Собственные колебания гидросистемы "жидкость-газ" в цилиндрической области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

Собственные колебания гидросистемы "жидкость—газ" в цилиндрической области

Э. Л. Газиев

Крымский инженерно-педагогический университет, Симферополь 95007. E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе изучается проблема собственных колебаний гидросистемы "идеальная жидкость-баротропный газ", заполняющей цилиндрический контейнер. Доказаны теоремы о дискретности и положительности спектра, базисности системы собственных функций, установлено наличие асимптотически распадающихся акустических и пограничных волн. Получены вариационные отношения для собственных значений; проанализированы асимптотика, сходимость и погрешность численного решения характеристического уравнения.

Ключевые слова: идеальная жидкость, баротропный газ, собственные колебания, асимптотика спектра, собственные значения, собственные функции, численная погрешность.

Введение

Малые движения и собственные колебания жидкости, частично или полностью заполняющей контейнер, находящийся в условиях слабой гравитации, исследуются учеными, начиная со второй половины ХХ века. Полученные в этой области результаты представлены, например, в монографиях [1]—[2], [8], [15]. Актуальность этой проблемы объясняется важностью и сложностью осуществления оригинальных экспериментов в условиях полетов летательных аппаратов, в том числе ракетной и самолетной техники.

В более сложной постановке, а именно, в случае гидросистемы, состоящей из несмешивающихся жидкостей, задача изучалась, например, в работах [3], [9], [14]. В частности, для задачи о малых колебаниях системы из нескольких несмешива-ющихся идеальных жидкостей исследованы свойства спектра и полноты системы собственных функций, получены решения задачи для гидросистемы в прямоугольном канале, цилиндрическом и секториальном сосудах. В работах [11]—[12] исследована проблема взаимодействия жидкости с акустическим полем.

С физической точки зрения контейнер может быть заполнен не только жидкостью, но и ее парами. Поэтому в последние годы стала изучаться новая проблема — задача о малых движениях и собственных колебаниях газожидкостной системы в ограниченной области. При этом газ можно считать баротропным, а жидкость — несжимаемой идеальной либо вязкой. В работах [3]-[4], [16] задача рассматривается в такой постановке, причем учитывается действие капиллярных и гравитационных сил, однако плотность газа в состоянии равновесия считается постоянной.

© Э. Л. ГАЗИЕВ

В статьях [5]-[6] изучается обобщение проблемы, исследуемой в [16], а именно, случай, когда плотность газа в гидросистеме изменяется вдоль вертикали по экспоненциальному закону, и доказаны теоремы о разрешимости, структуре спектра и свойствах собственных функций, исследован вопрос устойчивости решения.

Целью данной статьи является подробное исследование спектральной задачи, возникающей в проблеме собственных колебаний гидросистемы "идеальная жидкость-баротропный газ", заполняющей неподвижный цилиндрический контейнер и имеющей горизонтальную границу раздела сред.

1. Постановка спектральной задачи

Будем считать, что цилиндрический контейнер П С R3 с произвольным поперечным сечением Г заполнен идеальной несжимаемой жидкостью плотности pi и баротропным газом. Жидкость занимает область П1 = Г х (—h1, 0), а газ — область П2 = Г х (0, h2). Выберем декартову систему координат Oxyz таким образом, чтобы Г лежала в плоскости Oxy, а образующая цилиндра была направлена вдоль оси Oz. Считаем также, что вдоль оси Oz сверху вниз действует гравитационное поле с ускорением g > 0, а газ является баротропным, т.е. связь между давлением в газе и его плотностью задается в виде VP = a2Vp, где a2 = const — квадрат скорости звука в газе. Тогда в состоянии покоя плотность газа такова:

Р2,0 = Р2,0(z) = Р2,о(0) exp(-gz/a2); (1.1)

соответственно равновесное давление равно P = P0(z) = a2p2,0(0) exp(-gz/a2) + c0, c0 = const.

Рассмотрим малые колебания гидросистемы "жидкость-газ", близкие к состоянию покоя. При этом будем принимать во внимание также капиллярные (поверхностные) силы, действующие на границе раздела "жидкость-газ", "твердая стенка-жидкость" и "твердая стенка-газ".

Считая колебания свободными, т.е. не зависящими от дополнительных внешних сил, будем разыскивать решения линеаризованных уравнений движения жидкости и газа, зависящие от времени t по закону exp(iut), где ш — частота колебаний. Тогда можно убедиться (см. [5], с. 130), что движение в жидкости и газе является потенциальным. При этом для потенциалов смещений частиц жидкости и газа — искомых амплитудных функций Фт(х,у, z) и Ф2(х,у^) — возникает следующая спектральная задача:

д Фт

ДФ1 = 0 (в П1), —1 = 0 (на Si), (1.2)

дп

-Д0Ф2 = Аа"2Ф2 (в П2), дф2 = 0 (на S2), Л := ш2, (1.3)

дп

дФт д Ф2 if (

-1 = —- =: С (наГ, т.е. при z = 0), / (dT = 0, Ф^Г = 0, Ф2dГ = 0,

dz dz Jy Jy Jy

(1.4)

ос

-аАг( + дАр( = Л(р^1 - Р2,о(0)Ф2) (на Г), = 0 (на дГ), (1.5)

ОНг

д 2 д 2 д 2 Ар := Р1-Р2,о(0), Ар := дх^+ду2, А := Аг+дк2, Л°ф2 := Р2'°(г) ¿МР2,о(^Ф2)

У * (1.6) Здесь: Б1 := {дГ х (—к1, 0)} и {(х,у,х) : (х,у) Е Г, х = — к-]} — твердая стенка, примыкающая к жидкости, Б2 := {дГ х (0,Л,2)} и {(х,у,х) : (х,у) € Г, х = к2} — твердая стенка, примыкающая к газу, п — внешняя нормаль к цилиндру П, а > 0 — коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела "жидкость-газ", Пг — внешняя нормаль к границе дГ сечения Г. Эту границу дГ считаем гладкой кривой класса С 2.

Особенностью задачи (1.2)-(1.6) является то обстоятельство, что здесь спектральный параметр Л входит не только в уравнение (1.3), но и в граничное условие (1.5). Кроме того, порядок дифференциальных операторов на границе Г (см. (1.4)) выше порядка дифференциального оператора в уравнениях (1.2) и (1.3). Наконец, имеется также граничное условие (1.5) на контуре дГ — многообразии коразмерности 2. Общее исследование спектральной задачи о собственных колебаниях системы "жидкость-газ" проведено в работе [6]. Здесь будем изучать лишь собственные колебания системы в цилиндрическом сосуде и при условии д > 0.

Введем гильбертово пространство скалярных функций Ь2(Г) с обычным скалярным произведением (С,ц)ь2(г) := /г С(х,у)п(х,у) йхйу, а также его подпространство Ь2,г функций, ортогональных к единичной функции, заданной на Г (см. (1.4)): '

^ (dГ=((, 1г)мп = 0. Введем, далее, в Ь2 г оператор Ба по закону

дС

B.

•а( := —аАгС + дАр(,( Е *Р(Ба) := {( € Ь%г П Я2(Г) : = 0 (на дГ)}. (1.7)

Так как дГ — кривая класса С2, то можно установить, опираясь на формулу Грина для оператора Аг, что Ба — положительно определенный самосопряженный оператор и

(БаС)ь,т = ¡г(а\Ъг(|2 + дАр\(|2) dГ =: «, СВ, Е Ъ(Ба) С Ь2,г. Отсюда следует, что существует положительный и притом компактный обратный

>-1

писать в виде

оператор Ба , действующий в Ь2,г, а потому граничное условие (1.5) можно пере-

с = ЛБ-1(Р1Ф1 — Р2,°(0)Ф2) (на Г). (1.8)

Опираясь на (1.8) и используя формулы Грина для операторов Аг и А° (см. (1.2) и (1.3)), можно установить, что собственные значения Л задачи (1.2)-(1.3) являются последовательными минимумами функционала

Р! |УФ^ СП + Р2,0(^)|УФ2|2 СП

^(Ф1;Ф2) := ---^-^-.

а-2 Р2,o(z)|Ф2|2 СП + (Б-!(р1Ф1 - Р2,О(0)Ф2), (Р1Ф1 - Р2,О(0)Ф2)Ь2,г

./П2

(1.9)

Отсюда, в частности, следует, что собственные значения Л вещественны и неотрицательны. Более того, при Л = 0 задача (1.2)-(1.3) имеет лишь тривиальное решение, и потому собственные значения Л в задаче (1.2)-(1.3) положительны.

Заметим еще, что задача (1.2)-(1.5) не имеет решений вида Ф1(х,у,г) = 0, Ф2(х,у,г) = Ф2(г), отвечающих случаю, когда жидкость и граница раздела "жидкость-газ" неподвижны, а в газе имеются лишь вертикальные волны сжатия-растяжения.

2. Применение метода разделения переменных

Цилиндричность области П, заполненной жидкостью и газом, позволяет провести разделение переменных в задаче (1.2)-(1.6), если искать решения в виде

Ф1(х,у,г) = ^ (г)и(х,у), Ф2(х,у,г) = Ь2(г)и(х,у), ( = щ(х,у). (2.1)

Тогда вместо задачи (1.2)-(1.6) возникает задача

ди Г

-Дри = ¡и (на Г), — = 0 (на дГ), иСГ = 0, (2.2)

дпг

а также спектральная проблема

^ - ¡ы = 0 (-кг < г < 0), ^ = 0 (^ = -Ь), (2.3)

аг2 аг

-и С ( . Сю2 \ _2 Сю2

-Р2,о(г) аа^\Р2,о(г) + ¡¡^2 = Ла ^ (0 <г<Ь,2), =0 (г = П2),

= =: п (г = 0), (ах + дДр)п = Л(№(0) - Р2,о(0Ы0)). (2.4)

Как известно, спектральная задача Неймана (2.2) (с дополнительным интегральным условием, т.е. в пространстве Ь2,г) имеет дискретный спектр {¡к}ь=1, состоящий из положительных конечнократных собственных значений ¡¡к с предельной точкой на Отвечающая этому спектру система собственных функций {ик(х,у)}^=1 задачи (2.2) образует ортогональный базис в пространстве Ь2г, а также в энергетическом пространстве Ир = И 1(Г) П Ь2 г с квадратом нормы := /г |Уги|2СГ, /г иСГ = 0. Далее будем считать, что выполнены следующие свойства ортонормировки:

(ик)ь2Г = , (ик)Я1 = ¡¡к$кз, к,] е N. (2.5)

Таким образом, для определения функций у2 = У2к(г) возникает счетное множество спектральных задач (2.3)-(2.4), отвечающих значениям л = ¡к, к = 1, 2,.... Отметим еще, что собственные функции щ (х,у) задачи (2.2) являются также собственными функциями оператора Ва из (1.7), отвечающими собственным значениям Лк (Ва) = алк + дАр, к = 1, 2,.... Из (2.3)-(2.4) нетрудно вывести, что собственные значения Л этой задачи при ц = ¡к, к =1, 2,..., находятся среди значений функционалов

/0 Г Ь,2

(К (г)\2 + ¡к VI (г)\2)Ог + Р2,о(г)(К (г)\2 + ¡кЫг)\2)аг *к(VI; г») :=--^-.

а-2 Р2,о(ф2^)\Чг + Л-1(ВСТ)\р^(0) - р%о(0Ь(0)\2 0

(2.6)

3. Вспомогательные спектральные задачи

Прежде чем изучать задачи (2.3)-(2.4) при л = ¡к, рассмотрим две вспомогательные спектральные задачи, имеющие непосредственное отношение к (2.3)-(2.4) с физической точки зрения. Это — задача о собственных колебаниях двух идеальных несжимаемых жидкостей, расположенных в областях и П2 соответственно и имеющих постоянные плотности р1 и р2,о(0), а также задача об акустических колебаниях баротропного газа в области П2.

Формулировка первой задачи формально получается из (1.2)-(1.6) при а2 — ж и имеет вид

дФт дФ2

АФ1 = 0 (в П1), —1 = 0 (на ^), АФ2 = 0 (в ^2), = 0 (на (3.1)

дп дп

дФт д Ф2 Г Г Г

-1 = =: С (на Г, т.е. при г = 0), (¿Г = Ф^Г = Ф2^Г = 0, (3.2)

дг дг Jг ,/г

ВаС = Л(Р1Ф1 - Р2,о(0)Ф2) (на Г). (3.3)

Формулировка второй задачи получается из (1.3), (1.4) при ( = 0:

дФ2 дФ2 Г

-АоФ2 = Ла-2Ф2 (в ад дП = 0 (на &), = 0 (на Г), J Ф2^Г = 0. (3.4)

Каждая из задач (3.1)-(3.3) и (3.4) допускает разделение переменных вида (2.1) и приводит снова к задаче (2.2), а также следующим задачам.

Первая задача:

- ¡У1 = 0 (-Н1 <г< 0), ¿V1 = 0 (г = -Ь), (3.5)

аг2 аг

¿2 ^22 „ ¿У22 „ ,

- ¡у22 = 0 (0 < г < Ъ,2), — = 0 (г = ^г),

^ = ^ =: П = 0), Лк В )П = Л(Р1^1(0) - Р2;о(0)^22(0)); (3.6) вторая задача:

— 1 / \ ^ ( / \ &021 \ , ч л —2 / \

- Р2о(^)т~ ( Р2 , о (г) ~ ) = vv2l(z), V := Ла - /, (0 < г < Ь,2),

• ¿л ^; (3.7)

^21 п , п ч ^21 , , ,

= 0(г = 0)' = 0(г = ^

Решения задач (3.5)-(3.6) и (3.7) легко найти в явной форме с учетом формулы (1.1) для функции р2 ,0(г). Имеем для задачи (3.5)-(3.6) :

( \ -1 еЬК (г + ] 7 ^ ^ п Vl = У1к(г) = а- Пк-Г7——, -«-1 < г < 0,

к 8Ь(ак М (38)

( \ -1 сЬ[ак(г - М п ^ ^ 1/2 .

У22 = ^22(г) = -а- Пк-г?—г^—, 0 < г < П2,, ак := /к ,

8П(«к п,2)

Л =: Л^ = ак Лк (Ва )(рю1Ь(ак М + Р2,о(0)е1Ь(ак М)-1, £ =1, 2,... . (3.9)

Этим решениям отвечают пограничные волны, экспоненциально затухающие при отходе от границы Г (т.е. при г = 0) вдоль нормали к этой границе.

Что касается задачи (3.7), то здесь справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Задача (3.7) имеет дискретный спектр {Vр

0 = v0 < v1 < v2 < ... < vp < ..., vp ^ (р ^ то), (3.10)

и систему собственных функций {^21р(г)}^=0;

/Ь.2

р2,о(г = 0, р = 1, 2,..., (3 11)

^21р(г) = ехр(дг/(2а2))(со§(прг/Н2) - дН2/(2пра2) $,т(прг/Н2)), р =1, 2,... ,

полную и ортогональную в гильбертовом пространстве ¿2([0,Л,2]; р2,0(г)) со скалярным произведением

(у,ш)ь2([0М];Р2,о(г)) := / p2,о(z)v(z)w(z)dz, (3.12)

Jо

а также в энергетическом пространстве Н 1([0,^2]; р2 ,0(г)) с квадратом нормы

г-Ь 2 пЬ 2 2

1М1я 1([0,Ь2];Р2 ,о(*)) := / р2,0(г)Ы(г)\2^ + / Р2,0(г,

эквивалентной стандартной норме пространства H 1([0,h2])

Доказательство. Оно проводится по обычной схеме для задач Штурма-Лиувилля на конечном отрезке (см. например, [13]). Именно, введем на множестве

V(A) := {г(г) € С2([0А]) : г/(0) = г/^) = 0} С ^А]; Р2,о(г)) (3.13)

оператор А по закону

(Аг)(г) := -р-1(г)^Лг)(3.14)

Тогда коротко задачу (3.7) можно переписать в виде Аг = иг, V € ^(А).

Легко проверить, что оператор А симметричен на 'О(А) С Ь2([0,к2]; р2,о(г)) и

положительно определен, т.е. (Аг,г)ь2([ом\;Р2^)) > с\\г\\\2ф,н2^оОг))' Vv € а потому допускает замыкание до самосопряженного положительно определенного оператора (его будем обозначать по-прежнему через А). При этом "Р(А1/2) = Н 1([0, к2]; р2,о(г)) компактно вложено в Ь2([0, к2]; р2,о(г)), и тогда задача (3.7) имеет дискретный спектр (3.10) и систему собственных функций, образующих ортогональный базис в Ь2([0, к2]; р2,о(г)) и в Н 1([0, ^2]; р2,о(г)).

Непосредственный подсчет показывает (с учетом формулы (1.1)), что собственные функции задачи (3.7) имеют вид (3.11), а собственные значения равны

Ъ = (пр/^)2 + д2/(4а4), р =1, 2,....

□

Следствием леммы 1 является такое утверждение. Лемма 2. Вторая вспомогательная задача (3.4) имеет дискретный спектр

2 2

Л{2 := а2(лк + ир) = а2(лк + +40^) , к = 1, 2,..., р = 0,1, 2,..., (3.15) и систему собственных функций

Ф2кр(х,у,г) := г21Р(г)пк(х,у), к = 1, 2,..., р = 0,1, 2,..., (3.16)

где ик (х,у) — собственные функции задачи (2.2).

При этом функции (3.16) образуют ортогональный базис как в пространстве Ь2(П2;р2,о(г)) со скалярным произведением

(Ф, У)ь2(Ъ2;р2,о(г)) := / Р2)о(г)Ф(х,У,г)Ф(х,У,г)а^2, так и в пространстве Н 1(П2; р2,о(г)) с квадратом нормы

\\Ф\\я 1(П2;Р2,0(^)) := ( Р2,о(г)\УФ\2аП2 + [ Р2,о(г)Ф а^2

'П2

эквивалентной стандартной норме пространства Н 1(П2). Если для задачи (3.7) выполнены свойства ортонормировки

(^21р,^21д )ь2([0,^2];р2,о(^)) = 8ря, (^21р,^21д )ы 1([0,^2];р2,о(г)) = ир8ря,

а также свойства ортонормировки (2.5) для собственных функций задачи (2.2), 'то для функций (3.16) выполнены свойства ортонормировки

(Ф2кр, Ф2?1)ь2(П2Р2,0(г)) = 8к?8р1, (Ф2кр, Ф2?1)Н 1(П2;р2,о(^)) = ^кра-2 8к?8р[,

Доказательство. Оно проводится по общей схеме, изложенной, например, в [7], с. 397-398. □

Итак, собственные функции (3.16) и собственные значения (3.15) дают решения задачи о собственных колебаниях баротропного газа в области П2 с неподвижной нижней границей Г.

Что касается вспомогательной задачи (3.1)- (3.3), то известно (см., например, [8], § 3.1, а также соответствующие статьи по этой тематике), что она равносильна операторному уравнению

Baz = XC(, z е v(ßa) с 12>Г,

(3.17)

где С — компактный положительный оператор, а оператор Ба введен в (1.7). Для описания свойств решений задачи (3.17) и соответственно задачи (3.1)-(3.3) введем подпространство Н^ Г(П) тех пар Ф := (Ф1; Ф2) гармонических функций из Н 1(П1) и Н 1(П2), для которых выполнены свойства (см. (3.1)—(3.2)):

H1

(П) :^(Ф!(х,у,г);Ф2(х,у,г)) : АФ! = 0 (в ад

ДФ2 = 0 (в П2),

а норма введена по закону 2

д Ф2

дп

0 (на S2)

д Ф1

dz

Zdr = 0,

дФ!

дп д Ф2

дz

i Ф!dГ

0 ( на S! ) , : Z (на Г),

Ф2dГ = о}, !

pW |^Ф! |2dHi + р2,а(0) |УФ2 |2d^2, УФ=(ФьФ2) е Hhr (П).

JQl Jü2

Лемма 3. Собственные функции вспомогательной задачи (3.1)-(3.3) имеют вид

Ф1к (х,у,г) = Ь1к (г)пк (х,у), Ф2к (х,у,г) = ^(х,у), к = 1, 2,..., (3.18)

а собственные значения выражаются формулой (3.9). Если функции (к(х,у) = Пкик(х,у), пк = (дь1к/дг)\х=0 = (ду2к/дг)\х=0, ортонормированы по форме оператора С, то имеют место следующие условия ортономировки:

(CZk, zj)l2 ,г = (Фк, фj)Hh>г(п) = 8kj , zk : =

дФ

!k

дz

дФ

2k

z=0

(Ва Zk ,Zj )L2 , Г = (Zk ,Zj )ßa

VZk • VZjdr = \(k1]8kj

дz k,j =

z=0 1, 2,...

г

г

г

При этом функции Фк := {Ф1к; Ф2к} образуют ортонормированный базис в

НЬ1

г(^); а функции (к(х,У) — ортогональный базис в энергетическом пространстве НВа оператора Ва, а также в пространстве Ь2, г.

Доказательство. Оно в общей ситуации, т.е. для произвольного сосуда и криволинейной границы Г, изложено, например, в [8], с. 165, а также в [15], с. 244-248, а утверждения данной леммы следуют как частный случай, когда сосуд цилиндрический, граница раздела Г плоская и горизонтальная, а верхнее и нижнее основания контейнера жесткие (неупругие). □

Таким образом, собственные функции (3.18) первой вспомогательной задачи (3.1)-(3.3) дают решения проблемы собственных колебаний двух несжимаемых идеальных капиллярных жидкостей (плотностей р1 и р2 , о(0) соответственно) в цилиндрическом сосуде с горизонтальной границей раздела между ними. Формулы (3.8), (3.18) показывают, в частности, что эти решения имеют характер пограничного слоя в окрестности Г: они экспоненциально затухают при отходе вдоль нормали к Г (т.е. при увеличении либо уменьшении г относительно точки г0 = 0).

4. Общие свойства решений основной спектральной задачи

Вернемся к проблеме (2.3)-(2.4) при / = /к, т.е. к задаче

d2v1 , , . dv1 . , . . „ .

^ - = 0 (-ы < г < 0), -¿г = 0 (г = -^1), (4.1)

1 / ^ d ( , . dv2) 2 , . dv2 . , . ,, ,

-р-0(г) уР2, о (г) ) + №2 = Ла-^2 (0 <г<Н2), = 0 (г = ^2), (4.2)

= =: П (г = 0), Лк(Ва)п = Л(plVl(0) - Р2,о(0М0)), к = 1, 2,..., (4.3)

и обсудим общие свойства ее решений при любом к = 1, 2,....

Как уже упоминалось выше (см. (2.6)), собственные значения задач (4.1)-(4.3) положительны. Покажем, что при любом к £ N задача (4.1)-(4.3) имеет дискретный спектр, состоящий из однократных собственных значений с предельной точкой Л = Попутно установим и другие свойства решений этой задачи. При этом применим операторный подход, развитый в общей ситуации в работе [6], см. также [3].

1°. Заметим сначала, что по элементу п £ ^ решение вспомогательной задачи

d2v1 , . dv1 , . dv1 . . . „

- 1кVl = 0 (-Ы < г < 0), = 0 (г = -Ы), = П (г = 0), (4.4)

находится однозначно и имеет вид (см. (3.8))

Vl(z) = пеЬ[ак(г + Ь,1)]/(ак8^^)) =: Т1кп. (4.5)

Тогда

Wi(ü) = a-lcth(akhi)n =: Clkц. (4.6)

Здесь оператор T1k действует из R в подпространство решений задачи (4.4), а C1k := Y1T1k (y1v1(z) := v1(ü)) — одномерный оператор, действующий в R. 2°. Представим теперь функцию v2(z) из (4.2), (4.3) в виде суммы

v2(z) = V21 (z) + V22 (z) , (4.7)

где v22(z) — решение задачи

-w d ( dv22 \ -Р2 ,o(z) dz\P2 '°(z)^J + Vk V22 = ü (ü < z <h2),

dv22 ai г, N dv22 ,

— =ü(z = h2), — = V (z = ü),

которую с учетом (1.1) легко привести к виду

ddd'v22 g dv22 ~ / ~ ^ j \ dv22 п , , \ dv22 (

- W2 = ü (ü < Z < h2), —-j— = ü (z = h2), —— = V (z = ü).

- - к 22 2 2 dz2 а2 dz dz dz

Тогда

V22(z) = -а-2е&х[(6+dkеth(dkЫО) еЬ^кг)-^к+6 еth(dkЫО) 8Ь^кг)]п =: Т2кп, (4.8)

V22(0) = -а-2[6 + dkеЛ^кМп =: -^2кп (4.9)

где

6 := д/(2а2), Вк := 62 + /к > 0, dk := Вк1/2.

3°. Из (4.2)-(4.3) и (4.7), следует, что функция v21(z) должна быть решением задачи

а2ЛкV2l(г) := -р-0(г)-^(р2,0(г)^г1) + 1кV2l = Л(v2l(z) + V22(z)),

где оператор Ак, подобно оператору А из (3.13), (3.14), можно считать заданным на множестве (3.13) и действующим в гильбертовом пространстве Ь2([0, Ы2]; р2 , 0(г)) со скалярным произведением (3.12). Этот оператор, после расширения по Фридрих-су, самосопряжен и положительно определен, а его энергетическое пространство Щ([0,к2]; р20(г)) имеет норму, эквивалентную стандартной норме пространства

Н°(М2]): '

/Ь2

P2,0(z)[\v'(z )|2 + /к\v(z)\2 ]dz > /к |МИ2([0,Ь2]Р2, о(^)).

4°. Перепишем уравнения задачи (4.1)-(4.3) с учетом введенных операторов в виде системы двух уравнений

а2А^21(г) = Л^21(г) + Т2к п), Лк (Ва )п = Л(-р2,о(0)т2V2l(z) + Ск п), (4.10)

Си = PlClfc + Р2,о(0)с2к, ) := Ь21 (0), (4.11)

относительно пары неизвестных: у21 (г) Е Щ([0, Л-2]; р2,о(^)) и п Е К. Осуществим еще замену искомой функции по формуле

Ак/2У21(г) =: W2l(z), (4.12)

1 /2

а затем, применяя оператор Ак к обеим частям (4.10), приходим к спектральной задаче

( а2Ак 0 \iw21 (г)\ , ( I Бык\ ("21^^ МлТ1//1

I 0 Ли (Б. )Д п ) = Ч Б21к Ск){ п ЕЧАк )'(4.13)

Б12кп := А1к2Т2кп, Б2lkW2l(z) := -p2,о(0)ъA-1/2W2l(z). (4.14)

Введем теперь гильбертово пространство Ь2,к = Ь2 ([0, ^2]; p2,0(z)) ф К с квадра-

том нормы

2

12к := 11^^21 (г)||£2{[оМ]Р2,0(,)) + 1п|2, Ф := (w2l(z); п)т, (4.15)

(где символом т обозначена операция транспонирования, в данном случае вектор-строки), и операторные матрицы

Ак := ^(а2Ак; Лк(Б.)), V(Ak) = V(Ak)фR, 3к := ( / Б2к ) , V(Jk) = ¿2,к.

\ Б21к Ск )

Лемма 4. Оператор 3к : Ь2,к ^ Ь2,к является ограниченным самосопряженным и притом положительно определенным оператором, действующим в пространстве Ь2,к.

Доказательство. Непосредственный подсчет показывает, с учетом определений (4.5), (4.6), (4.8), (4.9), (4.11), (4.14) и замены (4.12), что квадратичная форма оператора 3 в комплексном пространстве Ь2,к равна

= ( Бг ) ( "у ) • ( ' ) = М*)^^»*

+ 2Re(V2l(z),V22(z))нl([0>Л2];P2, о(*)) + Р&1 (0)^1(0) - Р2,о(0)^2 (0)^(0) =

Г-К2 г0

= p2)о(z Ж^)!2 + /Лк V (z)|2]dz + Р1 [К^)|2 + /Лк )|2]^. (4.16)

ио .7-^1

Отсюда следует, что оператор 3к не только неотрицателен в Ь2,к, но и положителен, а так как его можно представить в виде суммы единичного в Ь2кк оператора и компактного (в силу одномерности К или С), то 3 — самосопряженный положительно определенный оператор, заданный на всем Ь2 к. □

Следствие 1. Норма, определяемая квадратичной формой оператора Лк по закону

12

и :=(Лф,ф), Уф е Ь2,к, эквивалентна стандартной норме (4.15).

Опираясь на установленные факты, сформулируем основные утверждения о свойствах решений задач (4.1)-(4.3).

Теорема 1. При любом к = 1, 2,... задача (4.1)-(4.3) имеет дискретный спектр, состоящий из положительных однократных собственных значений {Хкр}"^=0 с предельной точкой X = Отвечающая им система собственных элементов

{Фкр}^=о, фкр = Пкр)Т, образует ортогональный по форме оператора Лк

базис в пространстве Ь2,к, а также в энергетическом пространстве Нлк С Ь2,к с квадратом нормы

(•Ь. 2

\\ф\\2Лк := а2 р2,оШт'21(г)\2 + Рк+ Хк(Ба)\п\2, к = 1, 2,.... (4.17) Jо

Собственные эле.мент,ы фкр .могут быть выбраны удовлетворяющими следующим условиям ортонормировки:

(Лк фкр,фкг)ь2, к = V, (Ак фкр,фк1 )ь2, к = (фкр,фк1 )лк = Хкр6р[.

Доказательство. Оно основано на том, что энергетическое пространство Нлк (в силу теоремы вложения Соболева) компактно вложено в пространство с нормой (4.16), так как норма (4.17) эквивалентна стандартной норме пространства Н 1([0, к2]) ф К, а норма (4.16) в силу следствия 1 эквивалентна норме (4.15). □

Последующие утверждения получаются из доказанного факта дискретности спектра задачи (4.13), т.е. задачи

Акф = ХЛкф, ф еТ(Ак) с Ь2,к, (4.18)

эквивалентной ей задачи

А-1ь = V = Лкф, р = Х-1, (4.19)

и соответствующих вариационных принципов для собственных значений этих задач.

Теорема 2. Собственные значения {Хкр}'^=0 задачи (4.1)-(4.3) могут быть найдены как последовательные минимумы вариационного отношения

а2 С Р2,о(г)\До,кV2\2dz + Хк{Ба)К(0)|2

^1; V2) := --0-0--,

Р1/Х Шг)\2 + Рк\vl(z)\2]dz + /о'2 р2,о(г)[\v2(z)\2 + &VШ2^

(4.20)

Ао,к) := -р-^)^^.о^)+ /кУ2^),

а числа /кр = 1/Лкр — как последовательные .максимумы вариационного отношения (см. (2.6))

F2k(vi; V2)

g-2/0fe2 P2,o(z)Mz)|2dz + X- \Ba)|pivi(0) - P2,o(0)V2(0)|2

P1/.-V [|vi (z)|2 + ßk lvi(z )l2]dz + J0h2 P2,o(z)[lv2(z)l2 + ßk |v2(z)|2]dz

4.21)

Доказательство. Вариационное отношение (4.20) следует из (4.18):

Л = (Ак ф,ф)ь2 к/(3к ф,ф)ь2 к ,

если вернуться к исходным обозначениям по формулам (4.16), (4.12). Соответственно вариационное отношение (4.21) следует из (4.19):

/ = (А-Ч^2, к/(3-У,У)ь2, к = (А—3к ф, 3к ф)ь2, к/(ф, 3к ф)ь2, к

□

Введем теперь по решениям задачи (4.1)-(4.3) и задачи (2.2) с условиями ор-тонормировки

(фк,фз)я1 = , (фк,фз)Ь2,г = /-^к], к,з Е ^ вместо (2.5) (для функций Пк(х,у)) и соотношений

Р1 [ [у! кр^Н кl(z)+ /к Щкр^Щы (z )]dz+

+ Р2,о(z )[v2kp(z)v2kг (z) + /кУ2кр (z)v2kl (z )]dz = 5рг, о

гЬ.2

а2 p2)о(z)(Aо,k У2кр)(Ао,к У2к1 )dz + Лк (Б. )у[кр(0)у[ ы(0) = Лкрбрг, о

а-2 Р2,о(z)У2kp(z)У2kl(z)dz+ о

+ Л- 1 (Б.)(р 1У1 кр(0) - Р2,о(0)У2кр(0))(р 1 у 1кг(0) - Р2,о(0)У2кг (0)) = Л-5р1, (4.22) которые выполняются для решений задачи (4.1)-(4.3), набор функций

Ф^рО^У^) := ylkp(z)uk(x,y), (4 23)

Ф2кр(х,у^) := У2kp(z)uk (х,у), к = 1, 2,..., р = 0,1,....

Теорема 3. Функции (4.23) образуют ортогональный базис в пространстве Н (П) решений исходной задачи (1.2) —(1.6) 7

Н (П) := {Ф1(х,у,г) := (Ф1(х,у,г)-,Ф2(х,у,г)) : ДФ1 = 0 (в П1), = 0 (на Б1),

дФ2 ЗФл д Ф2 Г Г Г }

= 0 (на в2), -1 = —^ =: ( (на Г), (¿Г = 0, Ф^Г = 0, Ф2dГ = 0

дп д% д% ,/г J■p >

с квадратом нормы (см. (1.9)^

||Ф||Н(П) := Р1 / |VФ1|2dП1 + / р2,0(г)\УФ2\ЧП2,

1 JПÍ «/ П2

а также в пространстве Ь2(П2;Г) с квадратом нормы

1|Ф|||2(П2;Г) := а-2 [ Р2,О(^)\Ф2 №2 + ||^-1/2(р1Ф1 - Р2,0(0)Ф2) Щ г.

П2

При этом имеют место следующие свойства ортонормировки

(Фкр, Ф]1 )Я1 (П) = 5к] 5р1 ■

При условиях ортонормировки (2.5) и (4.22) имеем: (Фкр, Ф] )ь2(П2;г) = Л-Р>5к]5Р1.

Доказательство. Оно проводится так же, как и в лемме 2, т.е. на основе [7], с. 397-398. □

Таким образом, при любом к Е N задача (4.1)-(4.3) имеет дискретный спектр и отвечающую ему систему собственных функций, свойства которых отражены в теоремах 1 и 2, а свойства решений исходной спектральной задачи (1.2)-(1.6) — в теореме 3.

5. Исследование характеристического уравнения спектральной задачи

Опираясь на доказанные выше общие факты, перейдем к непосредственному вычислению собственных значений Л спектральной задачи (4.1)-(4.3), получению и анализу соответствующего характеристического уравнения для этих собственных значений при любом к = 1, 2,... .

Прежде всего, решение уравнения (4.1), удовлетворяющее граничному условию при г = —Н1, имеет вид (см. (3.8)) ь1 (г) = Ь1сЪ[ак(г + ^1)], ак = ц1к/2, где Ь1 — произвольная постоянная. Далее, с учетом (1.1) из (4.2) приходим к соотношениям

^2'(г) — (д/а2)у'2(г) + иу2(г) = 0, 0 < г < Н2, у'2(к2) = 0, V = Л/а2 — цк. (5.1)

Общее решение однородного уравнения (5.1) имеет вид

У2(г) = е&г[Ь2 ео8(7г) + Ьз яп^г)], 72 = V — 52 > 0, 5 := д/(2а2), (5.2)

где Ь2 и Ь3 — произвольные постоянные.

Наконец, граничное условие в (5.1) и условия (4.3) приводят к следующей системе линейных однородных уравнений относительно неизвестных Ь1, Ь2 и Ь3:

Ь2- 008(7^2) - 7 в1п(7^2)] + Ьз[6 в1п(7^2) + 7 008(7^2)] = 0, ЬаъЦак^1) - Ь2б - Ьэ7 = 0, Ь1[Лк(Б.)ак8Ь(«кМ - Лр1вЬ(ак+ Ь2Лр2,о(0) = 0.

Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к характеристическому уравнению для нахождения собственных значений Л:

- ^[6 008(7^2) - 7 8^(7^)] • [Лк(Б.)ак - Лр^ЬЦак+ [6 8^(7^) + + 7008(7^2)]{«кЛр2,о(0) + 6[Лк(Б.)ак - Лр^Цак^)]} = 0, к =1, 2,... , (5.3)

ak = ßi/2, 5 = g/(2a2), 72 = ^ - 52 = Xa"2 - ßk - ö2 > 0, Xk(Ba) = aßk + g(pi - P2,o(0)).

(5.4)

После простых преобразований из (5.3), (5.4) получаем уравнение

V 81п(7^2)[Лк(Б.)ак - Лр^ЬЦак+ ЛакР2,о(0)[6 8т(7^) + 7 008(7^2)] = 0. (5.5)

Нетрудно видеть, что для решений этого уравнения 8т(7^) = 0, поскольку предположение 81п(7^2) = 0 приводит к выводу, что 008(7^2) = 0.

Для удобства последующих рассмотрений выберем в качестве характерного размера задачи (4.1)-(4.3) высоту к2 столба газа, а также какие-либо другие характерные величины для времени и других физических параметров гидросистемы. Тогда безразмерная высота столба газа будет равна 1, а другие параметры в (4.1)-(4.3) можно считать безразмерными.

Учитывая еще свойство 8т(7^2) = 0, перепишем уравнение (5.5) с учетом (5.4) в безразмерном виде

4. , X Г Лк(Б.) ( 2 , г2 , 2\-1 , Р1сЛ(ак1 , о 2ч

7^7 + 6 = - —--- (7 + 6 + ак) +-- (6 + 7 )

I- а2р2,о(0) Р2,о(0)ак ^

=: ¡к (72), к =1, 2,.... (5.6)

Здесь правая часть ¡к (72) как функция переменной 7 является четной и асим-потически близкой к параболе при 7 ^ то. Так как левая часть (5.6) также является четной функцией 7, то корни уравнения (5.6) расположены симметрично относительно начала координат и потому далее можно рассматривать лишь его положительные корни.

Из графического рассмотрения уравнения (5.6), а также из равносильного ему уравнения

^7 = - - + 1 ¡к (72), к =1, 2,... ,

1 1

приходим к следующим выводам.

1°. При любом к = 1, 2,... задача (4.1)-(4.3) имеет счетное множество собственных значений

Лкр := а2(^кр + ¡1к + д2/(4а4)), ^кР = пр + вкр, 0 < вкр <п, р = 1, 2,..., (5.7)

отвечающих акустическим колебаниям в гидросистеме "идеальная жидкость-баротропный газ".

2°. При фиксированном к и р — то имеют место свойства вкр — 0, то есть (2) (2) Лкр = Лкр [1 + 0(1)] (р — то) , где Лкр квадраты частот акустических колебаний

газа с неподвижной границей раздела Г (см. (3.15)).

3°. При фиксированном р и к — то из (5.7) и (3.15) следует также свойство (2)

Лкр = Лкр [1 + о(1)] (к — то, Ур =1, 2,...), так как цк — то при к — то (см. п. 2).

(2)

Таким образом, Лкр = Лкр [1 + о(1)], к,р — то.

4°. Рассмотрим теперь промежуток [0,п], где также может находиться корень уравнения (5.6), которое выведено при условии, что 72 = V — 52 > 0 (см. (5.2)). Если, в частности, выполнено условие (см. (5.6))

Лк (Вд)52 2 , 2ч-1 . Р1с^(ак^1)52

1 + 5>--2-тт^ (5 + ак) +-----,

а2Р2,о(0)К к р2,о(0)ак

то такой (единственный) корень имеется на этом промежутке. В противном случае вместо (5.6) следует рассмотреть уравнение

Лk (Ва К 2 , г2 ¿2n-1 , Plcth(ak hl)

—-— (ak + 0 - e ) + ——

a2 P2,o(0) P2,o(0)ak

о+ectK = - (ak+02 - ^r1 +"p о - e2)

=: Tk (e2), k =1, 2,..., (5.8)

которое получается формальной заменой 72 на — £2 и соответствует случаю V—52 = —С2 < 0 в (5.2).

Обозначим через 7ко корень уравнения (5.6) на промежутке [0, п], а через £ко — соответствующий корень уравнения (5.8). Тогда этим корням (одному либо другому) отвечают собственные значения Лк0 = а2(7|о + рк + д2/(4а4)), к = 1, 2,..., либо

Лк0 = а2(—Ск2о + Рк + д2/(4а4)), к =1, 2,... . (5.9)

5°. При а2 — то собственные значения (5.9), соответствующие корням уравнения (5.8), имеют асимпотическое поведение (см. (3.9))

Лко = Л^ [1 + о(1)] (а2 — то), (5.10)

т.е. отвечают решениям первой вспомогательной задачи (3.5)-(3.6) п. 3, а именно, случаю, когда обе жидкостные среды несжимаемы и имеют плотности р1 и р2,0(0) соответственно.

Рис. 1. Графическое решение уравнения (5.6) при ^ = 1.

Для доказательства свойства (5.10) рассмотрим уравнение (5.8) с искомой переменной которое перепишем в виде

(8+£е1Ь£)а2(а2+82—£ 2)ак Р2,с(0) + [ЛЙ (Ба ) — а2(ак+82—^р^Ь^ к1)](82—£2) = 0,

5 = д/(2а2) = О (а-2) (а ^ ж), (5.11)

и будем искать его корни с асимптотическим поведением £ко = ®к+вк0а-2 + О(а-4), а ^ ж. Подстановка £к0 в (5.11) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях а-2 приводит к формуле /Зк0 = -Л^/(2ак), к = 1, 2,.... Отсюда и из (5.9) следует асимпотическая формула (5.10).

6. Численные расчеты

Графическое решение уравнения (5.6) для 72 > 0 представлено на рис. 1. Здесь видно, что решений 7р счетное множество и при увеличении номера р отклонение от значения пр уменьшается. График смещений частиц жидкости (при —1 < г < 0) и частиц газа (при 0 < г < 1) для разных значений 7р представлен на рис. 2. Из рис. 2 видно, что смещение частиц жидкости увеличивается при удалении от нижнего основания цилиндра и при этом зависит от координаты г как гиперболический синус; при этом графики, описывающие смещение частиц газа (пунктирные кривые) имеют ярко выраженный периодический характер и с увеличением ¡л их период уменьшается. Графики на рис. 3 (полученные для нулевой моды колебаний, т.е. 70, при фиксированных ¡) свидетельствует о том, что смещение частиц газа уменьшается при удалении от границы раздела сред и достигает нулевой отметки на верхнем основании цилиндра. Следует отметить, что при увеличении ¡ кривая смещения приближается к оси Ог: чем больше значение ¡ , тем круче становится кривая, изображающая смещение частиц газа.

Алгоритм нахождения значений безразмерного параметра 7+, р = 0,1, 2, 3,... для заданного значения спектрального параметра ¡к, к > 1, задачи (2.2) (в поперечном сечении цилиндра) реализован в виде компьютерной С++-программы.

Для двух случаев (малое ускорение и соизмеримое с д = 9.81), представляющих практический интерес, вычислялись и сравнивались значения 7+ и [Зр (см. формулы (5.7)), выявлялось их асимптотическое поведение при р ^ 1. При оценке количественной близости вычисленного значения 7+ и величины пр анализировались как абсолютная, так и относительная погрешности [Зр. Численные расчеты выполнялись е двойной точностью для различных значений спектрального параметра Цк и шага изменения (вдоль координаты £)} равного 10_3 и 10_7. Для гидросистемы с параметрами р\ = 1, р2 = 0.7, Н\ = 1, а = 1, а = 300000, найденные значения параметра 'Ур при д = 9.81 представлены в табл. 1 (до третьего знака после запятой), а относительная погрешность полученных значений — в табл. 2.

Табл. 1. Результаты расчетов: значения 7+ и вр.

ßk 7+с ßk0 Y+i ßki 7+2 ßk2 7+3 ßk3 7+10 ßk10

0.1 0.257 0.257 3.163 0.021 6.293 0.010 9.431 0.006 31.418 0.002

1 0.671 0.671 3.301 0.159 6.366 0.083 9.480 0.055 31.432 0.016

10 1.106 1.106 3.681 0.539 6.605 0.322 9.649 0.224 31.485 0.069

100 1.376 1.376 4.174 1.032 7.064 0.781 10.033 0.608 31.633 0.217

1000 1.503 1.503 4.511 1.369 7.526 1.243 10.550 1.125 32.020 0.604

106 1.568 1.568 4.705 1.563 7.842 1.559 10.979 1.554 32.939 1.523

Табл. 2. Относительная погрешность значений 7+.

p ß = 0.1 ß =1 ß =10 ß = 100 ß = 1000 ß = 106

1 0.007 0.048 0.146 0.247 0.303 0.332

2 0.002 0.013 0.049 0.111 0.165 0.199

3 0.001 0.006 0.023 0.061 0.107 0.142

10 0.000 0.001 0.002 0.00

Рис. 3. График нулевой моды смещений частиц Рис. 2. График смещений частиц жидкости и жидкости и газа при ц = 11,12,13. газа при ¡л = 100 для разных значений 7р.

Численное решение трансцендентного характеристического уравнения (5.6) дало результаты, согласующиеся с качественными физическими выводами и математическими свойствами спектральной задачи (1.2)-(1.6), а именно:

1) значения 7+ расположены на правой полуоси;

2) с увеличением номера р значения 7+ стремятся к величинам пр;

3) наблюдалась тенденция к уменьшению как абсолютной, так и относительной погрешности для всех исследованных значений р; относительная погрешность

0.01% для значений 7+ достигается для р = 0.1 уже при р =3, тогда как для р = 1 этот факт наблюдается лишь при р = 10; с увеличением р для достижения требуемой точности у всех значений 7+ необходимо увеличить номер р;

4) замечено, что приближенные значения 7+ — п/2 при к — то.

Проведенные расчеты показали, что характеристическое уравнение (5.8) на

отрезке [0, у/р + 52] не имеет решения.

7. Физические выводы

Опираясь на установленные факты, сформулируем итоговые физические и математические выводы о свойствах решений спектральной задачи (1.2)-(1.6).

1°. При совместных колебаниях баротропного газа и идеальной несжимаемой жидкости в цилиндрическом сосуде в условиях, близких к невесомости, в изучаемой системе имеются акустические и капиллярно-гравитационные волны. Квадраты частот собственных колебаний этих волн образуют дискретный положительный спектр с предельной точкой на +то.

2°. При увеличении номеров волн происходит асимптотическое распадение собственных колебаний на два класса: акустические волны, близкие к соответствующим волнам в области газа с неподвижной границей раздела Г, и волны типа погранслоя у Г, отвечающие собственным колебаниям системы из двух идеальных несжимаемых жидкостей с плотностями р1 и р2>0(0).

3°. При неограниченном возрастании скорости звука в газе (а2 — то) все частоты колебаний акустических волн уходят в бесконечность, а частоты колебаний пограничных волн переходят в частоты колебаний системы из двух несжимаемых жидкостей.

4°. Совокупность собственных функций, отвечающих акустическим и пограничным волнам, образуют ортогональный базис в некотором гильбертовом пространстве. Это позволяет разлагать решения соответствующей начально-краевой задачи о малых движениях гидросистемы "жидкость-газ" в функциональные ряды по собственным функциям спектральной задачи.

Автор благодарит Н.Д. Копачевского за постановку задачи и внимание к работе.

Список цитируемых источников

1. Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д.

Гидромеханика невесомости. — М.: Наука, 1976. — 504 с.

2. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости. — К.: Наукова думка, 1992. — 592 с.

3. Войтицкий В.И., Имрякова М.А., Копачевский Н.Д., Лившиц А.И., Насонкина А.В. Три спектральные гидродинамические задачи о собственных колебаниях системы идеальных жидкостей в цилиндрическом сосуде // Ученые записки ТНУ. — 2008. — Т. 21, № 1. — С. 10-22.

4. Вронский Б.М. О малых движениях системы "жидкость-газ" в ограниченной области // Ученые записки ТНУ. — 2004. — Т. 17, № 1. — С. 3-10.

5. Газиев Э.Л. О малых движениях и собственных колебаниях системы "идеальная жидкость-баротропный газ" // Таврический Вестник информатики и математики. — 2011. — № 1. — С. 127-137.

6. Г азиев Э.Л., Копачевский Н.Д. Малые движения и собственные колебания гидросистемы "жидкость-баротропный газ" // Украинский математический вестник. — в печати.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981. — 544 с.

8. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. — М.: Наука, 1989. — 416 с.

9. Копачевский Н.Д., Радякин Н.К. Две задачи о нормальных колебаниях системы из маловязких капиллярных жидкостей // Вопросы математической физики и функционального анализа. — К.: Наукова думка, 1976. — C. 93-110.

10. Копачевский Н.Д. К проблеме малых движений гидросистемы "жидкость-газ"/ Тезисы докл. Междунар. конф. по прикл. матем. им. А.А. Дородницына. — М.: ВЦ РАН, Россия, 2010. — C. 120-122.

11. Луковский И.А., Тимоха А.Н. Вариационная формулировка одной нелинейной краевой задачи с неизвестной поверхностью раздела двух областей / Устойчивость движения твердых тел и деформируемых систем. — К.: Ин-т математики АН УССР, 1989. — С. 7-10.

12. Л уковский И.А., Тимоха А.Н. Собственные колебания свободной поверхности ограниченного объема жидкости, взаимодействующей с акустическим полем // Доклады АН УССР. — 1990. — № 12. — С. 24-26.

13. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. — 512 с.

14. Моисеев Г.А. Движение твердого тела, имеющего полость, целиком заполненную двумя несмешивающимися жидкостями // Матем. физика. — 1973. — № 13. — С. 6673.

15. Kopachevsky N.D., Krein S.G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint Problems for an Ideal Fluid. — Basel: Birkhauser Verlag, 2001. — 384 с.

16. Kopachevsky N.D., Padula M., Vronsky B.M. Small motions and eigenoscillations of a system "fluid-gas" in a bounded region // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. — 2007. — Т. 20, № 1. — C. 3--55.

Получена 20.02.2012 ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 2(30), №1-2(2012)