CC BY
62
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД 135
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД
Г. А. Свиридюк Челябинский государственный университет
Т. Г. Сукачева Новгородский государственный университет
Светлой памяти А. П. Осколкова посвящается
Проведена ревизия моделей вязкоупругих сред и установлена разрешимость начально-краевой задачи для системы Осколкова.
Еще Аристотель говорил, что изучению предмета должно предшествовать установление существования этого предмета. Поэтому намерения авторов посвятить статью обоснованию "модели Осколкова жидкости Фойгта" после стольких публикаций [1-4] о свойствах этой модели выглядят несколько запоздалыми. Однако лучше поздно, чем никогда; и мы, не тратя более времени на посыпание наших глав пеплом, кратко охарактеризуем наши намерения.
В своей основополагающей, подводящей итог многим исследованиям работе [5] А. П. Осколков приводит реологическое соотношение, связывающее тензор напряжений а и тензор скоростей деформаций О линейных вязкоупругих сред
1 Ы М ат
(* + Ейг)" =2г/(1 + £ ~ ре> (01)
1=0 т = 0
и поясняет, что при Ь = О, М = 1 соотношение (0.1) описывает "жидкости Кельвина-Фойгта". Строго говоря, это не факт, и в первом разделе мы предлагаем свою трактовку произошедшего. Все наши рассуждения носят дискуссионный характер, и мы будем очень признательны специалистам за критику.
Второй раздел содержит рассуждения о разрешимости задачи Коши для полулинейного операторного дифференциального уравнения типа Соболева
Ьй = М{ и). (0.2)
Здесь мы демонстрируем свою приверженность концепции фазового пространства в смысле А.Д. Аносова (МЭ, т. 5, с. 587). В фазовом пространстве уравнения (0.2) мы ищем только квазистационарные траектории.
Третий раздел состоит из редукции задачи Коши-Дирихле в ограниченной области для системы уравнений Осколкова к задаче Коши для уравнения (0.2). Данная редукция кроме всего прочего позволяет лучше уяснить трудности излагаемой теории.
Все результаты в данном виде публикуются впервые. "Камни Арнольда" < и > положены нами в начале и конце доказательств.
136
Г. А. СВИРИДЮК, Т. Г. СУКАЧЕВА
И наконец, авторы благодарны С. М. Воронину и А. П. Осколкову за полезные дискуссии.
1. Ревизия моделей вязкоупругих сред
7 \
1
Рис. 1
/ V / / / /
Рис. 2
Если в (0.1) положить Ь = М = 0 , то мы получим реологическое соотношение И. Ньютона. Существует простая механическая модель ньютоновского соотношения — демпфер (рис. 1), уравнение движения которого есть
г = иу,
(1.1)
где 7 — перемещение под действием силы г, а коэффициент V имеет физический смысл вязкости моделируемой жидкости.
Если к демпферу добавить амортизатор, то получим в результате модель К. Максвелла (рис. 2), соответствующую вязкоупругой жидкости. Чтобы получить уравнение этой модели, воспользуемся законом Гука
г = -ку,
(1.2)
где к отвечает жесткости амортизатора. Общее перемещение у в модели Макс-
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД 137
велла складывается из перемещения 71 амортизатора и перемещения 72 демп фера под воздействием одной силы г Поэтому, дифференцируя (1 2) по времени и складывая с (1 1), находим
г и
г ~ к
А
7
(13)
////////////' г-7—7-Рис 3
Если же амортизатор и демпфер соединить параллельно (рис 3), то получим модель Кельвина-Фойгта Чтобы вывести уравнение этой модели, заметим, чго сила г есть сумма сил т\ и Г2, первая из которых находится по формуле (1 1), а вторая — по формуле (1 2) из общего перемещения
г — 1/у — ку
(14)
Комбинируя последовательные и параллельные соединения амортизаторов и демпферов, можно получить самые разнообразные модели вязкоупругих сред, общее уравнение которых имеет вид
Л йат Л/г
(1 5)
<1=0
6=0
~7~7~/ /
Рис 4
138
Г. А. СВИРИДЮК, Т. Г. СУКАЧЕВА
Отсюда легко получается модель Олдройта (рис 4) и модель Бургерса-Френкеля (рис. 5), имеющие одно и то же уравнение
а0т + »]Г = /?17 Н- /?2Т. (1.6)
но с разными коэффициентами, разумеется. Более подробно с этими и другими моделями можно познакомиться в [6, гл. 3].
Если в (1.5) г заменить на а, а у на Д, то нетрудно уловить похожесть (0.1) на (1.5). Однако между ними есть существенное различие. Дело здесь в том, что, дифференцируя (1.1), (1.2) произвольное число раз и складывая результаты, мы можем, вообще говоря, получить в (1.5) либо А — В, что соответствует в классификации А. II. Осколкова [5] жидкостям Максвелла, либо А + 1 = В, что по той же классификации соответствует жидкостям Олдройта. Таким образом, модели (1.1), (1.4), (1.6) должны быть отнесены согласно этой классификации к жидкостям Олдройта.
Далее, из (0.1) и (1.5) следует, что моделью простейшей жидкости Кельвина Фойгта должна быть модель с уравнением
аот = /?1Т + М,
(1.7)
что, во-первых, противоречит соотношению (А = В)\/(А + 1 = В), установленному выше; а во-вторых, противоречит (14). Второе неудивительно, так как (1.4) есть модель твердого тела, а не жидкости [6, 1л. 1, п. 8.5], [7, § 1 5], [8, 6 4]. В силу этого понятно и первое отмеченное противоречие, которое, в сущности, является различием между (0.1) и (1.5): соотношение (0.1) моделирует только жидкости, тогда как уравнение (1.5) — еще и твердые тела.
/Ь
~7—Г / / /
Рис. 6
Теперь попробуем найти механическую модель, отвечающую уравнению (1.7). Проще всего, казалось бы, это сделать, положив в (1.6) ос\ = 0. Однако, коэффициент «1 зависит от всех остальных коэффициентов в (1.6), поэтому «1 = 0 влечет /?2 = 0, и мы возвращаемся к (1.1) в лучшем случае (см. модель Бургерса-Френкеля в [6, с. 236]). Скомбинировать же из амортизаторов и демпферов механическую модель, отвечающую уравнению (1.7), не налагая при этом условий на коэффициенты ао, 0\, /?2, нам не удастся по выше приведенным соображениям. Поэтому, оставаясь в лоне ньютоновской механики, но выходя за пределы моделей на рис. 1-5, рискнем предложить следующую
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД 139
модель (рис. 6): тело массы т, присоединенное параллельно демпферу. Тогда из (1.1) и второго закона Ньютона аналогично предыдущим соотношениям мы получаем уравнение
т-иу + ту, (1.8)
что с точностью до коэффициентов совпадает с (1.7).
Заметим сразу, что реологическое соотношение
а = + н^-О-рЕ, (1.9)
соответствующее (1.8), получено ранее [9], исходя из других соображений, и апробировано в экспериментах [10]. Здесь коэффициент х\ имеет физический смысл релаксационной вязкости и по замыслу он строго положителен. Из (1.9) (или, если угодно, из (1.8)) следует, что скорость жидкости в отсутствие напряжений не сразу становится равной нулю, как в модели Ньютона (1 0), а стремится к нулю экспоненциально, что демонстрирует требуемый релаксационный эффект.
Но вскоре обнаружилось [11], что и отрицательные значения коэффициента XI в (1.9) не противоречат физическому смыслу Чтобы привести нашу модель (1.8) в соответствие с экспериментом, нужно потребовать существование отрицательной массы т Само по себе это небольшое заблуждение, однако теперь модель (1.8) проявляет сильную неустойчивость- скорость у в отсутствие силы г экспоненциально растет, и желаемый релаксационный эффект пропадает. Для устранения неустойчивости модели (1.8) и сохранения релаксационного эффекта потребуем существования отрицательной вязкости и После этих нововведений модель на рис. 6 стала качественно иной, тело вместо того, чтобы набирать кинетическую энергию под воздействием силы, — расходует ее, а демпфер вместо того, чтобы диссипировать энергию в окружающее пространство, — аккумулирует ее
Однако, какой бы экзотичной не выглядела модель, хотелось бы знать, чему она соответствует в действительности Считая в (1.9) коэффициенты у и К) отрицательными, подставим это реологическое соотношение в уравнения движения сплошной несжимаемой среды в форме Коши
Аи
~ — V - (т + /, V и = 0, и после элементарных преобразований получим систему уравнений
(А - V2)— = /«У2и~Д(и + + V « = 0, (110)
где А = Ну 1 < 0, а ц = Хи > 0. Исследования задачи Коши-Дирихле для системы (1.10) обнаружили [3; 12] существование релаксационных эффектов, родственных эффектам, возникающим в уравнении Ван дер Поля (см., например, [13]). Было высказано предположение о связи этих эффектов с эффектом отдачи, проявляющимся как в экспериментах с полимерными жидкостями [14], так и в натурных наблюдениях при пусках и остановках нефтепроводов
140
Г. А. СВИРИДЮК, Т. Г. СУКАЧЕВА
Эффект отдачи заключается в стремлении перекачиваемой по трубе полимерной жидкости ернуться в исходное положение после выключения насоса. Такое поведение характерно не для жидкости, а для твердого тела Кельвина-Фойгта (1.4) [6, с. 97]. Чтобы построить модель этого эффекта, не выходя за пределы множества жидкостных моделей, необходимо предусмотреть некий механизм, аккумулирующий энергию, для того, чтобы жидкость могла вернуться в исходное положение после снятия напряжений. А поскольку при эффекте отдачи возвращения жидкости в исходное положение все же не происходит (отсюда другое название эффекта отдачи — эффект затухающей памяти), то необходим также механизм, расходующий эту энергию. На первый взгляд кажется, что такой моделью могла бы быть модель Максвелла (1.3), но она не производит требуемых релаксационных эффектов. Поэтому, как ни крути, но приходится остановить выбор на модели (1.8) с отрицательными то и г/, несмотря на всю ее экзотику.
Сделаем вывод: модели жидкостей, называемые А. П Осколковым "жидкостями Кельвина-Фойгта", имеют право на существование в силу их феноменологической связи с действительностью (в последнем разделе мы установим их право на существование в математике) Однако, чтобы не было терминологической путаницы, предлагается впредь эти жидкости именовать "жидкостями типа Кельвина-Фойгта", мотивируя термин выявленной выше связью таких жидкостей с моделью Кельвина-Фойгта.
2. Квазистационарные траектории
полулинейных уравнений типа Соболева
Пусть U и Т — вещественные банаховы пространства, L 6 С(Ы; Т) — линейный непрерывный оператор, M £ Ck(U\T) — нелинейный, вообще говоря, гладкий оператор, к > 1. Здесь мы намеренно упрощаем ситуацию по сравнению с [3, 12, 15], так как общий случай нам не потребуется. Предположим, что имеют место расщепления
и - и1 фК2 и Г = т1 © Т2, причем \ , ,
оператор L .U1 -> Т\ L ■ U2 Т2 J ' ( '
Введем в рассмотрение проекторы: Р : Т вдоль Т2 и Q M —*UX
вдоль U2. В силу (2.1) уравнение (0.2) эквивалентно системе
hù\ - РМ(и), Lu2 = (I - Р)М{и), (2.2)
где щ = m(t) = Qu(t) eu1.
Определение 2.1. Решение u = u(t) (возможно, локальное) задачи Коши
u(o) = ио (2.3)
для уравнения (0.2) назовем квазистационарной траекторией уравнения (0.2), если Ьщ — 0.
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД 141
Очевидно, что любая стационарная траектория уравнения (0.2) окажется и квазистационарной. Обратное неверно, и, чтобы показать это, введем в рассмотрение множество М = {и еЫ : РМ(и) = 0}. Кроме него нам потребуется еще обозначение: М'и — производная Фреше оператора М в точке и £ П.
Теорема 2.1. Пусть и £ М, причем
операторРМ^С} : Ых —» — топлинейный изоморфизм. (2.4)
Тогда существует некая окрестность Оп С М, являющаяся банаховым Ск-многообразием и диффеоморфно проектирующаяся вдоль Ы] в Ы2.
< Доказательство "почти даром" следует из теоремы о неявной функции (см., например, [16]), примененной к оператору РМ : Ых ®Ы2 —»■ Тх. Действительно, в силу этой теоремы, существуют окрестности Ои, С ¿У1 и 0„2 С Ы2 точек и\ — С}и и «2 — (I — <Э)м и сюръекция у : Ои% —* Ои2 класса Ск. Искомый диффеоморфизм Г : 0из —> Ои имеет вид Г = / + 7, причем Г-1, как нетрудно видеть, есть сужение проектора 1 — <5 на Ои. р>
В дальнейшем, не ограничивая общности, поскольку речь пойдет только о локальных вопросах, будем отождествлять множество М с окрестностью Ои,л Другими словами, мы переходим от рассмотрения многообразия в "целом" к рассмотрению одной его карты. И ещё: введем в рассмотрение оператор Ь 142 —* Т2 — сужение оператора Ь на подпространство и2.
Теорема 2.2 Пусть V« € М существует оператор Ь~1 £ С{Т2М1) и выполнено (2.4), к > 2. Тогда многообразие М содержит только квазистационарные траектории и лежит в фазовом пространстве уравнения (0.2).
< Пусть но € М. Покажем, что для некоторого 10 — ¿о(ио) > 0 существует единственное решение и € Ск(—1оЛо\М) задачи (0.2), (2.3). Квазистационарность данной траектории следует из определения М.
Перейдем от уравнения (0.2) ко второму уравнению (2.2), где -и2 £ К2, а и £ М. От второго уравнения (2.2) перейдем к эквивалентному ему уравнению
й2~ Ь~х{1 ~ Р)М{и). (2.5)
Теперь пусть Г : Оио2 —► М — некоторый (^'-диффеоморфизм окрестности Оим точки йог = (I — £ и2, существующий в силу предыдущей теоремы. Обозначим через Гц2 = £ Оио2 производную Фреше С*-диффеоморфизма Г в точке 42 — (I - <Э)и £ Ои02. Оператор Г{,2 есть топлинейный изоморфизм касательных пространств Ти2Оиц2 = Ы2 и ТиМ. Подействовав этим оператором на уравнение (2.5), редуцируем его к эквивалентному уравнению
й = т(и), (2.6)
где й = Г(и2) = Г^йг, а т : и -* Г'и2Ь~1(1 - Р)М(и) еегь в силу конструкции сечение касательного расслоения ТМ класса Ск~1 ■ Локальная однозначная разрешимость задачи (2.6), (2.3) (а тем самым, и задачи (0.2), (2.3) в данном контексте) — классический результат — теорема Коши [17]. >
142
Г. А. СВИРИДЮК, Т. Г. СУКАЧЕВА
Дальнейшее продвижение в поисках квазистационарных траекторий уравнения (0.2) связано с понятием относительной ограниченности линейного оператора.
Определение 2.2. Пусть операторы L.M 6 C(U; У7). Назовем оператор М ограниченным относительно оператора Ь( или просто L-ограниченным оператором), если
3Яо > 0 Vjx G С (Н > яо) => (3(jiL + М)"1 € С(Т\14)).
(Исследование проводится в вещественных банаховых пространствах 14 и Т, однако в этом месте вводится их естественная комплексификация Здесь мы следуем обычной практике при рассмотрении "спектральных" вопросов).
Если L £ T{li\ Т) — фредгольмов оператор (т.е. indL — 0), то существует простой критерий L-ограниченности оператора М [16, § 30]:
Теорема 2.3.Оператор М 6 C(U; Т) ограничен относительно оператора L е Т{Ы; Т) точно тогда, когда оператор L имеет полный М-жорданов набор.
Напомним [16, § 30] понятие полного М-жорданового набора. Пусть вектор ф 6 ker L. Предположим существование конечной итеративной процедуры
ф = фх, L4>t+i = Мф%, i- 1,...,р- 1, 1 (2 ,
Мфр 0 imL, ф3 ^ ker L, j = 2,...,p J'
где через imL обозначен образ оператора L. Так вот, оператор L имеет полный М-жорданов набор, если для любого ненулевого вектора ф (Е kerb существует процедура (2.7), причем р = р(ф). Векторы ф}, j = 2,... ,р, называются М-присоединенными векторами оператора L
Если же оператор L 6 T(U; Т) имеет полный М-жорданов набор, то, как показано С.Г. Крейном и его учениками (см. [3* 4,' 12,' 15] и цитированную там литературу), имеет место расщепление (2.1), причем
пространство U1, состоящее из собственных I и М-присоединенных векторов оператора L, > (2 8)
конечномерно, аЯ = M[U1]. J
В силу (2.7) ker МП//1 = {0 }, поэтому из (2 8) следует dimЫх — dim^1. Из сказанного непосредственно следует
Теорема 2.4. Пусть и 6 U и оператор М„ ограничен относительно оператора L б Т{14\ IF). Тогда существует расщепление (2.1), выполнено (2.4) и существует L~X(T2\U2).
Доказательства требует только существование оператора L~l, которое в силу (2.8) и теоремы Банаха о замкнутом графике очевидно.
Если оператор М„0 ограничен относительно оператора L 6 T(U; Т), а щ Е М, то в силу теорем 2.4, 2.1 и 2.2 многообразие М, содержащее только квазистационарные траектории, лежит в фазовом пространстве Л уравнения (0.2). И хотя во всех до сих пор изученных случаях Л — М. (см. обсуждение этого вопроса в [18]), тем не менее А ф М, вообще говоря. Приведем искусственный
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД 143
Пример [18]. Рассмотрим вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
х — 3z, у = х, 0 ~zz + zx + y, (2.9)
которую транскрибируем в виде (0.2), положив U = Т = К3,
/ 1 0 0 \ / 3z
£ = [ 0 1 0 ) , М ~ [ х
V 0 0 0 / У z3 + zx у
и ~ (х, у, z). Нетрудно заметить, что оператор М'и ¿-ограничен:
/ /< 0 3 \
det(/<L + М'и) = det | 1 ц 0 ^ 0 \ z 1 3z2 + r /
при всех достаточно больших |/л|.
Поскольку ker L — span {(0,0,1)}, a imi = span {(1,0,0), (0,1,0)}, то
к, (°) = ( ° )
\lj \3^ + х-о } если «о = (хо,Уо,2о) не лежит на особенности
{(ж, у, г) G I3 : г3 + га; 4- у = 0, 3z2 -f х ~ 0} (2.10)
сборки
{(ж, у, г) е!3 : z3 + zx + y = 0}. (211)
В этом случае через ыо проходит квазистационарная траектория, лежащая на сборке (2 11), но не пересекающая особенность (2.10) Действительно, здесь .F1 = a pan {(3,0, Згтц + х0)}, проектор Р на Т1 вдоль im L = Тг задается / 0 0 0 \
матрицей (0 0 0 J , поэтому (РМ(и) = 0) <=>■ (г3 + zx + у = 0). \ 0 0 3 zl + х0 / Далее, рассмотрим особенность (2.10). На ней лежит стационарная (а следовательно, и квазистационарная) траектория — точка (0,0,0), причем других стационарных траекторий система (2.9) не имеет. Если ио ф (0,0,0) и лежит на (2.10), то с необходимостью z0 ф 0. В этом случае v вектооа (1,0,0)
имеется точно один М^-присоединенный вектор, поскольку M'Uo I 0
\ 1
/ 3 \ / 3 \ / о \
L 0 , но М'и 0 1 = 3 g imi. В данном случае Тх =
V 0 / \ О / V 3^0 /
span {(3, 0,0); (0, 3, Зг0)}, аЯ = span {(0,1,0)}. Проектор Р на JF1 вдоль JF2 / 1 0 0 \
задается матрицей 10 0 0 I , поэтому (РМ(и) ~ 0) (Зг = 0, г3 +
V 0 0 20 /
zx + y = 0). Другими словами, ни через какую точку особенности (2.10), за ис-
144
Г. А. СВИРИДЮК, Т. Г. СУКАЧЕВА
ключением точки (0,0,0), не проходит квазистационарная траектория системы (2.9).
Тем не менее для любой точки «о Ф (0,0,0), лежащей на (2.10), существует единственное решение
3 13
(--t2 + %ZQt + XQ, --t3+-Z0t2 + X0t+X0, -t + Z0)
задачи Коши ы(0) = и о для системы (2.9).
3. Транскрипция задачи Коши-Дирихле для систем уравнений Осколкова
1. Вначале рассмотрим простейшую из систем уравнений Осколкова
f)lL
(A-V2)—= í/V2w-(« V)u-Vp+/, V „ = 0, (3 1)
моделирующую динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта порядка 0 [19] Функция и — (щ,.. ,,ип), и, = u,(x,t), х £ Rn отвечает скорости жидкости, функция р = p(x,t) отвечает давлению. Функция f — (/i,..., fn) /, = Jt(x, t) характеризует внешнее воздействие, которое предполагается известным. Числовые параметры А £ Ж. и v £ Ж+ характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно, причем наличие отрицательных значений у А подтверждено экспериментально [11]. Задача Коши-Дирихле
и(х, <) = 0 \f{x,t)£düxR, u(a\0) = u0(z) IÉÍÍ (3.2)
в ограниченной гладкой области £ Е"п = 2,3,4 для системы (3.1) сводится к задаче (0.2), С-З), если в качестве U взять пересечение (W|)" П V, где V — замыкание в норме (WJ)" линеала £ = (u £ Cq° : V • и = 0}, а в качестве Т — замыкание £ в норме (L2) . В качестве L возьмем оператор А — 7rV2, где 7г : (Ь2)п —► Т — канонический проектор, а в качестве М — оператор М : и —* М(и) = w(uV2u — (« • V)u + /) Все пространства определены на Q (Подробности см в [1]). Как следствие из раздела 2 получается
теорема 3.1. Пусть М'ио L-ограничен, a uq £ М. Тогда существует единственная функция и £ С°°(—to, to; М) — решение задачи (0.2), (2 3) с L и М из (3.1), (3.2).
Приведем простое достаточное условие ¿-ограниченности M'Uq.
Теорема 3.2. Пусть dimker L = rank || < > ||, где span {ф,,ф} :
А,, Aj = —А} = ker L. Тогда M'Uo L-ограничен.
Для доказательства достаточно заметить, что М^дф im L для любого ф £ ker £\{0}, то есть оператор L не имеет M'Ua-присоединенных векторов.
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД 145
2. Теперь рассмотрим систему уравнений Осколкова, моделирующую динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости типа Кельвина-Фойгта порядка ¿>0 [19]:
(д _ = „чЧ - (и • V)v + - Vp + /,
div v = 0, (3.3)
^■ = v + a,wh «/ £ IR_, / = 1,...,L.
Вывод системы (3.3) опубликован в [20" 21]. Функция v = (vi,..., vn) v, = v,(x,t) (i £ Q С 1", ft — ограниченная измеримая область, t £ ffiL) имеет физический смысл скорости течения; функции p(x,t) и f(x) и числовые параметры v £ М+ и А £ Ж имеют тот же смысл, что и в п. 1. Параметры /?1 £ I — I,..., L определяют время ретардации (запаздывания) давления.
Начально-краевая задача
и(х,0) = t)o(ac) Vx£Q, v(x,t) = Q V(x. t) € dQ x E (3.4)
для системы (3 3) запишется в виде (0.2), (2.3), если положить
/ А-0 0
V о
о о
0 . • 0 ^
0 . . 0
1 . . 0 ; ordL - L+1
0 . • 1)
М( и) =
( vK /?,Д
1 (*]
1 0
V 1 0
о «2
\
о о
OIL
( f \
WI W2
+
( b(v) +irf \ 0 0
\ wi /
Здесь Д = 7гД; -w(v ■ V)t; = 6(v); и(ж, t) = {и, wi,..., wi}]
u(0) = {w0(®), «»io(ar).....ti»i,0(a-)> Vz £ ft; u(ar,i) = 0
p p
Считаем, что L, M U —► F, где U = $ U, F = ф T (U и T определены
i=o ;=o
в n.l), тогда ||u||u = \\v\\l + \\wi\& + ... +
Лемма 3.1. M £ C°°(U;F).
< Пусть 4{x,t) — {фо,ф\, ■.. ,фь} € U. Тогда для любого ф £ U
146
Г. А. СВИРИДЮК, Т. Г. СУКАЧЕВА
М'иф ЕЕ
( и A 0iA 02 А 1 «1 О 1 О а2
\ 1
м„
0lA \ О О
( Щ , ) \ о о
( Ь(у,фо) + Ь(фо,у) \ О
о
аь ]
: U х U — F,
V о /
Min) = 0 Vn > 2 Vu G U.> Транскрипция задачи (3.3), (3 4) в виде (0.2), (2.3) получена.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. вузов. Математика. 1988, № 1. С. 74-79.
[2] Свиридюк Г А. О многообразии решений одной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 10. С. 1846 1848.
[3] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Быстро-медленная динамика вязко-упругих сред И ДАН СССР. 1989. Т. 308, № 4. С 791-794.
[4] Сукачева Т.Г. Задача Тейлора для жидкости Кельвина Фойгта. Новгород, 1989 Деп. в ВИНИТИ 9.03 89, № 1577 В89.
[5] Осколков А.Г1 Q нестационарных течениях вязкоупругих жидкостей // 'Тр. мат. ин-та АН СССР. 1987. Т. 159. С 103-131.
[6] Виноградов Г.В , Малкин А.Я. Реология полимеров М.: Химия, 1977. 438 с.
[7] Кристелсен С. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 338 с.
[8] Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей М : Мир, 1978. 310 с.
[9] Павловский В.А К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров // ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 4. С. 809-813.
[10] Войткунский Я.И., Амфилохиев В.Б., Павловский В.А. Уравнения движения жидкости с учетом ее релаксационных свойств // Тр Ле-нингр. кораблестроит. ин-та. 1970. Т. 69, С. 16-24.
[11] Амфилохиев В.Б., Войткунский Я.И., Мазаева Н.П., Ходорковский Я.С. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений II Тр Ленингр. кораблестроит. ин-та. 1975. Т. 96. С. 3-9.
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД 147
[12] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. 'Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, № 5. С. 109-119.
[13] Grasman J. Asimptotic Methods for Relaxation Oscillation and Applications Applied Mathematical Sciences. V. 63, No. 4. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 348 p.
[14] БЕРД Б.P., КэРТИСС Ч.Ф. Удивительные полимерные жидкости // Физика за рубежом. 1986. Сер. А: Сб. ст. С. 29-51.
[15] СВИРИДЮК Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений // ДАН СССР. 1989 Т. 304, № 2 С. 301-304.
[16] Вайнберг M. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.
[17] ЛЕНГ С Введение в теорию дифференцируемых многообразий М.: Мир, 1967.
[18] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифференц уравнения 1990. Т. 26, № 2. С. 250258.
[19] Осколков А.Г1. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. лат. ин-та АН СССР. 1988. Т. 179. С. 126- 164.
[20] Каразеева Н.А., Котсиолис А.А., Осколков А.П. Об аттракторах и динамических системах, порождаемых начально-краевыми задачами для уравнений движения линейных вязкоупругих жидкостей. Препринт ЛОМИ им. В.А. Стеклова Р10-88. Ленинград, 1988. 58 с.
[21] Осколков А.П., Axmatob М.М., Котсиолис А.А Об уравнениях движения линейных вязкоупругих жидкостей и уравнениях фильтрации жидкостей с запаздыванием // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1987 Т. 163. С. 132-136.
