О разрушении плоского ламинарного следа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IX 197 8

№6

УДК 532.526.048.3

О РАЗРУШЕНИИ ПЛОСКОГО ЛАМИНАРНОГО СЛЕДА

Вик. В. Сычев

Исследуется явление разрушения плоского ламинарного следа. На основании асимптотического анализа решения уравнений Навье— Стокса при больших числах Рейнольдса (&е) показано, что разрушение следа является самоиндуцированным и происходит в области с характерным продольным размером х = О (Ие-1/3), характерной толщиной следа в этой области у = О (1?е-1/2 1п Ие).

Ламинарный след в несжимаемой жидкости разрушается под действием неблагоприятного (положительного) градиента давления [1]. Такая ситуация возникает, например, если на конечном расстоянии от обтекаемого тела расположено другое тело конечных размеров. Разрушение следа всегда связано с тем, что действие положительного градиента давления приводит к интенсивному замедлению потока в его внутренней части, так что скорость течения в конце концов обращается в нуль в некоторой точке, расположенной в плоскости симметрии следа. Целью настоящей работы является построение асимптотического решения уравнений Навье— Стокса в окрестности этой точки при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности.

1. Рассмотрим плоское стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости за телом конечных размеров, которое обтекается без отрывов.

Исходное предположение состоит в том, что предельное состояние течения в окрестности точки разрушения при Ие -»оо описывается известным решением [2—4] теории потенциальных течений идеальней жидкости с каверной, имеющей впереди точку возврата (фиг. 1). Это решение дает следующие выражения для давления на нулевой линии тока в окрестности точки 0:

Роо — 2Л0(—а:)1/2 — -у-Ло(— х) + 0[(— х)3'2] при л: < 0,

Р= 6 } (1-1)

Роо + о (хР), р > 1 при л: > 0

и формы нулевой линии тока

У = ~А0Х3/2 + 0(Х52).

(1.2)

Здесь А0 — положительная постоянная, значение которой определяется глобальным решением задачи.

Будем использовать две системы координат с началом в точке разрушения: декартову X, ¥ и ортогональную х, у, связанную с нулевой линией тока. Все размеры отнесем к характерной длине обтекаемого тела І, компоненты вектора скорости — к значению

/

V

г

з

Фиг. 1

Фиг. 2

ее невязкого предела на свободной линии тока £/00; соответствующий предел для давления обозначим через р0о. Приращение давления/? — ров отнесено к р£/оо, где р — плотность жидкости. Число Рейнольдса Яе = ^~.

2. Уравнения, описывающие движение в следе при х < 0 (у >• 0), и соответствующие краевые условия запишем в форме Мизеса:

ди

дх

м — +

<1р

йх

(Ж

( да \ дN « дМ , /0

(^и ^) ’ адЧГ ~ ’ и дх ~ ’

О при Ч' = 0,

(2.1)

Ке_1/2 Vа", изменение давления описывается выражением (1.1) в соответствии с этим и(х)= 1 +2 А0(—х)112 4 О [(—х)] при

и -*■ Щх) при ЧГ -* оо.

Здесь ф = Ие-1^ — безразмерная функция тока, = Не_,/2ЛГ,

V-

и

х -* — 0.

В силу того, что градиент давления ведет себя особым образом при х -* — 0, течение в основной части следа (область 2, фиг. 2) становится локально невязким, и соответствующее решение может быть представлено в виде

« = «00 (*) + (- *)1/2 2 л о «й1 (*) + 0 К- х)Ь

М=К0(х) + ^0(Ш)-\-О[(-хуіЦ;

V0 = «оо(*)К(х) + (-х)ч2К0(х)2А0(ЧГ)4 + (— х)~112А0и00(Ч1) к00(Чг) + О(1);

^00 (*)=/ < СП ^00 (*)=/ «бо3 (*)

«оо(^)^-1 при ЧГ

оо.

(2.2)

Здесь К0 (х) — некоторая (пока произвольная) функция. Предположим, что в области 2, где ЧР" = О (1),

й0ОеР) = аоЧГ+ о(Ф“)

при ¥ 0; здесь а0 и а — положительные постоянные. Из первого

выражения в (2.2) следует, что второй член становится порядка

первого в области, где = О [(— лг)4и, следовательно, разложения (2.2) здесь становятся непригодными. В этой области (область 3), в силу разложения (1.1), решение имеет вид

и = (- *)!/«/„ (Ч) + О [(- х)^} + О [(- *)*Ц, (2.3)

где --------щг > причем а >2/5. В результате подстановки (2.3)

( ■*)

в (2.1) и последующего интегрирования получаем:

/о = (ач т]2 а + 4 Л0)1/2. (2.4;

Из сращивания этого решения с решением в области 2 при ЧГ -► О находим, что ах = а2.

Для удовлетворения краевому условию при Чг = 0 необходимо, вообще говоря, введение дополнительной области вязкого течения. Решение для нее, в соответствии с (1.1), будем искать в виде

И == (- *)1/4£Ь (С) + (- ху> gi (С) + (- хУ* ё2 (С) +

+ (-*)*•*, (С) + О К-*)П (2-5)

где С=?(=^Т8-* ^(4> 4)' = 4-) • В результате

подстановки (2.5) в (2.1) для ^0(£) получаем следующую задачу:

go (ё'оёо)' — 4С+ 4-^о“ ло = 0, ^(0)- 0,

и из условия сращивания с решением (2.3), (2.4) следует, что не содержит экспоненциально возрастающего члена при С-^оо. Решение такой задачи имеет вид: g0 — 2Ao2.

Для &(£)(£= 1, 2, 3) получаем следующую линейную задачу:

____5 Г'г I (4Р«+У _/, 1

168аЦ2 ^ 1’ (2.6)

%(0) = 0. ]

4

Здесь = Л3 == 0, Л2 = -у А0.

Функции gi также не должны содержать экспоненциально возрастающих членов при С -» оо. Решение такой задачи для однородной части уравнения (2.6) в общем случае есть тождественный нуль. Ненулевое решение существует, если только Рг=1. Следовательно,

8Ао2 ( V

£1^0, g2 = ^г-, £3 = а.

з > Ат 5

Сращивание с решением в области 3 тогда дает:а2=аи р, =^^-=1.

Таким образом, а = аШ1„=1. Однако при этом решение (2.3), (2.4) удовлетворяет условию на оси и регулярно в ее окрестности, следовательно, нет необходимости для введения области вязкого течения. Заметим, что значение постоянной а0>О определяется начальным условием, заданным вверх по потоку.

Итак, решение в области 3, удовлетворяющее краевым условиям при ЧГ = 0 и условиям сращивания с областью 2, имеет вид

и = (— х)ч* К V + 4 Л0у2 + О [(- х)3% а0П+ («о Ч* + 4 Ао)т

Л^= —1п ао

2 А™

V0 = (— х)-314 -4- + о [(-

+ 0[(-Х)!/2],

(-*)

(2.7)

Из условия сращивания с (2.7) в выражениях (2.2)

К0{х)

4 а0

1п(_х)+0(1).

(2.8)

Из полученного решения следует, что толщина следа при х —О возрастает по логарифмическому закону.

3. Особый характер поведения давления и толщины следа при х -* — 0 свидетельствует о неприменимости полученных разложений в некоторой окрестности точки х = 0. Действительно, используя полученные ранее соотношения (1.2), (2.2), выпишем следующий член разложения для толщины вытеснения при ^-*+0:

д£ = [2 А0Х'»+ 0(Х312)] + Пе-

■1/2

В полученном разложении члены становятся одного порядка в области, где Х—0(Яе~т). Это и есть область неприменимости полученного выше решения. Определить размеры этой области можно и иначе: согласно (2.2), (2.8),

дУ_

дх

Ке-1/2 {[4 а0 (- *)]-» + О [(- Х)-'1* ]},

(3-1)

дУ

дХ

(3.2)

■с другой стороны, согласно (1.2),

:2Л0^2 + О(^3/2) при | Х\ -+ 0.

Таким образом, область, в которой (3.1) и (3.2) становятся одного порядка, является областью, где взаимодействие следа ■с внешним потенциальным потоком играет определяющую роль. Это область, где X — О (Яе~уз).

Рассмотрим теперь течение в области взаимодействия с характерным размером х* = Ке113х.

В основной части следа (область 4, фиг. 3) функции течения могут быть представлены в виде:

и = «00 (¥) + Ие-’/б т (х*) Иш1 (Ф) + О (Ие-1'3);

1 1п Ие + /(1 (л:*) + Л^оо ОН + О (Ке-1/6);

ЛГ=

12 «о

V0 = Ие1/3 «00 (ЧГ) К\ (.X*) + О (Ие^/б); '■Рао + Яе~11вР1 (х*) + О (Ие^1/3); рх (л*) =

Т(х*).

(3.3)

Это следует из рассмотрений внутреннего предела внешнего разложения (2.2), (2.8), причем Т (х*) -* 2 А0 (— х*У12 и (х*) -* К0 (х*) при х* —* — оо.

_ 1_

Разложение (3.3) несправедливо в области 5, где ЧТ = О (Ие- 12), которая является продолжением области 3 в область взаимодействия. В этой области функции и независимые переменные представим в виде

х = Яе~113х*\ ф = Не_7/12ЧГ*; и = Ие-1/12 и* + О (Ие~1/4); у Яе-и2 № + О (Яе-2’3); [ (3.4)

у = V* + О (Ие-5/12); р — р0й = Яе~1/6р* + О (Яе~^3).

Фиг. 3

Подставляя (3.4) в уравнения Навье—Стокса, получаем следующую задачу:

?+/>* = яог*); в*р£=1,

и* ^г = ЛГ*= V* = 0 при ¥* = 0.

(3.5)

Из сращивания с областями 3 и 4 находим, что

(А 1|Г*2

■Я(ЧГ*)=-»2_, Р*(Х*) = Р1(Л*) (3.6)

и что существует предел

в' (х*) = к[ (х*) = Нш ^ = Иш д^г ■ (3.7)

Чг*->00 “ 1Г*-»со ох

Для замыкания системы соотношений (3.5) — (3.7) в области 5 необходимо получение дополнительного условия, учитывающего указанное ранее взаимодействие.

С этой целью рассмотрим область 6 внешнего течения с характерным поперечным размером порядка продольного размера области взаимодействия

Х* = Ке'13Х, У* = Ие1/3 У.

Поскольку течение в этой области является невязким,слабо отличается от однородного потока и величина поперечной составляющей скорости определяется отклонением линий тока, то имеем £/= 1 + Не_1/6 и о (X*, У*) + О (Ие~1/3); |

У=Ке-ч6Ъ0(Х*, У*) + 0(Не_1/3): (3.8)

р-рю=*Яе-ч*Р0(Х\ Г*)-Ь0(Ие-1/3). ]

(3.10)

В результате подстановки (3.8) в уравнения Навье —Стокса получим, что функция

/ (г) = Р0 + гв0, г-Х* + іУ* (3.9)

является аналитической в верхней полуплоскости.

На действительной оси (У* = 0) из условия сращивания с областью 4 находим

1ш/=0,(Л’*) при **<0,

Ие/=50 при Х*>0.

Здесь й' (Х*) = &0(Х*, 0). В ортогональной системе координат

»„(**, 0)«=С'(**) + Ф'(**), (3-11)

где Ф(я:*) = 0 при ^*<0 и определяет форму нулевой линии тока при х*>0. Функция С (х*) определяется выражением (3.7) и В0 < 0 — некоторая постоянная, определяющая значение давления на свободной линии тока ЧГ* = 0 при х* > 0. Постоянство давления следует из рассмотрения течения в области 7, которое будет проведено дальше. Из сращивания в областях 6 и 1 следует, что

/=і2А0г^ + В0 + О(\) (3.12)

при г -*■ оо. Решение задачи (3.9) — (3.12), как известно [5, 6], имеет вид

_1_ С & (ё)

15 і У~і

Р0(х*, 0) =р* (х*)

— У — х* |^-

-2 Ап

• ? (£ — х*)

»„(•**, 0)

ф' (х*) = Ух* І2 А0 — — Г-£Д^-7 0 * J У-ИЬ-х*)

I- —со

— й' (х*)

(3.13)

при х*<_0 и **>0 соответственно. Таким образом, система соотношений (3.5) — (3.7), (3.13) описывает течение в области 5.

Опуская несложные выкладки, запишем систему уравнений, описывающую течение в области 5 в форме подобия, содержащей один параметр С0 = (2 Л0)~2/3 а'/3 В0:

У = —р' р = У—х

«-(¥*—2/>)1/а, ЛГ=1п 1

—ЧІ/2 “Ь

У + (уа — 2 р)1/2 (-2 Р)1П ^-2р)^2 ~

ЦТ (\*Г2 _ 2 р)х>2

о

2 р

1

ф '=У:

} К-«(Є-ДС)

—СО

р = С0 при х > 0,

о

я Л у-нь-х)

—оо

Ф = 0 при х < 0.

• 0' =______1-£І

2 -р

+ С0 при х <0;

(3.14)

при л;>0,

Здесь величины с чертой введены посредством соотношений х* = (2А0 а0)~2/3х, «Р* = (2 А0)'1*ао71бУ, и* = (2 Л0)1/3аГ1/6 и,

Ы* = ао1 N. V* = 2 А0 аоЩ V, Ф - а0-1 Ф, р* = (2А0)213а^ш р

Итак, в области взаимодействия решение задачи сводится к системе нелинейных уравнений (3.14). Заметим, что при этом ниже нулевой линии тока должна лежать область, в которой давление в первом приближении постоянно.

4. Перейдем теперь к рассмотрению'влияния вязкости. Вследствие того, что свободная линия тока, форма которой при х -* + О описывается выражением (1.2), представляет собой тангенсальный разрыв, рассмотрим вязкий слой смешения вдоль нее. Так как

<1р

йх

О при х -* + 0, то, согласно первому уравнению (3.5), вдоль

нулевой линии тока и — Ие-1/12 V—2В0 + • • •, где В0 < 0 — постоянная, определяющая величину давления при х + 0. Поэтому решение для слоя смешения (область 9) имеет вид [7]

_

ф = Ие 24 (-2В0)'К (2хУ* х. Ы + • ■ •,

(—2В0)11* Кеп'иу

(2х)хп

хГ -^х^о, х1( + °°)= !' XI (0) = х[ (—°°) = 0.

(4.1)

Слой смешения вызывает движение в области 10 и решение здесь будем искать в виде [8]:

Ф = Ие 24-АГ1/29>0^) +

13

12

р Роо= Ке-1/6 В0 + Ие “ В, Х~* +

' = У/Л’3/2

(4.2)

при Л--*■+(). Здесь Вг— некоторая постоянная. Подстановка (4.2) в уравнения Навье — Стокса приводит к следующей задаче:

^?о + 2?;2 + 451 = 01 То(0) = о, ср0Ы =(-2В,)щ /2 X! (—00), у -±А

(4.3)

Решение задачи (4.2), (4.3), не имеющее особенности при v = 0, имеет вид

* _ Ке- » х-,у+...,

Р —Роо = Не-,/650 — Ие

13

12

16Л2

+

Полученное таким образом решение в области возвратных течений 10 удовлетворяет всем краевым условиям при К = 0(ф = фкг == 0) и условию сращивания со слоем смешения.

Решение в области 7, которая является продолжением области 10 в область взаимодействия, вполне аналогично решению в области 10 и имеет вид

Это решение также удовлетворяет краевым условиям при п* — О

и, кроме того, должно удовлетворять условию сращивания со слоем смешения (область 8) вдоль нулевой линии тока. Форма нулевой линии тока определяется из решения задачи (3.14), а это, в свою очередь, определяет вид функции Т7(X*) в (4.4). Из выражения для давления в (4.4) также следует, что в области возвратных течений давление в основном порядке постоянно, что оправдывает сделанное выше (п. 3) предположение.

Решение для слоя смешения (область (?) в области взаимодействия аналогично решению для слоя смешения при х -> -+- 0 и имеет вид

функция х2 (ъ) является решением задачи (4.1).

5. Полученное локальное асимптотическое решение задачи о разрушении плоского ламинарного следа при Ие -* ос показывает, что разрушение происходит самоиндуцированно под действием большого локального градиента давления [с1р1с1х = 0(Яе116)] в малой окрестности точки разрушения [л = О (Ие-1/3)]. Такой механизм во многом подобен механизму ламинарного отрыва [8—11], однако существенным отличием является отсутствие влияния вязкости и изменение порядка толщины следа [_у = 0 (Не_1/21п Ие)]. Роль вязкости сводится в данном случае к сглаживанию разрывов гидродинамических функций.

Автор благодарит В. В. Сычева и А. И. Рубана за большое внимание и помощь в работе.

1. Werl6 Н. Hydrodynamic flow visualization. .Ann. Rev. Fluid Mech.“, vol. 5, 1973.

2. Чаплыгин С. А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости. Трофиз., т. X, 1899.

3. Lighthill М. J. A note on cusped cavities. „Aero. Res. Counc. Rep. and Memo.', 2328, 1949.

4. Southwell R. V., Vaisey G. Fluid motions characterised by free streamlines. „Phil. Trans. Roy. Soc.“, London. Ser. A, vol. 240, 1946.

5. Лаврентьев М. А., Шабат В. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., „Наука*, 1973.

6. Р у б а н А. И. Численный метод решения задачи о свободном взаимодействии. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 2, 1976.

7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., .Мир*,

8. С ы ч е в В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 3.

9. Р у б а н А. И. О ламинарном отрыве от точки излома твердой поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 2, 1974.

10. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1969, № 4.

11. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation. „Ргос. Roy. Soc.“ A, vol. 312, 1969.

(— 2-Bp)1/4 Re5/8y (2x*)V2

ЛИТЕРАТУРА

1973.

Рукопись поступила 17jII 1978 г.