CC BY
31
_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXVIII 1997
№3-4
УДК 532.556.4
О НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЯХ С МАЛЫМ ПОВЕРХНОСТНЫМ ТРЕНИЕМ
Вик. В. Сычев
Исследовано плоское нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса около неровностей, расположенных на стенках диффузора и начинающих совершать гармонические колебания в некоторый начальный момент времени. Показано, что решение задачи, когда поверхностное трение в невозмущенном потоке мало и положительно, выходит при больших значениях времени на периодический режим. Если же трение отрицательно (течение с противотоками вблизи стенок), то возникает его экспоненциальный рост, несмотря на то что собственно периодическое решение задачи существует.
На основе асимптотической теории взаимодействия и отрыва для течений жидкости при больших числах Рейнольдса (см. [1]—[5]) к настоящему времени был рассмотрен ряд задач об обтекании малых неровностей, расположенных на поверхности тел и совершающих гармонические колебания или начинающих совершать их в некоторый начальный момент времени. (См. [6]—[12], в которых содержится также обширная библиография.) Эти исследования касались как внешних, так и внутренних течений, в которых исходный невозмущенный поток обладает конечным (безразмерным) поверхностным трением. Представляет интерес исследовать такие течения в случае, когда нестационарные возмущения вносятся в поток, имеющий малое поверхностное трение на всей обтекаемой поверхности.
1. В работе [13] было рассмотрено плоское стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса (Ле -> оо) около малых неровностей, расположенных на расстоянии Ь от точечного источника, который находится в точке пересечения двух прямолинейных стенок (рис. 1). При этом исходное невозмущенное течение описывается решением Джеффри — Гамеля (см. [14], [15]) при значении полуугла раство-Рис. 1 ра диффузора, близком к критическому,
г
1г
когда поверхностное трение на стенках мало. Рассмотрим теперь это течение в предположении, что форма двумерных неровностей является также и функцией времени.
Как известно, решение Джеффри — Гамеля является точным решением системы уравнений Навье — Стокса. Оно имеет вид
Здесь Ьг, 0 — полярные координаты, ити и итю — соответ-
плотность жидкости. Начало системы координат находится в точке пересечения стенок, задаваемых условием 0 = ±а, на которых выполняется условие прилипания. Через ит обозначена характерная скорость, равная максимальному ее значению в плоскости симметрии 0 = 0 при г = 1. Искомые функции при этом определяются из решения следующей задачи:
Здесь Ле = итЬ/\ — число Рейнольдса, V — коэффициент кинематической вязкости.
Для течения от источника (см. [15]) относительная величина сил вязкости не может уменьшаться неограниченно с ростом числа Рейнольдса: решения задачи для пристеночных пограничных слоев не существует [14]. Поэтому, согласно (1.2), при Ле <» решение зависит от параметра (3 = а2 Ле = 0(1), являющегося мерой отношения сил инерции и вязкости.
Известно (см. [15]), что при Ле-> оо существует критическое значение р = р0 = 10,3128, при котором трение на стенках обращается в нуль, а при р < |30 и р > Ро реализуются соответственно чисто расходящееся течение и течение с противотоками вблизи стенок. (Детальное исследование возможных режимов течения было дано в работе [16].)
В дальнейшем будут рассматриваться течения при значениях р, близких к Ро- Поэтому введем малый параметр Д^ = 0(р - р0): =
= Д| (Ле) -> 0 при Ле -» 00, который определяет степень отклонения величины р от ее критического значения Ро- Тогда, согласно [13], решение задачи (1.2) имеет вид
и-г~1р(у), v = 0, р = г~2Р{у), 0 = ау.
(1.1)
ствующие проекции вектора скорости, ри^р — перепад давления, р —
Р"' +ос24/'' +р2 ЕР’ = О, -2Р = р-1/1" + Р2, р = а2 Ле, *■(!) =/■(-!) = О, ^(0) = 1.
(1.2)
Р = а2 Ле = ро + Д1 рь Ро = <*о 01 = сом1;
? = ?о(у) + А1 р\(у) + ц/ф/(у) + 0(д2),
Р = -1 + 0(Ле-1); ^Лро/Ьа-^)’
(1.3)
Здесь Ц/(К.е) = о(Ах), дх Ле -> 00 при Ле -> ао, ф,- (у) — собственная функция задачи, с,- — произвольная постоянная.
Таким образом, функция /о (у)> определяющая профиль скорости при (3 = р0> есть функция Вейерштрасса, обладающая следующими свойствами. В плоскости симметрии она принимает максимальное значение Д) (0) = 1, /3 (0) = 0 и вблизи стенок, т. е. при у -> ±1 + 0:
Здесь также выписано разложение для функции /^(у), производная которой при у = ±1 определяет значение трения соответственно на верхней и нижней стенках.
Вблизи малых неровностей, расположенных на расстоянии I, от источника (см. рис. 1), т. е. при г -> 1 - 0 согласно (1.1), (1.3)
Таким образом, в приходящем к неровностям потоке поверхностное трение мало и равно +Ь$ А1 (в главном члене) при у = ±1. Это означает [см. (1.4), (1.3)], что на нижней стенке оно положительно (Ь0 > 0), когда р! < 0, а это соответствует течению при значении полу-угла раствора а, меньшем критического а0, и наоборот, при Ь0 < О значение а превосходит а0.
2. Дальнейшее рассмотрение, как и в [13], будет охраничено анализом течений с локальными зонами отрыва, когда неровности находятся внутри вязких пристеночных слоев, которые (см. [9], [17]) всегда возникают вследствие необходимости удовлетворить условиям прилипания на деформированных стенках.
Пусть неровности имеют продольный и поперечный размеры порядка е и Л Ле-1^2 соответственно, причем 8 = е (Ле) -> 0 и А = й(Ле) -» О при Ле -> оо.
В работе [13] было установлено, что рассматриваемый режим течения с малым поверхностным трением реализуется при Л = е1/4 и значении параметра Дх из (1.3), определяющем величину поверхностного
трения, также равном е1>/4. При этом в масштабах неровностей (г -1 = = О(е)) течение имеет трехслойную структуру (см. рис. 1). Это вязкие пристеночные слои (области 3 и 2) с толщинами порядка поперечного
/о=^(1 + >О2+0((1^)6) вь=£ц ^ = Ав(1 + у) + о((1 + у)2). 4о=-у-
(1.4)
и = (У) + О (г - 1) + + 0(г -1)] +
(1.5)
(г -1) +0^(г -1)2^ + о(Ле-1).
часть потока (область I) с у - 0(1). Кроме того, в [13] было показано, ЧТО если Д1 по порядку величины больше, чем е1/4, то течение в вязких пристеночных слоях описывается решением задач для потока с конечным поверхностным трением, рассмотренных ранее в [9], [17].
Итак, в областях 2 и 3, т. е. при /*-1 = 0(е) и \±у = 0(А), согласно (1.4), (1.5), и = 0(й2), др/дг = 0( 1) и при Л = е1^4 инерционные и «вязкие» члены в исходной системе уравнений Навье — Стокса суть величины одного порядка и порядка единицы. Нестационарность течения, обусловленная колебаниями неровностей, проявляется, если нестационарный член в исходной системе уравнений также величина порядка единицы. Нетрудно видеть, что это имеет место, когда масштаб безразмерного времени / = 0(б1/2). (Здесь Ьи~^1 — время.)
Таким образом, на основании сказанного и результатов работы [13], решение для течения в вязких пристеночных слоях имеет вид
(Знаки «+» и «—» относятся соответственно к верхнему и нижнему слоям (области 3 и 2 на рис.1).) Здесь наряду с главными членами разложений выписаны также и следующие, которые содержат малый параметр а: сг -> 0, Ле-> оо. Дело в том, что, как это будет видно из дальнейшего, их рассмотрение позволяет учесть поперечное изменение давления в области 1. Кроме того, заметим, что (см. [13]) при ст = 1 (т. е. е = Яе-4/11 и Д^ = Ле 1(/11 (см. (2.1)) поперечное изменение давления существенно уже в главном приближении. Однако в этом случае поверхностное трение является настолько малым, что сколь угодно малые вариации поверхности стенок диффузора приводят к невозможности существования течений с локальными зонами отрыва (см. [13]). Рассмотрение таких течений выходит за рамки данной работы. Таким образом, как и в [13], всюду в дальнейшем будем полагать а -» 0, что соответствует значениям Дг, большим по порядку величины, чем
В результате подстановки (2.1) в систему уравнений Навье Стокса приходим к уравнениям пограничного слоя Прандтля:
Р = а2 Ле = Ро + Ді Рі, /г = Ді = є1/4, сг = є 11//4 Ле 1 = є1/2/, г- 1 = єх, а_10 = у = ±1 + е1//4Г±; и = є1/2[«*(/, х, У±) + сти* (ґ, х, Г+) + 0(ДХ)],
V = е_1/4 Ке_1/2[и*(/, х, У±) + м* (/, х, Г±) + 0(д1)], Р = ~\ + ъ{?()(*’ х’ 7±)+ °Р\ х> Г±)+ °(ді)]-
—- + Є
1
(2.1)
Ле-1/!!.
Эи* + „-1/2 + дип дРп „-1 Э2!/?
—^ + и*^ + Вп1/2ог-^ + -^2- = р~1—§-,
о Я»- “О О ятг. Я»- о атг2
ас
= о ^0- + в-1/2-^- = О-
-и» ^ +|3о яг -и>
97+ сЬс
аг±2
9г)л
8¥+
дх
9Г+
0 зг+ 1 дУ+
дА + и±дА + и±дА + кт
9/ 0 дх 1 дх у°
М-й-1^ 3£-п ^ , о-1/2 ^ _ 0
ас ~Р° яг.2’ дГ+~ ’ дх Р° 91+ ~
(2.2)
(2.3)
Решение этих уравнений должно удовлетворять условиям прилипания при У± = /± (/,*):
Ы± = 0 г?=Ъ1/2^-
“О и» °о Ро »
и* = и* = 0.
(2.4)
(2.5)
Здесь функции /± (/, х) определяют форму неровностей на верхней и нижней стенках, относительно которых будем полагать, что /± (/, х) -► 0 при |х| -> оо.
Рассмотрим теперь течение в основной части диффузора (область 2), где у = 0(1). Согласно (1.5) (см. также [13]), здесь решение имеет вид
« = ^оОО + е1/4[*71(/, х, у) + а172 (>, х, у) + О(Дх)], V = 8-3/4 Ке_1/2[К1(/, х, у) + аУ2 (/> х, у) + 0(дх)],
Р = -\ + е[Л(', X, у) + стР2 и, X, у) + 0(Д!)].
(2.6)
После подстановки этих разложений в систему уравнений Навье Стокса с учетом выражений (2.1) и при <т -> 0 находим:
дРл
*--^£*0* ^-0; и2 = С((,х)ГЦу), Г2 = -А!г^Га(у),
дх
(2.7)
Из сращивания с решением (1.5) при ц,- = сте1/4 (см. [13]) следует, что при X -> -ао
»У(/, х) -» О, С((, х) с,-,
хотя сами эти функции остаются пока произвольными.
Таким образом, согласно (2.7), течение в области 1, как обычно (см. [9]), является квазистационарным.
Используя выражения (1.4) и (2.7), произведем сращивание асимптотических разложений (2.1) и (2.6) для вязких пристеночных слоев и основной части локально невязкого течения. В результате получаем:
и0 = -у-*!2 + Л-(*> х)¥- + 0(1) при У_ -» оо,
‘о
Яо
(-Г+)2 - А+У, х)(~¥+) + 0(1) при Г+ -► -оо,
А± = ао-Ж *) + Ао> = р1>
(2.8)
= а^СЦ, х) У_ + 0(1) при -* оо, м1+ = -Д()С(/, х)(-7+) + 0(1) при У+ -» -оо,
^ - Р[ = *1 “4> ^1 = Ро | ^ = т Ро-
(2-9)
Наконец, из сращивания решения в областях 2 и 3 с приходящим профилем скорости, в соответствии с (1.5), (1.4), следует, что при
X -» -00
«О +ь°г-> “о + М-П),
Л+ -» + Ад,
М_д.
йх 3’
(2.10)
(2.11)
3. Перейдем теперь к построению решения сформулированных задач, которое описывает течение в вязких пристеночных слоях.
Аффинные преобразования и транспозиционное преобразование Прандтля
(3.1)
/ = ^фаоУ'Т, х = 3~%х40х, ¥± = 10Г±,
и^аоХ2^, и±=За0Х0Х3'2У±, р% = а2^,
/+ = ЧР±, 4ь = °о^о-^±» 3 = Я,о*У°,
= (Ч'2Ро3) > Ро = Зоо, По = Ьоа-%1,
г; = р+-2+, к+ = гт-+^+Ц--ж+,
71=Е.+г., V-=и~Щ^+^+цг- "
дХ ет .
приводят задачи (2.2), (2.4), (2.8), (2.10) для главных членов асимптотического разложения (2.1) к виду
а2т± ахр± а2¥* ат* а2у¥±
+ -^=—________________—---------—+
дР± 5зт±
дт зz± аг± ах аг± алг ^2 л
± дУ-
и* =
дг+'
\у* = -
±
ат*. ех ’
алг
эzз
(3.2)
2НЗ/1
Z± = 0: = 0;
* az±
ар+
X -> -оо: ¥* -» — + П0^г ^±» ~г^- -4+ -> + П0;
6 *
алг
Z± оо: ^ +^£± (Г, +
+ М±(Т, X) Z± + лг± (Г, X) + 0(1);
^=7^-7^^ +
л® =5° +п0, Р+ = Р~.
Здесь По — параметр подобия, величина которого (см. (3.1)) определяет степень отклонения течения от критического состояния;
^(г, X, 2±) — функции тока, для которых наряду с главными членами асимптотики из (2.10) при Z± -> <» выписаны также и следующие.
Поскольку Р+(Г, X) = Р-(Г, X), то, как нетрудно видеть, задачи для верхнего и нижнего слоев полностью совпадают. Поэтому, как и в [17], Цт,х) = ь_(т,х), и тогда из выражений для Ь±(т,х) и
.У0 (г, х) в (3.2) следует, что
= + *)]*«<>,
1 (3.3)
5° = -±[^+(г,*)+11(7\лг)].
В дальнейшем при рассмотрении главного приближения знаки «+» и «-» в обозначениях будут опущены.
Таким образом, приходим к задачам (3.2), (3.3) для уравнения нестационарного пограничного слоя с неизвестным заранее распределением давления Р\Т, х) и заданной толщиной вытеснения. Задачи
этого типа хорошо известны и встречаются при обтекании неровностей как для внешних [18], так и для внутренних [17] течений.
Задачи (3.2), (3.3) нелинейны, и их решение может быть получено только численно. Исключение, как и в [17], составляет антисимметричный случай деформации стенок, когда Р_(т,Х) = Р+(Т, х) и решение есть ¥ = Z3/6 + С1$22 /2, дР/дХ = 1.
Рассмотрим решение линеаризированной задачи. Представим функции, определяющие форму неровностей, как Р±=НС+{Т,Х),
Т = НТ и будем считать, что параметр Н мал. Масштаб времени Т здесь, как и в задачах теории кромочного отрыва [19], [20], выбран таким образом, чтобы в асимптотическом разложении вида (см. [13])
у = + н%{т, х, г) + н2ч>2{т, х, z) + о(я3),
6
Р = Х + НР\{Т, X) + Н2Р2(Т, X) + о(н3),
Оо =Яс0! + Н2а2 +о(нг\
Р± = Нв±{Т,Х\ Т = н~хт
нестационарность течения проявлялась бы во втором приближении, т. е. в членах порядка В2.
Внося (3.4) в (3.2), (3.3), находим, что в первом приближении задача совпадает с соответствующей задачей для стационарного течения и поэтому ее решение (см. [13]) есть
Т! =±Ьх{Т,Х)г2, Рх= О, Ц=^[0.(Т,Х)-С+(Т,Х)] + щ. (3.5)
Заметим, что первые два члена разложения (3.4) для функции тока дают при Z = О (Н) довольно интересные картины течений с зонами отрыва (см. [13]).
; Во втором приближении с учетом (3.5) приходим к задаче: г2 2^2 дР2 г2 дЦ дЦ_ _ ^2.
2 ахег эх ех 2 дХ дт аг3’
^ = 0:'Р2=-§- = °; Ц-->0;
Z-+oo:Ч'2=^Z2+G2(Г,X)Z+iг2(Г,X) + 0(l);
*2 =
• —00
Согласно [19], [20], ее решение существует и дает следующее выражение для давления:
р_ 23/2 Г(5/4)| 0г(Т^) 25'4 * Я2(Т,х) ^
2 тг Г(3/4)_1 (^_5)1/2 ^Г(1/4)_-[(Х-.у)3/4 ’ '
где первое слагаемое совпадает с решением стационарной задачи работы [13]. Из полученных выражений следует, что, как и в других задачах для пограничного слоя с заданной толщиной вытеснения [18], [17], распространение возмущений вверх по потоку здесь отсутствует. Вниз по потоку (X -» оо), согласно (3.6), возмущения затухают:
дР2 _ 25/4Г(3/4) дЬ^О,Т) у^ п(х~3/2)
дХ п дТ '
итп 1
дТ у/2п * дТ
— 00
Главный член этой асимптотики обусловлен нестационарностью течения, а следующий — совпадает с главным членом для стационарного решения (см. [13]).
4. Перейдем к решению краевых задач (2.3), (2.5), (2.9), (2.11) для вторых членов асимптотического разложения (2.1). После преобразований (3.1) и
и* = ао^-о^’ Ч = 3аЬ*:о1Ро3/2^±» р* =а2Х4Р±, С = Х0С,
у+ = й+<¥±.-цг+, V- = й~ — + IV-дХ ’ дХ
д2Ч'± ЭТ1 д2^ д2^ дУ*
+ -г=-----!■_______ +-
дтзг± дХдг± эх аг± эz±
аЧ/± д2ху± д>|/ 5р±
__аГ 572 ~ ЭZ2 аГ + "дГ"™"5^"
сг1
ЭТ1
дг+
, ж± = -
эт*. эх ’
ЭУ3
Z± = 0: ¥* = = О;
* эz± *
X ->■ -00: Т* -» + і с,- Я-"1 Z2, С -> с, Я.”1;
г± -»»: т* = + ~с(т, х)г\ +о(г±)-,
-г-гЛЦ.,
з ах2
(4.1)
где ^(г.х) — решение задачи (3.2), (3.3). Таким обра-
зом, приходим к рассмотрению течения с неизвестной заранее толщиной вытеснения, определяемой функцией с(т,х), и заданным перепадом давления, который обусловлен поперечным его изменением в ядре потока (область Г) и дается последним выражением в (4.1).
При малых значениях параметра Н, определяющего высоту неровностей в масштабах вязких слоев, решение задачи (4.1) может быть записано (см. [13]) в виде
т* = ч£(т\ х, z±) + нч*(т, х,г±)+о(н2), Р± = Р*(т,х) + нР1±(т,х) + о(н2),
, ^ (4.2)
С = С0(Т,Х) + НС1(Т,Х) + О{Н2),
с,- = с® + Не) +о(н2).
Подставляя это представление вместе с (3.4) в (4.1) и учитывая выражения (3.3) и (3.5), получаем для главных членов в (4.2) задачу для стационарного течения, и поэтому (см. [13])
Ч = *\с0(т,х)г1, р±= о,
(4.3)
где функция Со (Г, X) остается пока произвольной. При этом для вторых членов разложения (4.2) приходим к задаче:
2 дхаг± ± дХ дХ 2 дХ
2 дХдг.
(4.4)
X -> -да : Т* -> + 2±> -> ~>
00: ^ = Т ±сх{т, х)г\ +о(г±у,
Здесь функция Ц{Т, X) определяется выражением в (3.5).
Результаты работ [19], [20] позволяют найти распределение давления и получить уравнение для функции Со(Т,Х) из (4.3):
Последнее представляет собой условие разрешимости задачи (4.4). Что касается функции СХ(Т, X) в (4.2), (4.4), то она остается произвольной и может быть найдена из рассмотрения следующих членов разложения
5. Перейдем к анализу уравнения (4.5) для функции С${Т, X), которая определяет распределение поверхностного трения. В общем случае задача для этого уравнения требует численного интегрирования, однако при антисимметричной деформации стенок, когда (?+=(?_ — = (7 (Г, X), можно получить ее точное решение. В этом случае, согласно (3.5), Ь\{Т,Х) = ®х и уравнение (4.5), записанное для фурье-
изображения А*{Т, ю) функции А = С0(Т, X) - га^Г,-, принимает вид
21^4Г(5/4)[11 -С0 - Г,] =
(4.5)
(4.2).
(5.1)
Рассмотрим задачу с начальным условием. Пусть форма неровностей определяется выражением
Тогда решение уравнения (5.1), удовлетворяющее начальному условию А*(0, со) = 0, после обратного преобразования Фурье, есть
Причем нетрудно видеть, что Ац{Т,Х) — это периодическое решение уравнения (5.1), т. е. когда в (5.2) ср = $т(к0Т) при всех значениях Т.
Из полученных выражений (5.3) следует, что здесь при конечных значениях Г нет распространения возмущений вверх по потоку, а вниз по потоку (X -» оо) решение затухает:
При больших значениях Т характер течения существенным образом зависит от того, является постоянная о>1 положительной или отрицательной.
Рассмотрим решение при со1 > 0, что соответствует течению при значении полуугла раствора диффузора, меньшем критического, и приходящий к неровностям профиль скорости обладает малым положительным (на нижней стенке) трением.
Применяя метод перевала, находим, что при Т -» оо
с = ф(г)с?ои),
О при Т < О, вш (к0 Т) при Т > 0.
(5.2)
А = МТ,Х) + АХ(Т, X) = С0, Г,- = 0;
оо \
х^ойчО'сО^вт^оГ) _ к0со$(к0Т)]етХ */со,
. « /!.. \13/4\„ „ '-Мт + каХ)
--------с/со.
(5.3)
А = 91^-171-1/2Г(17/4)С*(0)[со8(ЛоГ) - 1]Х"17/4 + 0(Х~5).
аер Т
1_ Т-Ш +о(т~г/2) е
(5.4)
4
а>1 > 0,
причем фурье-изображение формы неровностей С?*(<в) должно вычис-
показатель экспоненты в (5.4) принимает отрицательные значения, ес-
имеет место и в случае, когда такое условие не выполняется. Это можно показать, применяя метод перевала к выражению для АХ(Т, X) из
(5.3), в котором 0*(ю) имеет вид (5.5). В результате находим, что при
Т -> 00
Таким образом, экспоненциальное затухание решения происходит при
но, что и при %5Т = 0(1), Т -> оо функция АХ(Т, X) также будет экспоненциально стремиться к нулю.
Итак, для ей} > 0 функция Ах(Т, Х)-»0 при Г-»оо и, следовательно, решение (5.3) выходит на периодический режим, который описывается выражением для Ад(Т, X) в (5.3).
Такой характер поведения решения (5.3) хорошо иллюстрируется графиками функции АХ{Т, X), приведенными на рис. 2 для неровностей вида (5.2), (5.5) при = 1, = 1. Здесь кривым 1—3 соответству-
ют значения времени Т = О, л/3, п. На рис. 3 представлены графики
ляться при значении со = ц0 = -/Зае0| 4. Это означает, что, например, для неровностей вида
ли только Т%5 > 9ае0/2. Однако экспоненциальное затухание решения
хехр
+ае1/2^9/5| %=Х/Т, щ = (Зее0)2/5.
Г|5 <(5/6)5Зав0. Из этого и полученного выше из (5.4) неравенств яс-
А
-4
-8
О
4
-4
О
-і—______і.
4
8 X
•8
-4
О
4 X
Рис. 4
Рис. 5
функции А0(Т,Х) при Т = 0, п/3, 2п/3 (кривые 1—3) и тех же значениях параметров ю к0.
Рассмотрим задачу при со г < 0, когда имеет место течение с противотоками вблизи стенок. В этом случае применение метода перевала указывает на экспоненциальный рост решения для функции АХ(Т, X) из (5.3) при Т -»оо, что хорошо видно на рис. 4, где приведены графики этой функции при Т = 0, п, 2п (соответственно кривые 1—3) и о»! = -1, к0 = 1 для неровностей вида (5.2), (5.5). Наконец, на рис. 5 представлена периодическая часть решения А$(Т, X) при тех же значениях 0)1, к0 и Т = 0, л/3, 2п/3 (кривые 1—3).
Точно так же обстоит дело в случае, когда в (5.2)
Для со! > 0 решение при Т -> оо выходит на стационарный режим [13], а если со х < 0 — имеет место его экспоненциальный рост.
6. Основной вывод, который можно сделать на основании проведенного анализа, состоит в следующем. Если речь идет о течениях без противотоков (сої > 0), то при Г -> оо решение выходит на периодический или стационарный режим. Если же о)] < 0, то, несмотря на то что периодическое и стационарное решения существуют, решение нестационарных задач с начальными условиями не стремится к ним при Т -> оо. Это связано с неустойчивостью невозмущенного профиля скорости. Подобные ситуации возникают при рассмотрении [21], [22] пульсирующих течений в каналах с деформированными стенками.
В работе был исследован частный случай, когда в (4.5) Ь\ (Т,Х) = = со!. Однако и в общем случае дело обстоит, по-видимому, аналогич-
0 при Т < О,
Ф = • 8т(£07’) при 0 < Т < (2къ)~1ъ
1 при Т > (2&о)-1 гс-
ным образом. Более того, даже для coj > 0 при возникновении областей возвратного течения (когда Ll(T,X)< 0 на некотором интервале значений Ха Т, см. [13]) следует ожидать неограниченного роста решения задачи для уравнения (4.5).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ РАН (код проекта 95-01-00483).
ЛИТЕРАТУРА
1. Stewartson К. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies//Adv. Appl. Mech.— 1974. Vol. 14.
2. Mess iter A. F. Boundary layer separation//Proc. 8-th US Natl.
Congr. Appl. Mech.— 1979.
3. Нейланд В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа//Успехи механики.— 1981. Т. 4, вып. 2.
4. Smith F. Т. On the high Reynolds number theory of laminar flows//
IMA J. Appl. Math.- 1982. Vol. 28, N 3.
5. Асимптотическая теория отрывных течений/Под ред. В. В. Сычева.— М.: Наука,— 1987.
6. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом по-1раничном слое // ПММ.— 1981. Т. 45, вып. 6.
7. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе, совершающем гармонические колебания на закритических частотах в дозвуковом пограничном слое//ПММ.— 1984. Т. 48, вып. 2.
8. Duck P. W. Laminar flow over unsteady humps: the formation of waves//J. Fluid Mech.— 1985. Vol. 160.
9. Smith F. T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: part 2//Quart. J. Mech. Appl. Math.— 1976. Vol. 29, pt. 3.
10. В о g d a n о v a E. V., Rу z h о v O. S. Free and induced oscillations in Poiseuille flow//Quart. J. Mech. Appl. Math.— 1983. Vol. 36, pt. 2.
11. Tutty O. R., Cowley S. J. On the stability and the numerical solution of the unsteady interactive boundary-layer equation//.!. Fluid Mech.—
1986. Vol. 168.
12. Smith F. T. Finite-time break-up can occur in any unsteady interacting boundary layer//Mathematika.— 1988. Vol. 35, pt. 2, N 70.
13. Сычев Вик. В. О взаимодействии и отрыве для внутренних течений с малым поверхностным трением//Изв. РАН, МЖГ,— 1996, № 5.
14. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2.— М.-Л.: Гостехтеориздат.— 1948.
15. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.— М.: Мир,—
1973.
16. Rosenhead L. The steady two-dimensional radial flow of viscous fluid between two inclined plane walls//Proc. Roy. Soc. London, ser. A.— 1940.
Vol. 175, N 963.
17. S m i t h F. T. Flow through constricted or dilated pipes and channels; part 1//Quart. J. Mech. Appl. Math.— 1976. Vol. 29, pt. 3.
18. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа//Труды ЦАГИ.— 1971. Вып. 1363.
19. Р у б а н А. И. Об устойчивости предотрывного пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля//Изв. АН СССР, МЖГ.— 1982, № 6.
20. Smith F. Т. Concerning dynamic stall//Aeronaut. Quart.— 1982.
Vol. 33, pt. 4.
21. Cowley S. J. Pulsatile flow through distorted channels: low-Strouhal-number and translating-critical-layer effects//Quart. J. Mech. Appl. Math.— 1985.
Vol. 38, pt. 4.
22. Тимошин С. H. Нестационарные эффекты в слабовозмущенных пульсирующих течениях в канале//Изв. АН СССР, МЖГ.— 1987, № 2.
Рукопись поступила 7/V1996 г.
