CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том XXI 1990
№ 2
УДК 532.526.048.3
О РАЗРУШЕНИИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ЛАМИНАРНОГО СЛЕДА
Вик. В. Сычев
Рассмотрено течение вязкой несжимаемой жидкости в окрестности точки разрушения следа, который образуется при больших числах Рейнольдса (Йе) за тонким осесимметричным телом. На основе асимптотического анализа уравнений Навье — Стокса при Яе->-оо показано, что разрушение следа происходит в результате появления большого локального самоиндуцированного градиента давления, действующего в области взаимодействия. Точка разрушения расположена на некотором малом расстоянии вниз по потоку от этой области.
Согласно имеющимся экспериментальным данным [1] ламинарный след разрушается под действием неблагоприятного градиента давления. Это явление возникает, например, если в потоке за тонким осесимметричным телом расположено другое тело конечных размеров. Связано это с тем, что действие неблагоприятного градиента давления приводит к торможению жидкости во внутренней части следа, так что скорость потока обращается в нуль в некоторой точке, расположенной на оси его симметрии. Настоящая работа посвящена построению асимптотического решения уравнений Навье—Стокса в окрестности этой точки при больших числах Рейнольдса.
Разрушение осесимметричного следа (и это будет показано) с образованием развитой зоны возвратных токов, как и в случае плоского течения [2—4\ связано с появлением большого самоиндуцированного градиента давления, возникающего в результате взаимодействия течения в следе с внешним потенциальным потоком. Классический подход, в основе которого лежит предположение о регулярности в распределении давления на внешней границе следа, показывает, что точка обращения в нуль скорости на оси симметрии в общем случае является особой, причем эта особенность неустранима [5]. Вместе с тем было установлено [5], что (как и для течения в пограничном слое [6]) возможен режим течения, при котором возникающая особенность оказывается устранимой. Исследование структуры этой особенности позволило построить решение для течений с замкнутыми линиями тока в некоторой малой окрестности рассматриваемой точки [7].
1. Рассмотрим стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости за тонким осесимметричным телом, имеющим продольный размер I и
и ее
и
о
Рис. 1
расположенным в однородном набегающем потоке под нулевым углом атаки. Будем считать, что обтекание тела является безотрывным, а образующийся за ним след имеет конечный дефицит скорости. Такой режим течения реализуется, например (см. [8]), если радиус тела вращения есть величина порядка Ке~1/2 при Яе-^оо, где число Рейнольдса Яе=иоа1/\; здесь «оо скорость набегающего потока и V — коэффициент кинематической вязкости.
Введем следующие обозначения. Через 1х, 1г, -О- обозначим цилиндрические координаты, с осью Ох направленной вдоль оси симметрии (рис. 1); через и^и, иси р^ + ри^р обозначим соответствующие проекции вектора скорости и давление; р — плотность среды, р«, — давление в набегающем потоке.
Систему уравнений Навье — Стокса запишем в виде
Здесь у = г2/2, У=гу.
Прежде всего сделаем исходное предположение относительно предельного состояния поля течения при Йе-^-оо. Будем считать, что оно описывается решением задачи о потенциальном течении с каверной, имеющей впереди точку возврата (рис. 1). (Причем координаты последней в пределе при Ие оо совпадают с координатами точки разрушения.) Такое решение было получено в работах [9, 10] и представляют собой осесимметричный аналог решения Чаплыгина [11] для плоских течений. Точка отхода свободной поверхности тока от оси симметрии в этих решениях является особой. Для осесимметричного случая структура этой особенности была исследована в [12].
Согласно [12] скорость и давление на оси симметрии (г=0) перед точкой разрушения (*<0) и форма свободной поверхности тока (*>0) определяются следующими выражениями:
(■*) = Яч + ¿1 м* + О (е$)>
Р,(х) — р0 0 — qok^se• + 0{es) при х-^—0; г5 (х) = (2а,)1/2 хе‘>2 -\- о (хе^2) при х ->■ + 0;
5 = - (- 2 1п | X 1)^; <7о= (1 — 2/700)1/2, Роо>°, я* = — к,/д0>0.
Здесь q0, poo — скорость и давление на свободной поверхности тока; ki — некоторая постоянная, значение которой определяется из решения задачи в целом. Нетрудно видеть, что величины неблагоприятного градиента давления и кривизны свободной поверхности тока обращаются в бесконечность при х = 0.
2. Течение в следе перед точкой разрушения при Re->-oo описывается уравнением пограничного слоя Прандтля, которое после введения на основании (1.1) функции тока г)з(\рг/ = ы, т|зх = — V) принимает вид
ТГ
¿2 1-дхдУ
3W
дх
¿2ЦГ
+
dpe
dx
= 2 Y
¿з >Г дУз
Рис. 2
(2.1)
Здесь Чг = Не \р, У=Ие (/.Краевыми условиями служат обычные условия на оси симметрии (ди/дг — и = 0 при г = 0) и сращивания с решением в области внешнего потенциального течения (область 1, рис. 2). Во введенных выше обозначениях эти условия суть
Т = 0,
дУ
д* іг
дУ2
при
ос
ие (х) при У
Y = 0;
со,
(2.2)
Кроме того, необходимо задать начальный профиль скорости Чгу=£/*(У) при некотором х=х0<0. Исследуем структуру решения этой задачи при х—>—0.
Действие большого неблагоприятного градиента давления (1.2) приводит к тому, что в основной части следа (область 2, рис. 2), где £/ = 'Чгу = 0 (1) и 4я = 0(1), течение будет локально невязким. Во внутренней части следа при подходе к точке разрушения значение и(х, У)-*-О, поэтому здесь можно выделить нелинейную область. Предположим, что в ней (область 3) действие сил внутреннего трения также несущественно в главном члене разложения при ----------0. (Справедливость этого
предположения будет показана ниже.) Представим решение здесь в виде
f = 1oWfo(l) + ohW], TJ =
Y
(2.3)
и подставим это разложение в (2.1), (1.2). В результате, исходя из баланса инерционных членов с градиентом давления и полагая, на основании сказанного, что ао-*~ оо при х ->—0, получим:
«о =[\T'(-S)es]1', р =
^0 ССо .
‘12(1 -Л)]-1 > о,
F0F0+(K
(2.4)
(2.5)
Значение постоянной Хо остается пока произвольным. Из (2.5) при условии -Ро(О) =0 следует, ЧТО .Ро('п) ведет себя, вообще говоря, нерегулярно при г] 0:
_ / <70*1 1 ^0-1
^0 = со Ч + с\ 71і 1/2
m + О (Т]т);
m — Ъ — 2Х0>-1, Cj = const.
Для устранения нерегулярности в решении и определения значения Яо необходимо ввести «вязкий» подслой (область За) вблизи оси симметрии. Исходя из баланса инерционных и «вязких» членов в (2.1), будем искать решение здесь в виде
W = (-х)/0(т) + г, (*)/, (т) + О [г2 (х)] + ... + Rc{x) Fc(x) +
+ о [/?,(*)], т = . (2.7)
Заметим, что решение при л: —»—0 определяется всей совокупностью краевых условий для уравнения (2.1), поэтому асимптотическое разложение в подслое должно содержать набор собственных функций (Rc(x)Fc(t) в (2.7)).
Для сращивания асимптотических разложений (2.3) и (2.7) (в главных членах) при г)->0 и т-^-оо согласно (2.6), необходимо, чтобы d*(—х)=а0Щ~1, d* = const. Тогда с учетом (2.4) находим:
h = d* х{/2 (-х) (—s)-1'2 e~s'2, s =- [—21n (—jc)P. (2.8)
Подставим теперь разложение (2.7), (2.8) в (2.1), (1.2). В результате получается последовательность обыкновенных дифференциальных уравнений для функций зависящих от т. Первое уравнение имеет вид
2х /о" + (2 — /о) /о = 0 . (2.9)
Это уравнение не содержит постоянной, соответствующей градиенту давления. Действие последнего проявляется здесь в следующих членах разложения и поэтому г4= (—х)/(—s), г2= (—х)/.(—s)2. Решение уравнения (2.9), удовлетворяющее согласно (2.2) условиям ограниченности /0 (0) и /о(0) = 0 и растущее при т->-оо не быстрее чем некоторая степень х, есть
/о = d0 т, d0 = const. (2.10)
Нетрудно видеть, что если бы /о=£0, то безразмерное трение "о —(V^Y 'Fry) = (—х) h~312 V^2'c/o СО неограничено возрастало при х -* —0. Но такое поведение решения противоречит характеру течения в следе перед точкой его разрушения.
Уравнение для fi(т) с учетом (2.10) и полученного выражения для ri(x) имеет вид
2т /Г + (2 — d01) / = — А — ?0 kv
Его решение при тех же краевых условиях, что для /о (т), существует если только d0 = V—2<7о £, и есть fi = dlx. Таким образом определяется значение постоянной d0. Значение di в свою очередь находится из рассмотрения следующего члена разложения.
В полученном решении продольная составляющая U=~'¥y в своем главном члене стремится к нулю при х->—0 и не зависит от Y. Следовательно, решение для «вязкого» подслоя За невозможно срастить с основной частью следа, где £/ = 0(1) при х-*-----0. Это и доказывает не-
обходимость введения нелинейной области 3.
Для определения значения Яо в (2.5) поступим следующим образом. Используя выражения (2.3), (2.4), (2.6) — (2.8), (2.10), произведем сра-
щивание разложений для областей 3 и За при rj О и т-»-оо. В результате находим, что
Rc^(—х)т (—s)* exs, * = -1 ~ т - , е V V ; 2 (1 - Х0)
d* = — = \2 (\—• Хд)]1/2, d =<? </•» [ (2'И)
Со
Fc — dcim-\- о (тш) при х -*оо .
Используя при подстановке (2.7) в (2.1) выражения (2.10), (2.11), получим, что функция Fc(т) удовлетворяет уравнению
2т Fc + (2 — d0 т) F’c — (1 — m)d0F'c = 0 , (2.12)
нетривиальное решение которого (для Fc'(т) это вырожденное гипер-геометрическое уравнение) при тех же краевых условиях, что и для fo(t), существует, если только т— 1 = гс, п = 0, 1, 2,.... Поскольку согласно (2.6) т> 1, то первое собственное значение т = 2 и при этом решение уравнения (2.12) с учетом (2.11) имеет вид: Fc = b0{x2 — 4т/do), b0=dc. Из (2.6) следует, что Яо=1/2 и тогда решение уравнения (2.5), удовлетворяющее (2.6), есть
^o = c0-t] + cirii, Со = V — 2q0 kx , c, = b0. (2.13)
На основании этого выражения и (2.3), (2.4) заключаем, что в основной части следа (область 2) ЧГ = Ч/,0(У)+о(1), причем 4^0 = О (У2) при У ->• 0. Течение в следе с таким профилем скорости вблизи оси симметрии при х^>-----0 было исследовано в [13]. Полученное в этой работе ре-
шение для области взаимодействия, которая охватывает некоторую малую окрестность сечения х=0, симметрично относительно х = 0 и описывает локальное течение с замкнутыми линиями тока. Для области взаимодействия можно построить также и другое решение, которое согласуется с (2.3), (2.13) и предельным состоянием (1.2). Однако в точке торможения это решение содержит разрыв второй производной от давления по продольной координате. Попытки автора устранить этот разрыв путем введения областей, лежащих внутри области взаимодействия, и описать течение в окрестности точки зарождения «вязкого» подслоя смешения, развивающегося вдоль нулевой оторвавшейся поверхности тока, оказались безуспешными. Это указывает на то, что решение для первого собственного значения т = 2 не может соответствовать течению с развитой зоной возвратных токов. Поэтому необходимо положить в (2.13) Ь0=0 и рассмотреть решение для следующего собственного значения т = 3. В этом случае решение задачи для уравнения
(2.12) есть
и согласно (2.6) Яо = 0, с0=\г—д0 . Тогда решение уравнения (2.5) с
учетом (2.6), (2.4), (2.11) имеет вид
^0 = во У—<?о ¿1 Sh (B0Y), r( = Y, )ч = 1/2,
Bl V-Яо h
, dc — Y2 C;, 50 = const>0.
(2.14)
Таким образом, нелинейная локально невязкая область 3 сохраняет исходную толщину следа при х ->—0.
Рассмотрим течение в основной части следа (область 2). На основании (1.2) представим решение здесь в виде
= ¥0(2)-|- 56* 'РДг) О (е*), х У = ёо(х) + * , ЧгЛ°°) = ?о-
•0;
(2.15)
Подставив это разложение в (2.1), (1.2) и произведя сращивание с
решением (2.3), (2.4), (2.14) в области 3 при У->-оо и г->—оо, получим:
*1 =
I Г й,х г
= <]йk1УoJ-^2 + N1W0, Л^ — сопв!;
Чг0 = ^о еВ°г + ••• ПРИ г —°°> Л0 = сопб1>0;
+ 0(5-*)
1
g0= — 1п Во
У2 А9 е-з/2 (____________у)-1/2
(2.16)
при х ->■ —0.
Итак, решение для течения в следе перед точкой разрушения имеет двухслойную структуру: основная расширяющаяся часть следа и нелинейная область 3. Решение в последней регулярно при У 0 и удовлетворяет краевым условиям при У=0. Решение в «вязком» подслое За представляет собой разложение решения (2.3), (2.14) при У->0, переписанное через внутреннюю переменную т. Введение этого подслоя необходимо лишь для определения набора значений Яо в (2.5). Заметим также, что, согласно (2.14), (2.15), основной вклад в вытесняющее действие следа создается течением в области 3.
3. Особое поведение решения в области внешнего потенциального течения и следе указывает на то, что в некоторой малой окрестности х = 0 лежит область взаимодействия. Анализ течения в этой области начнем с рассмотрения ее нелинейной части (область ///, рис. 3), которая является продолжением области 3. Обозначим через а продольный размер области взаимодействия и будем считать, что он по порядку величины больше, чем характерная толщина следа, т. е.: ст = 0(Не)->-О и а>0(Ке-1/2)при Ие->оо. Вводя внутреннюю переменную х* = о~*х = О(1) и рассматривая (2.3), (2.4), (2.14),
(1.2) как внутренний предел внешнего асимптотического разложения, будет искать решение здесь в виде (область III)
х = о х* , у = Ие“1 У, [А = (1по-
Ие ф = Ч? = р'/2 е~ ^ ф0 (х*, У)+ 1х-1/2е-
2)1/2>
-„/2 ф1 (д.*
п +
+ О (р* 3/2
-Роо^г е~* У) + е-»р1(х*, У) + О^-1 г-и/2).
В результате подстановки этих разложений в (1.1) при выполнения условия р-Ие-1 <0(а2)<(і_1 е~'х приходим к уравнениям, описывающим вихревое течение идеальной жидкости в тонком слое, и поэтому здесь справедлив интеграл Бернулли:
Из сращивания с решением (2.3), (2.4), (2.14) для области 3 при х*->—°о находим, что
Это решение удовлетворяет краевым условиям (2.2) при У=0. Рассмотрим внешнюю часть области взаимодействия (область /), с поперечным размером г = 0(о). Здесь, как обычно, имеет место слабовозмущенное потенциальное течение и поэтому, используя разложение (1.2), решение будем искать в виде
где — 1п е-1, а г и 8 — малые параметры: е = е(Ке) -*0, 8=8 (1?е) ->0 и м*8->0 при Ие ->оо. Подставив эти разложения в уравнения Навье — Стокса, получим для искомых функций уравнения теории малых возмущений для осесимметричных течений. Поэтому, как известно (см. [14, 15]), при г* = ->■ О
7'/ (х*) = —А}{х*) 1п2— | А™ (і) (х* — і) 1п |х* — /1 (іі,
(3.2)
(3.3)
Ро-+ЯйЬи р\ = дйк11п(-х*) + 0 (1) при л:*-*-со
и в результате интегрирования (3.2), (3.3) получим:
х = ох*, г —а г*,
и = д0-кг'*Ъ + ЪиЛх*, П + ч'-'Ъи^х*, г*) + О (>*"28), у = {х*, г*) + V*-1 8 v2 (х*. г*) + О (V'-2 8),
Р — РйО + Яок1 **8 + ЬР° (**, Г*) + ЬР°2 (■*•. Г*) + 0 (/_2 8)> I
и, = А] (.х•) 1п + Т} (X*) + о (г*21п г*),
У} = 2А) (х*) + О (г*31п г*) ■
У} = г* V;, р° = — д0 иу, 7 = 1, 2 ;
(3.6)
00
—со
где А](х*) —некоторая пока произвольная функция.
3—«Ученые записки» № 2
зз
В основной части следа в области взаимодействия (область II), на основании тех же соображений, что при анализе областей I и III, будем искать решение в виде следующих асимптотических разложений:
X = Y = Bôl ІП (tX-l/2 gW2) _|_ G* (*•) +
+ il-1Ot (x*) + О (p.-2) + Z*,
W = W0 (Z*) + JA er* W\ (X*, Z*) + О (e-*),
Р — Роо = \>‘Є~* Poix*, Z*) + e-v- Pt (x*, Z*) + О (ij.-1 e-*) .
(3.7)
Подставив (3.7) в (1.1), получим: 4FÎ=-P,
dz*
С
P0 = PÔ (x*) ,
(3.8)
и при этом необходимо, чтобы цо2Не>0(е!1-)- Произведем сращивание решения (3.7), (3.8) с решениями (2.15), (2.16) при х* ------------оо, х-
-О
и (3.1) —(3.4) при Z*
оо, У —оо. В результате находим, что 1^2 Д) Во>
Ро = РІ’ РЇ = 11п
■о
0*=-
2So Р* ’
1 (\Г2А0ВЛ
Gn = — ln І |+о(1),
Во
G* = — (2B0)~1 ln (—jc*) + О (1)
(3.9)
лри X* -»---оо.
Наконец, осуществим сращивание решений (3.5), (3.6) и (3.7), (3.8). Получающиеся при этом соотношения замыкают задачу для области взаимодействия:
г = 8 1п і**, є a2 Re = ІП ,
jjl* = ЄР-/2 p-l/2 ) jj, е-
?е = 1п {А* , \
г—**• = S 1п є-1 ; I
(3.10)
p*a = q0 А[ + ?о> РЇ = (Яо ln BQ) AÏ — q0Tl +
q0 Аъ, 2A\ = q0Q0 , 2A-i = q0G\ .
(3.11)
Из трансцендентных уравнений (3.10) вместе с выражением для ц в (3.1) следует, что при Ие-^оо
8 = e_tl [1 + ji-1 ln {і — ¡x-1 ln 2 + О ([x-2 ln2 ¡і) J ,
(i = (ln Re)1/2---------------j-
l
8 (ln Re)
,1/2
+ 0
ln ln Re ln Re
И
(3.12)
Заметим также, что все ограничения, которые были наложены на параметры ст и ¡д, при подстановке асимптотических разложений в исходные уравнения, оказываются выполненными.
Для искомых функцийр0 (х*), О0(х*), Ах{х*) первого приближения в (3.9), (3.11) после преобразований
X
Vqo
X* , Po — Qo e~
2 V-*i B0
Gq = — In (¥£==. Bo \V-qokt
+ — 2 S0
(3.13)
)
интегрируя которое и удовлетворяя
приходим к уравнению G" = 1 — e~G, в соответствии с (3.9), (3.13) условию G(—оо)=0 получим:
±G'2 — G-e~°4-1=0, р=-е~о Л
2 1
G = a0 ех'-^е2х’ + 0{езх*),
= — 1 *f- &q в — — do 6 -f- О )
3
(3.14)
при X*
-оо. Краевые условия при Х*-*-оо поставим исходя из следующих соображений. Вниз по потоку от области взаимодействия должно происходить дальнейшее торможение жидкости во внутренней части следа вместе с происходящим при этом его расширении, т. е. в соответствии с (3.4) | р*0 (я*)| ->0 при х*—>-оо. Тогда на основании (3.14) находим, что при Х*-*~оо.
£2
G = -1- + 1 — е-1 $-2 е-^ + О (£-4 e-W), £ = ^* + $0, £0 = const.
(3.15)
Используя свойство инвариантности уравнения (3.14) относительно преобразования X* X* + const, положим (для определенности) £о=0. Численное решение задачи (3.14), (3.15) (при £о=0) представлено на рис. 4; при этом а0=0,662.
На основании выражений (3.14), (3.15) при |дг*|-»-оо и (3.6) находим, что для функций р\ (х*), Gi (х*) следующего приближения при л:*->—оо справедливы представления (3.3), (3.9), а при х* -к оо
G\ = k, q-1 х'3 In x* + О (х*2).
Полученное решение для области взаимодействия, указывает на то, что здесь действует большой (порядка ре*''*-*) самоиндуци-рованный градиент давления и течение является локально невязким. Скорость на оси симметрии всюду положительна и при х*-*- оо ее величина согласно (3.1), (3:4),
(3.13), (3.15) экспоненциально
стремится к нулю. Это означает, что также как в случае плоского течения [3], разрушение следа происходит не в- области взаимодействия, а на некотором расстоянии вниз по потоку от нее.
4. Перейдем к анализу течения за областью взаимодействия.
Уменьшение градиента давления Рис. 4
1 L — 61* / 1 1
J -1,5 0
Р
-/
при х* оо, как и в [3, 4], должно привести к тому, что в некоторой области В (рис. 5), которая есть продолжение области III, уравнение Бернулли окажется несправедливым, поскольку здесь становится существенным действие сил внутреннего трения. Причем вследствие экспоненциального стремления к нулю давления при х*->-оо эта область лежит на некотором малом расстоянии от области взаимодействия (3, 16]. Обозначим это расстояние через уоАо, где 7о = const, Д0 = Д0 (Re) -+• 0 и Д0> О (о) при Re -»-оо. Для параметра Д0 удобно ввести следующее обозначение: Д0 = о0а)0, где о0 = о(1п ц*)1/2 и <в0 = <о0 (Re)->оо при Re ->оо, а определяется выражением в (3.10).
Рассмотрим сначала основную часть следа (область А*, рис. 5) при Х=Ь~хх =0(1). Эта область является продолжением области II ив главном члене продольная составляющая вектора скорости сохраняется вдоль поверхностей тока. В соответствии с (3.7) здесь
х = Д0 X , Д0 = о0 (Од,
¥ = W0 (Z) + о (1), Y = Q(X, Rе) + 2. (4.1)
Вид функции G(X, Re) в ее главных членах определяется формой свободной поверхности тока из (1.2) и поэтому переходя в представлении для rs(x) (с учетом выражений для малых параметров и того, что
г = У2у) к переменной X находим, что
S = ^o)o(^2) + “o аД2) +
+ («о In (О0 ^ + О К) . (4.2)
Это разложение следует также из рассмотрения промежуточной области, где |х|=0(сь), в которой в силу (3.15) становится несправедливым выражение для У в (3.7).
Рассмотрим течение в области В. Введем здесь следующие независимые переменные:
* = Тодо + Д1*. У = Ие-1У, Д^оо«^, (4.3)
где Aj = Aj (Re) 0, Re_1/2<0 (Aj) < Д0 при Re -*-оо, и представим решение в виде
W = Z0W0(X, У) + о(Е0),| Р-Роо = %1Ро(Х, n + o(SS).
Подставляя (4,4), (4.3) в (1.1) и исходя из баланса инерционных и «вязких» членов в уравнениях движения, получим:
Для определения значений параметров А0, Л1 и постоянной уо рассмотрим течение в области А — основной части следа при Х = 0(1) (см. рис. 5). Из (4.1) — (4.3) следует, что здесь
Используя представление (2.16) для Ч'о(.г), произведем сращивание решений в областях А и В при ------------оо и У оо. В результате находим,
что
Если вспомнить выражения для а0 и Но в (4.5), то из последних двух равенств следует:
Условия при X -»----оо в области В могут быть получены на основе
■следующих соображений. Вниз по потоку от области взаимодействия (вплоть до области В), т. е. при ^ = 0(1), Х<уо (область В*), решение однозначно определяется интегралом Бернулли при заданной толщине вытеснения на внешней границе этой области, которая в свою очередь определяется производной функции в из (4.1), (4.2). Поэтому, исходя из уравнений (4.5) с условием (4.7) при У оо и используя выражение
(3.3) для функции Бернулли, находим, что при X->-------оо
Заметим, что в области В*, вследствие экспоненциального характера поведения давления в области взаимодействия при х* -> оо, решение нельзя представить в виде асимптотического разложения типа Пуанкаре:
f(x, е) = 2 8л(е) сп(х)(см- [17]). Однако в окрестности произволь-
д д*¥0 д ¥0 ¿2 Ч'„ дР0 = 2Гдзу0 2 д* 'Г0
дУ дХдУ дХ дУ* дХ дУ3 дУ*
(4.5)
W = VF0(Z) + o(l), Y — О (X, Re) + Z ,
+ 0 (®о) + f* “о ші («І То X) + О ([А 0)0 (В,) .
(4.6)
А0 exp (В0 Y — а В0 то X) при У оо,
(4.7)
То = (а, ВоУ-ч*, ш0 =(,1/2 + ¡,-1/2 in р. + О (¡.-i/s). (4.8)
W->2A0 ехр (-то-1 A")-sh (В0 Y) , |
р^^2А20В20ех р(-2^1Х). J
(4.9)
П- 1
ного сечения х = &1 ъ, где О < О (Д,) < Д0, можно ввести подобласть В/, в которой независимыми переменными являются Х1=={х —
Т< ДЛ Д* \ У = 0(1), Д* < О (Д;) и тогда в каждой из этих подобластей будет справедливо уравнение Бернулли, а при У ->оо искомая функция ведет себя аналогично Ф0 (X, У) в (4.7). Поэтому в В* решение будет вида (4.9).
Задачу (4.5), (4.7), (4.9) после преобразований
при X'-*—оо.
Здесь выписаны также следующие члены разложений искомых функций и краевые условия на оси симметрии.
Для замыкания системы соотношений, описывающей течение в области В, необходимо сформулировать краевые условия вниз по потоку, т. е. при Х'-^-оо. Согласно исходным представлениям о характере течения точка разрушения следа, в которой скорость на оси симметрии обращается в нуль, лежит в области В. Следовательно, при Х'-+оо, как обычно, в верхней части этой области развивается подслой смешения и возвратное течение определяется эжектирующим действием последнего. Решение для подслоя смешения аналогично соответствующему решению для плоского течения [3, 16] и поэтому на основании разложения при У'-^оо в (4.11)
В области возвратного течения, которая расширяется по параболическому закону, при X'оо
Распределение давления Р'(Х') в области В неизвестно и должно быть найдено в процессе решения. Заданным, согласно (4.11), является вытесняющее действие на внешней границе этой области:
^ = То^' + То 1п(ТоЛ0), У = Вц У', = То ^ . Ро = а71 В0 Р'
(4.10)
запишем в виде
1г/ = 0, д ^ < оо при У' = 0;
¥/ = ехр(У/ — X’) — У'*+0(1) при У' -*-оо ; ’®г'-2ехр(-Х') вИ У'+4Х'\ехр (— У')— 1] + 0(1) , Р'=—2ехр (—2Х') + 8Х' ехр {—X') + О [ехр (—X’)]
(4.11)
= Л"* Ф0 (ЛО + О (X’ 1 п X'), Ф0 = е" - 1 ,
ЛГ= У' - X' — 2ІП А" + О (X’-1 1п X'), Л^= О (1).
ЧГ' = *'»Хо(С) + 0(*' 1п*'), С = -£, Хо=-С, = ЬО(Х'1пХ').
(4.13)
Решение аналогичной задачи для плоского случая [3, 4] удалось найти в явном виде, что касается задачи (4.11) — (4.13), то ее решение по-видимому может быть получено только численно. Из разложений (4.11), (4.13) следует, что распределение давления Р'(Х') (в отличие от [4]) имеет точку максимума при некотором конечном значении X'.
Вниз по потоку от этой области при X—Л^1 х=0(1), Х>у0 в основной части следа (область А*) решение имеет вид (4.1), (4.2), (4.8). Эта область отделена от зоны возвратного течения Б подслоем смешения С. Переходя в (4.12), (4.10) от внутренней переменной X к X и используя при этом (4.3), (4.4) вместе с выражениями для параметров 20> ®о, находим, что решение в области С можно представить в виде
¥ = а цз Ф0 (X, Л0 + о (о ^ N = В0 У - у? Д0 (X) +
+ о (р2) — 41п ¡X — £0 (.А') + о (1), (4.14)
а условия сращивания при Х-*-уо+0 СУТЬ
фо - (/2 То)-1 (^- То)2 Фо т , Ф0 = ^ - К;
#о - То"1 (Я - То) - £о - 21п (X — То) — 1п(То А) •
Подставив (4.14) в (1.1), приходим к следующему уравнению:
(4.15)
д2 уо _ Цо = 2/? . (4.16)
д1/ дХ дЛТ дХ д№ ° д№
Используя выражение для ЧМ^) в (2.16), произведем сращивание разложений (4.14) и (4.1), (4.2). В результате находим, что
Т0 - Я0 (А?) е35 при N-*00;
і (4 17)
До = 4- (то_2^2-1), Іо = 1п(і/2 А-'Н).
Наконец, кроме условий (4.15), (4.17), решение уравнения (4.16) должно удовлетворять обычным условиям для слоя смешения:
¥0 = 0 при ТУ = 0 , -4- 0 при N -* — оо . (4.18)
дй
Решение этой задачи имеет вид
Ф0 = //,(*) И-1), Я„ = (3 То)“1*’-2-1/* Я+У2 То/3. (4.19)
Возвратное течение в области В обусловлено эжектирующим действием слоя смешения С и поэтому решение здесь, как обычно, есть
= [X, у) + 0(0 (X3),
Р —Ро0 = °2 Iа2 Ро [X, ?) + О (о2 ц2), У = [А2 У ; %=М0{Х)У, я=- — К, м0=-^°.
2 Яо
(4.20)
Это решение удовлетворяет условиям сращивания с решением в области С и условиям на оси симметрии, а при Х-*~ уо+0 оно сращивается с разложением (4.13).
5. Рассмотрим течение вниз по потоку от области, где дг==0(Ао). Согласно (4.19) при Х-+оо функция тока и Чго^ возрастают пропорционально X3. Следовательно может найтись такой масштаб х = 0(\*), Л0<О(А*)<1, где скорость и функция тока в подслое смешения станут того же порядка, что в основной части следа, т. е. области А* и С перейдут в некоторую область С*, в которой Чг = 0(1), ¿7=0(1). Представим решение здесь в виде
Л Л Л
(О
*
х=ь* х, у = о(х, д* = д0
л л л л М I /Я 1 ч
у^у^х, г)+ 0(1), с=(^] Иех
(“
[1 + 0(!х-1)] ехр{— ,х3 — [[х2-21п(1ха)*)-Мп2 + 0(!х-1)]1/2}.
л л ~ ~
Вид функции б(Х, Ие) получается, так же как и б(Х, Ие) в (4.2).
Подставляя (5.1) в (1.1) и исходя из баланса инерционных и «вязких» членов, находим, что
Л Л Л Л Л А
сИГо & д Ч-0 ¿2 ЧГр дз Щ
ЛАД АД т/"9 Л
дг дХдг дХ дТ> у 2 дг*
■■ ехр + р! V- — 1п I* + Ро + О ([X-1 1п ,)] ,
А VI ■
Л Л Л
Функция То (Х^) должна удовлетворять условиям вида (4.18) и усло-
л л
вию на внешней границе следа: ЧГ^л-»-^ при Асимптотическое
Л
поведение решения этой задачи при X -V оо, как обычно, не зависит в
л
своем главном члене от начальных условий (при X 0) и поэтому
Л Л Л Л 7
5 = -^-. (5.2)
^3,2
Л
Функция фо(|) является решением задачи [18—20]:
/я, ?о\ш Л / а, уп
'?0 —(3/2) *’ (зК2<7о)
2® + 9^" = 0, ф' (со) = 1, <р (0) == <р' (—оо) == 0 .
(5.3)
Заметим, что при получении (5.2) было по существу использовано известное преобразование Степанова — Манглера [21, 22].
В области возвратного течения /)* решение аналогично (4.20) для области И:
л
у = 8* г ,
¥ = М* (X) У + о (1), /? —/»оо = («* Не)-* Р0 (X, У) + о (8* Не)~2]; £> _ м** _ Ж* (X) .
П-- , м----------— ,
й5*2
= ехр[—§^2 + (2^-/4-) 1*-Ро + 0(1)] .
8*
(5.4)
л л л
Здесь Ь* (X) — Чг0 (X, — оо) и поэтому в соответствии с (5.2), (5.3)
¿* -* (а5 <7„/3 ]/2)1/2 ер (—оо) ^3/2 при X -*■ оо, где <р (—оо)=— 1,2386 [19].
л л
С другой стороны ¿* = 0(Л’3) при Л”-*-4-0 и поэтому из (5.4)
АЛЛ АЛ Л
находим, что Р0=О(Х*) при ^-»+0 и Р0 = О(Аг-1) при X -*оо. Таким образом в области возвратного течения £)* распределения давления и скорости ведут себя немонотонно.
А
Полученное разложение решения для области С* при Х-^оо сращивается с решением для слоя смешения при х-+ +0. Действительно, в слое смешения, который развивается при л: = О (1) вдоль свободной поверхности тока, при +0 оно имеет вид
50
у = уЛ*) + Ке_1/2 «> л =
50 = ^|1/2 X3'2 е* 2 + О (х3/2 в-1 е«2),
где ф*(£)—решение задачи (5.3). Это представление определяет начальный профиль скорости для слоя смешения в области х = 0(1). Заметим, что поперечный перепад давления в слое смешения, связанный с кривизной линий тока, есть величина 0(Ке^,/2).
Наконец решение в области возвратного течения при х->+0, как и раньше, есть
Ие1/2 <!> у~х -* Ото (■*)» Р—Ро 0 = Яе- 1 Ро + о (Ие- 0 ;
Л «п У Яо ?* (— °°) Я0 (х)
У5 (*)
Л
и сращивается с решением* (5.4) при X-*- оо.
В заключение заметим, что полученное локальное решение, описывающее течение в окрестности точки разрушения следа, содержит ряд постоянных. Это А0 и В0, которые характеризуют приходящий к точке разрушения профиль скорости, И ^0, — входящие в решение для пре-
дельного состояния поля течения. Их значения остаются произвольными
и, как обычно (см. [16]), могут быть определены из решения задачи в делом.
Автор благодарит А. В. Зубцова за большое внимание к работе и ряд полезных замечаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Werlé H. Sur l’éclatement des tourbillons. — ONERA Note Tech.,
1971, N 175.
2. С ы ч e в В и к. В. О разрушении плоского ламинарного следа. — Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 6.
3. С ы ч е в Вик. В. К асимптотической теории ламинарного отрыва на подвижной поверхности. — ПМ1М, 1984, т. 48, вып. 2.
4. С ы ч е в Вик. В. Аналитическое решение задачи о течении в окрестности точки отрыва пограничного слоя на подвижной поверхности. —
ПММ, 1987 г., т. 51, вып. 3.
5. Т р и г у б В. Н. О течении в окрестности точки торможения осесимметричного следа. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, № 2.
6. Р у б а и А. И. Особое решение уравнений пограничного слоя, непрерывно продолжимое через точку нулевого поверхностного трения. •—
Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 6.
7. Т р и г у б В. Н. Асимптотическая теория возникновения рециркуляционных зон в осесимметричном следе под воздействием неблагоприятного градиента давления. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, № 5.
8. В о d о n у i R. J., Smith F. Т., К 1 u w i с k A. Axisymmetric flow past a slender body of finite length. — Proc. Royal Soc. London, ser. A,
1985, vol. 400, N 1818.
9. Southwell R. V., Vais e y G. Relaxation methods applied to engineering problems. XII. Fluid motions characterized by «free» stream— lines. — Phil. Trans. Royal Soc. London, ser. A, 1946, vol. 240, 'N 815.
10. Кожуро JI. А. Обтекание сферы с заостренными областями постоянного давления. — Численные методы механики сплошной среды,
1983, т. 14, № 6.
11. Чаплыгин С. А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости. — Труды Отделения физ. наук Общества Любит. Естествозн., 1899, т. 10, вып. 1.
12. Сычев В и к. В. О течении в окрестности точки возврата осесимметричной каверны. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1989, № 5.
13. Тригуб В. Н. Об асимптотической структуре взаимодействия в ламинарном осесимметричном следе. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 4.
14. A d a m s М. C., Sears W. R. Slender-body theory-review and
extension. — J. Aeronaut. Sei., 1953, vol. 20, N 2.
15. Коул Д ж. Методы возмущений в прикладной математике.'—
М.: Мир, 1972.
16. Асимптотическая теория отрывных течений./Под ред. В. В. Сычева.— М.: Наука, 1987.
17. V an Dyke М. Perturbation methods in fluid mechanics. Stanford,
Calif.: Parabolic Press, 1975.
18. Keu legan G. H. Laminar flow at the interface of two liquids.— J. Res. nat. Bur. Stand., 1944, vol. 32, N 6.
19. Lock R. C. The velocity distribution in the laminar boundary layer between parallel streams. — Quart. J. Mech. Ap.pl. Math., 1951, vol. 4, pt. 1.
20. Диесперов В. H. О течении в слое смешения Чепмена.—
Доклады АН СССР, 1985, т. 284, № 2.
21. Степанов Е. И. Об интегрировании уравнений ламинарного пограничного слоя для движения с осевой симметрией. — ПММ, 1947, т. 11, вып. 1.
22. Mangler W. Zusammenhang zwischen ebenen und rotationssymmetrischen Grenzschichten in kompressiblen Flüssigkeiten. — Z. angew.
Math. Mech., 1948, Bd. 28, H. 4.
Рукопись поступила 23/V 1989 г.
