Модели обобщенных сжимаемых вязкоупругих жидкостей. Малые движения баротропной жидкости Олдройта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, том 2(30), №1-2(2012), 57-68 УДК 517.9:532

Модели обобщенных сжимаемых вязкоупругих жидкостей. Малые движения баротропной жидкости Олдройта

Д. А.Закора

Таврический национальный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: dmitry- @crimea.edu

Аннотация. В работе выводятся математические модели сжимаемых вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройта и Кельвина-Фойгта. Изучается модель вращающейся вязкоупругой баротропной жидкости Олдройта. Начально-краевая задача, описывающая модель, сводится к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве. На основе этой задачи Коши доказывается теорема об однозначной сильной разрешимости исходной начально-краевой задачи. Выводится спектральная задача, ассоциированная с нормальными колебаниями изучаемой системы.

Ключевые слова: модель Олдройта, вязкоупругая жидкость, задача Коши, существование, единственность.

Введение

В работе изучается модель вязкоупругой баротропной жидкости, которая является развитием модели Олдройта для несжимаемой жидкости. Первые модели несжимаемых жидкостей, учитывающие предысторию течения и названные впоследствии линейными вязкоупругими жидкостями, были предложены в XIX в. Дж. Максвеллом [13], [14], В.Кельвином [12] и В. Фойгтом [17], [18]. Эти модели были развиты в середине XX в. в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта [15], [16]. Впоследствии эти и более общие модели изучались многими авторами. Отметим работы [9], [4] (см. также указанную там литературу), посвященные исследованию начально-краевых задач для уравнений движений жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта.

Спектральному анализу модели Олдройта вязкоупругой несжимаемой жидкости посвящены работы [7], [8], [1] (см. также указанную там литературу). В настоящей работе выводится корректная спектральная задача, ассоциированная с изучаемой системой, и хорошо приспособленная к дальнейшему спектральному анализу.

© Д. А. ЗАКОРА

1. Постановка задачи

1.1. Модели вязкоупругих сжимаемых жидкостей

Как известно, движение вязкой сжимаемой жидкости в ограниченной области П С К3 описывается следующей системой уравнений в форме Коши:

Р

\dv _

.ai + (v •V".

-VP + Diva + pF (в Q),

dp; + div(pv) = 0 (в Q), v = 0 (на дQ).

:í.2)

В данной системе v = v(t,x) — поле скоростей жидкости, р = p(t,x) — плотность жидкости, P = P(t, x) — давление в жидкости, F = F(t, x) — поле внешних сил. Через Diva обозначен вектор, координатами которого являются дивергенции строк матрицы а = {а^ }3j=1, где а — тензор вязких напряжений в жидкости. При этом определяющее соотношение для вязкой сжимаемой жидкости имеет вид:

a

г]

ß

д"г д". 2 r dvi

—- +-----5г —-

-дх. дхг 3 - дхl.

I X д"- (i) i (2)

+ дх- = : + Па\-'

(ij = 1, 2, 3). (1.3)

Будем считать далее, что жидкость удовлетворяет обобщенной математической модели, описываемой следующим определяющим соотношением:

д

Ч т> = i)*(i) + Ч ^

:1.4)

где Рт(Х), Яп(Х), Рп(Х) — многочлены степеней т и п соответственно. Если п = т — 1, то определяющее соотношение (1.4) будет соответствовать модели Максвелла, если п = т — модели Олдройта, если п = т +1 — модели Кельвина-Фойгта. Предположим, что корни полинома Рт(Х) вещественны, различны и отрицательны, обозначим их через —Ъг (I

имеют следующие разложения: Qn(X) _ Л , , m щ

Pm(X)

Yiß-iX + Y2ßo +

1, m), а дроби Qn(X)P-i(X), Rn(X)P-i(X) Rn(X)

i=i

bl + X' Pm (X)

YiV-iX + Y2 По +

m

n-

hb-+X'

1.5)

где ¡г, пг > 0, I = — 1, т, а 71, 72 принимают значения 0 или 1. При этом 71 = 72 = 0 для модели Максвелла, 71 = 0, 72 = 1 для модели Олдройта, 71 = 72 = 1 для модели Кельвина-Фойгта. Из определяющего соотношения (1.4) с помощью преобразования Лапласа и представлений (1.5) можно найти (см. [4], с. 43-46) тензор вязких напряжений а:

a(t, х) = Ji(t)a(i)(t,x) + J2(t)a(2) (t, x),

(2) i

д

m

Ji(t)a(i)(t,x) := Yiß-i—a(i)(t, x) + Y2ßoa(i)(t, x) + ^

i=i

(1.6)

ßie-bl(t-s)a(i)(s,x) ds,

o

d m ft J (t)a(2)(t,x) := YiV-1 ^(2)(t,x) + 72^(2)(t,x) + V Vie-bl(t-s)a(2\s,x) ds.

dt i=iJo

В (1.6) мы пренебрегли экспоненциально затухающим во времени слагаемым, порождаемым состоянием жидкости в начальный момент времени. Это слагаемое можно считать отнесенным к полю внешних сил.

Из системы (1.1)-(1.2) и соотношения (1.6) получим систему уравнений, описывающую движения обобщенной сжимаемой вязкоупругой жидкости, заполняющей ограниченную область О С К3:

[О V

Р

1

v— + (v •V)v = -VP + Ji(t)(Д v + 3Vdivv) + J2(t)Vdivv + pF (в П), (1.7)

3

^ + div(pV) = 0 (в П), v = 0 (на Ш). (1.8)

dt

Отметим здесь, что если 71 = 0, 72 = 1 и жидкость несжимаема, то уравнения (1.7), (1.8) будут описывать обычную жидкость Одройта (см., например, [1]).

1.2. Уравнения малых движений баротропной жидкости Олдройта, заполняющей равномерно вращающуюся область

Пусть сжимаемая жидкость Олдройта занимает ограниченную область П С R3, равномерно вращающуюся вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Обозначим через n единичный вектор, нормальный к границе S := дП и направленный вне области П. Введем систему координат Ox1x2x3, жестко связанную с областью, таким образом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится в области П. В этом случае равномерная скорость вращения области запишется в виде ш0 := £0 e3, где e3 — орт оси вращения Ox3, а £0 > 0, для определенности. Будем считать, что внешнее стационарное поле сил F0 является гравитационным и действует вдоль оси вращения, то есть F0 = —ge3, g > 0.

Далее будем считать, что сжимаемая жидкость удовлетворяет уравнению состояния баротропной жидкости: P = a^р, где a^= const — скорость звука в сжимаемой жидкости.

Рассмотрим состояние относительного равновесия жидкости. Из уравнения (1.7) движения сжимаемой жидкости Олдройта, записанного в подвижной системе координат, найдем формулу для градиента стационарного давления:

VPo = ро(—£0 х (£0 xr) — g63) = poV(2-1|^o х r\2 — gx3), (1.9)

где r — радиус-вектор текущей точки области П, а р0 — стационарная плотность жидкости. Из (1.9) и соотношения P0 = a2^р0 заключаем, что стационарная плотность р0 является функцией параметра z := 2-1 ^0(x? + x2) — gx3. При этом р0 будет постоянной только если в системе отсутствует вращение и гравитационное поле. Для функции p0(z) выполнено также следующее свойство: 0 < а1 < p0(z) < а2.

Представим теперь полное давление и плотность жидкости в виде: Р(Ь,х) = Р0(г) + р(Ь,х), р(Ь,х) = р0(г) + р(£,х), где р(Ь,х) и р(£,х) — это динамическое давление и плотность соответственно, возникающие при малых движениях жидкости относительно стационарного состояния.

Осуществим линеаризацию уравнений (1.7), (1.8) (при = 0, 72 = 1), записанных в подвижной системе координат, относительно состояния относительного равновесия. Получим задачу о малых движениях баротропной вращающейся жидкости Олдройта, заполняющей равномерно вращающееся твердое тело:

du(t, x)

dt - (u{t,x) х ез) = -V(a2oop01{z)p{t,x)) +

+ p0 1 (z) ( Po Au(t, x) + (no + 3 1po)VdivU(t, x)) +

г 1 Ii

+ Y eobl(toS^~— (piAu(s,x) + (m + I)Vdivu(s,x)) ds + f(t,x) (в П), tlJo p0(z)K 3

о

dp(t, x)

dt

+ div(p0(z)u(t, x)) = 0 (в П), u(t,x) = 0 (на S),

где и(г,х) — поле скоростей жидкости в подвижной системе координат, / (¿,х) — малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное поле.

Осуществим в полученной системе, с целью ее симметризации, следующую замену: а^р-)1/2(г)р>(1,х) = р(Ь,х). В результате получим основную задачу:

ди(1,х)

•'■ ■ —х) х ез) = -V (а^р^-(г)р(г,х

д^ - 2^0 {и(г,х) х ез) = -V {а^р- 1/2(г)р(£, х)) +

+ рй1(г)(роАи(г,х) + (п0 + З^р^ат^х)^ (1.10)

т Г* 1 и

+ У / (ц1Ли(в,х) + (п1 + Ц)Vdivй(s,x)) ds + ¡(1,х) (в П),

ро^У 3

др(£ х)

—д^--+ а^р0 1/2(г)&\\(ур0(г)й(1, х)) = 0 (в П), й(£,х) = 0 (на 5). (1.11)

Для полноты формулировки задачи зададим еще начальные условия:

й(0,х) = й(х), р(0, х) = р0 (х). (1.12)

2. Теорема о существовании и единственности сильного решения задачи. О спектральной задаче

2.1. Вспомогательные операторы и их свойства

Введем векторное гильбертово пространство Ь2(П,р0) с весом р0(г) со скалярным произведением и нормой следующего вида:

(u,v)L2(n,p0) := I p0(z)U(x) • V(x) \\и\\12(Про) = I po(z)|u(x)|2 Ш.

' Q J Q

Введем скалярное гильбертово пространство L2(П) функций суммируемых со своими квадратами по области П, а также его подпространство L2,Р0(П) := {f £ Ь2(П) | (f,p0/2)L2(n) = 0}.

Определим оператор Su(t,x) := i{u(t,x) х е3), D(S) = L2(n,p0). Имеет место лемма, доказательство которой подобно доказательству аналогичной леммы о свойствах кориолисова оператора из [5].

Лемма 1. Оператор S является самосопряженным и ограниченным в L2(n,p0): S = S*, S £ L(L2(n,p0)); более того, ||S|| = 1.

Будем считать далее, что граница S области П — класса C2. Утверждения следующей леммы можно найти, например в [10].

Лемма 2. Введем пространство HA(a,ß) := {и £ ^^(П)] и = 0 (на S)} со скалярным произведением и нормой следующего вида:

( U,v)A(a ß) := Ea, ß ( U,v) ¿П, ЦиЦ2^ , ß) := Ea, ß ( и,и) ¿П, Jq ' JQ

^ , „ 2 1 (dnj дикdvj dvk\

Ea,ß( u, v) := ^ — 3adl™dlvv + 2а dXk + дХ-J [dXk + dxj, a,ß> 0

Пространство HA(a,ß) является гильбертовым; оно компактно вложено в пространство L2(П,p0): HA(a,ß) СС L2(П,р0). Порождающий оператор A(a,ß) гильбертовой пары (HA(a,ß); L2(П,p0)), являющийся самосопряженным и положительно определенным в L2(П,p0), определен на D(A(a,ß)) = W22(^ П HA(a,ß) и обладает дискретным спектром. Для каждого поля w £ L2^,p0) существует, и единственно обобщенное решение задачи:

—Р—1 (z) (аAn + (ß + 3~1а)VdlvÜ) = w (в П), и = 0 (на S),

выражаемое формулой и = А—1(а, ß)w.

С помощью леммы 2 введем операторы Ai := A(ßi,ni) (l = 0,m). В силу условия (1.5) очевидно, что D(A0) = D(Ai) (l = 1,m), а нормы в энергетических пространствах HAl (l = 0,m) эквивалентны между собой.

1/2

Определим оператор BÜ(t,x):= a(X)p0 (z)div(p0(z){t(t, x)), D(B) := {и £ L2 (П,Р0) |

dlv(p0M) £ ¿2(П,р0), и • n = 0 (на S)} D V(AlJ2) = V(A]/2) (l = T~m).

Лемма 3. Сопряженный оператор B*р = —V(a^р—1/2р), D(B*) = W2(П), W2pP0 (П) := W2, (П) П L2,Р0 (П). Кроме 'того, имеет место неравенство:

3 ci > 0 : llBiillwipo(Q) < ci HAiÜlh2(Q,po) Vü £ D(Ai) (l = 0^).

Доказательство. Пусть и Е 'Е(В). Вычислим

(Bu,p)L2р0(П) = I a^Po 1/2div(poU)p dtt = - / рои •V (axp01/2p)ätt+

+ у атер0/2ри • ийБ = - у р0м -V(атер0 1/2р) = (и,-V(а1Хр01/2р))ь2(п,Р0)-

Отсюда и из определения сопряженного оператора следуют формулы для В*.

Для доказательства неравенств в лемме понадобятся некоторые вспомогательные оценки и рассуждения. Для I = 0,т рассмотрим задачи

Ьг и := —щг Аи — (п + = / (в П), Вь,г и := и = д (на Б). (2.1)

Можно проверить, что матричные дифференциальные выражения Ьг определяют невырожденные правильно эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы, а граничные условия Вь,г удовлетворяют условию дополнительности (см. [11]). Из теоремы о нормальной разрешимости из [11] (см. с. 241) следует, что существуют константы с1гг > 0, с2,г > 0(1 = 0,т), не зависящие от и, такие, что

С1 А\и\\2щт < \\Ьй\\2ш < С2,гЫ2Щт Чи Е Щ(П,ВЬД (2.2)

и \__Г„-? т ЛТ2/

W22(П, Bli) := {и е w22(q)|bl , и = и = 0 (на S)} = V(At), 2

\w2(n)

WUWWчъ :=£ UukWUv + £ \DaUkWUv

к=1 \а\=2

Далее, из неравенства Эрлинга-Ниренберга (см. [2], е. 33) следует, что существует константа с3 > 0, не зависящая от и, такая, что

I ди^ 11 2 и —*\\2\1—* тт*7'2

\ßX~3 Wl2(Ü) < cMw^n) Уи е W2

< сз\\Щй2(0) Чи е W2(n), k,j = 1, 2, 3. (2.3)

Пусть теперь и Е'В(Лг) = Щ22(П,Вь,г) (I = 0,т). С использованием неравенств (2.2), (2.3) проведем следующие оценки

W1PР0(П) = аж (|VP° 1/2div(PoU)|2 + \р° 1/2div(pou)|^ dtt < CiMWi(п) <

< ^ ¡WLtuWl^ < C4C-,i maxpJ poW^A2 dÜ = QP^WL^^

J П

где сг = сг(с1>г, с3, р0,а^, П) > 0 — некоторая абсолютная константа. □

п

2.2. Переход к дифференциально-операторному уравнению. Теорема о сильных решениях в исследуемой задаче

С использованием введенных операторов задачу (1.10)-(1.12) запишем в виде задачи Коши для системы интегродифференциальных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве ¿2(П,ро) ф ,р0 (П):

лй т ^

— + (2^ + Ло)и - Б*р + У е-к(— АЩв) Лв = / (г), Л 1=1 ¿о (2.4)

Лр + Бй =0, ( й(0); р(0))т :=( й0; р0)т.

Осуществим в системе (2.4) следующие замены:

V(г) := [ в-Ь1(г-з)Л11/2й(в) Лв (I = 1"^). (2.5)

'о

Преобразованную систему (2.4) вместе с продифференцированными соотношениями (2.5) запишем в виде задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H := L2(Q, p0) ф Нф, где

H := Ь%Р0 (П) Ф(ФГ=1 Ь2(П,ро)):

d q= _ (ao (fa) t p = q. (2,)

Здесь w := (p; ...; wm)r, w0 := (p0; 0;...; 0)r, C := ( - B, A|/2,..., Ami2) C * = ( - B *,Al/2,...,A1Jl2), G := diag(0, biI,... , bmI). Задачу (2.6) запишем более коротко:

Лу = -Ау + Т (г), у(0) = у0, (2.7)

где у := ( й; ^)т, у0 := (й0; 1и°)Т, Т(г) := (/(¿);0)т и дадим следующее

Определение. Назовем сильным решением начально-краевой задачи (1.10)-(1.12) такие функции й и р, для которых функция у (г) является сильным решением задачи Коши (2.7). В свою очередь, сильным решением задачи Коши (2.7) (см. [6], с. 38) назовем функцию у (г) такую, что у (г) Е £>(А) для любого г из := [0, Ау(г) Е С(Е+; Н), у(г) Е С1 (Е+; Н), у(0) = у0 и выполнено уравнение из (2.7) для любого г Е .

Для l = l,m определим следующие операторы:

Qtо := A1/2A-1/2, q+o := A-1/2A1/2, qb,o := BA-1/2, Q+ := A-1/2B*. (2.8)

Лемма 4. ^,0 Е £(1,2(^^0)), Яв,0 Е £(L2(П,Р0),¿2,р0(П)). Операторы Я+0, расширяются по непрерывности до ограниченных операторов Я*0, Я*в0 соответственно. При этом = Я*,01^(^1/2) (I = 1,т), = 0\ъ{в*).

Доказательство. Доказательство проведем для оператора ^ ,0. Ограниченность

^,0 следует из равенства гО(Лг) = Т>(Л0) (I = 1,т), а значит Я*0 Е £(Ь2(П, р0)).

1/2

Далее, для любого й Е Ь2(П,р0) и V Е ^(Лг ) имеем

№ , 0 й,ц)Ь2(П, ро) = (Л1/2Л-1/2й,ц)£2(П ,ро) = ( й,Я+0 ц)Ь2(П ,ро) = ( 0 Ь2(П ,ро).

Отсюда следует, что Q++ = 1^(^1/2), Q+0 = Qia (l = l,m). □

)

Определим операторы <20 := СЛ-1/2, (£+ := Л-1/2С*, которые строятся с помо-

щью операторов из (2.8). Оператор 20 Е £(Ь2(П, р0), Н®), а оператор 2+ допускает расширение по непрерывности до оператора 00 Е £(Нф, Ь2(П, р0)). Свойства операторов 00, 2+ доказывается как и в лемме 4.

Лемма 5. Оператор уравнения из (2.6) (или (2.7)) не замкнут,, однако допускает, замыкание до максимального диссипативного оператора, который .может быть представлен в симметричной форме:

-A = -diag(A10/2,1) Q^ diag(Al/2,1) - diag(2^S,0),

где I — единичный оператор в Н®, и в форме Шура-Фробениуса

-A = - (-QoA"0/2 I) diag(Ao, G + QoQ0) (0 Ao - diag(2^ciS, 0).

При этом Т>(А) = {( и; т)Т Е Н \ й + Л01/20*т Е V(Л0)}.

Доказательство. Рассмотрим оператор —А — diag(0,1). Непосредственно проверяется, что для него справедливы приведенные в лемме факторизации с заменой 0 на 0 +1. Этот оператор замкнут, поскольку является суммой ограниченного оператора и произведения трех замкнутых и ограниченно обратимых операторов; равномерно диссипативен, а область его значений — все пространство Н. Отсюда следует, что рассматриваемый оператор максимальный и равномерно диссипатив-ный. Следовательно, оператор — А, который является диссипативным оператором, замкнут и максимален.

Оператор уравнения (2.6), определенный на множестве Т>(Л0) ф Т>(С*) является диссипативным и для него справедливы факторизации из леммы с заменой " * " на " + ". Отсюда следует, что он допускает замыкание, которое совпадает с -А. □

Рассмотрим наряду с задачей (2.7) задачу Коши с замкнутым оператором

^ = —Ау + Т (г), у(0) = у0. (2.9)

Относительно задачи Коши (2.9) имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть у° Е Т(А), а функция Т(г) удовлетворяет условию Гельдера: Ч т Е Е+ 3 К = К(т) > 0, к(т) Е (0,1], что

\\т(г) — т(¿)\\н < К\г — в\к при 0 < в,г < т.

Тогда сильное решение задачи Коши (2.9) существует и единственно.

Доказательство. Рассмотрим факторизацию оператора —А в форме Шура-Фро-бениуса и по ней введем обозначение: —А =: — (I + 'Р1)А0(! + Т2) — 3. Осуществим в задаче Коши (2.9) замену искомой функции (I + Т2)у(г) =: г (г), в результате получим следующую задачу Коши:

пг

— = —Вг + (1 + Т2)Т(г), г(0) = (I + Т2)у\ (2.10)

аг

где —В := —(I + Т>2)(! + ^Мо — (I + (I + Т2)-1.

Оператор —Ао = —diag (Ао, 0 + Яо ЯО), определенный на Т(Ао) = Т(Ао) Ф Н®, является самосопряженным и неотрицательным. По лемме 2 А-1 Е , следовательно, Ть Т2 Е ех(Н), а значит (I + Т^)! + £>1) = (I + Тз), где Тз Е вте(Н). Отсюда и из 3 Е С(Н) следует (см. [6]), что оператор —В, определенный на Т(В) = Т(Ао), является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов и (г) := exp(—гВ) в Н, аналитической в некотором секторе, содержащем положительную полуось.

Из условий теоремы следует, что функция (I + Т2)Т(г) удовлетворяет условию Гельдера. Из у° Е Т(А) и факторизации оператора — А в форме Шура-Фробениуса следует, что г(0) = (I + Т2)уо Е Т(А0) = Т(В). По теореме 1.4 из [3] (см. [3], с. 130) задача (2.10) имеет единственное сильное решение. Осуществление обратной замены в (2.10) завершает доказательство. □

Следствием теоремы 1 является следующая основная теорема.

Теорема 2. Пусть и0 Е Т(Ао), р° Е Т(Во), а 'поле f (г,х) удовлетворяет условию Гельдера: Ч т Е Е+ 3 К = К(т) > 0, к(т) Е (0,1], что

/г) — М\ь2< К\г — 8\к при 0 < 8,г < т.

Тогда сильное решение задачи (1.10)-(1.12) существует и единственно.

Доказательство. Пусть и0 е Т>(Л0), р0 е 'Р(Б*), тогда у0 е 'Р(А) С Х>(А). Из условий теоремы следует, что функция Т(Ъ) удовлетворяет условию Гельдера. По теореме 1 задача Коши (2.9) имеет единственное сильное решение у(Ъ). Запишем уравнение (2.9) в виде системы:

¿V = -Ло(и + Л-1/2Я0т) - 2шогви + /(Ъ), ^ = (оЛ\/2и -От, аъ аъ

или, учитывая вид элемента т и операторов (0, (**, О, в виде следующей системы:

U = - An

и - A-1/2Q*B АР + ^ А-1/2 Qto Vi - 2uniSu + ft)

i=i

p' = -Qb,oAI/2u, V = Qi,oAlJ2и - bivi, (l = 1,m).

(2.11)

Если удастся раскрыть квадратные скобки в первом уравнении системы (2.11), то мы получим, что найденное сильное решение задачи Коши (2.9) является сильным решением задачи (2.7) с незамкнутым оператором и теорема будет доказана.

Учитывая, что V(0) = 0 (/ = 1,т) из второго и последующих уравнений системы (2.11) последовательно найдем:

р(ъ) = - [ Яб,0Л0/2и(в) ав + р°, ц(ъ)= [ е-ь«-8^1,оК/2и(в) аз, I = т~т.

00

По условию теоремы р° е "Р(В*), следовательно,

Л-1/2Я*б,0Р° = Л-1/2Я*бМб*)Р° = Л-1/2д+оР0 = Л-В*р0 е V(Лo). Отсюда следует, что выражение в квадратных скобках в уравнении из системы (2.11) будет из Т>(Л0) тогда и только тогда, когда

«(*)+/ Я(Ъ - з)и(з) ¿в =:г(Ъ) еЪ(Л0), (2.12)

R(t - s) := A-1/2 \QB,oQb,0 + £ e-bl(t~s)Q!,0Qi,о

i=i

A0

i/2

где г(Ъ) непрерывная на К+ функция со значениями в Т>(Л0).

Введем пространство Н(Ло) := (ЩЛо), || • \\н(Ао)), где \\и\\п(Ао) := ЦЛоиЦ^,ро) для любого и е ®(Л0). Известно, что Н(Л0) — банахово пространство. Будем рассматривать (2.12) как интегральное уравнение Вольтерра второго рода в Н(Ло). Покажем, что ядро Я(Ъ - з) этого интегрального уравнения непрерывно в равномерной операторной топологии при 0 < з < Ъ < со значениями в Н(Л0). Для этого достаточно показать, что Л0l/2Q*Бо)QБí0ЛlJ2 е С(Н(Л0)),

Л--1/2Я**0Я1,0Л10/2 е С(Н(Ло)) (I = 1,т). Докажем первое включение, оставшиеся включения доказываются похожим образом.

Из леммы 3 заключаем, что QБí0Л-1/2 = ВЛ-1 е С(Ь2(П, р0), (П)). Учитывая, что V(B*) = Ш1 ро (П) и В * е (П),Ь2(П,р0)), вычислим

0

\\Л-1/2Я*В0Яв,0Л10/2й\\н {Ао) = \\Л1/2Я*в,0 Яв,0Л-1/2(Л0 й)|£2(п;ро) =

= Л^вМв*)ВЛ0-1(Л0й)\£2(п;ро) = \\В*ВЛ-1(Л0й)\\¿2(п,ро) <

< \\В *\\с^1ро (П),Ь 2 (П,ро))\\ВЛ0о1\\цЬ2(П,ро)^1т (П))\\й\\н (Ао), Уи Е Н (Л0 )•

Таким образом, ядро уравнения (2.12) непрерывно при 0 < 5 < Ь < со значениями в Н(Л0). Если г(Ь) Е С(К+, Н(Л0)), то уравнение (2.12) имеет единственное решение й(Ь) Е С(К+, Н(Л0) = Р(Л0)). Следовательно, в системе (2.11) можно раскрыть квадратные скобки и заменить " * " на " + ", в результате получим, что найденное сильное решение задачи Коши (2.9) является сильным решением задачи (2.7) с незамкнутым оператором. Ссылка на определение завершает доказательство. □

2.3. О спектральной задаче

Будем разыскивать решения однородного уравнения (при Т(Ь) = 0) из (2.9) в виде у(Ь) = ехр(—ЛЬ)у, где Л — спектральный параметр, а у — амплитудный элемент. В результате получим корректную спектральную задачу с замкнутым оператором:

Ау = Лу, у ЕЪ(А), (2.13)

которую будем ассоциировать с нормальными колебаниями баротропной жидкости Олдройта, заполняющей ограниченную равномерно вращающуюся область.

Исследование спектральной задачи, а также моделей баротропных жидкостей Максвелла и Кельвина-Фойгта будет проведено в следующих работах.

Для приведенной спектральной задачи будут доказаны утверждения о существенном и дискретном спектрах, утверждения о локализации и асимптотике спектра. В случае, когда система не вращается, находится в невесомости и обладает достаточно большой вязкостью решение эволюционной задачи (2.4) будет разложено по специальной ^-ортонормированной системе собственных элементов задачи (2.13).

Заключение

В работе предложены новые модели сжимаемых вязкоупругих жидкостей Ол-дройта, Максвелла и Кельвина-Фойгта, описываемые системами интегродиффе-ренциальных уравнений первого порядка. Рассмотрена задача о малых движениях жидкости Олдройта, заполняющей равномерно вращающееся твердое тело и подчиняющейся уравнению состояния баротропной жидкости. Для исследуемой начально-краевой задачи доказана теорема об однозначной сильной разрешимости. Сформулирована корректная спектральная задача о нормальных колебаниях изучаемой системы.

Список цитируемых источников

1. Азизов Т. Я., Копачевский Н.Д., Орлова Л. Д. Эволюционные и спектральные задачи, порожденные проблемой малых движений вязкоупругой жидкости // Труды Санкт-Петербургского математического общества. — 1998. — Т.6. — С. 5-33.

2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. — К.: Наукова думка, 1965. — 798 с.

3. Голдстейн Дж. А. Полугруппы линейных операторов и их приложения. — К.: Выща школа, 1989. — 347 с.

4. Звягин В. Г., Турбин М. В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина-Фойгта // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2009. — Т.31. — С. 3-144.

5. Копачевский Н. Д, Крейн С. Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. — М.: Наука, 1989. — 412 с.

6. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 464 с.

7. Милославский А. И. Спектр малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом сосуде // Успехи матем. наук. — 1989. — Т.44, №4.

8. Милославский А. И. Спектр малых колебаний вязкоупругой наследственной среды // ДАН СССР. — 1989. — Т.309, №3. — С. 532-536.

9. Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движений жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. — 1987. — Т.179. — С. 126-164.

10. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. — М.: Мир, 1985. — 590 с.

11. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А.Дуглиса и Л.Ниренберга. II // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. — 1966. — С. 233297.

12. Kelvin (Thomson) W. On the theory viscoelastic fluids // Math. a. Phys. Pap. — 1875. — Vol. 3. — P. 27-84.

13. MaxweJl J. C. On the dynamical theory of gases // Philos. Trans. Roy. Soc. London. — 1867. — Vol. 157. — P. 49-88.

14. MaxweJl J. C. On the dynamical theory of gases // Philos. Mag. London. — 1868. — Vol. 35. — P. 129-145.

15. Oldroyd J. G. On the formulation of rheological equations of state // Proc. Roy. Soc. London. — 1950. — A200. — P. 523-541.

16. Oldroyd J. G. The elastic and viscous properties of emulsions and suspensions // Proc. Roy. Soc. London. — 1953. — A218. — P. 122-137.

17. Voight W. Uber die innere Reibung der fasten Korper, inslesondere der krystalle // Gottinden Abh. — 1889. — Bd. 36, №1. — S. 3-47.

18. Voight W. Uber innex Reibung faster Korper, insbesondere der Metalle // Ann. Phys. u. Chem. — 1892. — Bd. 47, №9. — S. 671-693.

Получена 29.05.2012