О локальных зонах отрыва в течениях с малым поверхностным трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XXXIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 2

№ 1—2

УДК 532.556.4

О ЛОКАЛЬНЫХ ЗОНАХ ОТРЫВА В ТЕЧЕНИЯХ С МАЛЫМ ПОВЕРХНОСТНЫМ ТРЕНИЕМ

Вик. В. СЫЧЕВ

Исследовано плоское стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса около малых неровностей, расположенных на стенках диффузора. Рассмотрен режим течения при значениях угла раствора диффузора, близких к критическому, когда величина поверхностного трения мала. Показано, что в точке отрыва решение регулярно, а особенность в точке присоединения является устранимой и в некоторой ее малой окрестности возникает взаимодействие течений в вязких пристеночных слоях и основной части диффузора.

В работе [1] исследовано плоское стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса (Яе^ да) около малых неровностей, расположенных на расстоянии Ь

от точечного источника, который находится в точке пересечения двух прямолинейных стенок (рис. 1). При этом исходное невозмущенное течение описывается решением Джеффри — Гамеля (см. [2], [3]) при значении угла раствора диффузора 2а, близком к критическому (2а0), когда поверхностное трение на стенках мало. Такое течение обладает свойством стационарной неустойчивости, т. е. малые изменения формы стенок диффузора приводят к большим изменениям структуры течения в целом, что было обнаружено в [4] путем численного решения системы полных уравнений Навье — Стокса и в [1] на основе асимптотического анализа.

Полученные в [1] решения описывают течения с локализованными около неровностей зонами отрыва. В главном приближении эти решения ведут себя регулярно, но в следующем приближении, учитывающем поперечное изменение давления в диффузоре, в точках нулевого поверхностного трения возникают особенности. Данная работа является продолжением [1] и посвящена исследованию

возможностей устранения этих особенностей.

1. Как известно (см. [2], [3]), решение Джеффри — Гамеля, являющееся точным решением системы уравнений Навье — Стокса, имеет вид

и = г ^(у),У = 0,р = г 2Р(у)0 = ау . (1.1)

Здесь Ьг, 0 — полярные координаты, ити и ит\ — соответствующие проекции вектора

скорости, р ит р — перепад давления, р — плотность жидкости. Начало системы координат

находится в точке пересечения стенок, задаваемых условием 0 = ±а (рис. 1) и на которых выполняется условие прилипания. Через ит обозначена характерная скорость, равная максимальному ее значению в плоскости симметрии 0 = 0 при г = 1.

Решение краевой задачи для функции Е(у) из (1.1) при Яе^ да зависит от параметра

р = а2Яе, являющегося мерой отношения сил инерции и вязкости (см. [3]). Здесь Яе = итЬ/ V — число Рейнольдса, V — коэффициент кинематической вязкости. Известно [3], что существует критическое значение р = р0 = 10, 3128, при котором трение на стенках обращается в нуль, а при Р < Р0 и р > р0 реализуется соответственно чисто расходящееся течение и течение с противотоками вблизи стенок.

Рассмотрим течение при значениях р, близких к Ро. Введем малый параметр А1 = О(р - р0 ) : А! = А! (Яе) ^ 0 при Яе ^ да, который определяет степень отклонения величины Р от ее критического значения. Согласно [1] для функций Е(у),т(у) из (1.1) решение имеет вид

P = a2Re = Р0 + Aj Pj, Ро = aQ Re, Pj = const;

F = F0 (y ) + A1F1 (y) + h- 9j. (y ) + O (A2 ), P = -1 + O ( Re"1) ;| (1.2)

F02 = QP0F0 (1 -Fo2),F =^yF0, ъ = CjF0.

Здесь jut (Re) = o (Ai ),A1Re ^ да при Re , ъ(у) — собственная функция задачи (см. [5]), с — произвольная постоянная. Таким образом, F0 (у) — функция Вейерштрасса,

обладающая следующими свойствами. Она четная и в плоскости симметрии принимает

максимальное значение: F (0)=1 ,F0'(0) = 0, а вблизи стенок, т. е. при у ^ ±1 + 0

i70=fb(i+>')2+o((i+j')6),

ij=60(l + .v) + o((l + y)2),40=-b-

ао=:

р

0 .

3

(1.3)

Здесь также приведено разложение для функции Е (у), производная которой при у = ±1 определяет значение трения соответственно на верхней и нижней стенках. Таким образом, в приходящем к неровностям потоке (г ^ 1 — 0) поверхностное трение мало и равно + А1 Ьо (в главном члене) при у = ±1 .

2. Приведем теперь некоторые результаты работы [1], касающиеся течения около неровностей и которые понадобятся в дальнейшем.

Пусть неровности имеют продольный и поперечный размеры порядка в и И Яе—12 соответственно, причем в = в(Яе) ^ 0 и к = к(Яе) ^ 0 при Яе . В [1] было показано, что рассматриваемый режим течения с малым поверхностным трением и зонами отрыва, локализованными вблизи неровностей, реализуется при И = в1/4 и А1 = в1/4. В масштабах неровностей (г — 1 = о(в)) течение имеет трехслойную структуру (см. рис. 1). Это вязкие пристеночные слои (области 3 и 2) с толщинами порядка поперечного размера неровностей (1 + У = о(в14 )) и основная часть потока (область 1), где у = О(1).

Согласно [1] решение для течения в пристеночных слоях может быть представлено в виде следующих асимптотических разложений:

Р = а2Яе = р0 +Ді Рі, И = Д1 =в1/4, а = в-11/4Яе-1; г -1 = вх, а-19 = у = ±1 + в1/4Г±;

,1/2

и = в

V = в-1/4Яе-1/2

«0 (X *+) + си±(X 7±) + О (А1 )J, \ (2.1)

у0 (X ¥± ) + ау1± (X ¥± ) + О (А1) р = —V6 + в р± (х) + ср±(х) + О(А1)

(Знаки плюс и минус относятся соответственно к верхнему и нижнему слоям (области 3 и 2 на рис. 1)). Члены порядка с в (2.1) обусловлены поперечным изменением давления в области 1. Рассматриваемый режим течения с локальными зонами отрыва реализуется (см. [1]), если с ^ 0 при Яе ^ да.

В основной части диффузора (область 1), где у = О(1), решение, удовлетворяющее условиям сращивания (при г ^ 1 — 0 и х ^—да) с (1.1), (1.2), есть [1]

и = Е0 (у) + в1/4 [^1 (Xу) + с^2 (Xу) + О (А1)],

V = в—3/4* ^—12

Яе 1 \у1 (х,у) + с^2 (х,у) + О (Д1)], р = -1/6 + в [р (х,у) + с^2 (X,у) + О (Д1)];

ар

и1 = 5(х)*(у) + * (у), у =-р0/25'(х)*0 (у), -Р = 0

-у

и2 = С(х)*(у), У2-Р0/2С'(х)*0 (у),

—р

-Р = Р0*02 (у ) 5"(х); 5 (-да) = 0, С (-да) = С,-.

(2.2)

При этом в (1.2) значение ц = в1/4ст.

В результате подстановки (2.1) в систему исходных уравнений Навье — Стокса приходим к уравнениям пограничного слоя Прандтля, которые после аффинных преобразований и транспозиционного преобразования Прандтля

имеют вид [1]

* = 3—1Р24X, ¥±=Х0Г±, и ± = а0 ^2 и ±, v± = 3а0 Я—1р—3/2 , р± = ад ^4 р±.

Х0 =(9а02 Р—3 ) , р0 = 3а0’ а0 = Ь0 а01^—1,

0

/± = ^0Е±, 5 = ^05°, С = ^С0;; = 0,1;

V '= Е — 7 V + = и + —+ — Ж+ ^+= Е+ 7+, у} = ^ ^ Ж

-Е

V— = Е—+ 7—, V;" = и— —— 7 7 -X

+Ж—

(2.3)

^и«±

дх

2т Т±

+ Ж±

и -Р± д и,

д!+ -X д72

д^± д^±

и ± = д^) Ж 1 = — 0

и 0 ,Ж0

д7+

дХ

7 ±= 0^± =

д^п±

= 0, Е+ (± да) = Е_ (± да) = 0,

д7

X ^ —да :^п± ^ 173 +1 а 72

1

__I

2

7 -Р±^ 1

0 ±, -х ,

(2.4)

7± ^да :^0± = ^ +1Ь+(Х)1± + О(7±); 6 2 Ь = — 50 (х) — Е (х) + а,Ь = 50 (х) + Е (х) + а0 Р*(х) = Р—(х) 50 (—да) = 0.

и.

± д и±

дх

+и±

д и,

д иг

д и±

дх

0 + ж±и+ж±д и 0

д

и±=-^±

Ж ± =—-^±

дх

д^:

= 0,

д 7±

-Г 1 л -1 71 п0

* + ^ г 0 %± , С _ 1

-Р± _ д2 и±

дг+ -х

д 7:2

I х0

г±^ж-.ч>±=т-с\х)г2±+о(г±)-Р+— РГ= 2 5 0”( х).

(2.5)

6

+

1

Здесь ¥±(х,7±) — функции тока и 10 — параметр подобия (см. (2.3), (1.3)), определяющий

степень отклонения течения от критического состояния. Наряду с уравнениями в (2.4), (2.5) выписаны и краевые условия, обеспечивающие сращивание при X ^ —да с приходящим профилем скорости (1.1) — (13) и решением (2.2) при 7± ^-да, а также условия прилипания при

V: = /± (*) = X Е (х); функции /± (х) задают форму неровностей.

В (2.4) Р0 (х) = Р0 (х). Поэтому при условии [6] единственности решения задач для

верхнего и нижнего слоев (а это согласно [7] для рассматриваемых ниже линеаризованных задач так) эти решения совпадают. Следовательно,

Ь+= Ь—= 1 [ Е_ (х ) — Е+( х Д + Ц,, 50 =— 1 [ Е+( х ) + Е— ( х Я.

(2.6)

Таким образом, в главном приближении приходим к задаче для пограничного слоя с заданной толщиной вытеснения и неизвестным заранее распределением давления. Задачи этого типа хорошо известны и возникают при исследованиях обтекания неровностей для внешних [8] и внутренних течений [9].

Следующее приближение описывается решением задачи (2.5), причем, вытесняющее

действие, определяемое функцией С0 (х), заранее неизвестно. Здесь заданным является перепад давления, который обусловлен поперечным его изменением в ядре потока (область 1) и дается последним выражением в (2.5). Это выражение непосредственно следует из уравнения для Р, (х,у) в (2.2) с учетом преобразований (2.3) (см. [1]).

Представим функции, определяющие форму неровностей, как Е = ИО+ (х). При малых значениях параметра Н задача (2.4) допускает линеаризацию. Соответствующее решение (см. [1]) есть

Е±= ИО±(х), Ц = ИЮ1, ^0 = 173 + Иу1 (х, 7) + И2у2 (х, 7) + О (И3 ), Р0 = х + Нр1 (х) + И 2р2 (х ) + О (И3 );

1

(2.7)

V! = 2 Ь (х) 72, рх = 0, Ь = 1 [а—(х)—о+( х Я+%.

Поскольку задачи главного приближения (2.4), (2.6) для верхнего и нижнего слоев совпадают, знаки плюс и минус в обозначениях опущены. Выражения для у/2(х ,7) и р2 (х) из (2.7) здесь не приведены. Заметим только, что эти функции регулярны при конечных значениях аргументов и определяют затухание возмущений вниз по потоку (х ^ да), а при 7 ^ 0 (см. [1]), на основании результатов [10]:

V = 1Ь2 (х) 72 + О (73 ), 6 = 1 [Ь (х) — ш2

Ь =

•Тл

х

I

62 (/)

\1/4

2 г(зм)^х—,)

(2.8)

При малых значениях Н решение задачи (2.5) в следующем приближении имеет вид [1]

¥±=4<±(х, 7±) + Нф±(х, 7±) + О (и2 ), '

Р* = р± (х)+Нр±( х)+о(н 2 )

С0 = С (х)+О(Н\с, = с0 + О(Н);

Фо =*\с0(х)г1% =0, # =±^(х),

С =[/ (х )+Г, Ь (х ),51 =— 1 [0+(х )+ 0—(х )], (х )=,^^ 1,5;% ,г,=с,°х>1ш1,

>

(2.9)

23/2 • 3 •Г(5/4) |да(х — I)

причем, С (х) и р±(х) определяются из условия разрешимости [10] задач для функций

^±(х ,7 ±).

3. В приведенном выше решении (2.7) функция Ь (х) определяет (в главном члене) распределение поверхностного трения в масштабах неровностей. В точках отрыва и присоединения Ь (х) обращается в нуль. Координаты этих точек обозначим соответственно как Xи Xг.

В дальнейшем будем использовать для них также общее обозначение: X = Хк, к = s, г. Поясним сказанное конкретным примером. Пусть

о+(х)=0,0— (х)=к 0 е-хь (х)=^ е-х'п

(3.1)

где hq = const и raj — значение трения в невозмущенном потоке, причем (см. [1]) всегда в (2.7) Ф0, поскольку в противном случае решение (2.9) теряет смысл.

Рис. 2. Картина течения с отрывом: а — при <»!>(); б — при <^<0

Если ш1 > 0, то при — И0 > 2<!, согласно

(3.1), реализуется течение, изображенное на рис. 2, а. При И0 = —1, ш1 = 1/4 значение

х. = —хг = —(21п 2)12. Если < < 0 и к > 0 , то при И0 >—2<1 имеет место течение,

Рис. 3. График функции I = h- С 1

из (2.9), (3.1)

представленное на рис. 2, б. Для И0 = 1,

ш1 = —3 / 8 получаем: х = — х = (21п (^3))12. Заметим, что приведенные картины течений относятся для определенности к нижнему слою (область 2) и носят качественный характер. Линии тока для этих и других случаев (когда Ь (х) не обращается в нуль) были построены в [1].

Обратимся теперь к решению (2.9) второго приближения. График функции I = к^З^ (х) для неровностей вида (3.1) представлен на рис. 3. В рассматриваемых случаях численные значения З (х) в точках отрыва и присоединения суть:

h0 =-1, га = 1/4: Xs =- Xr =-( 2ln2 )12,

J (xs ) = -0,04243, J (Xr ) = 0,11941, ls =-lr = Xs/ 4;

h0 = 1, ra = -3/8 : Xs = -Xr = (2 ln(4/3))

1/2

(3.2)

З (х5 ) = —0,07672,3 (хг ) = 0,13186,13 =—1г = —3 хя/!

Здесь также приведены значения производной функции Ь (х) в этих точках: Ьх )=¡к.

Таким образом, если в (2.9) Г Ф —З (хк), а полагать, что это не так, пока нет никаких оснований, то точки отрыва и присоединения для функции С (х) являются особыми и при

X — Xk\ ^ 0:

С0 = Ск (X -Xk )-1 + O(1), Ц = lk (X -Xk ) + O ((X -Xk )2 ),' Ck =( J (Xk ) + Гг )/lk, lk = L[(Xk ), ls < 0, lr > 0.

(3.3)

Перейдем к рассмотрению возможностей устранения этих особенностей. Обозначим через ц* некоторый пока неопределенный характерный продольный размер для областей, охватывающих особые точки, и введем внутреннюю переменную х: X — Хк = ц*х,

ц (Яе, Н) ^ 0 при Яе ^ да. При этом будем полагать, что вц * по порядку величины больше, чем Яе—1/2, т. е. продольный размер этих областей превосходит поперечный. Выполнение этого условия будет показано ниже, после определения значения параметра ц*.

В основной части диффузора (область I), где у = О(і), решение имеет вид (2.2). Согласно

(2.6), (2.7), (2.9), (2.3) функция S(х) при |Х — Х^| ^ 0 ведет себя регулярно и представима в виде ряда Тейлора, а С(х) имеет здесь особенность вида (3.3). Используя (2.2) и указанные выражения для S (х), С (х), можно представить решение при ~ = О(і), у = О(і) (область I, рис.

4) в виде следующих асимптотических разложений:

и = ^ (у) + В1'4 Н [X, (X, )—а,у + 0(Н Ж «(у) + ...

... +в1/4сци *(~,у)+ ...,

V = в-34 Яе—12 Н[— 5,'(Х,)+0(ц*Ж(у)+...

... + в~3/4Яе—12 ац* (~,у) + ...,^0 = 3Д—3/2Л—3,

Г/////// 3 //////////////////////і// III 3

ІІІа

1 I 1

2 - I! 11й 2

11

/! !/>////■ //////І/)/і > і///// Лк

р = —- + ао 6

Рис. 4. Асимптотическая структура области взаимодействия около особых точек

... + а(в

X [вХ, + в /и* ~ + о(вН2) (в7/4Ц Яе) р*(~,у)

+.

+....

(3.4)

Т-\ * * *

Вплоть до членов, содержащих и , V , р , здесь кроме приведенных стоит еще ряд членов, играющих второстепенную роль и представляющих собой регулярное разложение решения (2.2) при |х — хк\ ^ 0,у = О(1), переписанное через внутреннюю переменную х .

В результате подстановки разложений (3.4) в систему исходных уравнений Навье — Стокса, с учетом аффинных преобразований (2.3) и обозначений в (2.1), и последующего интегрирования, получаем:

др

и* = В* =-В*' (х)Рй(у),

= в* (*) (у) , РІ (*) - Р- (*) = \ в* (*),

(3.5)

ду ч , « , -V / з

где р+ (х) — значение давления на верхней и нижней стенках. Функция В (х) остается пока произвольной, но из сращивания с решением в области 1 известно, что хВ* (х) —> ( \ при |х| —> да. При х — хк = Он') действие вязких напряжений оказывается существенным в

пристеночных слоях, имеющих толщины порядка (ен ) (области II и III, рис. 4). Введя

внутреннюю переменную у±: 7± = н* у± и используя, как и при рассмотрении области I, регулярность решения (2.7), (2.8) и особое поведение решения (2.9) при \X — X^ ^ 0 и 7± ^ 0, можно представить решение в этих областях в виде

„_о1/2о \2

и — в ао ^о

*1/2 1

„5/4

л

*1/4 ? / ч ~ *5/4 ? ~~

... + ц* Н2Ь2(Хк)у±+у? Н ткху± +...

V =

...+СТЦ* й1(х,у±) + ч*й2(х,у±) + ...

в 1/4 Яе—1/2(за„Х—1 Р—Ъп[— цНХ,'(X,)+..

*1'2 2 1 ~2 _ *—3 / 2 х ±/-------------

...±ц Н -т,х± +... + ац ~,-(х,.у±) +

(х ,3?±) + 4тк = Ь'АХк )

Л0[вХк + в ц х +... +

(в?/4 ц *'яе у1х2±(х ,з?±)+..]

>

(3.6)

* *—3,4х ±<

+ у ц у

+ а(

У

Здесь функции сравнения при й±, V* определяются видом особенности (3.3) для С (х) из (2.9), а разложение для давления выписано с учетом решения (3.4), (3.5). Значение параметров Н*, V* будем определять исходя из следующих соображений. Во-первых, будем полагать, что градиент давления др±/д х входит в уравнение для функции г/2±(х ,~±), а во-вторых — это же

уравнение содержит в качестве неоднородности функции и^(х,у±), ур(х._>+) от предыдущего члена разложения (3.6). Смысл такого выбора станет ясен в процессе построения решения.

Подставив (3.6) в систему исходных уравнений, приходим для искомых функций ~±(х ,~+ ),

у* (х. у±) к уравнению

~ 2 2 \т/±

У± д 2 бхбу±

■у±-

ач'г а3'?*

дх

ду.

! _+ _+

з-; мг=—’ *г =----

±

ду.

±

дх

Его решение, удовлетворяющее условиям прилипания при у± = 0 и затухания при |х| ^ да, есть [10]

Ч>ї=+±В*(ї)уї..

(3.7)

где D*(х) — произвольная функция. Из сращивания с решением в областях 2, 3 при |Х—Хк\^ 0 и |х| ^ да следует, что хО* (х) ^ С, |х| ^ да.

На основании сказанного выше относительно выбора параметров ц*, V*, в результате подстановки (3.6) в систему уравнений Навье — Стокса, находим:

Ґ _ Л2/7 _2

* | а | * а ц =Ы •V =ц-

(3.8)

где СТ = 8 11/4Яе 1 (см. (2.1)). При этом для искомых функций приходим с учетом (3.7) к следующей задаче:

уі е2^ „ ач*

~ _ _ - у+

2 дхду±

2 ! дР2 - 1кУ±

дх дх

дуі

др

сіх

ду

5 = <ці* = *3

ач>

2 .

ду±

дх

ач*

у+ = 0: 4^2 = —7а = 0, \х\ -> 00: Ч^ -> О,

~ + Рї

ду± ■О,у+ -

п

•со: ---г^-^0.

дуі

(3.9)

Выписанные краевые условия обеспечивают сращивание с решениями в соседних областях (области 11а, 111а и 2, 3 рис. 4) и выполнение условий прилипания.

„—3/4

Заметим, что поскольку в (3.6) V = о (ац ), из (3.8) непосредственно следует:

в ц* Яе4/11 ^ да при Яе ^да, т.е., как и предполагалось, продольный размер 0(вц *)

рассматриваемых областей превосходит поперечный размер О (Яе—1 2 ) области I.

Между основной частью течения (область I) и вязкими пристеночными слоями (области II и III) лежат промежуточные области Па и Ша (рис. 4), в которых ^ = 0(1) и являющиеся продолжением областей 2 и 3. Решение в них может быть получено на основе тех же соображений, что и при построении решений в областях I и II, III. Более того, в рассматриваемых приближениях оно представляет собой решение (3.6), (3.7), переписанное через переменную

1/4 _

2± =ц* _у±. Поэтому, используя (1.3), в результате сращивания разложений (3.4) и (3.6) через промежуточные области Па, Ша находим связь между функциями из (3.5) и (3.7), (3.9):

Б * = В *(х ),х2± = р±(х ).

(3.10)

Эти функции, определяющие поправки к поверхностному трению и давлению, остаются неизвестными.

Обратимся к задаче (3.9), (3.10). Из результатов работы [10] следует, что решение этой задачи существует, если только

* і Р± =±

I

3 • 23/2г(5/4) '

(3.11)

Таким образом, из условия разрешимости задачи (3.9), (3.10) находится связь между неизвестным заранее распределением давления р* (~) в пристеночных слоях и вытесняющим

действием этих слоев, определяемым функцией В * (~). С другой стороны, эта связь дается последним выражением в (3.5), которое описывает процесс взаимодействия течений в этих слоях с течением в основной области I. Итак, используя (3.5), (3.11) и вспоминая краевые условия для

В *(х), получаем окончательно:

р± = ± 1В *'(х ) 1к [хВ '(Х )— С, ]= Ч„ }/~_(<,ш*2

|х| ^ да :хВ*(х) ^ С.

(3.12)

4. Перейдем к решению задачи (3.12). Аффинное преобразование

+

+

да

~ = («„КГ Г X' ,В' = С„ (?„ 1,Г‘ У"'7 В (4.1)

приводит эту задачу к виду

Х *В - 1 =^0 Х / В (/ )(| 2 >^0 =±1, (4 2)

—ш (X — I)

|х*|^ш :X*в(х*)^ 1.

Здесь ст0 = 1 при 4 = 1Г > 0 и ст0 = —1 при 4 = I’8 < 0, т. е. когда речь идет о течении в окрестности точек присоединения и отрыва соответственно (см. (3.2), (3.3)). Уравнения типа (4.2) встречаются в задачах теории кромочного отрыва [11], [12].

При ст0 = 1 решение задачи (4.2) есть

ш

в(х*)= Хе~щт 8т(т0г7 2 + X*г)$г,т0 = ур—ж/7 . (4.3)

0

График этой функции представлен на рис. 5.

При Ст0 = —1 решение уравнения (4.2), удовлетворяющее условию Х*В ^ 1 при X* ^—ш, имеет вид

В

ш

(х *)=-/

0

ехр I

— —4жт1! 2 + к^ Г

ХСОб! к1X *Г + 2у-'Утка = СОБ —^ ,к = ЗШ2^.

Однако при X* ^ ш это решение экспоненциально растет:

х

/ *\ 2л2/5 *-3/10 Г 7/5 л

’(X J =----------^=— X 008 ^ п 0 у1х

(по Уо х

1 + ОI х *-1

7/5

х ехр I п(

5 -1/5 2 . 2

Щ = — л , Уп = 008 — л, У = 81П — л.

0 7 0 5 1 5

Таким образом, при ст0 = -1 решение задачи (4.2) не существует и, следовательно, введение взаимодействия не позволяет устранить особенность в точке отрыва. Поэтому для получения решения задачи необходимо полагать в (3.3) значение Гг = — 3(Хж) = — ^0/(Хх). При этом особенности в точке отрыва вообще не возникает и решение (2.9) регулярно при X = Хя.

Итак, на основании проведенного анализа удалось найти значение Г,-, т. е. (см. (2.9)) постоянной с, для собственной функции щ(у) в (1.2):

с, = с( + ОИ,с° = —¡(X,). (4.4)

Остановимся кратко на одном частном случае рассматриваемой задачи. До сих пор речь шла о течениях с областями возвратных токов (см. рис. 2), когда функция Ll (X) в (2.7) меняет знак. Пусть теперь Ll (X) обращается в нуль в единственной точке X = Хо. Для неровностей вида (3.1) это происходит при И0 = —2шь Х0 = 0, и тогда согласно (3.1)

ф) = IIX2 + o(х4 V; = Ло/4 (4.5)

при |Х| ^ 0. Полагая в силу непрерывности зависимости решения от параметров й0 и Й1 значение Г = —\1 (о), находим на основании (2.9), (4.5), что при |Х| ^ 0

Со (X) = с^+ О(1)А = Л I '(о)/ 4* = 41 ’(0). (4.6)

Таким образом, все отличие от рассмотренных выше течений с зонами отрыва состоит в изменении поведения функции L (X), но не в виде особенности для Со (X) (см. (3.3), (4.5),

(4.6)). Поэтому, повторяя рассуждения предыдущего раздела, нетрудно убедиться, что в области I решение имеет вид (3.4), (3.5), а в вязких пристеночных слоях (области II, III) справедливы разложения (3.6), в которых ¡к = 0. Подстановка (3.6) в уравнения Навье — Стокса приводит к решению (3.7), (3.10)—(3.12), в котором ¡к заменено на шк из (3.6). При этом выражения для малых параметров (вместо (3.8)) приобретают вид:

/и = (<хИ 2) 7,^ =а и

Наконец, аффинные преобразования (4.1) (при ¡к = шк) приводят к задаче (4.2) с ст0 = 1, имеющей решение (4.3), если только шк > 0. Это последнее условие выполняется. Так для неровностей вида (3.1) при ^0 = —2®1 на основании (2.8), (3.6):

т = ^о)=(71Л 1(77—0>°'

В заключение заметим, что если L1 (X) из (2.7) нигде не обращается в нуль и особенностей в решении (2.9) вообще не возникает (что для неровностей вида (3.1) имеет место при — Л (2®1) 1 < 1), то в этом случае, исходя из соображений о непрерывности зависимости решения от параметров И0) и ^, значение Г, следует полагать равным — Н01 (о).

*

*

5. Итак, в результате проведенного анализа для внутренних течений с малым поверхностным трением около неровностей было найдено значение постоянной ci (см. (4.4),

(1.2)) для собственной функции решения Джеффри — Гамеля при Re . При этом оказалось, что решение регулярно в точке отрыва, а особенность в точке присоединения является устранимой. В некоторой малой ее окрестности возникает течение со взаимодействием. Заметим также, что появление собственной функции (с Ф 0) приводит к малой несимметрии (см. (1.2)) течения в целом.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 00-15-96070).

ЛИТЕРАТУРА

1. Сычев Вик. В. О взаимодействии и отрыве для внутренних течений с малым поверхностным трением//Изв. РАН, МЖГ.— 1996, № 5.

2. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2.—

М.—Л.: Гостехтеориздат.—1948.

3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.—М.: Мир.—1973.

4. T u 11 y O. R. Nonlinear development of flow in channels with non-parallel walls//J. Fluid Mech.—1996. Vol. 326.

5. Banks W. H. H., Drazin P. G., Zaturska M. B. On perturbations of Jeffery —

Hamel flow//J. Fluid Mech.— 1988. Vol. 186.

6. B o r g a s M. S., P e d l e y T. J. Non-uniqueness and bifurcation in annular and planar channel flows//J. Fluid Mech.—1990. Vol. 214.

7. Кравцова М. А., Сычев Вик. В. О локальных трехмерных возмущениях потока с малым поверхностным трением//Ученые записки ЦАГИ.— 2000. Т. XXXI, № 1—2.

8. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа//Труды ЦАГИ.—1971. Вып. 1363.

9. Smith F. T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: part 1//Quart. J.

Mech. Appl. Math.— 1976. Vol. 29, pt. 3.

10. Stewartson K. Is the singularity at separation removable//J. Fluid Mech.— 1970.

Vol. 44, pt. 2.

11. Brown S. N., Stewartson K. On an integral equation of marginal separa-tion//SIAM J. Appl. Math.— 1983. Vol. 43, N 5.

12. Timoshin S. N. Concerning marginal singularities in the boundary-layer flow on a downstream-moving surface//J. Fluid Mech.— 1996. Vol. 308.

Рукопись поступила 22/12001 г.