Теорема существования сильного решения одной начально-краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2016, том 6(34), №3, 245-266 УДК 517.9+532

Теорема существования сильного решения одной начально-краевой задачи

Д. О. Цветков

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Симферополь, 295007, e-mail: [email protected]

Аннотация. Изучается задача о малых движениях системы, состоящей из трех тяжелых несме-шивающихся стратифицированных жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд. При этом нижняя и верхняя жидкости по отношению к действию силы тяжести считаются вязкими, а средняя — идеальной. Получены условия, при которых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию данной гидросистемы. Ключевые слова: стратифицированная жидкость, начально-краевая задача, метод ортогонального проектирования, дифференциально-операторное уравнение, задача Коши в гильбертовом пространстве, сильное решение.

Theorem on the existence of a strong solution for an initial-boundary value problem

D. O. Tsvetkov

V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.

Abstract. Let immovable container be completely filled with system of three nonmixing heavy stratified incompressible fluids. The lower fluid (with respect to gravity) is viscous, middle fluid is ideal, upper one is viscous. The problem on small oscillations is studied on the base of approach connected with application of so-called operator matrices theory with unbounded entries. The initial boundary value problem is reduced to the Cauchy problem in some Hilbert space. The theorem on strong solvability of initial boundary value problem is proved.

Keywords: stratification effect in viscous and ideal fluids, differential equation in Hilbert space, accretive operator, strong solution. MSC 2010: 35P05, 47D03

Введение

Задачи о колебаниях стратифицированной жидкости, заполняющей ограниченную область пространства, находят приложение в теории сейш, в теории колебаний нефти в танкерах, при изучении колебаний криогенных жидкостей в закрытых резервуарах. Известно, что наличие вертикальной стратификации жидкости по плотности порождает в таких гидросистемах весьма интересные физические явления, связанные с действием сил плавучести. Не приводя подробной библиографии, упомянем лишь монографии [1], [4], [6] и работу [3], где изучаются те или иные аспекты теории колебаний такой системы.

© Д. О. ЦВЕТКОВ

В данной работе изучается задача о малых движениях системы из трех тяжелых несмешивающихся стратифицированных жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд, что является обобщением ситуации, рассмотренной в работе [3]. Проведены дополнительные построения, позволяющие в исследуемой задаче получить аналог известного ортогонального разложения Вейля гильбертова пространства векторных полей скоростей. Путем проектирования уравнений движения и неразрывности на выделенные ортогональные подпространства и введения вспомогательных краевых задач и их операторов, исходная начально-краевая задача приведена к дифференциальному уравнению первого порядка в некотором гильбертовом пространстве H:

R dyy + Ay = f, y(0) = y°.

Оператор R самосопряжен, положительно определен и ограничен в H. Оператор A — аккретивный, однако не является максимальным аккретивным оператором. Применение метода операторных блок-матриц, общей теории абстрактных дифференциально-операторных уравнений [5] позволило доказать теорему о сильной разрешимости исходной начально-краевой задачи.

1. Математическая формулировка задачи

Рассмотрим неподвижный сосуд, полностью заполненный системой из трех несмешивающихся жидкостей. Жидкости предполагаются тяжелыми и в силу этого действие капиллярных сил в задаче не учитывается. Области Hi и соответственно нижняя и верхняя по отношению к действию силы тяжести, заполнены вязкими стратифицированными несжимаемыми жидкостями с коэффициентами динамической вязкости ^ = const > 0 (i = 1, 3). Средняя область П2 заполнена идеальной стратифицированной несжимаемой жидкостью. При этом плотности жидкостей pi (i =1, 3) в состоянии покоя изменяются вдоль вертикальной оси.

Обозначим через ni (i =1, 3) единичный вектор, нормальный к дQi (i = 1, 3) и направленный вне Qi (i = 1, 3). Через Si обозначим часть стенки сосуда, отвечающей области Hi (i = 1, 3). Представим Г = dQ2 \ S2 = Г1 U Г2, где Г1 и Г2 — это нижняя и верхняя границы области соответственно. Введем систему координат Ox1x2x3 таким образом, что ось Ox3 направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится на поверхности Г1 .

Будем рассматривать основной случай устойчивой стратификации жидкостей по плотностям pi = pi(x3) (i = 1, 3):

0 < NU < N?(x3) < Ni x =: Кг < ^ N?(x3) := -^^. (1.1) ' ' ' Рг(хз)

Рассмотрим малые движения изучаемой гидросистемы, близкие к состоянию покоя. Пусть щ (г = 1, 3) — поля скоростей в жидкостях, а = (г^,х), х Е Г представляют собой отклонение свободно движущихся поверхностей жидкостей

Гг(£) от Г (г = 1, 2) по нормали пг; рг = рг^,х), х Е Пг (г = 1, 3) — отклонение полей давлений от равновесных; рг = х), х Е Пг (г = 1, 3) — отклонения полей плотности от исходных рг(х3).

Линейная постановка начально-краевой задачи о колебаниях рассматриваемой гидросистемы выглядит следующим образом (см., например, [3]):

д и'

= Р-1(хз)(-^Рг + ^Ли - ргдез) + / , divщ = 0 (в П, г =1, 3),

ди

2~ Р21 (хз)( ^Р2 - р2д ез) + /, divи2 = 0 (вП2 ), (1.2)

dt

+ • иг = 0 (в a, i = 1, 3),

йг = 0 (на Бг, i = 1, 3), Ü2 • = 0 (на S2 ),

dCi - - - - / r ч д^2 -» -» / -p ч

—- = Üi •ni = Ü2 •ni ( на Ii ), —- = Ü2 • П2 = Ü3 • П2 ( на Г 2 ),

dt dt

d(üi)k , д(üi)^\ (1.3)

/ d(üi)k д (üi)3\ n n -, , -p s

^Ч^^г+ ^xrj= 0 = 1,2), (наri),

£){ \

- Pi + 2ßi dX 3 = P2 - gApiCi ( на fi ), Api := Pi(0) - P2(0),

(д(ü3)k , дЫЛ n ^ 1 o^ / F ^

l^xr+ ^XTJ =0 = 1,2), (наГ2),

д(ü3)k , д(йз)з

^з"

.....У-3 dXk

д ( Ü3 ) 3

- P3 + 2^3—дХ— = -P3 + gAp3Z2 ( на Г2 ), Ap3 := р2(6) - р3(Ь),

йг(0,х) = Ü0(x), рг(0,х) = р0(x) (X G Пг, i = 1, 3), с,(0, X) = С°(Х) ( X G Гг, j = 1, 2).

:1.4)

:1.5)

2. Об ортогональном разложении гильбертова пространства вектор-функций

Пусть задана область П С R3. Граница области дП = S U Г, где Г — связное множество с mes Г > 0. Введем пространство HГ(П,р) функций из H 1(П,р), имеющих средним значением по Г нуль, с нормой

М2пГ(П,„) = J P-1|Vp|2dn < ж, JpdT = 0. (2.1)

Г

Как и при р = const, для НГ(П,р) имеет место ортогональное разложение:

НГ(П,р) = His(П,р) Ф Но1г(П,р), (2.2)

где

His(П,р) = {p g НГ(П^) I V- (p-1Vp) = ü (в П),

p-1Vp - n = ü ( на S ), jpdT = ü },

Г

Hiг(П,p) = {p G НГ(П,р) I p = ü (на Г) },

причем ортогональность в (2.2) понимается относительно скалярного произведения, соответствующего норме (2.1).

Предположим теперь, что Г = Г1 иГ2, Г1ПГ2 = 0, Г1 и Г2 — связные множества ненулевой меры, расположенные горизонтально. Введем в рассмотрение множество

Н^ (П,р) := { p G НГ (П,р)| V- (p-1Vp) = ü ( в П), p-1Vp - П =ü ( на S ),

J^pd^ = ü, j ^Г 2 = ü, J p dГ = ü }. (2.3)

Г1 Г2 Г

В работе [3] доказана

Лемма 1. Справедливо ортогональное разложение

Hls(П,p) = H1S(П,р) ф{аф0}, (2.4)

где {аф0} — одномерное подпространство, а функция ф0 является решением следующей краевой задачи:

V-(p-1Vpo) = ü ( в П), p-1V^o - П =ü ( на S ), ф0 = mesГ1 ( на Г2 ), ф0 = -mesГ2 ( на Г1 ).

Разложение (2.4) порождает разложение подпространства потенциальных полей Ghss(П, p) в ортогональную сумму:

Gh , s (П,р) = G^ (П,р) ф {ap-1V^0 }. (2.6)

3. Метод ортогонального проектирования

В этом пункте для исследования начально-краевой задачи (1.2) — (1.5) мы применим метод проектирования уравнений Эйлера и Навье-Стокса на ортогональные подпространства гильбертовых пространств L2(Пi,pi) (i = 1, 3).

Для области Пi (i = 1, 3) введем разложение пространства векторных полей J2(Пг,рг) в ортогональную сумму:

]^2(Пг,рг) = J0 , Si (^Pi) Ф G0 , г (П^), J0 ,Si (Пг, pi) = М^, pi) Ф Gh,St (П ,pi),

где (для удобства Г2 переобозначим через Г3)

Jo(n¿, pi) : = { щ | divÜi = 0 (в Q'), щ • щ = 0 (на дQ'), i = 1, 3 }, Gh,Si(Qi,pi) : = { Vj I Vj = p~1(x3)Vpi, Vj • щ = 0 (на Sj),

V^ Vj = 0 (в Qj), Jpi dTi = 0, i = 1,3 },

г

Go,Vi(Qi,Pi) : = { Wj | Wj = p"1(x3)V^j, ф = 0 (на rj), i = 1, 3 }.

Здесь операции div и и (и • и)дп понимаются в смысле обобщенных функций (распределений), см. [2, с. 101 - 102].

Введем ортопроекторы P0,Si и P0,ri на подпространства J0,Si (Qi,pi) и G0,ri(Qi,pi) (i = 1, 3) соответственно. В силу условия соленоидальности и условия прилипания на Si для ui (i = 1, 3), считаем, что поле ui принадлежит пространству J0>,Si(Qi, pi), которое плотно вложено в пространство J0,Si(Qi, pi) (i = 1, 3) (см., например, [3]) . Подействуем введенными ортопроекторами P0,Si и P0,ri (i = 1, 3) на уравнения для вязких жидкостей из (1.2), получим:

dU' —*

~dt = - p-1vpi,i + P0,SiUi) - p0,Si(p-lgpiee3) + p0,SiJ (в Qj), (3.1)

0 = - p~1Vpi,2 + Р0,гг(p-1^iAUi) - P0,ri(p71gp¿3) + Po,rJ (в Qi), (3.2)

где p~1V'Pi,1 := P0,Si(p-1Vpj), p-1Vpi,2 := P0,ri(p*_1Vpi) (i = 1, 3).

Из уравнений (3.2) при известных щ и pi составляющие p-1 Vpiy2 (i = 1, 3) градиентов давлений из подпространств G0,ri(Qi,pi) (i = 1, 3) вычисляются непосредственно. Учитывая эти тривиальные соотношения, в дальнейшем будем рассматривать для вязких жидкостей основные уравнения (3.1).

Для области Q2 введем разложение пространства векторных полей L2(Q2,p2) в ортогональную сумму:

L2(Q2,p2) = J0(Q2,p2) Ф Gh,S2 (Q2,p2) Ф G0,r(Q2,p2). (3.3)

Подпространство GhSS2(Q2,p2) из (3.3) состоит из квазипотенциальных гармонических полей с нулевой нормальной составляющей на твердой стенке S2, для которых также выполнено условие сохранения объема по всей границе Г = Г1U Г2. В изучаемой задаче, в силу несжимаемости жидкостей, условие сохранения объема должно выполняться на каждой из границ Г1 и Г2 в отдельности. Отсюда следует, что подпространство Gh,S2(Q2,p2) шире, чем требуется. В связи с этим, воспользуемся разложением этого подпространства в ортогональную сумму двух подпространств см. (2.6), естественным образом приспособленных к данной задаче.

Учитывая (2.6) и (3.3), введем ортогональное разложение

L2(Q2,p2) = J0(Q2,p2) Ф G^ (Q2,p2) Ф{ap-1Vфo}Ф G0,r(Q2,p2), (3.4) ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2016, том 6(34), №3

где Г = Г! U Г2. Введем также ортопроекторы на соответствующие подпространства: Po, P^, Рф, Po,г.

Основываясь на разложении (3.4), применим метод ортогонального проектирования к уравнению Эйлера из начально-краевой задачи (1.2). В силу условия соленоидальности и условия непротекания на твердой стенки S2 считаем, что U2 е Jo(^2,P2) Ф G^ (^2,Р2) =: JoS2 (^2,Р2).

Поле p-!,Vp2 квазипотенциально, поэтому

p-!Vp2 е G(^2,P2) := G^(^2,Р2) Ф {ар-1 Vфo} Ф Go,r(^2,P2)-Представим поля и2 и p-lVp2 в виде:

U2 = V2 + р-!УФ2, p2lVp2 = p-1Vp2,i + р-1 Vp2,2 + а(Ь) р-!Уфо, (3.5)

где V2 е /о(^2,Р2), р-^2 е G^ (^2,Р2),

P-1Vp2,1 е G^(^2,Р2), P-1Vp2,2 е Go,r(^2,p2). (3.6)

Подставим эти представления в уравнение движения для идеальной жидкости из (1.2) и применим к нему ортопроекторы, отвечающие разложению (3.4). Получим:

о —*

-f = - Pop-Ws) + Pof, (3.7)

я

-(p2-1VФ2) = - p2-1Vp2,1 - P^(р-1др2ез) + P^f, (3.8)

а^р-^фо = - P^-Wls) + P/f (3.9)

P—^Vp2,2 = - Po^p-Wl) + Po/ (3.10)

Соотношения (3.9) и (3.10) показывают, что ар-1 Vф0 и p-1Vp2,2 могут быть найдены, если известно решение р2. В то же время эти поля не входят в (3.7) (3.8). Отметим также, что для элементов подпространства {а p-1Vфо} выполнены условия:

V- (p-^o) = 0 ( в ^2 ), P-1Vфo •n = 0 (на S2 ),

фо = а mes Г1 (на Г2), фо = -а mes Г2 ( на Г1 ),

поэтому из (3.9) находятся все коэффициенты а, и тем самым составляющая {ар-1 Vфo}.

Учитывая тривиальные соотношения (3.9), (3.10), в дальнейшем будем рассматривать для идеальной жидкости уравнения (3.7), (3.8).

4. Формулировка задачи после отделения тривиальных соотношений

Перейдем к окончательной формулировке задачи с учетом проведенных выше преобразований. Введем операторы ^г — операторы нормальных следов полей, заданных в на границу Гг (г = 1, 3). Отметим здесь, что единичные векторы пг нормальны к ди направлены вне (г = 1, 3). Рассмотрим кинематические соотношения из (1.4). В силу представлений (3.5), (3.6) можем написать:

дл дС2

д" = 71^1 = Р-1VФ2 • П1 (на Г1), = р-1УФ2 • П2 = -73^3 (на Г ).

После отделения тривиальных соотношений (3.2), (3.9) и (3.10) начально-краевая задача (1.2) — (1.5) формулируется следующим образом:

диг _1 , _1 . ,,

= -Рг ^РИ + Р°Л (Рг

- Рол (р-1дрг ез) + р°,я/ (в пг,г = 1, 3), (4.1)

д Рг

+ V Рг • и = о (в пг, г = 1, з), иг = о (на Бг, г = 1, 3), д

дЦ (Р—1^Ф2) = -Р-^Р2,1 - Р^ (Р-1дР2ез) + Р^ / ( в ^2 ),

ди

= -Р°(Р-1дР2е3) + Р°/ ( в ^2 ), (4 2)

Р-1УФ2 • п2 = 0 (на Б2 ), ь2 • п2 = 0 (на дП2 ),

д2 + VР2 • (Р-1УФ2)+ УР2 • У2 = 0 ( в ^2 ),

ul(0,x) = P0sSi u?(x), р21УФ2(0,ж) = Р^и?,(.х), v2(0, x) = P0u2(x),

i (о, x) = <0

Pi(0, x) = P0(x) (г =1, 3), 0(0, X) = <0(X) (j = 1, 2)

(4.3)

p2 УФ2 • П2 = -71 Ui = -(на Г ),

д<2

р-1УФ2 • n = — 7зU3 = (на Гз ), (d(ui)k , ^(^ЬХ n ,, 1 0 F 1

Ч^Т + =0 (^ = 1,2, на ri(г = 1,3)),

— PrlPi,i + 2ßi^^ = —gApi<i — РпP2,1 (на Г1), (4.4)

0x3

д (из)з

— РгзРз,1 + 2^3—- = дДрз<2 — РгзР2,1 (на Гз ),

0x3

(4.5)

Через Р^ обозначены ортопроекторы на := Ь2(Гг) 0 {1^} (г = 1, 3) , Г2 переобозначим через Г3.

5. Вспомогательные краевые задачи и их операторы

Для перехода к операторной формулировке исследуемой задачи рассмотрим ряд вспомогательных краевых задач. Вспомогательная задача I.

Р"1(Жз)Ург - = ¡, = 0 ( в Пг, % = 1, 3 ),

иг = 0 (на Бг, г =1, 3 ), —рг + ( г)3 =0 (на Гг, % =1, 3 ),

дхз

(д (Ui)k д {Пг)Л .

^Л ~дХ--+ дх ) = (к =1, на ri' г = 1,3)'

Это аналог первой вспомогательной задачи С.Г.Крейна (см. [2, е.116]). Она имеет единственное обобщенное решение иг = ¡л-1 А"1/ для любого вектора / из (Пг,рг) (г = 1,3), где Аг (г = 1,3) — оператор задачи I. Оператор Аг есть неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор с Т>(Аг) = (Пг, рг), при этом оператор А-1 является положительным и компактным в ^^ (Пг,Рг) (% = 1, 3).

Вспомогательная задача II.

V- (р-1 Ург) = 0 (в Пг, г = 1, 3), р~^рг • пг = 0 (на Б, % = 1, 3), р-1рг = Тг (на Гг, г =1, 3 ), Тг ¿Г г = 0.

Это аналог известной задачи Зарембы (при pi = const, см. [2, c.45]). Она имеет

1

единственное решение pi Е H1 (П^р^ при Ti Е Щ. (i = 1, 3). Вспомогательная задача III.

V- (р2"1УФ1) = 0 (в )' Р-1УФ1 • П2 = 0 (на S2 )'

р-1(6)УФ1 • П2 = 0( на Гз )' р-1(0^Ф1 -П2 = П1 (на Г1), J Ф1 dГ = 0.

г

Вспомогательная задача IV.

V- (р-^Ф2) = 0 ( в ^2 )' Р-^Ф2 • П2 = 0 (на S2 )' р-1(0^Ф2 • П2 = 0( на Г1)' р-1 (b) VФ2 • П2 = П2 (на Гз )' I Ф2 dT = 0.

Задачи III и IV — это задачи Неймана. Если ni Е H^2, то задача III имеет

_ i

единственное решение Ф1 Е Н(П2,р2), аналогично, если n2 Е Нг32, то задача IV имеет единственное решение Ф2 Е Hl(Ü2,p2) (см. [2, c.45]).

Введем по решениям задач III и IV операторы:

P-1(0)PriФ1 |ri =: SMni, P—1 (Ь)РгзФ1|гз =: S^i, (5 1)

P-1(0)PriФ2|ri =: S 1,2^2, Р-1(Ь)Ргз^2|гз =: ^2,2^2-

Здесь следует отметить, что оператор S1;1 — самосопряженный, положительный и компактный в Ь2,г1, а оператор S2,2 — самосопряженный, положительный и компактный в Ь2,гз.

Вспомогательная задача V.

V • (p-1Vw1;2) = 0 (в П1), Pi1Vw1}2 • n1 = 0 (на S1),

p-1(0)Vwi,2 • ni = По (на Г1), J W1'2 dTi = 0.

ri

_ 1

Задача V — это задача Неймана. Если n0 Е H^2, то задача имеет единственное решение w1>2 Е (П1,р1). Введем по решению задачи V оператор:

p-1(0)Priwi,2|ri =: Sono, оператор S0 является самосопряженным, положительным и компактным в L2,ri.

6. Вывод системы операторных уравнений

Представим в (4.1) поле p-1Vpi,1 (г = 1, 3) в виде p-1Vrpi,1 = p221Vp)i,1 + p-1Vpi,1 и подберем поле p-1Vp5i;1 таким образом, чтобы поле ui (г =1, 3) являлось решением следующей краевой задачи:

д и

P-1 VPi,i — P0,Si Ui) = —P-iVpi,i — P0,Si (p~1gpi ез) + p0,Si f —

div ui = 0 (в Qi), ui = 0 (на Si), 'ß(ui)k , д(щ)з

i^xr + =0 (= 1,2, наri),

V

.....'-'3 дХк

-Ргр1 + = 0 (на Гг), г = 1, 3.

Используя вспомогательную задачу I, заключаем, что последняя краевая задача имеет единственное обобщенное решение

иг = ц-1А- 1 ( Р°л / - - Р- 1 - Р°Л (Р-1 дрге3) )

для правой части из (Пг, Рг) (г = 1, 3). Свойства оператора Аг описаны в предыдущем пункте. Итак, можно написать:

диг

-д^ + VгАиг + Р-^Рг, 1 + Р° ,л (Р-1д'рг63) = Р° ,л/ (в Пг, г = 1, 3 ). (6.1)

При расщеплении второго и третьего условия (4.4) для нормальных напряжений на границах вязкой жидкости остались условия

Рг 1 р1,2 = дЛр1 (1 + Рг 1 Р2,1 (на Г1),

РгзРз,2 = —дАрз(2 + РгзР2,1 (на Гз ).

Учитывая принадлежность р~1Vp)i,2 Е (Пг,рг), приходим к выводу, что потенциал Рг*р>г,2 удовлетворяет II вспомогательной задаче при Т1 = дАр1(1 + РГ1 р2д, т2 = —дАрз(2 + РГзр2)1. Поэтому можно считать, что

Р^Р1,2 =: Р-1(0)С1(дАр1(1 + РпР2,1), (6.2)

р-1 ^з,2 = : р-1(Ъ)Сз( — дАрз(2 + РГзР2,1).

1

Оператор бг ограниченно действует из пространства Нр. в пространство

(Пг,Рг) (г = 1, 3), что будет показано ниже. Обозначим

Ро,в. (р~1дргез) =: Сгрг, —V рг • иг =: С*иг (г = 1, 3) (6.3)

и введем гильбертово пространство £2(Пг) (г = 1, 3) скалярных функций со скалярным произведением:

Р -1

(ф,Ф)£2т := у д2 [рг(хзЖ(хз)] ф(х)ф(х) ¿Пг. п.

Лемма 2. Операторы С г : £2(Пг) ^ (П, рг) и С* : ^^ (Пг,рг) ^ £2^) (г = 1, 3), определенные соотношениями (6.3), взаимно сопряжены и

\\С\\ = \\С*\\< Мог- (6.4)

Доказательство. Утверждение леммы непосредственно следует из тождества

(Сгрг,иг) = (рг, <С*иг)&2(п.) = ^ С Щ ¿П

п.

Ущ Е (Пг,рг), Ург Е £2(Пг), г = 1, 3.

□

С учетом (6.2) и (6.3) перепишем (6.1) в следующем виде:

du

-Ut- + ßiAiUi + pr1(0)^ApiGiCi + pr1(0)GiPr! P2,1 + C1P1 = Po,s\ f,

du

+ ^зАэ U3 - p-1(b)gAp3G3(2 + р-1(Ь)й3РгзP2,i + Сзрз = Po,S3 f ■ ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2016, том 6(34), №3

(6.5)

Рассмотрим уравнения для идеальной жидкости из (4.1). Обозначим

Р^^ (Р-1дР2е3) =: С2,1Р2, ^Р2 • (Р-1 VФ2) = £2*1^-^2);

2 (6.6) Р°(Р-1дР2б3) =: С2,°Р2, VР2 • ^2 = С2°^2,

и введем гильбертово пространство £2(П2) скалярных функций со скалярным произведением:

Г.2 Г Р (х )¥2( м-1

(ф,Ф)£2(П2) := / g2 [p2(x3)N^(x3)] ^(x)^(x) dÜ2.

П2

Лемма 3. Операторы, определенные соотношениями (6.6),

С2,1 : LÄ) ^ (^2, P2) и : G^ (П2, P2) ^ ^2),

C2 ,0 : L2 (^2) ^ '/0(^2, P2) и С20 : /0(^2, P2) ^ взаимно сопряжены и

11^2,1 II = l|C2,ill < N0,2, над = ll^ll < N0,2. (6.7)

Доказательство леммы аналогично доказательству леммы 2. С учетом введенных операторов уравнения для идеальной жидкости из (4.1)

можно переписать в следующем виде: д

ö~t (р2"^Ф2)+ P2"1VP2,1 + С2ДР2 = Р^ / ( в ^2 ),

д2 + ^2,0P2 = Р0/ ( в ^2 ), (6.8)

др^ — QiP"^) — C2V2 = 0 ( в ^2 )-

В силу принадлежности P2"1 VФ2 пространству <G(^2, P2) и определения пространства G(П2,p2) потенциал Ф2, с помощью решений III и IV вспомогательных задач, можно представить в виде:

Ф2 = Ф1 + Фз, (6.9)

при этом считаем n1 = — 71u1 (на Г1), n2 = —73u3 (на Гз ).

Представление (6.9) оправдано тем, что поле p-1VФi (г = 1, 3) будет в дальнейшем выражено (см. лемму (4)) с помощью ограниченного оператора через щ (г = 1, 3). Исходя из сказанного, разложим пространство <G(^2, p2) в виде следующей прямой суммы:

G^(^2,P2) = G 1(^2,p2) 0 <3(^2,P2), (6.10)

где

б1(П ,р2) := {р-^р | V• (р2-1Vp) = 0 (в П2 ), P21Vp • П2 = 0 (на Б2 ),

р-"1Vp • п2 = 0 (на Гз ), 1г^Г = 0],

г

бз(П2,р2)=: {р-^Р | V• (р-^р) = 0 (в П2 ), р-^р • П2 = 0 (на Б2 ),

р-^р • п2 = 0 (на Г1), J гР ¿Г = 0}.

г

Лемма 4. Поля р-^^т, (г = 1, 3) выражаются с помощью ограниченных операторов Бг через иг (г =1, 3):

Бгйг := р-1 VФг (г =1, 3). (6.11)

Доказательство. Рассмотрим оператор Б1, для любого щ Е Jo)в1 (П1, р1), с учетом разложения

и = ,1 + р21(xз)Vwl , 2, (6.12)

д Е ^0(П1,р1), р-^хз)^1 ,2 Е бн,в1 (П1,р1), а также свойств V вспомогательной задачи, имеем:

111,(0^) = J Р^Ы^Ф^2 dÜ2 = J УФ1 • (р2-1(Хз)УФ1) dÜ2

П2 02

- j Ф1 • (р--1УФ1 • П2) dS = J Рг,Ф1 • (р--1(0)УФ1 • П2) dri

80,2 Г,

: J Р2(0)Я1(Р2-1(0)УФ1 • Й2)(Р21(0)УФ1 • П2) dr = HS^i(p-^^i • rk)\HHl < г,

< d|I S|(р--1(0)УФ1 • ЗДН, = d\\sl(-p-1(0)Vwi ,2 • ЗДН =

= djpi^So^^Vwi, 2 • ni)(p-1 (0)Vwi,2 • ni) dri =

г,

= dj Рг, wi , 2(p-1 (0)Vwi , 2 • ni) dri = dj p-1(x3)|Vwi , 212 dQi <

г, о,

< d p-1 (хз)|Vwi,212dQi + d pi(x3)|wi,i|2dQi =

d Pi(x3)|Ui|2 d^i = d\\Ui\\j0Si

где ¿> 0 — это константа из соотношений эквивалентности следующих норм:

\Ы\н-2 , = \\Бо По\\ь2,п , ын-2 п = \\б1по\\ь2 ,Г1, По Е Н"1. (6.13)

Г1 ' Г1 '

Доказательство ограниченности оператора Рз проводится аналогично. □

Из первого уравнения (6.8) следует интеграл Коши-Лагранжа д

^2 + Р2,1 + Ф = Р + С(*) (в П2 ), (6.14)

где С21р2 =: р-1 VФ и J =: P-1VР. Спроектируем это уравнение на Ь2,г.

(г =1, 3):

д

РггР2,1 = —Рг.дхф2 — Рг.Ф + Рг.Р (на Гг, г = 1, 3). (6.15)

Выразим Рг.(Ф2|г1), пользуясь представлением (6.9) и операторами Бг^ (см. (5.1)):

Рг1 (Ф2|г1) = Рг1 (Ф1|г1) + Рг1 (Фз|г1) = р2(0)(—Б11Ъщ — Б1,27з из), (6.16)

Ргз (Ф2|гз) = Ргз (Ф1|гз) + Ргз (Фз|гз) = р2 (Ъ)( —Б^Щ — Б2)27зйз). (6.17) Подставим выражения (6.15), (6.16) и (6.17) в уравнение (6.5):

д и1 1 1 д

— + ^ащ + р-1(0)дАр1С1(1 + С1Р1 — р-1(0)р2(0) — (—б^д 71 щ — б^^зиз) —

— р-1(0)б1Рг1 Ф + р-1(0)б1Рг1 Р = Ро,в1 / (в П ),

^из + ¡з Аз из — р-^^^дАрзбз^ + Сзрз — р-1(Ъ)р2(Ъ)д (—бзБ2д71 и — GзБ2)27зйз) —

— р-1(Ъ)бзРгзФ + р-1(Ъ)бзРгзР = РовзI (в Пз ).

Итогом данного пункта является следующая лемма.

Лемма 5. Классическое решение задачи (4.1) — (4.5) является решением следующей системы дифференциально-операторных уравнений:

+ р-1(0) (дАрб( — б1Рг1 Ф + бРг1 Р) = Ро,в11 ( в П1),

"77 (Ui + p- 1(0)p2(0)(GiSi ;i7iUi + G3S1 , 273U3)) + ßiAiUi + <Cipi+

d ~ _ dt (из + P-1(b)p2(b)(G3S2)i7iUi + G3S22Y3U3)) + ^3A3U3 + C3p3+

+ p-1(b) (-gAp3G3(2 - G3РгзФ + G3РгзF) = Ро^з f ( в П3 ), (6.18)

dC

— ^2 + <C2,0P2 = Ро/ ( в П2 ), dt

d

p-1(0)gAPidtzi- p-1(0)gAPiYiUi =0 (на ri)i

1d1

p-1(b)gAP3 jtz2 + p-1(b)gAP373U3 =0 (на гз),

- ~ - ~

~Н - С/ = 0 ( в П), -Ра - <^3*^3 = 0 ( в П ), аъ аъ

- С С

-ЪС - <2,1 + Д3М3) - <С2*0^2 = 0 ( в П2 ), (6.19)

щ(0,х) = Ро^Щ'(х) (г = 1, 3), ^2(0, х) = РоЦ°(х), О(0,х) = С°(X) (з = 1, 2), Сг(0,х)= р0(х) (г = 1, 3).

Для начальных данных, в силу разложения (6.9), должно выполняться следующее кинематическое условие:

ъРо&щ0(х) = -СгПр^Щ2(х) ( на Гг, г = 1, 3). (6.20)

В лемме через П обозначены проекторы на подпространства СДП2,р2) (г = 1, 3), а через С — операторы нормальных следов на границы Г (г = 1,3) для полей, заданных в области П2.

7. Приведение системы к дифференциально-операторному уравнению. Свойства операторных блоков

Систему (6.18) — (6.19) удобно записать в ортогональной сумме гильбертовых пространств

Н := /о,(П1,р1) 0 /о ,(П, р3) 0 Н1 0 Н3 0 Я(1)

в следующем виде:

( ßiAi 0 Pi l gApiGi 0 M5^ ( ил

0 PsAs 0 -P1 igApsGs M4 Us

-pi 1gApiYi 0 0 0 0 Zi +

0 P1 lgAps7s 0 0 0 Z2

V Ml M2 0 0 Ms у \vj

K2 0 0 0 У (щ\ (?Л

Ks K4 0 0 0 d dt Us f s

+ 0 0 P1 gAPi^rx 0 0 Zi 0

0 0 0 P1 lgAPsh3 0 Z2 0

0 0 0 0 Iv) \v) w

где Нг = ^(Г) © {1} (г = 1, 3), Н(1) = /о^^) 0 £2(^1) 0 £2(^2) 0 £2(^3),

v = (^2; Р1; Р2; Р3)4-

Опишем структуру операторов, входящих в (7.1).

К1 = 11 + РГ1(0)Р2(0)С1Я171, К = РГ1(0)Р2(0)С1Я273,

К3 = РГ1(&)Р2(&)С3^2,171, К4 = /3 + Р-1(Ь)Р2(Ь)С3Б2,2Ъ.

С учетом того, что С2;1р2 = р- 1УФ, введем оператор В следующим образом Вр2 := Ф, тогда

Mi = (0; -С**; -CiDiM, M4 = (0; 0; -p-^b^P^B; Сз),

/0 0 (\o 0\ 0

0 0

M

0 0 0 -C*o 0 0 \ 0 00

M2 = (0; 0; -CI1D3; -С*У, M5 = (0; Ci; -p-1(0)GlPгlB; 0),

Iv = diag(io; /^2(0,); ^£2(02); ^2(03))

(7.2)

1г, 1г. (г = 1,3), ) (у = 1,3) — единичные операторы в пространствах

/,е.(Пг,рг), Нг (г = 1, 3), £2(П^-) (у = 1, 3) соответственно. Правая часть в (7.1) имеет вид:

I := Ро,*/— р-1бгРг.Р (г = 1, 3), I := (Ро/; 0; 0; 0)г. Начальные условия (6.18) для уравнения (7.1) можно записать более кратко: по. но. /-о. /-о. „.о-*г =

° „ „ „ „ „ „ „ . 7.3)

К; и3; Co; & vo)

= (Po,s,Ui(x); Po,S3U3(x); Zo(X); $(®); PoU2(x),p?(x),C2(x),p3(x))i

Оператор K

ограничен, самосопряженный в J^s, (П 1 ,p 1) ф

Лемма 6. Операторные блоки в задаче (7.1) имеют следующие свойства

1

1. Оператор бг (г = 1, 3) изометрически действует из пространства Щ. в пространство (Пг,рг) (г = 1, 3).

2. Операторы и б1 взаимно сопряженные.

-» _1 1 -»

При этом 71 : ^ (Пьр1) —> Нг12, 61 : Н]21 —У бн>^ (Пьр1).

3. Операторы 7з и бз взаимно сопряженные.

-» _1 1 -»

При этом 7з : /о,53(Пз,рз) —» Нгз2, бз : —» ^(Пз,рз).

К К^

Кз К4/

'/о,яз (Пз, рз), положительно определенный.

5. Операторы Мг (г = 1,5), введенные в (7.2), являются ограниченными в соответствующих пространствах, при этом —М£ = М1, — М4* = М2.

Доказательство леммы аналогично доказательству соответствующих операторных блоков из работы [3].

Введем следующие обозначения: у := ( щ; из; (1; С2; I := (Л; Уз; 0; 0; У)г,

П :=

Ki K2 0 0 0 0 0 0 0 0

K3 K4 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 p-^piM 0 0 0 0 /г, 0 0

0 0 0 p-^^3^3 0 0 0 0 1г3 0

0 0 0 0 Iv 0 0 0 0 Iv

A

о •-

/ ßiAi 0 p-1gApiGi 0 мл

0 Р3А3 0 -Р-1дАРз G3 M4

-p-1gApi7i 0 0 0 0

0 Р-19АРз!з 0 0 0

V M1 M2 0 0 Мз)

где

D(Ao) = D(Ai) ф D(A3) 0 D(Gi) 0 V(G3) 0 H(1). Тогда задача Коши (7.1), (7.3) запишется в виде

R dyy + ЛоУ = f>

y(0) = У0

(7.4)

(7.5)

Определение 1. Назовем сильным решением исходной начально-краевой задачи (1.2) - (1.5) такие функции ггг, рг, рг (г = 1, 3) и (j (у = 1, 2) для которых вектор у(Ь) = (и1(Ь); и3(¿); ^(¿); Сг(£); является сильным решением задачи

Коши (7.5) и выполнены тривиальные соотношения (3.2), (3.9), (3.10) в смысле теории обобщенных функций (теории распределений) (см., например, [2]). В свою очередь сильным решением задачи Коши (7.5) назовем функцию у^) такую, что у(^) € Р(Ло) для любого Ь из промежутка [0,Т], А0у(Ь) € С([0,Т]; Н), у(^) € Сх([0,Т]; Н) и для любого Ь из промежутка [0,Т] выполнено уравнение и начальное условие из (7.5).

Для доказательства теоремы существования сильного решения задачи Коши (7.5) осуществим следующие преобразования.

Произведем в уравнении (7.5) замену у^) = в1:у1^). В результате получим уравнение относительно ух:

R^ + (Ло + eVУ + (R - eVУ = e-tf, dt

(7.6)

где число е > 0 выбрано таким образом, что П — еР >> 0. Это возможно, так как П>>0 в Н.

Область определения Т>(А0 + еР) оператора Ао + еР совпадает с £>(Ао) из (7.4). На Т>(А0) оператор А0 + еР является равномерно аккретивным, то есть

Яе(Ао + еР) >> 0 на V(Aо).

Кроме того, оператор (А0 + еР)+ := (А0 + еР)*|р(д0), как нетрудно проверить, также является равномерно аккретивным на Т>(Ао). Однако он не является замкнутым из-за того, что оператор тг (г =1, 3) неограничен в (^г, Рг) (г = 1, 3) и 3 ^(Лг) (г = 1, 3). Таким образом, оператор А0 + еР не является макси-

мальным аккретивным.

_ 1 _ 1 Обозначим др~1Арг^гЛг 2 =: Qг, др~1АргЛг 2 Сг =: Q+ (г = 1, 3). Имеет место Q+ С Q*, Q+ = Q* 1ъ(Сг), 0+ = Q* (г = 1, 3).

Оператор Ао + еТ допускает замыкание (см. [5, с.109]) А случае имеет место соотношение

А + (П — еТ)

(Л + eP). В этом

(Ао + еТ) + (П — еТ) = (Ао + еТ) + (П — еТ),

так как оператор ^ — еТ ограничен и задан на всем пространстве. Учитывая это обстоятельство, мы будем замыкать только оператор Ао + еТ.

Лемма 7. Замыкание А := Ао + еТ оператора Ао + еТ есть максимальный ак-кретивный оператор. При этом

V(A) = { ( ui; из; Zi; С2; v) | ßU + Ai2 QiZi E D(Ai), 113U3 - A3-2Q3Z2 G D(A3) },

Л = Ta QaTa

где

Та

A

(A 2 0 0 0 0

0 A3 0 0 0

0 0 /Г, 0 0

0 0 0 1г3 0

0 0 0 0 IvJ

Qa

( ß 1I1 0 Q 0 F

0 P3I3 0 -Q3 F2

-Q 0 eh, 0 0

0 Q2 0 eIГз 0

-F - F2 0 0 eIv + M3)

F1 := M*A-2,

F3 := M*A- 2.

Та

а

(a ! 0 0 0

0 A3 0 0

0 0 I^ 0

0 0 0 Iгз

0 0 0 0

Q+ :

а

/ ß iIi 0 Q+ 0 F

0 P3I3 0 -Q+ F2

-Q 1 0 eh, 0 0

0 Q2 0 eIГз 0

-F - F2 0 0 eIv + M3J

Доказательство. Нетрудно проверить, что оператор Ао + еТ представим в виде: Ао + еТ = ТаО+Га,

0 \

0 0 0

V

Замыкание А оператора Ао + еТ состоит в замене в среднем блоке оператора Q+ на Q* (г =1, 3). Действительно, после такого замыкания оператор А представлен в виде произведения А = Т1Т2Т1 замкнутых операторов. При этом Т-1 Е С(Н),

так как оператор Аг 2 ограничен в (Пг,рг) (г = 1, 3). Далее непосредственно проверяется, что все элементы обратной матрицы Т2-1 являются ограниченными операторами, а значит Т2-1 Е С(Н) и оператор А замкнут.

Найдем область определения ^(А) оператора А. Прежде всего, из представле-

1

ния для оператора А следует, что щ Е ^(А2) (г = 1, 3). Далее

(

(A f 0 0 0 0

0 A3t 0 0 0

0 0 IГl 0 0

0 0 0 Iгз 0

0 0 0 0 Iv

ßiAl Ui + QiZi + F* v ß3A32U3 -,Q3Z2 + F*v -Q1A 2 и + eZi Q3A32ui + £(2 \-FiA2Ui - F2AfU3 + (elv + M'3)vJ

то есть nAl и1 + QKi + F*v е V(A¡), n3A¡ и3 - Q*3(2 + F*v е V(A%) или

щи + A!2Qi(i + A-1M5v е D(Ai), щзи - A3 2Q3(2 + A-iMáv е V(A3). Таким образом заключаем, что

D(A) = { (Ui; из; (i; С2; v) | щи + A-2Q^i е D(Ai), щи - A-1Q3(2 е DA) }.

1 _ 1

Заметим, что условие ui е D(A2) следует из условия fiiui + Ai 2 QZ е D(Ai).

1 _1 1

Действительно, так как D(Ai) С D(A\) и Ai 2 е D(A\) для любого (i е H i,

1

то Ui также принадлежит D(Ai). Лемма доказана. □

Рассмотрим теперь уравнение с замкнутым оператором

Я^ + Луг + (Я- еТ)уг = в-*/. (7.7)

Здесь оператор Л + Я- еТ уже максимальный аккретивный. Оператор Я самосопряженный, положительно определенный и ограниченный в Н, значит, для него существует оператор Я-г, обладающий теми же свойствами. Преобразуем (7.7) к виду

= -Я- 1 (Л + Я- еТ )у г + Я- 1 в-*/, у г (0) = у0. (7.8)

Введем в Н эквивалентную норму по формуле

(уг,уг) := (Яу1,уг)йм = (Я2уьЯ2уг)нт■

Эквивалентность этой нормы старой норме следует из свойств оператора Я.

Легко проверить, что оператор -Я-г (Л + Я- еТ) будет максимальным дис-сипативным в новом скалярном произведении и, значит, задача Коши (7.8) будет равномерно корректной (см. [5, с.166]), а оператор -Я-г(Л + Я — еТ) порождает сжимающую в новом скалярном произведении полугруппу операторов и(Ь) := ехр (—ЬЯ-1 (Л + Я — еТ)) и справедлива следующая

Теорема 1. Задача Коши (7.8) имеет единственное сильное решение на промежутке [0,Т], выражаемое формулой

*

уг(Ь) = и (Ь)у0 + У и (Ь - т )Я-гв-т / (т) йт, 0

если выполнены следующие условия: у0 е 'Е(Л), /(Ь) е Сг ([0,Т]; Н) ■

Таким образом, мы получили, что задача Коши

Rdt- + луг + (R- eV)yx = e-tf, уг(0) = y°

имеет единственное сильное решение, если у0 Е D(A), f (t) Е C1 ([0, T]; H), в частности, если у0 Е D(A0). Если обозначить уг =: (йг1; и3-1; (л; C21; v1 )t, то уравнение (7.7) можно записать в виде системы:

K- + K ^ + Ai(ßiün + A-2 QK11) + Mv dt dt

+K1Ü11 + K2Ü31 = e f

Кз^ + K4^ + As(ß3Ü31 - A-2Q3C21) + M4V1 dt dt

d(

+K3Ü11 + K4Ü31 = e j2

9Pi1 (0)AP1^d1 - QAÜ11 + e(11 + (gp11 (0)Ap1 - e)(11 = 0,

dGn „ 12

gp-1 (b)Ap3^ + Q3A3Ü31 + e(21 + (gp-\b)Ap3 - e)C21 = 0, + M1Ü11 + M2Ü31 + (eIv + M3)V1 + (1 - e)v1 = e-t%,

dt

(7.9)

(ип; изг; Си; С2; ^г)*(0) = (иц; изг; Си; С2; иг)0*. (7.10)

Заметим, что скобки в первых двух уравнениях раскрыть пока нельзя, так как

1

каждое слагаемое в скобках может принадлежать А2) и только сумма попадает в V(Aг) (г = 1, 3).

Для обратного перехода от задачи (7.8) к задаче (7.6) умножим третье уравнение системы на в*, тогда

d

gp-1 (0)Ap1 - (etC11) = ¿QA йп.

Отсюда получим, что Cn(t) выражается по формуле

(n(t)

1

gpi(0)Ap1

e-(t-s)Q1A1 йц(в) ds + e-tC0

(7.11)

Подставляя функцию (7.11) в первое уравнение системы (7.9), получим

K1 d~Ür + K2 ^ + Л ( № + e-tA-1Q1C0+

+

1

gpi(0)Ap!

A- 2 Qlj e-(t-s)Q1Ä2 Ü11 (s) ds^J + K1Ü11 + K2Ü31 = e-f

(7.12)

t

t

Из теоремы 1 следует, что функция

¡цПЦ + в^А- 2Q1(0 + .^д А- 2Qí / e-(t-s)QlА2ип(в) ¿в =: У\Ь) (7.13)

др1 (0)Ар1 J

о

принадлежит для любого Ь Е [0,Т] и у1(Ь) Е С([0,Т];'РА)). Если Е

Р(б1), тогда

Q Ко = Q+Cl = др-1(0)Ар1 А-1

и поэтому

a-2Q1(o = gp-^pia-gizo e D(Ai).

, , ,

Рассмотрим оператор К := А1 2 Q 1Q1A12 = др- 1(0)Ар1А1 2 Q^ь Введем Р(А1) как гильбертово пространство с нормой графика

|НЫ(А1) := ||А1 У\\. (7.14)

Тогда сужение К1 := К\т>(А{) есть линейный ограниченный оператор, действующий

1

в Р(А1). Действительно, если и11 Е Р(А1) С Р(А1) = /о1^1 (П1 ,р1), тогда 71и11 Е

Н1 = V б), «и = др-1(0)Ар1А-1 QÍ7lйll = др-1(0)Ар1А-1 Q+7lйll = = (др-1(0)Ар1)2А-1 б171и11 Е Р(А1). Так как оператор ограниченно дей-

-> I ->

ствует из /о15.1 (П1,р1) = Р(А1) в (^1,р1), то К1 : Р(А1) ^ Р(А1) есть ограниченный оператор. Доказанный факт позволяет рассмотреть соотношение (7.13) как интегральное уравнение Вольтера второго рода в пространстве Р(А1) (с нормой графика (7.14)). Здесь функция у1(Ь) — е-гА-2Q1C? Е С([0,Т];Р(АХ)) и ядро К1е-(г-5) интегрального оператора непрерывно по Ь, в на Р(А1). Поэтому задача (7.13) имеет единственное решение иц Е С([0,Т]; Р(А1)) и каждое слагаемое в (7.13) есть элемент из С([0,Т];Р(А1)). Таким образом, в уравнении (7.12) и в первом уравнении (7.9) можем раскрыть скобки. Аналогичные рассуждения позволяют раскрыть скобки и во втором уравнении (7.9). Тем самым получим, что (7.6) выполнено для функции у1(Ь) = ( и11; из1; (11; (2; у1)г. Осуществляя в уравнении (7.6) обратную замену у1(Ь) = е-гу(Ь), получим, что для задачи Коши

П ¿У + Аоу = I, у(0) = уо (7.15)

имеет место следующая

Теорема 2. Задача Коши (7.15) имеет единственное сильное решение на промежутке [0,Т], если выполнены следующие условия

y° ED(Ao), f (t) E С1 ([0,T]; H) .

t

В теореме 2 содержится результат о существовании и единственности сильного решения задачи Коши (7.15). Переформулируем результат для задачи (1.2) — (1.5).

Теорема 3. Начально-краевая задача (1.2) — (1.5) имеет единственное сильное решение на промежутке [0,Т], если выполнены условия:

1и uj GD(Ai), eV(A3), P0uj G Jo(n2,p2),

Zj G j = 1, 2), PO G £2^) (г =T73), причем YiPoSsiuj(x) = -т^Р^Ц^х) ( на Г^ г = 1, 3). 20 f(t) G C1 ( [0, T ]; b2(Ü,p)) = U

8. Заключение

Изучена задача о малых движениях системы, состоящей из трех тяжелых несмешивающихся стратифицированных жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд. При этом нижняя и верхняя жидкости по отношению к действию силы тяжести считаются вязкими, а средняя - идеальной. Получены условия, при которых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию данной гидросистемы. Дальнейшее исследование представляет собой изучение соответствующей спектральной задачи: получения утверждения о локализации спектра, асимптотическом поведении ветвей собственных значений, утверждения о наличии существенного спектра задачи.

Список цитируемых источников

1. Габов, С. А., Свешников, А. Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. — M.: Наука, 1986. — 288 с.

Gabov, S.A., Sveshnikov, A. G. (1986). Problems of dynamics of stratified fluids (in Russian). Moscow: Nauka.

2. Копачевский, Н.Д., Крейн, С. Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. — M.: Наука, 1989. — 416 с.

Kopachevsky, N.D., Krein, S.G., Ngo Zuy Can. (1989). Operator methods are in linear hydrodynamics: evolution and spectral problems (in Russian). Moscow: Nauka.

3. Копачевский, Н.Д., Цветков, Д. О. Колебания стратифицированных жидкостей // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — Т. 29. — С. 103— 130.

Kopachevsky, N.D., Tsvetkov, D.O. (2010). Oscillations of stratificated fluids. Journal of Math Sciences 4, 574-602.

4. Краусс, В. К. Внутренние волны. — Л.: Гидрометеоиздат, 1968. — 272 с.

Krauss, V. K. (1968). Internal waves (in Russian). Leningrad: Gidrometeoizdat.

5. Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. — M.: Наука, 1967. — 464 c.

KREIN, S.G. (1967) Linear differential equations are in Banach spaces (in Russian). Moscow: Nauka.

6. Миропольский, Ю. З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. — Л.: Гидрометеоиздат, 1981. — 302 с.

Mitropol'sky, Yu. Z. (1981). Dynamics of internal gravitational waves in the ocean (in Russian). Leningrad: Gidrometeoizdat.

Получена 01.06.2016