CC BY
29
УДК 517.958
БОЇ: 10.14529/ттр140307
О СИЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОЙ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ ТИПА ОЛДРОЙДА
В.П. Орлов, М.И. Паршин
Для начально-граничной задачи динамики термовязкоупругой среды типа Ол-дройда в плоском случае установлена локальная теорема существования сильного решения. Изучаемая сплошная среда является ограниченной областью на плоскости с достаточно гладкой границей. Рассматриваемая система уравнений является обобщением системы Навье-Стокса-Фурье и получается из нее путем добавления в тензор напряжений интегрального слагаемого, отвечающего за память среды. Вначале рассматривается начально-граничная задача для системы вязкоупругости типа Олдрой-да с переменной вязкостью. Затем рассматривается начально-граничная задача для уравнения сохранения энергии с переменным коэффициентом теплопроводности и интегральной частью. Разрешимость этих задач устанавливается путем сведения к операторным уравнениям, для разрешимости которых применяется принцип сжимающих отображений. Для разрешимости исходной системы термовязкоупругости устраивается итерационный процесс, заключающийся в последовательном решении вспомогательных задач. Подходящие априорные оценки дают сходимость последовательных приближений на достаточно малом временном промежутке. Докозательство существенным образом опирается на результаты Ь. Сош1§Иеп о разрешимости соответствующей системы Навье - Стокса - Фурье.
Ключевые слова: уравнение Навье - Стокса - Фурье; модель Олдройда; термо-вязкупругость; сильное решение; неподвижная точка.
Введение
В ограниченной области О С В2 с достаточно гладкой границей дО Є О2 рассматривается начально-граничная задача
ду/ді+уіду/дхі—^іу[^(в)£ (у)]+Ур =
= / + /л0Шу ]\£(у)(в,х)]д,8, ^у V = 0 на QT = [0,Т] х О; о
дв/дг + ілдв/дхі — Віу[к(в)'V в] = ц(6)\Е (V) |2+ ь
+ц.о£(V) : ]\£(v)(s,x)]ds+^aQт;
о
(1)
(2)
у\г=о = у0 на О, у\дп = 0 на [0,Т]; (3)
в\г=0 = во на О; в\дп = 0 на [0,Т]. (4)
Здесь у = (у\, У2) и в скорость и температура среды соответственно, р - давление, ^ - вязкость, к - коэффициент теплопроводности, цо, ^ - коэффициенты, характеризующие вязко-
упругие свойства среды, / и д заданные силы и источники тепла соответственно. Далее, Е(у)
- матрица с коэффициентами Е^ = ^ (ду^/дх^ + ду^/дхг) - тензор скоростей деформаций, А : В = а^Ьу для матриц А и В, \А\2 = А : А.
При цо = 0 система (1) - (4) является системой Навье - Стокса - Фурье. В этом случае в [1] установлена нелокальная сильная разрешимость системы (1) — (4) при некоторых условиях малости на коэффициенты уравнений. В случае цо > 0 в [2] установлена нелокальная
(1) — (4)
Задача (1), (3) изучалась в [4, 5], где установлена нелокальная сильная и слабая разре-шимостъ ■
Наша цель состоит в доказательстве сильной разрешимости системы (1) - (4) при цо > 0 на промежутке [0,Т], зависящем от данных задачи.
1. Обозначения и определения
НормывЬ2(П), (П), Ь2(Ят), Wm’k(Ят) обозначаются как |-|0, |-|г, ||-||о, 1Н1т,к соот-
ветственно, ух = \dvildxj}^=1 ■ Нам будет удобно понимать Wm’k(Ят) гак W2(0, Т; ¿2(П))П
ыо,т; wmm.
О 1
Мы обозначаем через W2(П) замыкание гладких финитных в П функций в норме | ' 11,
О
W2)о(П) = W2 (П)П W^2 (П). Для функций со значенпямп в Я2 соответствующие пространства помечаются значком (2) сверху справа. Символы || - Цт,к и т.д. используются как в векторном, так и в скалярном случае. Для функций переменной Ь со значениями в каком-нибудь банаховом пространстве V означает йу/йЬ.
Ниже Н и V являются замыканиями множества гладких финитных соленоидальных в П функций по норме | - |о и | - |1 соответственно. Оператор ортогонального проектирования в Ь2(П) на Н обозначается через V.
2. Формулировка результата
Ниже предполагаются выполненными следующие условия:
1) ц,к € С (—то, то), причем
0 < № < ц(в) < Ц1, ^(в)| < Ц2,в € (—то, то); (5)
0 < к0 < к (в) < к1, ^ (в)| < к2,в € (—то, то); (6)
2) V0 € W220(П)(2) П V, в0 € W220(П),
Чу0 - п = 0, Чв° - п = 0 на Ят, (7)
где п - внешняя нормаль к дП.
Определение 1. Сильным решением задачи (1)-(4) называется пара (у, в), где
V € Wl = W21(0, Т; Н) П ¿2(0, Т; W22о(П)(2) П Н) (8)
в € W2 = W21(0, Т; ¿2(П)) П ¿2(0, Т; W22 о(П)) (9)
такая, что выполняются уравнения
ду/дЬ + V угду/дхг — V Б1у(^оЕ ) = , ,
V/ + №2РБ1у(/О Е(у)(в,х) йв
и (2) при п. в. Ь и условия (3), (4).
Функция р из уравнения (1) восстанавливается через V обычным образом с помощью теоремы де Рама (см. [3]).
Далее, говоря о решении задачи (1) — (4), будем иметь в виду сильное решение.
Теорема 1. Пусть функция / Є W21(0,T : Н), V0 Є ^2)0(^)(2) П Н, д Є ^2:(0,Т : ¿2(0)), в0 Є W|)0(0). Пусть ¡л2 и к2 из (5) и (6) достаточно малы. Тогда задача (1) — (4) имеет единственное решение при достаточно малом Т > 0.
Непосредственно доказательство теоремы производится в разделе 5. В следующем разделе даются вспомогательные результаты.
3. Вспомогательные результаты
Доказательство теоремы 1 проведем в ряд этапов.
Рассмотрим сначала задачу
Ь\^) := дv/дt + viдv/дxi — Біу [^(в) £(V)] + Чр = / — ^0Біу /" £^)(в,х)йв, (11)
0
^у V = 0 на Ят; (12)
VI*=0 = V0 на 0, v\дn = 0 (13)
в
Установим однозначную разрешимость этой задачи. Положим
ш = / — ^0Біу / £(и)(в,х)с1в (14)
0
и перепишем (11) в виде
Ь^) := ш, (15)
VI*=0 = V0 на 0, v|дп = 0. (16)
Рассмотрим сначала задачу (15) - (16) при произвольной ш.
Лемма 1. Пусть ш Є W21(0,T; Н). Тогда задача (15) - (16) однозначно разрешима, и справедлива оценка
ІМІ2,0 + йир К^х)|і < Мі(Уш^0 + к0|і). (17)
0<*<Т
ІКІ^Ят) < М2(ІІшІІ0 + |v0|1). (18)
|ІЬ4(Ят) < М3(ІИІ1,0 + |v0|2). (19)
Здесь Мі = Фі(||в||” 1,1 (Ят)), о, Фі (в) - некоторые монотонные функции от в.
”4
Доказательство. Доказательство леммы 1 см. [1].
Обозначим через Ь-1 (ш) оператор, ставящий в соответствие ш Є W^1(0,T : Н) := W решение V задачи (15) - (16).
Используя Ь-1, перепишем (14) в виде
ш = К (ш), (20)
К (ад) = / + ¡°Р Б1у / Е (Ь11^))(в,х)д,8 := / + К°^). (21)
■ 'о
Установим разрешимость уравнения (20). Зададим в эквивалентную норму
]м[= д\||о + \\w\lo, 0 <д< 1. (22)
Рассмотрим шар В(Я) = ^ :^[< Я}, Я > 0.
Лемма 2. Найдутся такие достаточно большое Я > 0 и достаточно малые Т > 0 и д > 0, что оператор К переводит в себя В (Я).
Доказательство. Нетрудно видеть, что в силу ограниченности оператора V и соотношения Б1у Е(у) = Д V (Д - оператор Лапласа)
]КИ[<]/[+]КоИ[< М\\/111,0 + д\\ДЬ-1(^\\о + N/0 Д£Г1М^11о-
Из (17) следует, что
ЦДЬ-1^)^ < Ml(NwNо + |уо| 1). (23)
С помощью неравенства Коши и (17) получаем
|| / ДL-"1(w)dsNо < Т2НД^М^Но < Т2Ml(NwNо + |уо|1). (24)
о
Из (17), (22) и (24) вытекает неравенство
]КМ[< М\\/||о,1 + ММоЫ + Т2) + Т2М1|уо|1. (25)
Из (25) следует, что при w € В (Я)
]К^)[< М\\/||од + М1Я(д + Т2) + Т2М1|у°|1.
Выбирая Я > 0 достаточно большим, а д и Т° достаточно малыми, получаем, что при 0 <Т < Т°
]К^)[< Я^ € В(Я). (26)
Таким образом, оператор К переводит М(Я) в себя.
Введем в шаре В (Я) метрику
р^^2) = |^ — w2||0 (27)
и рассмотрим его как метрическое пространство, обозначив М(Я).
Покажем, что М(Я) является полным метрическим пространством.
Действительно, пусть последовательность ^п € М (Я), п = 1,2,... и является фундаментальной по метрике (27). В силу полноты ¿2(0,Т; Н) существует w0 = Иш wn1
w0 € Ь2(0,Т; Н). Покажем, что w0 € М(Я).
Так как ^п € М(Я), то ||^шп/^||° равномерно ограничена, а поэтому последовательность й^п/йЬ слабо компактна в гильбертовом пространстве ¿2(0,Т; Н), и, следовательно,
•тп слабо сходит ся кг € ^(0, Т; Н).
Нетрудно видеть, что
/ (Ып/(Иф(И = — / wn(1ф/(И(И (28)
оо
при любой гладкой финитной на [0, Т] функцпи ф : [0, Т] ^ Н.
Переходя к пределу в (28), получаем, что
/°Т гф& = — /°Т w0dф/dt №.
Отсюда следует, что г = dw0/dt, и, следовательно, w0 € М(Я).
Полнота М(Я) установлена. □
Лемма 3. Пусть Я, Т° и д таковы, что справедливо (26). Тогда, найдется такое Т <Т0, что при всех w1,w2 € М(Я) имеет место неравенство
\\К^) — К^2)||° < д°|^ — w2\о
при некотором д0 € (0,1).
Доказательство. Достаточно показать, что
ЦКо^1) — Kо(w2)Но < до!^1 — w2Но,0 < д° < 1. (29)
Обозначим Vг = L-”1(wг), % = 1, 2.
Нетрудно видеть, что
||К0(ш1) — Ко(ш2)||о = || /о(АЬ- 1(ш1) — АЬ- 1(ш2)) ^в||о =
0
у А (V1 __ V2)
Обозначим ш = ш1 — ш2, V = V1 — V2, р = р1 — р2. Очевидно, что
= II £ △(V1 — V2) с!вІІ0 < Т2ЦА^1 — v2)||о.
Ь1(0) := дv/дt — Біу [^(в) £(V)] — Чр = ш — viдv1/дxi — ^)2д^)/дх,1
^у V = 0 на Ят;
(30)
(31)
v(0) = 0 на 0^|дп = 0 на [0,Т]. (32)
Оператор ¿1, порожденный задачей (31) - (32), про ще оператора Ь1, поскольку в ¿1 отсутствуют конвективные слагаемые. Поэтому определен оператор Ь- , обладающий всеми свойствами оператора Ь-1. В частности, для п(Ґ) = Ь-1(^) из (17) вытекает неравенство
||V12,0 + йир ^1 < М1І^І0. (33)
*
Отсюда следует, что для задачи (31) - (32) справедливо неравенство ІМІ2,0 + йир Ж|1 < М1 (||ш||о + IVдv1/дxi||о + ||v2дvi/дxi||о) = М1(||ш|І0 + І1 + І2). (34)
*
Используя стандартные рассуждения (см. напр. [3]), получаем
|viдv1/дxi|о < МІМІ^)!^1^!^) < М^Ц1хЦ^п), (35)
|v2дv/дxi|о < МІ^Ц^^І^^^^) <
М Hv2 1к (П) М1/2М1/2 < ФЬ + МвМ1|ИЦ4(п).
(36)
Здесь е > 0 - произвольное малое число.
Из оценок (35) - (36) вытекает, что
1\ + /| < е1М|2;о + МЕ ^ 1у(х^)12(НуХ^,х)Н14{п) + И^С^Ю^П)) м. (37)
[0, Т]
Очевидно, что они верны и на [0,з] С [0,Т]. Поэтому при малом е > 0 из (37) следует, что справедливо интегральное неравенство
|у(8) 11 < М121И12 + Ме.Ц (К (^х)1Ц4(п) + 1И^х)1Ц4(п))|у(х^)|2
Из этого интегрального неравенства в силу (18) вытекает
|у(«)|? < М^Цо, 0 < 8 < Т, (38)
где М4 = Ф4(||0||ж1,1(дт)).
Из оценок (34) - (36), (38) вытекает, что
11VН2,0 < М5 НwНо, (39)
где М5 = Ф5(Н^Н^1,1(дт))■ Здесь $4(3) и $5(3) монотонные непрерывные функции ОТ 8. Воспользовавшись (30) и (39), получаем
ЦКо^1) — Ко^2)||о < М5Т2 ЦД^1 — w2)Но.
Выбирая Т < Т° достаточно малым, получаем (29) с некоторым д° € (0,1).
Лемма 3 доказана.
Из лемм 2 и 3 в силу принципа сжимающих отображений вытекает однозначная разрешимость уравнения (20). □
Теорема 2. В условиях теоремы 1 задача (11) - (13) однозначно разрешима при доста-
точно малом Т, и для решения V справедливы оцемки (17) — (19).
Доказательство. Обозначим через w* решение уравнения (20). Нетрудно видеть, что V = Ь—1^*) является решением задачи (11) - (13), а из леммы 1 вытекает справедливость оценок (17) - (19).
Теорема 2 доказана. □
Рассмотрим задачу
сдв/сМ + Угдв/дхг — Б1у [к(9)4 9] = д + ц(£)Е(у) : Е(у)+
+^°Е(у) : Е(у)(8,х) d8,
9^=0 = 9° на П;9|^п = 0 на [0,Т]. (41)
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1. Пусть £ € W41’1(Qт), а V - решение
9
оценка
119Н2, 1 + Н9'\\ь4(Ят) + Н9\\ш^’1(Ят) < Мб, (42)
где М6 = фб(Н/||о,1, ||д\о,1,1 у° 12,19°12, ||£Н^41-1 ($т) ), а Фб(81, 82, 83, 84, 85) - монотонная непрерывная функция своих аргументов.
Доказательство. Доказательство теоремы 3 при ¡1° = 0 дано в [1 ]. При ¡х° > 0 правая часть уравнения (2) содержит дополнительное слагаемое ц°Е(у) : /0Е(v)(8,x)d8, которое лучше слагаемого ¡(£)Е(у) : Е(у) и также те зависит от 9.
Поэтому доказательство теоремы 3 для случая ¡о = 0 проходит и для случая ¡о > 0 с несущественными дополнениями. □
4. Доказательство теоремы 3
Пусть K = {С : С € W¡’\Qt), VC|t=o = Veo, ||СЦм(дт) < R>}-Построим оператор С : K ^ W41,1(Qt).
Поставим в соответствие С € K решение задачи (11) - (13) при в = С- Затем поставим в соответствие v^ решение в задачи (40) при v = v^, так что v = СС-
Очевидно, что для разрешимости задачи (1) - (4) достаточно найти неподвижную точку оператора С.
При ßo = 0 в [1] показано, что оператор С удовлетворяет условиям принципа Шаудера о неподвижной точке. При этом доказательство опирается на теоремы 2 и 3 о разрешимости соответствующих задач при ßo = 0.
Там же установлено, что решение единственно. Отметим, что в случае ßo = 0 утверждение теоремы 2 справедливо при любом T > 0.
При ßo > 0 ситуация отличается от случая ßo = 0 лишь ограничением на малость T.
С
ßo = 0
Теорема 1 доказана.
Отметим, что продолжению решения задачи (11) - (13) на больший промежуток препятствует отсутствие оценки на lv(T, x)12 (аналогично условию vo € W^o(^)2 П И) и «рост» по t интегрального слагаемого.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №13-01-0041-Литература
1. Consiglieri, L. Weak Solution for a Class of Non-Newtonian Fluids with Energy Transfer / L. Consiglieri // J. Math. Fluid, Mech. - 2000. - V. 2. - P. 267-293.
2. Орлов, В.П. Об одной задаче динамики термовязкоупругости среды типа олдройта /
B.П. Орлов, М.И. Паршин // Известия ВУЗов. Математика. - 2014. - № 5. -С. 68-74.
3. Темам, Р. Уравнение Навье - Стокса / Р. Темам. - М.: Мир, 1981. - 408 с.
4. Агранович, Ю.Я. Исследование математических моделей вязкоупругих жидкостей / Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // Доклады АН УССР. Серия А. - 1989. - № 10. -
C. 71-74.
5. Агранович, Ю.Я. Исследование слабых решений модели Олдройда вязкоупругой жидкости / Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // Качественные методы исследования операторных уравнений. - Ярославль, 1991. - С. 39-43.
Владимир Петрович Орлов, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Математическое моделирование:», Воронежский государственный университет (г. Воронеж, Российская Федерация), orlov_vp@mail.ru.
Максим Игоревич Паршин, аспирант, кафедра «Математическое моделирова-
»
parshin_maksim@mail.ru.
Поступила в редакцию 3 января 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software",
2014, vol. 7, no. 3, pp. 69-76.
MSC 90C30 DOI: 10.14529/mmpl40307
On the Strong Solutions in an Oldroyd-Type Model of Thermoviscoelasticity
V.P. Orlov, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, orlov_vp@mail.ru, M.I. Parshin, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, parshin_maksim@mail.ru
For the initial-boundary value problem in a dynamic Oldroyd-type model of thermoviscoelasticity, we establish the local existence theorem for strong solutions in the planar case. The continuum under consideration is a plane bounded domain with sufficiently smooth boundary. The corresponding system of equations generalizes the Navier-Stokes-Fourier system by having an additional integral term in the stress tensor responsible for the memory of the continuum. In our proof, we study firstly the initial-boundary value problem for an Oldroyd-type viscoelasticity system with variable viscosity. Then we consider the initial-boundary value problem for the equation of energy conservation with a variable heat conductivity coefficient and an integral term. We establish the solvability of these problems by reducing them to operator equations and applying the fixed-point theorem. For the original thermoviscoelasticity system, we construct an iterative process consisting in a consecutive solution of auxiliary problems. Suitable a priori estimates ensure that the iterative process converges on a sufficiently small interval of time. The proof relies substantially on Consiglieri’s results on the solvability of the corresponding Navier - Stokes
- Fourier system.
Keywords: Navier - Stokes equation; Oldroyd-type model; thermoviscoelastic; strong solutions; fixed point.
References
1. Consiglieri L. Weak Solution for a Class of Non-Newtonian Fluids with Energy Transfer. J. Math. Fluid, Mech., 2000, vol. 2, pp. 267-293. DOI: 10.1007/PL00000952
2. Orlov V.P., Parshin M.I. On One Problem of Dynamics of Thermoviscoelastic Medium of Oldroyd Type. Russian Mathematics, 2014, vol. 58, no. 5, pp. 57-62. DOI: 10.3103/S1066369X14050089
3. Temam R. Navier - Stokes Equations. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, Oxford, 1977.
4. Agranovich Yu.Ya., Sobolevskii P.E. [Research of Mathematical Models of Viscoelastic Liquids]. Dokl. Akad. Nauk UkrSSR. Series A, 1989, no. 10, pp. 71-74.
5. Agranovich Yu.Ya., Sobolevskii P.E. [Research of Weak Solutions of Model of Oldroyd of Viscoelastic Liquid]. Kachestvennye metody issledovaniya operatornykh uravneniy [Qualitative Methods of Research of the Operator Equations], Yaroslavl, 1991, pp. 39-43. (in Russian)
Received January 3, 2014
