Спектральная задача с условиями сопряжения на криволинейной границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 45-57.

УДК 517.9[72.5+27.25+84.52]

Э. Л. ГАЗИЕВ

СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕ

Изучается спектральная задача, возникающая в проблеме малых движений системы "идеальная капиллярная жидкость-газ" в прямоугольном канале с твердой стенкой. Рассматривается случай экспоненциальной стратификации газа вдоль направления гравитационных сил и условий сопряжения для потенциалов смещений, сформулированных на поверхности жидкости, которая в состоянии покоя не является горизонтальной. Предлагается проекционный метод, основанный на вариационном подходе.

Ключевые слова: капиллярная жидкость, газ, стратификация, спектральная задача, условие сопряжения, проекционный метод, обобщенное решение.

1. Введение

Эволюционные и спектральные задачи гидродинамики описываются начально-краевыми и краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, для большинства которых не удается получить точное аналитическое решение. Поэтому особый интерес представляют прямые методы нахождения искомых величин. Среди них отметим проекционные, вариационные и численно-аналитические методы, см., например, работы [1]—[12], в которых при разработке и обосновании метода используются вариационная формулировка исследуемой задачи, энергетические или вариационные соотношения. В общем случае выбор координатных (пробных) функций проекционного метода является достаточно сложной проблемой и осуществляется по-разному. В частности, в [2] в задаче о собственных колебаниях идеальной жидкости выбор координатных функций основан на применении ортогонального проектирования собственных элементов задачи на функциональные подпространства, естественно возникающие при использовании метода разделения переменных.

В настоящей работе рассматривается спектральная задача, порожденная проблемой собственных колебаний в прямоугольном канале гидросистемы, состоящей из несжимаемой капиллярной жидкости и газа, стратифицированного по плотности. Эволюционная проблема описывается краевой задачей для потенциалов смещений в средах с кинематическим и динамическим условиями сопряжения третьего рода на границе раздела сред. Операторный подход в общем случае, когда граница раздела сред в состоянии покоя не обязательно является является плоской, предложен в работе [10]. В случае горизонтальной равновесной поверхности жидкости спектральная проблема была изучена в [13], а приближенный метод для вычисления криволинейной равновесной поверхности раздела сред был предложен в [14]-[16].

Наша цель — предложить проекционный метод для приближенного вычисления значений спектрального параметра в плоской (двумерной) проблеме с условиями сопряжения на криволинейной границе раздела сред.

2. Формулировка двумерной спектральной задачи и основные

предположения

В декартовой системе координат Oxyz рассмотрим прямоугольный канал, геометрия поперечного сечения канала (плоскостью y = const) представлена на рис. 1. Канал заполнен идеальной капиллярной несжимаемой жидкостью плотности pi > 0 и баротропным газом, плотность которого изменяется по закону

р2,о := P2,o(z) = Р2,о(0) exp(-2ez), е := (3go/(2a2) < 1,

где a2 = const — квадрат скорости звука в газе, go — стандартное ускорение свободного падения в земных условиях, в — коэффициент перегрузки.

Пусть гравитационное поле действует вдоль оси Oz сверху вниз с интенсивностью g = -вд0е3, в > 0 (е3 — орт оси Oz). В этом случае трехмерная проблема сводится к двумерной (плоской) проблеме в поперечном сечении канала. Область Qi, занятая жидкостью, ограничена частью Si твердой стенки канала и границей Г, разделяющей области "жидкость" и "газ", в состоянии покоя. Соответственно газ расположен в области Q2, ограниченной Г и частью S2 стенки S = Si U S2. Считаем также, что уравнение дуги Г задано в параметрической форме

x = x(s), z = z(s), — s0 < s < s0,

x(so) = l, x(—so) = —l, (1)

— h1 < z(s) < h2, — s0 < s < s0,

где в качестве параметра s выбрана длина дуги Г, отсчитываемая от ее середины, l — полуширина канала, H — высота канала, V0 — заданный объем жидкости, h1 = V0/(2l) — условная высота жидкости, h2 = (H — h1) — условная высота газа.

Пусть ш — частота колебаний, а > 0 — коэффициент поверхностного натяжения на Г; n — вектор нормали к Г, направленный из Qi; П0 — вектор касательной к Г

Рис. 1. Поперечное сечение канала.

в точках в = ±во (т.е. х = ±1); ( = ((в) — отклонение в точке в дуги Г вдоль п от равновесного состояния; к(в) — кривизна дуги Г, 0 < 5 < п — угол смачивания. Следуя [10], введем ортопроектор Рг : Ь2(Г) ^ ¿2,г, ¿2,г := ¿2(Г) 01Г, по закону

«0

Рг< = < " ¿/ (2)

-«0

Тогда для потенциалов смещений Ф1 := Ф\(х,х) в жидкости и Ф2 := Ф2(х, г) в газе получаем следующую линеаризованную спектральную задачу

д Ф1

ДФ1 = 0 (в П1), -П = 0 (на ^1), (3)

о дФ2 1 о

-А0Ф2 = Ла-2Ф2 (в П2), дП = 0 (на Яг), АоФ2 := р-0 ¿1у(р2,оУФ2), Л := и2, (4)

«0 «0

=: С (наГ), У (с!в = 0, У Ф1 ав = 0^ Р2,оФ2^^2 = 0,

«0 «0

дФ1 дФ2

дп = =: ^ (наГ), I ^ав = 0, / Ф1 ав = 0, / р2,о

-«0 -«0 П2

Ба( := Рг(-^АгС + а(в)С) = Л(р1Ф1 - Рг(р2,оФ2)) (на Г), д(

дпо + хС = 0 (при в = ±во), (5)

а(в) := —а(к(в))2 + д(р1 — р2,о) еов(п, е3), х := —к(в) сов 5/ 8т 5. (6)

Отметим, что в спектральной задаче сопряжения (3)—(6) искомый спектральный параметр Л входит в уравнение (4) и граничное условие (5). Кроме того, оператор Дг в динамическом условии (5) и соответствующий ему оператор градиента Уг вычисляются на криволинейной дуге Г.

Добавим еще, что в [14]—[16] для отыскания Г получена краевая задача

г" = х'[с + Бог + 6о/е(г)], 0 < 8 < 8о, (7)

х" = —г'[с + Бог + 6о/е(г)], 0 < 8 < во,

г(0) = -го, г'(0) = 0, х(0) = 0, х'(0) = 1,

«0

х(во) = I, 2 !(г(в) + Н{)х'й8 = Уо = 2h.il, (8)

о

где го — максимальный прогиб равновесной дуги Г в точке 8 = 0, /£(г) := р2,о(0)(ехр(—2ег) — 1)/(2е). О смысле параметров Бо и Ьо будет сказано ниже. Далее считаем, что проблема (7)-(8) решена, и равновесная дуга Г найдена.

Замечание 3. Для вычисления производной по нормали на известной Г имеем:

д ' д ' д (9) дп дг дх'

□

Выберем I и р1 в качестве характерных величин и осуществим в задаче (3)-(6) переход к безразмерным переменным с помощью замен

х ^ х1, Р2,о(0) ^ Р2,о(0) Р1, £ ^ е1. Тогда проблема (3)-(6) преобразуется к спектральным задачам Неймана

дФ1

ДФ1 = 0 (в П1), =0 (на (10)

—ДоФ2 = Ла2$2 (в П2), ^ = 0 (на

дп

с условиями сопряжения искомых функций Ф1 и Ф2 на криволинейной (в общем случае) дуге Г

дФ1 дФ2

т— = -тг- =: С, —8о < 8 < 8о, дп дп

БаС := Рг[—ДгС + ФХ] = Лф — р2,о(0)Рг(ехр(—2£г)Ф2)], —во < в < во,

д! дпо

и условиями нормировки

«0 «0

+ ХС = 0 (при 8 = ±8о),

J СЛ8 = 0, ^ Фф = 0, ! ехр(—2£г)Ф2й&2 = 0. (11)

«0

«0

2

Здесь введены следующие обозначения:

213

Л :=

р1и21

а

2

а

а р11а2'

а(в) := —(к(в))2 + (Бо - Ьо ехр(-2ег))еоБ(п,ёз), е = вео, £о := до1/(2а2),

Бо := р^ = вВо, Во := ^, Ьо := ^^^ = вЬо, Ьо := ^^^. а а а а

С учетом [1], см. с. 527 для оператора Лапласа-Бельтрами Аг на криволинейной границе Г, заданной в виде (1), получаем

АгС = а2(/ав2.

3. Определение обобщенного решения

Определение 1. Будем говорить, что задача (10)-(11) имеет единственное обобщенное решение Ф := (Ф1;Ф2; С), Ф1 € Н 1(^1), Ф2 € Н 1(02; р2,о), ( € Ь2,г, если при любых функциях Ф := (Ф1;Ф2; ф), Ф1 € Н 1(^1), Ф2 € Н 1(02; р2,о), ф € Ь2,г, выполнены следующие интегральные тождества:

у УФ1 • УФ1 а^1 = у (Ф1)

Пх -«0

сав,

(12)

I р2,о^Ф2 УФ2 а^2 + / (ур2,оФ2^) г(ав = Ла2 J р2,оФ2Ф2 а^2, (13)

П2

-«0

П2

«0 «0

^Ф'С + а(в)ф(]ав + х(в)Ф(в)((в)|«=-°«0 = I ф(Ф1 - Рг(р2,оФ2^|гав. (14

-«0

-«0

□

Рассмотрим случай, когда оператор Ба потенциальной энергии гидросистемы является положительно определенным. Если выполнено условие

С = ЛБФ1 - Рг(р2,оФ2))

т.е. соотношение (14) удовлетворяется точно, то из (12), (13) для обобщенного решения получаем интегральные тождества, в которых не присутствует функция (:

«0

IУФ1-УФ1 а^1 = л I [ф^б-1 (Ф1 - Рг(р2,оФ2)))

Пх -«0

ав,

(15)

«0

У р2,о УФ2 • УФ2 а^2 + л/ р2,оФ^ Б-1(Ф1 - Рг(р2,оФ2)))

ав =

г

г

г

«0

2

= Ха2 J P2,O^2$2 УФ1 € H 1(Qi), УФ2 € H^2; Р2,о). (16)

П2

Отметим также, что тождества (15), (16) равносильны соотношению

УФ1 • У$1 dQi + P2,OV^2 • V$2 dQ.2 = Ма2 p2,o^2&2

Пх

П2

{а2/,

П2

+

«0

У [(Ф1 - P2^)(- fr(P2,0$2)^]|rd^. (17;

Определение 1 обобщает определение обобщенного решения, предложенное М.Я. Барняком для изучения проблемы колебаний идеальной жидкости в сосуде (см. [2], a также [5]—[7], [9]) на случай, когда контейнер заполнен гидросистемой "жидкость-баротропный газ".

4. Вариационный подход

Рассмотрим задачу на экстремум квадратичного функционала

J |V$1|2dQ1 + J P2,o|V$2|2d^2, Ф1 € H 1(Q1), Ф2 € H 1(Q2; Р2,о) (18)

Пх П2

при условии

«о

а2 J P2,o|$2|2d^2 + J (Ф1 - Р2)оФ2^^а1(Ф1 - Рг(Р2,оФ2))) ^S = const (19)

П2 -«о

и соответствующую ей задачу на безусловный экстремум

F(Ф1, Ф2) := J |УФ1|2^1 + J p2,о|VФ2|2dn2 - х{а2 J Р2,о|Ф2|^2+

Пх П2 П2

«о

+ У [(Ф1 - Р2,оФ2^В-1(Ф1 - Рг(Р2,ОФ2)^]|г^^. (20)

-«о

Нетрудно заметить, что соотношение (17) суть равенство нулю первой вариации функционала (20). Проблема (18), (19), в свою очередь, является задачей о минимуме квадратичного функционала

У |УФ112 dQ1 + У Р2,О|УФ2|2 d^2

Пх П2

«о

а2 р2,0 |Ф2|2 d^2 + (Ф1 - Рг (Р2,0Ф2)) (В-1(Ф1 - Pr(p2^2)))ds

«о

«о

2

Спектральная задача с условиями сопряжения на криволинейной границе 51

на функциях (Ф1; Ф2) € Н ® Н 1(^2; р2,о), отвечающих условиям нормировки

«0

У Ф1 йв = 0, У вхр(-2ег)Ф2 й^2 = 0,

-«о П2

который достигается на собственных значениях задачи (10)—(11). Таким образом, можно отыскивать обобщенное решение исходной задачи, решая задачу о минимуме функционала (20). Заметим, что при Ба ^ 0 спектр задачи является дискретным, расположен на положительной полуоси и имеет предельную точку на (см. [10]).

5. Проекционный метод нахождения обобщенного решения

Будем искать обобщенное решение, на котором достигается минимальное значение функционала (20). Представим приближенное решение задачи (10)—(11) в виде

N / ф \ N

Ф = Е ckФк, Фк = ф1к , С :=Е ckZk, (21)

k=1 \ 1к ) k=1

где вк — неизвестные коэффициенты, Фк — пробные функции, а функции (к на Г определены с учетом (9) (см. замечание 3):

.= дФк = х'дФк - 'дФк (22)

' дп дг дх '

Поскольку первая вариация функционала (20) на Л и в := (с1, ..., вN), на которых достигается минимум функционала, должна быть равна нулю, то для нахождения коэффициентов вк и спектрального параметра Л получаем систему уравнений

N

l = 1, N, 0 = £ ck(j УФ1к • УФЦ düi + У pi,oV$ik • УФц dfii) -

к=1 Пх П2

N Г 7

- вк(а2 р1,оФ1кФи düi + (Фи-Рг(Р1,оФц))В-1(Ф1к-Pr(pi^ik))ds). (23)

к=1 П2 -«0

Для существования нетривиального решения однородной системы уравнений (23) необходимо, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Отсюда и следует характеристическое уравнение для вычисления Л:

det A = 0, (24)

A = {Alk}Nk=1, Alk := У УФ1к • УФ1 dÜ1 + J р1,оУФ1к • УФц düi-

Пх П2

«о

- Л^а1 J р1,оФ1кФц düi + J (Фи - Рг(р1,оФ11))В-1(Ф1к - Pr(Pi^ik))ds). (25) П2 -s0

В соотношениях (25) с учетом (2) Рг(p2,оФ2j) вычисляются по формуле

«0

Pг(P2,0Ф2j) = P2,0Ф2j - ^ J P2flФ2j йв, ] = 1, N.

-«0

6. Выбор координатных функций

Рассмотрим теперь проблему нахождения системы координатных функций. Учтем, что искомое решение в общем случае (при необязательно горизонтальной Г) должно удовлетворять аналогичной задаче и в частном случае, при горизонтальной границе Г. Потому естественно выбрать в качестве координатных функций Ф1к = Ф1к(х, г), Ф2к = Ф2к(х, г), к = 1, 2,..., решения задачи, полученные при условии горизонтальности Г (т.е. при угле смачивания 5 = п/2), а именно:

д2Ф1к , <92Ф1к п п , , и п\

+ » 2 =0 в = (-1,1) х (-Нь 0),

дх2 дг2

дФ1к

дг

0, дФ1к

г=-Н-1,х€(-1,1) дх

(26)

= 0,

х=±1, 0)

(V Ф2к 0 д Ф2к . д- Ф2П 2ХЛ О (л л\ (пи \

-{-^т - + -дгг) = а ЛФ2к в =(-1,1) х (0,к2),

д Ф2к =0 д Ф2к =0

дг г=Н2,х&(-1,1) ' дх х=±1,ге(ом) '

дФ2к дФ1к , ^ / \

=: (к при (г = 0) х (-1 <х< 1), (к = (к(х),

(27)

дг дг

БаСк = Л(Ф1к - Р2,о(0)Ф2к), (г = 0) х (-1 < х < 1), (Ск)' =0, (28)

х=±1

где

БаСк := -(Ск)" + (Бо - Ъо)(к. Для решения задачи (26)—(28) обобщим на рассматриваемый случай методику исследования, предложенную в [13]. Будем искать решение задачи (26) в виде Ф1к = ^1к(г)ик(х). Нетрудно видеть, что ик = ик(х) являются решениями вспомогательных спектральных задач

и' + ^кик = 0 при - 1 < х < 1, и'к(1) = и'к(-1) = 0,

откуда следует, что

/ п(к - 1/2) и ( 8т(п(к - 1/2)х) к . 2 Мк = < , , ик = < , . , , к = 1,2,....

[ пк \ сов(пкх)

С учетом уравнения и первого граничного условия задачи (26) получаем, что

У1к = &1ксЬ(мк(г + Н)) Ф1к = Ь1 ксЬ(мк(г + Н^Пк(х),

Ск = &1к М к к (г + Н{))ик (х),

и собственные значения оператора Ба вычисляются по формуле

Лк (Ба) = цк + (Во - Ьо) > 0.

Решение задачи (27)-(28) будем искать в виде Ф2к = У2к(г)ик(х). С использованием метода разделения переменных для функций У2к(г) имеем уравнение

Ак - 2^2к + («2Лк - цк>2к = 0. (29)

Для краткости введем обозначение

Бк := (а2Лк - цк) - е2. (30)

Тогда общее решение уравнения (29) при Бк > 0 имеет вид

У2к = ехр(ег)[Ь2к соъ^к г) + Ьзк г)], := пк, (31)

а при Бк < 0

У2к = ехр(ег)[Ь2к ехр({кг) + Ьзк ехр(-(кг)], ^ := -Бк.

С учетом граничных условий при Б к > 0 для коэффициентов Ь1к, Ь2к и Ьзк получаем систему уравнений

Ь2к{есов(^кМ - Ъ й1п(7кЛ-2)} + Ьзк{е вт(ч кМ + Ъ сов(^кМ} = 0, Ь1кЦкйЬ(цкЛ-1) - Ь2к(е2 + 7!) 81п(7к^з) = 0, (32)

Ь1к{Лк(Ба)ЦкйЬ(цкЬ) - Лр1сЪ(цк^)} + Ь2кЛр2,о(0){е 8т(7к^2) + 7к сов(^кМ} = 0, откуда с учетом нетривиальности искомого решения приходим к характеристическому уравнению для определения 7к:

, / ь \ ( а2Лк(Ба) . Р1 сЛЦ^)\ о 2ч /ооЛ

е + 7к ^(7кН2) =--о 2 ^ + , , (е + ^к)- (33)

V Р2,0(0)(Ц1 + е2 + 72) Ц кр2,0(0) /

Графическое решение уравнения (33) показывает, что при фиксированном к = 1, 2,... оно имеет счетное множество решений 7кр, р = 1, 2, .... Значение р = 1 соответствует первому корню уравнения (33). Отметим, что отыскание 7кр с учетом (30), (31) позволяет легко найти значение искомого спектрального параметра:

Л кр = а-2(е2 + + 7kp). Далее, из соотношений (32) при Бк > 0 вычисляем коэффициенты Ь2кр и Ьзкр:

Ь2 = ь (е 81п(7кр^2) + ^кр соё(^крЬ-2))Цк вЬ(цкМ 2 кР 1к (е2 + 72р) й1п(7кр^2) '

Ьз = -ь1 к (е cos(Ykph2) - 1кр вт^крЫЦ вЬ(ц Ф1) зкР 1 к (е2 + 72р) й1п(7кр^2) .

Следовательно, координатные функции Ф2 р можно выбрать в виде

e + бcth(№) = ( 2 +!/_ ^ + ^ГГГ ) e - (2). (34)

Ф2 kp = bik . ,ßk 2л {(esin(Ykph2) + Ykpcos(^kph2)) cos(^kpz)-

sm(Ykph2)(£2 + YfcpH

- (ecos(Ykph2) - Ykp sin(jkph2)) sin(Ykpz)} exp(ez>k(ж).

Аналогичные выкладки при Dk < 0 приводят к соотношениям

b2k(e + (k) exp((kh2) + b3k(e - (k) exp(-(kM = 0, bikßksh(^khi) - b2k(e + (k) - b3k(e - (k) = 0,

bik{Xk(Ba)ßksh(ßkhi) - XkPichßhi)} + b2kXp2,o(0) + b:ikXp2,o(0) = 0, из которых следует характеристическое уравнение для определения (k :

a2Xk(Ba)__picth(ßkhi)\ (e2 (2)

P2,o(0)(ßk + e2 - (2) ßkP2,o(0) " "

Анализ уравнения (34) показывает, что при фиксированном k = 1, 2,... оно имеет единственный корень (ko € (0, \je2 + ßk) (см. знаменатель первого слагаемого в правой части). Соответствующие коэффициенты и пробные функции имеют вид

b2ko = -bik exp(-(koh2)ßk sh(ßk hi) b3k0 = -b exp((koh2)ßk sh(ßk hi) 2(e + (ko) sh((koh2) ' 2((ko - e) sh((koh2) '

ßk sh(ßkhi) {exp((ko(z - h2)) exp(-(ko(z - h2)) } f \ f \ $2ko = (e + (ko) + ((ko - e)h2) }exp(£Z)Mk(X)-

Отметим, наконец, что при Dk = 0 нетривиальное решение Ф2 отсутствует. Теперь с учетом полученных результатов, а именно, наличия при каждом фиксированном k = 1, 2,... единственного решения Ф2М (поверхностная волна) и счетного множества решений Ф2^, p = 1, 2,..., (акустические волны), уточним представление приближенного решения и вид характеристического уравнения (24), (25) для нахождения значений спектрального параметра X = Xkp.

Зафиксируем значения N > 1, M > 0 и перенумеруем наборы координатных функций {Ф^ := (Ф^ ; Ф^)}, k = 1, 2 ... ,N, p = 0,1,..., M, следующим способом:

Фх := (Фц;Ф2ю), ФХ := (Фп;Ф2п), Фм+i := (Фц;Ф21м),

ФМ+2 := (Ф12; Фм+3 := (Ф12; Ф221), • • • , Ф2М+2 := (Ф12; Ф22М), • • • ,

Ф(м-1)(м+i)+i := (Фш;ф2wo), •••, фN(м+1) := (Фш;Ф2мм), (35)

т.е. двумерному индексу kp поставим во взаимнооднозначное соответствие одномерный индекс t = (M + 1)(k - 1) + p + 1. Тогда, с учетом условии нормировки (4), конечномерная аппроксимация (21) обобщенного решения переписывается в виде

N (м+1) / \ / (1) \

Ф = E ctft, Фг = f" := J Ф Фlk -1 ),d(S = ^ P2^2kp dÜ2, tÎ \f2tJ \^kp - dkp P-1 J kp l^2| 7

«0

= 7^ [ ф1к¿в, к = к(г) = г + (м + 1) + 1, р = р(г) = г - (к - 1)(м + 1) -1. 2в0 .}

-«0

где аг — дополнительные нормировочные коэффициенты пропорциональности, необходимость введения которых вызывается тем обстоятельством, что числа А\к выражаются через множители = п(к - 1/2), ехр(±рк(г + Н1), к = (М + 1), что может вызвать неустойчивость вычислительного процесса. Теперь соотношения (25) переписываются в виде

Аг„ := ( I • V/lv +1 Р2,0oV/2t • УЬи ¿П2-

пх п2

«0

- \(а? I Р2,о// ^2 + ! (/и - Рг(р2/))В-1(/1и - Рг(р2,0Ы)^)). (36) П2 -«0

Таким образом, исходная спектральная задача сведена к задаче (24)-(25) на собственные значения Л в конечномерном пространстве размерности N2(М + 1)2.

Дополнительные нормировочные коэффициенты аг определяются так, чтобы на решениях задачи с горизонтальной границей Г выполнялось соотношение ац = 1. Наконец, отметим, что слагаемые вида

«0

У (/и - Рг(р2/))В-1(/1и - Рг(Р2,0/2и)№ -«0

можно вычислить способом, предложенным в [1, с. 317-319].

7. Выводы

В данной работе разработан проекционный метод решения двумерной спектральной задачи с граничными условиями Неймана и условиями сопряжения на негоризонтальной границе, возникающей в проблеме малых колебаний гидросистемы "идеальная капиллярная жидкость-баротропный газ" в прямоугольном канале. Этот метод основан на вариационном подходе и может быть использован для решения спектральной задачи сопряжения, порожденной аналогичной эволюционной проблемой в осесимметричном сосуде.

Автор выражает благодарность Н.Д. Копачевскому за постановку проблемы и полезные обсуждения.

Список литературы

Методы решения задач гидромеханики для условий невесомости / [В. Г. Бабский, М.Ю. Жуков, А. Д. Мышкис, Н.Д. Копачевский, Л. А. Слобожанин, А. Д. Тюпцов]; под ред. А. Д. Мышкиса. — К.: Наукова думка, 1992. — 592 с.

Барняк М. Я. Применение метода ортогональных проекций к исследованию малых колебаний жидкости в сосуде / М. Я. Барняк // Математическая физика в нелинейной механике. — 1988. — Т. 10(44). — С. 37-43.

Копачевский Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи / Н.Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан. — М.: Наука, 1989. — 416 с.

Копачевский Н. Д. О задаче Коши для малых колебаний вязкой жидкости в слабом поле массовых сил / Н.Д. Копачевский // ЖВМиМФ. - 1967. - Т. 7, № 1. - С. 128-146. Луковский И. А. Вариационная формулировка одной нелинейной краевой задачи с неизвестной поверхностью раздела двух областей / И. А. Луковский, А. Н. Тимоха // Устойчивость движения твердых тел и деформируемых систем. — К.: Ин-т математики АН УССР, 1989. — С. 7-10.

Луковский И. А. Модифжащя вар1ацшного методу розв'язку задач про власш коли-вання рщини в похилому цилщдр1 / И. А. Луковский, М.Я. Барняк // Допов1д1 НАН Украши. — 1997. — № 5. — С. 62—66.

Луковский И. А. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости / И. А. Луковский, М. Я. Барняк, А. Н. Комаренко. — К.: Наукова думка, 1984. — 229 с.

Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. — М.: Наука, 1970. — 512 с.

Barnyak M. Ya. Construction of solutions for the problem of free oscillations of an ideal liquid in cavities of complex geometric form / M. Ya. Barnyak // Ukrainian Mathematical Journal. — 2005. — Vol. 57, No 12. — pp. 1853-1869.

Gaziev E. L. Small motions and eigenoscillations of a "fluid-barothropic gas" hydrosystem / E. L. Gaziev, N. D. Kopachevsky // Journal of Mathematical Sciences. — Vol. 192, № 4, July, 2013. — рр. 389-416.

Gavrilyuk I. P. Evolutional problems of the contained fluid / I. P. Gavrilyuk, I. A. Lukovsky, V.L. Makarov, A.N. Timokha. — К.: 1н-т математики НАН Украши, 2006. — Т. 58. — 233 с.

Low-Gravity Fluid Mechanics / [A. D. Myshkis, V. G. Babckii, N.D. Kopachevsky, L.A. Slobozhanin, A.D. Tyuptsov.] — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokio, 1987. — 583 p.

Газиев Э. Л. Собственные колебания гидросистемы "жидкость-газ" в цилиндрической области / Э. Л. Газиев // Динамические системы. — 2012. — Т. 2(30), № 1-2. — С. 3-22. Газиев Э. Л. Задача статики гидросистемы "жидкость-баротропный газ" в условиях, близких к невесомости / Э. Л. Газиев // Труды ИПММ. — 2010. — Т. 20. — С. 39-47. Газиев Э. Л. О вычислительных схемах определения равновесной поверхности жидкости в гидросистеме "жидкость-газ" для сосудов различных форм / Э. Л. Газиев //

Матер. XLII научн. конф. "Дни науки ТНУ им. В.И. Вернадского". — Симферополь: ДИАЙПИ, 2013. — С. 289-291. [16] Gaziev E. On the Modelling of Static Equilibrium of the System "Ideal Fluid-Barothropic Gas"/ E. Gaziev // International Conference "Analysis and Mathematical Physics". Book of Abstracts. — Kharkiv: Institute for Low Temperature Physics of NASU, 2013. — С. 34-35.

Спектральна задача з умовами спряження на криволшшнш меж1

Вивчаеться спектральна проблема, яка виникае в проблемг власних коли-вань системи "гдеальна капглярна ргдина-газ", що заповнюе прямокутний канал з твердою стгнкою. Розглядаеться випадок, коли газ стратифгко-ваний за густиною уздовж напрямку гравгтацгйних сил, а умови сполу-чення для потенцгалгв змгщень сформульовано на поверхнг ргдини, яка в станг спокою не е горизонтальною. Представлено проекцгйний метод для знаходження узагальненого розв'язку.

Ключов1 слова: капшярна рщина, газ, стратафикащя, спектральна задача, умова спряження, проекцшний метод, узагальнений розв'язок.

Spectral problem with transmission conditions on curvilinear interface

This paper deals with a spectral problem arising гп a problem of small motions of a .system "ideal capillary fluid-gas" гп a rectangular vessel with the solid walls. We suppose that a gas density is exponentially stratified opposite to the direction of gravitational forces and conjugation conditions for potential displacement are formulated on the fluid surface which is not horizontal at rest. A projection method for finding a generalized solution is offered.

Keywords: capillary fluid, gas, stratification, spectral problem, conjugation condition, projection method, generalized solution.