону (7.6) для оператора Аа, что имеют место три уравнения
аи = - А1/2(А1/2 и + А1/2Ра1/2 А-1/2ф + Ь(С* А-1/2)*п) + р(ь),
аЬ
^ = А1/2а1/2Ри - вф, и(0) = и0, ф(0) = 0,
dn = ЬС*u, п(0) = (g(pi - р2))1/2С
где все слагаемые являются функциями Ь е [0,Т] со значениями в 30 )г (О), 30,я (О,) и Ь2,г соответственно. □
При исследовании задачи Коши (6.8)-(6.12) возможен ещё один подход, связанный с факторизацией операторной матрицы (6.10) по Шуру-Фробениусу.
Лемма 12. Операторная матрица А из (6.10) допускает факторизацию вида
/ А АР1 а1/2А-1/2 ЬС А = I -А1/2а1/2Р1 А1/2вА-1/2 0 \ -ЬС* 0 0
I 0 0 \ / А 0 0 \ /1 А-1/2я* ьА-1/2я+
-ЯА-1/2 I 0 II 0 в + ЯЯ* ЬЯЯ+ 11 0 I 0
-ЬЯ1А-1/2 0 I ) \ 0 ЬЯЯ* Ь2ЯЯ+ ) \ 0 0 I
(7.12)
Я* := А1/2Ра1/2А-1/2 е Ц30, я (О); 30, Я г(О)), Я1 := С*А-1/2 е 4(30,яг(О); Н1Г/2 С Нг/2), (713)
Я = А1/2а1/2Р1 А-1/2 еС(30, з, г(О); я (О)), ( )
Я+ = А-1/2С е С(Н1/2; 30зз,г(О)).
Замыкание А операторной .матрицы А представляется в виде
( I 00 \( А о о \( I А-1/2я* ЬА-1/2Я1 А = ( —ЯА-1/2 I 0 || 0 в + ЯЯ* вЯЯ1 )( 0 I о
\ —ЬЯ1А-1/2 0 I ) V 0 ЬЯЯ* ь2Я1Я* ) \ 0 0 I
(7.14)
Я* := Я+ (см. (6.15)), и этот оператор действует на области определения
Р(А) = {у = (и; ф; п)Т : и + А-1/2Я*Ф + ЬА-1/2Я*п Е V(A)},
совпадающей, очевидно, с (7.5), по закону (сравн. с (7.6))
/ А(и + А-1/2Я*ф + ЬА-1/2Я1п)\
Ау = ( — А1/2а1/2Р1и + вф ) , У Е 'О(А).
V —Ь0*и )
Доказательство. Факторизация (7.12),(7.13) проверяется непосредственно. Далее, по лемме 8 получаем, что операторы Я и Я* взаимно сопряжены, а из леммы 9 имеем связи
я+ = я*мс), я+ = я*. □
Замечание 6. Из леммы 12 следует, что крайние сомножители в (7.14) обратимы и равны сумме единичного и компактного оператора, а средний множитель — квазидиагональный самосопряжённый неотрицательный оператор, так как
( ß + ЯЯ* ßQQ\\( Ф ^ ( ф\
^ bQ1 Q* b2QQ\ )\ n ) Л П )
ЬЯ1 Я* Ь2Я1Яи\ п ) V п / (7.15)
= (вф, ф)ао,вм + \\Я*Ф + ЬЯ1 п\\*0,*,г(п) > 0- □
Рассмотрим теперь, как и выше, задачу Коши с замкнутым оператором из (7.14):
^ = —(а — Тг)Ао^ + ?2)у + р(г), у(0) = у°, (7.16)
/ 0 0 0 \
Т = ( ЯА-1/2 0 0 1 , Т2 = Т** Е &Ж(Н),
\ ЬЯ1А-1/2 0 0 ) (7.17)
Ао := diag(i; Аоо),
где А00 — матричный ограниченный неотрицательный оператор из (7.15).
Теорема 4. Пусть в задаче Коши (7.16) выполнены первые два условия (7.9), а условия для f к(Ь,х) заменены менее ограничительными:
f к(г,х) Е С6([0,Т]; Ь2(Пк)), к =1, 2, 0 <5 < 1. (7.18)
Тогда задача (7.16) имеет единственное сильное решение у(Ь) на отрезке [0,Т].
Доказательство. Осуществим в задаче (7.16) замену искомой функции:
(Л + Т2)у(Ь)=: ы(Ь). (7.19)
Тогда для т(Ь) возникает задача Коши (¡1!)
— = -(Л + Ъ)(Л - Т1)А01 + р(Ь), 1(0) = 1°, (7.20)
аЬ
где учтено, что
(Л + Т2)-1 = (Л- Т2), (Л + Т2)р(Ь) = р(Ь).
В задаче (7.20) оператор -А0 является самосопряжённым неотрицательным оператором и потому — генератором аналитической полугруппы операторов, действующих в пространстве Н. Так операторы Тк из (7.17) — компактные, то оператор
-(Л + Т2)(Л -Т1)А0
также является генератором полугруппы, аналитической в секторе, содержащем положительную полуось. Значит, уравнение (7.20) является абстрактным параболическим, и для его сильной разрешимости требуется выполнение условий
1(0) е V(Ao) = V(A) 0 30 ,з(О) 0 12,г,
(7.21)
р(Ь) е С6([0,Т]; Н), 0 <8 < 1.
Однако при выполнении первых двух условий (7.9), как и при доказательстве теоремы 2, можно проверить (см. (7.11)), что 1(0) е V(A0). Далее, при выполнении условий (7.18) аналогично убеждаемся, что для р(Ь) выполнено условие (7.21). Значит, задача Коши (7.20) имеет на отрезке [0,Т] единственное сильное решение
1(Ь) е С 1([0,Т]; Н) П С([0,Т]; V(Ao)).
Отсюда, возвращаясь от (7.20) к задаче Коши (7.16) путём обратной замены (7.19), приходим к выводу, что задача (7.16) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,Т]. □
7.3. О существовании обобщённого решения исходной начально-краевой задачи
Напомним (теорема 1), что исходная начально-краевая задача равносильна (после отделения тривиальных соотношений) задаче Коши (5.17).
Определение 2. Будем говорить, что исходная начально-краевая задача (2.2)-(2.10) имеет обобщённое решение {и(Ь); ((Ь)} на отрезке [0,Т], если выполнены следующие условия:
1. и(Ь) е С 1([0,Т]; 30,з,г(О));
2. v(t) = I0(t)u(t) (см. (5.18)) обладает свойством Plv(t) Е C([0,Т]; V(Â));
3. С(t) Е Cl([0,T]; Hl/2);
4. для любого t Е [0,T] выполнена система уравнений (5.17), где все слагаемые в первом уравнении — элементы из C([0,T]; Jодг^)), а во втором — элементы из C([0,T]; Hl/2); "
5. выполнены начальные условия (5.17). □
Теоремы 2 либо 4 позволяет доказать существование обобщённого решения исследуемой начально-краевой задачи.
Теорема 5. Пусть выполнены условия теорем 2 либо 4■ Тогда задача (2.2)-(2.10) имеет единственное обобщённое решение на отрезке [0,T] (в смысле определения 2)■
Доказательство. Если условия теоремы 2 либо 4 выполнены, то каждая из задач (7.8) либо (7.16) имеет сильное решение на отрезке [0,T]. В частности, для задачи (7.8) получаем, что справедлива система уравнений
dU = - Âl/2(Âl/2u + Q* ф + bQln) + p(t), dt
^ = QÄ1/2u - u(0) = u0, ф(0) = 0, (7.22)
dt
^ = ЬЯгА1/2и, п(0) = (д(р1 - Р2))1/2(
Здесь в первом уравнении все слагаемые — элементы из С([0,Т]; 3^г(П)), во втором — из С([0,Т]; (П)), а в третьем — из С([0,Т]; Н^2), И12 С Н\!2. Поясним утверждения о последних двух свойствах.
Из второго уравнения имеем ф(г) •= QAl/2u = А1/2а1/2Р1и = А1/2а1/2и для и Е 30,в,г(П) = ^(А1/2), причём ф(г) Е С([0,Т]; 30,з,г(П)). Отсюда в силу свойств а1/2 и А1/2 (см. (6.4), (3.13)) получаем, что и(г) Е С([0,Т]; V(А1/2)). Тогда Q1 А1/2и = С*и = (р1 — р2)%и, и потому эта функция — элемент из С([0,Т]; И^2), И1/2 С И1Т/2.
Из третьего уравнения (7.22) имеем
г
п(г) = (д(р1 — Р2))1/2С (г) = + ь/ Ql А1/2и(в^в =
0
г
= (д(р1 — Р2))1/2С0 + ь [ с*и(в)ав =
t
д(Р1 -P2)1/2[Z0 + J %u(s)ds] E C 1([0,T];Hl'2). о
Тогда (лемма 9)
г
ЬЯШ) = ЬЯЫ*) = дА-1/2С((Ь) = дА-1/2(С(0+! С%и(в)йв) е С([0,Т]; V(A1/2)),
0
и потому в (7.22)
А1/2(А1/2и + Я* Ф + ЬЯ1п) = А1/2(А1/2и + Я*Ф) + ЬС£.
Далее, из второго уравнения (7.22) получаем
ф(1) = Al/2w(t) = e-ß(t-s)Q Äl/2u{s)ds = e-ß(t-s) Al/2al/2Plu(s)ds,
и потому
г г
Я*ф = А1/2Рха1/2А-1/21 е-в(г-')А1/2а1/2Р1и(в)(в = А1/21 Р^е-^Рги(в)(в.
00
Отсюда следует, что
A1/2u + Q*ф = Äl/2(u(t) + Piae-ß(t-s)Piu(s)ds) = A1/2PiI0(t)u(t).
Таким образом, при выполнении условий теоремы задача Коши для системы уравнений (7.22) преобразована в задачу Коши (5.17):
аи
— = -APl(Io(t)u) - дС£ + р(Ь),
dz = YnU, u(0) = u°, ((0) = z
т.е., согласно определению 2, исходная задача (2.2)-(2.10) имеет обобщённое решение {и(Ь); ((Ь)} на отрезке [0,Т]. □
7.4. К задаче о нормальных колебаниях гидросистемы
Рассмотрим теперь постановку задачи о малых нормальных движениях исследуемой гидросистемы, т.е. о таких решениях однородной задачи (7.22), которые зависят от Ь по закону
т -\t
(и(Ь); ф(Ь); п(Ь))т = (и; ф; п)те
где Л е С — комплексный декремент затухания, а (и; ф; п)т — амплитудный элемент.
t
t
t
Тогда для отыскания амплитудных элементов возникает спектральная задача
А1/2(А1/2и + Q*ф + = Ли,
—Q А1/2и + в Ф = Лф, (7.23)
^1А1/2 и = Хц.
В случае Л = 0 приходим к соотношениям
А1/2(А1/2и + Q*ф + Ь^1Я) = 0, в ф = Q А1/2и, ЬQl А1/2и = 0.
Из первой связи с учётом второй и третьей получаем
(А1/2и, A1/2u)J0 3 г{П) + -^А1/2и, A1/2u)J0 3 г{П) + Al/2u)J0sг(^) = IIА1/2и\иодг(п) + + \\в-1/^А1/2и\ио д{П) + А1/2и)ь2г =
= IIА1/2 и\и о , д , Г(П) + \\в-1/^ А1/2 и\и о д д (П) = 0,
откуда следует, что и = 0, а потому и ф = в-1QА1/2и = 0. Далее, из (7.24) имеем
А1/2^1п = А1/2(С* А-1/2)*п = (С*)*п =• Сп = Сп = 0,
1/2
так как С — ограниченный оператор из Иг на Оь,,з,г(П) (см. (5.8)). Отсюда и из леммы 5 (см. также (5.6)) получаем, что ц = 0. Таким образом, задача (7.24) имеет лишь тривиальное решение, т.е. Л = 0 не является собственным значением задачи (7.23).
Опираясь на этот факт, преобразуем при Л = 0 задачу (7.23) к спектральной проблеме для одного искомого элемента, исключив ф и ц (при условии ЛЕ а (в)). Имеем
ф = (в — Л1 )-1 Q А1/2и, п = —Л-^1 А1/2и, и тогда и является собственным элементом задачи
и + А-1/^*(р — Л1 А-1/2и = Л А-1и + Ь2Л-1 А-1/^*^1 А1/2 и.
Осуществляя ещё здесь замену
А1/2и =• ф Е 3оМП),
приходим к спектральной проблеме
Ь(Л)ф := (I + Q*(в — Л1 — Л А-1 — Ь2Л-^*^1)ф = 0 (7.25) в пространстве 30,$,Г(П) для операторного пучка Ь(Л).
В этом пучке
Q * (в - XI)-1Q = А1/2Р\а(в - XI )-lPlA-1'2
— оператор-функция, принимающая ограниченные значения из L(Jо ,s,г(^)), A-1
— положительный компактный оператор, действующий в J0, s,г(^), а
QlQi = A-1/2(G G* )A-1/2
— неотрицательный компактный оператор, действующий в J0,s,r(ty-
Исследование спектральной проблемы (7-25) будет проведено в другой работе.
Список цитируемых источников
1. Агранович, М. С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей. // Успехи матем. наук. — 2002. — Т. 57, Вып. 5(347). — C. 3-78.
Agranovich, M. S. (2002). Spectral problems for second-order strongly elliptic systems in smooth and non-smooth domains. Russian Mathematical Surveys, 57:5(347), 3-78.
2. Копачевский, Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые её приложения. — Симферополь: ООО "ФОРМА", 2016. — 280 с.
Kopachevsky, N. D. (2016). Abstract Green's Formula and Applications. Simferopol: OOO "FORMA".
3. Копачевский, Н. Д., Крейн, С. Г., НгоЗуйКан Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. — М.: Наука, 1989. — 416 с.
Kopachevsky, N. D., Krein, S.G., NgoZuyKan (1989). Operator methods in linear hydrodynamic. Evolutional and Spectral problems. Moscow: Nauka.
4. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 464 с.
Krein S. G. (1967). Linear differential equations in a Banach space. Moscow: Nauka.
5. Милославский, А. И. Спектральный анализ малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом контейнере / Институт математики НАН Украины. — Киев, 1989. — Деп. рукопись №1221.
Miloslavskii, A. I. (1989). Spectral Analysis of Small Oscillations of Visco-elastic fluid in the open container / Institute of mathematics NAS of Ukraine. — Kiev. — Preprint №1221.
6. Agranovich, M. S. Remarks on potential spaces and Besov spaces in a Lipschitz domain and on Whitney arrays on its boundary. // Russian Journal of Mathematical Physics — 2008. — Vol. 15., No.2. — P. 146-155.
7. Azizov, T. Ya, Kopachevskii, N. D, Orlova, L. D. Evolution and Spectral Problems Related to Small Motions of Viscoelastic Fluid // Proceedings of the St.-Petersburg Math. Society, Vol. VI. AMS Translations (2) —2000. — Vol. 199. — P. 1-24.
8. Eirich, F. R. Rheology. Theory and Applications. — New York: Academic Press, 1956. — 761p.
9. Galiardo, E. Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova — 1957. — Vol. 27. — P. 284-305.
10. Kopachevsky, Nikolay D, Krein, SelimG. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. — Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid. (Operator Theory: Advances and Applications. Vol.128) — Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 2001. — 384 p.
11. Kopachevsky, Nikolay D, Krein, Selim G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics.. — Vol. 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluids. (Operator Theory: Advances and Applications. Vol.146) — Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 2003. — 444 p.
12. Miloslavskii, A. I. Stability of a viscoelastic isotropic medium // Soviet Physics Doklady. — 1988. — Vol. 33 — P. 300.
13. Miloslavskii, A. I. Stability of certain classes of evolution equations // Siberian Mathematical Journal. — 1985. — Vol. 26, No.5. — P. 723-735.
14. Rychkov, V. S. On Restrictions and Extensions of the Besov and Triebel-Lizorkin Spaces with Respect to Lipschitz Domains. // Journal of the London Mathematical Society — 1999. — Vol. 60, No.1. — P. 237-257.
Получена 06.04.2017
