CC BY
46
Научные сообщения
М.Ю. Глазкова, С.А. Телкова
О ЗАМКНУТОСТИ ОПЕРАТОРНЫХ МАТРИЦ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ABOUT INSULARITY OF OPERATOR’S MATRIX,
WHICH APPEARS IN RESEARCH OF HYDRODYNAMIC MODEL
Сформулированы и доказаны условия замкнутости операторных матриц, возникающих при исследовании гидродинамических моделей, в гильбертовом пространстве.
Conditions of insularity of operator's matrix, which appears in hydrodinamic model research, in Hylbert space, were formulated and proved.
Введение
Рассматриваемые в гидродинамике математические модели движения жидкости в различных условиях представляют собой системы дифференциальных уравнений. Из-за их сложности анализ уравнений гидродинамики осуществляется на основе упрощений — невязкости, несжимаемости и др. Например, в отличие от сжимаемых жидкостей несжимаемые вязкие жидкости не возвращаются после снятия нагрузки в исходное состояние; напряжения в вязкой жидкости зависят от скоростей деформации.
В научной литературе много внимания уделено моделям вязкоупругой баро-тропной жидкости, в частности моделям вращающихся вязкоупругих баротропных жидкостей Максвелла и Кельвина — Фойгта. На основе моделей Максвелла, Кельвина — Фойгта и Олдройта была построена феноменологическая теория линейных вязкоупругих жидкостей с конечным числом дискретно распределённых времен релаксации и времен запаздывания.
При исследовании моделей малых движений вязкоупругой жидкости в полностью заполненном контейнере возникает класс интегро-дифференциальных операторных уравнений в гильбертовом пространстве, порожденных начально-краевой и спектральной задачами. И здесь впервые ставится вопрос замкнутости операторов, оператор-функций.
Одной из моделей таких жидкостей является модель Олдройта, которая при m = 1 исследовалась в работах А.И.Милославского [1—3]:
— + Ли + f e~M(t-s)Bu(s)ds - f (t), u(0) = u0, dt о
где Н — гильбертово пространство, и : [0; да) ^ H, f: [0; да) ^ H, р — положительное число, и0 е H, А и В — самосопряженные равномерно положительные операторы на Н с одинаковыми областями определения.
271
Вестник Воронежского института МВД России №1 / 2015
Постановка задачи
Пусть Н — гильбертово пространство. Рассмотрим задачу Коши для функции и : [0; го) ^ H :
du t
— + Au + f е -u(t-s)Bu(s)ds - f (t), u(0) dt 0
и
0 ’
где f : [0; го) ^ H, ^ — положительное число, щ e H, А и В — самосопряженные равномерно положительные операторы на Н с одинаковыми областями определения. Эта задача описывает модель Олдройта в гидродинамике.
Задачу можно привести к стандартному виду линейной дифференциальной задачи в пространстве H2 = H © H . Положим
v(t) = f е-Kt-s) BV2u(s)ds - f (t).
Тогда получаем
d_
du
Оператор
f u Л + " A - BV2 B1/2" f u Л f f (t) ] f u (0)Л f u0 ^
VvV u _ v vj l 0 J V v(0) J l 0 J
A :=
A B1/2
B12 jul
0
является равномерно аккретивным.
Если оператор A — максимальный равномерно аккретивный, то задача имеет единственное сильное решение, которое обеспечивает единственное сильное решение исходной задачи. В действительности, максимальным равномерно аккретивным оператором является его замыкание, но сам A — незамкнутый оператор.
Теорема о замкнутости операторной матрицы в исследуемой задаче
Теорема. Пусть
1. H = Hl © H2 — ортогональное разложение гильбертова пространства Н.
2. A : Hl ^ Hl — неограниченный самосопряженный равномерно положитель-
ный оператор.
3. B: H2 ^ Hj — допускающий замыкание плотно заданный оператор такой, что domB* ^ domA12.
4. C: H2 ^ H2 — ограниченный равномерно положительный оператор.
Тогда операторная матрица
A =
A B - B * C
: H ^ H
— незамкнутая максимальная в существенном равномерно аккретивная.
272
Научные сообщения
Доказательство.
Заметим, что A — плотно определенный оператор и dom A = domA © domB. Для x = x + x2, x e Hx и x2 e H2 имеем:
Re(Ax,x) = (Axx,x)+(Cx2,x2)>min|A1 \ C_1|| *j(x,x),
т. е. A — равномерно аккретивный оператор.
Покажем, что он максимальный в существенном.
Предположим, что это не так. Тогда найдется вектор u = ux + u2, u. e H.,
i = 1,2, ортогональный подпространству ranA . В частности, ортогонален вектору Ax , x e domA, т.е.
(ui , Axi )= (u2 , Bxi )= (u2 > (B A_1 )Axi ) .
Отсюда
ux = (b*A”1) u2.
С другой стороны, вектор u ортогонален вектору Ax, x2 e domB.
Получаем
((B A~1 У u2 , Bx2 )= -(u2 , Cx2 ) = -(Cu2 , x2 ),
и
поэтому
Так как
(b* A-1) u2 e domB *, B* (b* A~l) u2 = -Cu2, (b-(b* a-1 ) u„ u2 )=-(Cu 2, u2).
и
B* (b*A-1 )* ^ B*A-1 B = (b*A~^ |a^B)
domB* ^ domA2, то b*(b* a-1 ) — ограниченный положительный оператор, определенный на всем пространстве. Оператор C — равномерно положительный, поэтому получаем Cu2 = 0 . Отсюда u = 0 и u2 = 0 .
Таким образом, u = 0, то есть A — максимальный в существенном равномерно аккретивный оператор.
Проверим, что он незамкнут. Предположим противное. Оператор A — максимальный равномерно аккретивный, следовательно, 0 e р(л).
В частности, уравнение Ax = у2 имеет единственное решение x e H для любого у2 e H2. Это утверждение эквивалентно тому, что уравнение
(в- A-B + C К = у,
имеет решение x2 e H2 для любого у2 e H2. Но оператор B* A_1B + C — равномерно положительный, и, следовательно, инъективный. Если его область значений есть все
273
Вестник Воронежского института МВД России №1 / 2015
пространство Н2, то B* A B + C — ограниченно обратимый и поэтому замкнутый оператор. Так как он плотно определенный и ограниченный, его область определения есть все Н. Но это неверно, так как по предположению domB Ф Н2. Полученное противоречие доказывает теорему.
В работах [4], [5] доказывается, что ограниченность C существенна для незамкнутости операторных матриц.
Введем в гильбертовом пространстве Н = Н1 © Н2 индефинитную J-метрику.
Тогда справедливы следствия.
Следствие 1. Пусть
1. А : Н ^ Н1 — ограниченный снизу самосопряженный оператор,
2. B: Н2 ^ Н — плотно определенный, допускающий замыкание оператор, такой что domB ^ domA .
3. C : Н2 ^ Н2 — ограниченный самосопряженный оператор.
Тогда
А
A B
: Н ^ Н
-B с
— незамкнутый в существенном J-самосопряженный оператор в Н = Н1 © Н2. Доказательство.
По предположению А — J-симметрический оператор. Пусть
СА > max|c^ ,|Ci|Ц. Тогда оператор А = А + СА1 также J-симметрический и выполнены условия теоремы. Таким образом, он незамкнутый оператор, но его замыкание ограниченно обратимо на всем пространстве Н .
Следовательно, оператор А — J-самосопряженный в существенном.
Таким образом, А — незамкнутый и в существенном J-самосопряженный опе-
ратор.
Следствие 2. Пусть
1. А : Н1 ^ Нх — ограниченный снизу самосопряженный оператор,
2. B : Н2 ^ Н — плотно определенный, допускающий замыкание оператор, такой что domB* ^ dom|A|1/2,
3. C : Н2 ^ Н2 — ограниченный самосопряженный оператор.
Тогда
А
: Н ^ Н
А B B* с
— незамкнутый в существенном самосопряженный оператор в Н = Н © Н .
274
Научные сообщения
Доказательство.
Л2 = JAX, где A из следствия 1 с заменой C на (-Q).
Заключение
Таким образом, сформулированы условия, при которых является замкнутой опе-
раторная матрица вида Л
Л в *
в
C
: H ^ H, что имеет существенное значение для
исследования вопроса о замкнутости многопараметрических операторных пучков.
ЛИТЕРАТУРА
1. Милославский А.И. Спектр малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом сосуде // Успехи матем. наук. — 1989. — Т. 44. — №4.
2. Милославский А.И. Спектр малых колебаний вязкоупругой наследственной среды // ДАН СССР. — 1989. — Т. 309. — №3.— С. 532 — 536.
3. Милославский А.И. Спектр одной оператор-функции, возникающей в гидродинамике // Тезисы докладов XIV школы по теории операторов в функциональных пространствах. — Новгород, 1989.
4. Глазкова М.Ю. Критерий замкнутости многопараметрического пучка // Сб. трудов математического факультета ВГУ. — Воронеж, 2001. — С. 26 — 30.
5. On the closedness of operator pencils / T.Ya. Azizov, A. Dijksma, K.-H. Forster, M.Yu. Glazkova. — Indiana University Mathematics Journal. — 2000. — V. 49. — №1. —
S. 3 — 59.
REFERENCES
1. Miloslavskiy A.I. Spektr malyih kolebaniy vyazkouprugoy zhidkosti v otkryitom sosude // Uspehi matem. nauk. — 1989. — T. 44. — #4.
2. Miloslavskiy A.I. Spektr malyih kolebaniy vyazkouprugoy nasledstvennoy sredyi // DAN SSSR. — 1989. — T. 309. — #3.— S. 532 — 536.
3. Miloslavskiy A.I. Spektr odnoy operator-funktsii, voznikayuschey v gidrodinamike // Tezisyi dokladov XIV shkolyi po teorii operatorov v funktsionalnyih prostranstvah. — Novgorod, 1989.
4. Glazkova M.Yu. Kriteriy zamknutosti mnogoparametricheskogo puchka // Sb. trudov matematicheskogo fakulteta VGU. — Voronezh, 2001. — S. 26 — 30.
5. On the closedness of operator pencils / T.Ya. Azizov, A. Dijksma, K.-H. Forster, M.Yu. Glazkova. — Indiana University Mathematics Journal. — 2000. — V. 49. — #1. — S. 3 — 59.
275
Вестник Воронежского института МВД России №1 / 2015
ВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Глазкова Мария Юрьевна. Доцент кафедры высшей математики. Кандидат физикоматематических наук.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет.
E-mail: glazkovam@yandex.ru
Россия, 394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84. Тел. (473) 271-53-62.
Телкова Светлана Анатольевна. Доцент кафедры высшей математики. Кандидат педагогических наук, доцент.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: tsa76@inbox.ru
Россия, 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-15.
Glazkova Maria Yuryevna. Assistant professor of the chair of higher mathematics. Candidate of physical and mathematical sciences.
Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering.
E-mail: glazkovam@yandex.ru
Work address: Russia, 394006, Voronezh, 20 let Octyabrya Str., 84. Tel. (473) 271-53-62.
Telkova Svetlana Anatolyevna. Assistant professor of the chair of higher mathematics. Candidate of sciences (pedagogics), assistant professor.
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
E-mail: tsa76@inbox.ru
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-15.
Ключевые слова: гидродинамические модели; гильбертово пространство; замкнутость операторов. Key words: hydrodynamic model; Hylbert space; insularity of operator's matrix.
УДК 517.9
ИЗДАНИЯ ВОРОНЕЖСКОГО ИНСТИТУТА МВД РОССИИ
Сердюк А.С.
Технические средства контроля, управления и оповещения: учебное пособие / А.С. Сердюк. — Воронеж: Воронежский институт МВД России, 2014. - 56 с.
В пособии представлен обзор объектовых технических средств охранной сигнализации, входящих в состав современных систем передачи извещений. Материал включает в себя назначение, основные технические характеристики, принцип действия, особенности применения технических средств контроля, управления и оповещения охранной сигнализации.
Учебное пособие предназначено для курсантов и слушателей радиотехнического факультета, факультета заочного обучения, факультета дополнительного профессионального образования, факультета профессионального обучения Воронежского института МВД России, занимающихся изучением и эксплуатацией технических средств охранной сигнализации.
276
