О ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 2 (2023). С. 65-73. УДК 517.53

О ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ

Аннотация. Вопрос об описании линейных непрерывных функционалов на пространствах аналитических функций изучается с середины 20 вв. Исторически первой была найдена структура линейных непрерывных функционалов пространств Харди Нр при р > 1 в работе А. Тейлора в 1951 г. В пространствах Нр (0 < р < 1) эта задача была решена П. Дюреном, Б. Ромбергом и А. Шилдсом в 1969 г. Отметим, что при доказательстве использовалась оценка коэффициентных мультипликаторов в этих пространствах. В статье, развивая метод, предложенный в работе П. Дюрена и др., получено описание линейных непрерывных функционалов плоских классов Привалова и классов типа Неванлинны-Джрбашяна. Рассматриваемые классы обобщают хорошо известные в научной литературе плоские классы Неванлинны. Идея доказательства основного результата заключается в следующем: вопрос о нахождении общего вида линейного непрерывного функционала сводится к отысканию вида произвольного коэффициентного мультипликатора, действующего из исследуемого пространства в пространство ограниченных аналитических функций. Последняя задача в упрощенном виде может быть сформулирована так: на какие множители нужно домножить тейлоровские коэффициенты функций из исследуемого класса, чтобы они стали тейлоровскими коэффициентами некоторой ограниченной аналитической функции.

Ключевые слова: пространства Привалова, классы Неванлинны-Джрбашяна, линейные непрерывные функционалы, коэффициентные мультипликаторы.

Mathematics Subject Classification: Primary 30H99, Secondary 32C15, 46E10.

1 15 И К. (K1III к

Пусть С — комплексная плоскость, D — единичный круг на C, Н(D) — множество всех функций, аналитических в для произвольной функции f £ Н(D) обозначим М(г, f) = max |/(z)|,

\z\=r

0 < г < 1, через Т(г, f) обозначим характеристику Р. Неванлинны функции f (см. [2]):

При всех значениях параметра 0 < р < введем в рассмотрение классы Харди в круге:

Н^ — класс ограниченных аналитических в D функций.

E.G. Rodikova, On continuous linear functionals in some spaces of functions analytic in a

disk.

© Родикова Е.Г. 2023.

Поступила 18 июля 2022 г.

Е.Г. РОДИКОВА

При всех 0 < д < определим класс Привалова Пд:

П = {/ е н(Б) : ^ ^ У" (1п+ |/(гегв(Ш < |

где 1п+ а = тах(1п а, 0), а > 0.

Впервые классы Пд были введены И.И .Приваловым в [3]. При д = 1 класс Привалова совпадает с хорошо известным в научной литературе классом функций ограниченного вида или классом Р. Неванлинны N [2]. Справедлива цепочка включений:

Н ~ С Нр (р> 0) С п (д> 1) С N С Пд (0 <д< 1).

При всех 0 < д < введем также в рассмотрение класс

1 ж

Ид = <( f G H(D) : I l (ln+ |/(rée)|)q dQdr < +<x

0 -ж

Будем называть его плоским классом И.И. Привалова или классом И.И. Привалова по площади. Класс Ид является обобщением хорошо известного плоского класса Р. Неванлинны и при g = 1 совпадает с ним. Отметим, что пространства Пд возникают естественным образом при исследовании вопросов дифференцирования в классах И.И. Привалова (см. [16]). При всех а> — 1, 0 < g < рассмотрим также классы Sa'-

Sqa = 11(1 — r)aTq(г, f )dr <

Классы S% были введены и исследованы в [11] Ф.А. Шамояном, они обобщают широко известные классы Неванлинны-Джрбашяна (см. [2]).

Используя неравенство Гёльдера, нетрудно доказать, что

Пд С Sq при g > 1,

и

Пg D SQ при 0 < g < 1.

В данной работе исследуются линейные непрерывные функционалы пространств Пq и S%. Понятие линейного непрерывного функционала (сокр. ЛНФ) играет большую роль в функциональном анализе. Вопрос об описании ЛНФ на пространствах аналитических функций изучается с середины 20 вв. Исторически первой была найдена структура ЛНФ пространств Харди Нр при р > 1 в работе А. Тейлора в 1951 г. ([17]). В пространствах Нр (0 < р < 1), которые, в отличие от случая р > 1, не являются банаховыми, он и только F-пространства, ЛНФ были описаны П. Дюреном, Б. Ромбергом и А. Шилдсом в 1969 г. (см. [12]). Отметим, что при доказательстве использовалась оценка коэффициентных мультипликаторов в этих пространствах. В 1973 году, опираясь на работу [12], Н. Янагиара в [18] нашел общий вид ЛНФ в пространствах Смирнова. В 1999 г., развивая метод, предложенный Янагиара, Р. Мештрович и A.B. Субботин описали ЛНФ на пространствах Привалова при всех g > 1 (см. [1]).

Мы распространили последний из упомянутых результатов на плоские классы Привалова и классы Sa ■ Идея доказательства основного результата заключается в следующем: вопрос о нахождении общего вида ЛНФ на пространствах Привалова сводится к отысканию вида произвольного коэффициентного мультипликатора, действующего из исследуемого пространства в пространство ограниченных аналитических функций.

Для изложения результатов работы введем дополнительные определения и обозначения. Пусть X жУ — некоторые классы аналитических в единичном круге D функций.

Определение 1.1. Последовательность комплексных чисел Л = [Xkназывается коэффициентным мультипликатором из класса, X в класс Y, если для произвольной функции f G X,

f (z) = akzk, функция Л(/)(z) = ^k^kzk G Y. Обозначается CM(X,Y). k=0 k=0

Статья организована следующим образом: в следующей части работы мы сформулируем и докажем вспомогательные утверждения, используемые при доказательстве основного результата, а в третьей части докажем основной результат.

2. Формулировка вспомогательных утверждений

При доказательстве результатов работы используется аналог теоремы Мергеляна в исследуемых пространствах.

Теорема 2.1 ([4]). Если / е то

1п+ М (г, /) = о[-), г ^ 1 - 0, (2.1)

((1 - г)^+1) ,

причём оценка, (2.1) неулучшаема, т.е. для любой положительной функции ш(г), 0 < г < 1, такой что ш(г) = о(1), г ^ 1 — 0; существует функция f е Бы; ТПйКйЯ чтпо

ln+ M(r,f) = о(-Ш(Г}+1 | , г ^ 1 - 0.

V(1 - г)"+"+V

Теорема 2.2 ([4]). Если f (z) = akzk — ряд Тейлора функции f (z), f £

Sa, mo

k=0

f a+g+1 \

ln+ |afc| = oik, k ^ +<. (2.2)

Оценка, (2.2) неулучшаема, т.е. для любой положительной последовательности {5k}, bk = о(1), k ^ +<, существует функция f £

Sa, такая что

, / a+g+1 \

ln+ |afc|= о iskka+2q+i\ , k ^ +<.

Теорема 2.3 ([9]). Если f £ IIq, то

ln+ М(r,f) = о((1 - r)-2/q), г ^ 1 - 0. (2.3)

Оценка, (2.3) неулучшаема, т.е. для любой положительной функции ш(г), 0 < г < 1, такой что ш(г) = о(1), г ^ 1 - 0, существует функция f £ Пд; такая что

ln+ М(г, f) = 0(ш(г)(1 - r)-2/q), г ^ 1 - 0.

Теорема 2.4 ([9]). Если f (z) = ^ akzk ряд Тейлора функции f (z), f £ Hq, то

k=0

ln+ |afc| = o(k, k ^ +<. (2.4)

Оценка, (2.4) неулучшаема, т.е. для любой положительной последовательности {5к}, = о(1), к ^ +< существует функция f £ Hq, такая что

ln+ |afc|= о(бкк2++^ , к ^ +<. Введём в пространствах Пq и Sa при всex q > 0 метрики:

/ 1 Ж \ аЯ/(1

Рщ (f,9)= Uj ln9 (1 + |/(re*) - g^)) dddr\ , f,g £ П q; (2.5)

Vo -к /

(1 / ж \q \ aq /q

/(1 - r)a П ln (1 + |/(re*) - g(rei0)|) ddj drj , f,g £ Sqa, (2.6)

где aq = min(g, 1). Классы П„

и Sa являются линейными пространствами, покажем, что они образуют F-пространства относительно введенных метрик (см. [6], [9]).

Напомним, что метрическое пространство (X, р) является F-пространством, если [10]

а) p(f,g) = p(f — g, 0) (инвариантность относительно сдвигов);

б) (X, р) - полное метрическое пространство;

в) Если f,fn G X и p(fn, f ) ^ 0 п ^ то p(fifn, fif ) ^ 0 п ^ Для любо го fi G C (непрерывность умножения на скаляр по векторному аргументу);

г) Если fin, fi G Си fin ^ fi, п ^ то p(finf, fif ) ^ 0 п ^ Для любой фун кции f G X (непрерывность умножения по скалярному аргументу).

Для доказательства вспомогательных утверждений нам понадобится следующая легко устанавливаемая, но полезная оценка:

Лемма 2.1. Для любых а > 0,Ъ > 0 справедливо неравенство (а + b)q 4 (aq + bq) при 0 < q 4 1 и (а + b)q 4 2q(aq + bq) при q> 1.

Лемма 2.2. Относительно введенной метрики Sa образуеm F-пространство, причем сходимость по метрике (2.6) этого пространства не слабее равномерной сходим,ост,и на, компактных подмножествах D.

Доказательство. Проведем для случая 0 < q 4 1. Случай q > 1 рассматривается аналогично.

а) p(f,g) = p(f — g, 0) — очевидно.

б) Докажем, что S'a — полное метрическое пространство.

Пусть {fn(z)} — произвольная фундаментальная последовательность из класса Sa, то есть для любого £ > 0 существует но мер N (е) > 0, такой что для всех п, m, > N выполняется p(fn, fm) < е. Покажем, что она сходится к некоторой функции f G S%. Сначала докажем, что из фундаментальности последовательности {fn} в S'a следует ее равномерная сходимость внутри круга D. Ввиду субгармоничности функции u(z) = ln(1 + |/n(z) — fm(z)D в D, имеем:

ln(1 + |/n(re^) — fm(reiv)\) ж

^ Г R2 — r2

2ж J R2 — 2rRcos(d — <p)+ r2

4 ^ I ^ - Г -T ln (1 + |/n(Reid) — fm(Reid)|) de

ж

4 ¿§+7 / ln (1 + Un(Reie ) — fm(Re- )|) de, 0 <r<R< 1, <p G [—ж,ж].

—ж

Откуда получаем:

1 ( Ж ^ (R — r)q (ln(1 + |/n(re^) — fm(rei^)D)q 4 - П ln (1 + Hn(Reid) — fm(Reid)|) de

Далее умножим обе части неравенства на (1 — R)a и, зафиксировав r G [0,1), проинтегрируем по R G [ф, 1): *

1

У (1 — R)a(R — Г)Я (ln(1 + |/n(rei^) — fm(rei^)D)q dR

l + r 2

1 / ж

4 1 j (1 — R)a I/ ln (1 + Hn(Reid ) — fm(Reie )|) de) dR.

l + r \—ж

2

Учитывая, что подынтегральная функция — неотрицательная, получим, что правая часть неравенства мажорируется метрикой р(/п,/т), поэтому:

In Jm)

1

(ln(1 + Hn(reiV) — Mre^Dy Î (1 — R)a(R — r)qdR 4 ^p(fn, fm),

l + r 2

откуда имеем:

* 1п(1 + |/„(re*) - Mre*)\) < (1 - ££ 1+qyq (p(fnjm))1/q,

при всех 0 <г < 1, р G [—И окончательно:

Ifn(re^) - /т(ге^)Н 0, п,т ^

при всех 0 <г < 1, р G [—

Таким образом, последовательность { fn} равномерно сходится внутри круга D к некоторой функции f G H(D). Очевидно, что {fn} сходится к f и по метрике пространства Sa- То есть имеем: для любого е > 0 найдется номер N > 0, такой что для всех п > N p(fn, f ) < £. Докажем, что f G Si-

1 1 / ж \Ч

/(1 - r)a Tq ( г, f)dr < J (1 - r)a ij ln (1 + | f(r eie )|) dû] dr = p( f, 0). 0 0 VtT /

Но при всех п > N p(f, 0) ^ p(f, fn) + p(fn, 0) < e + с, поэтому

1

/(1 - r)aTq(r, f )dr < const. 0

Таким образом, f G Sa, и пространство Sa является полным.

в) Пусть f, fn G Sa и p( fn, f) ^ 0, n ^ Покажем, что для любого Р G C p((3 fn, Р f) ^ 0, n ^

Пусть |Р| < 1, тогда ln(1 + |P|x) ^ ln(1 + x) при всех x > 0, и свойство сразу следует из неравенства 0 ^ рЦЗ f,n, Р f) ^ р( fn, /)•

При всех |Р| > 1 и x > 0 справедлива оценка (1 + |Р|х) ^ (1 + x)|/?|, из которой сразу следует свойство в):

ж

\a I / 1^/1 il/ЗI I j (тje\

р(Рfn,Pf) = J (1 - r)a Ц ln(1 + |Р| ■ |fn(reiy) - f(reiy)|)сШj dr

1 / ж \я

^ J(1 - r)a I У ln(1 + | fn(reie) - f(reie)|)|/3|d0 j dr

0 W /

1 / ж \ я

< |З|9у (1 — г)а \ I 1п(1 + Цп(гег°) — f(reг°)|)dв | dr = ^р^, /).

г) Пусть f е ва и Зп ^ З, п ^ Покажем, что р(Зп¡, З/) ^ 0, п ^ Для любой функции / е ва] Оценим

1 I} У

р(Зп/,З/) = у(1 — г)а 1у 1п(1 + |¡(гегв)||Зп — то I ^ = 7.

0 \-тт /

Разобьём интеграл 7 на две части:

го 1

7 = У ... + I... = 71 + 72.

0 го

Выберем 0 < Го < 1 так, чтобы 72 < §, где е > 0 — произвольное достаточно маленькое число. Оценим 71, используя оценку (2.1) из теоремы 2.1:

71 < (2тг)д 1п" (1 + |ЗП — З| ехр-) ■ 1 — 7)а+1,

V (1 — го)—+7 а +1

где 5 > 0 — сколь угодно маленькое число.

Поскольку ЦЗп — Р| ^ 0 п ^ то 3\ 4 § при п > N(е). Таким образом, г) установлено. Лемма 2.2 доказана.

□

Лемма 2.3. Относительно введенной метрики Пд образует, Р-пространство, причем сходимость по метрике (2.5) этого пространства не слабее равномерной сходим,ост,и на, компактных подмножествах Б.

Доказательство. Пусть 0 < д 4 1 случай 1 доказывается аналогично.

а) р(/,д) = р(/ — д, 0) — очевидно.

б) Пд — полное метрическое пространство.

Пусть |/п} — произвольная фундаментальная последовательность из класса Пд, то есть для любого е > 0 существует но мер N (е) > 0, такой что для всех п, т > N выполняется р(/п, /т) < £. Покажем, что она сходится к некоторой функции / £ Пд. Заметим, что функции 1п(1 + |/п|) — субгармонические в Б, поэтому справедлива оценка (см. [13, с. 144]):

1п«(1 + ) — !т(Яе^)|) 4 ■ Р(1п, /т),

откуда

Цп(Вегв) — ¡т(Яегв)Н 0, п,т ^ при всех 0 < К < 1, в £ [—ж,ж]. Таким образом, фундаментальная последовательность {/п} £ Пд равномерно сходится внутри круга Б к некоторой функции / £ Н(Б). Очевидно, что { /п} сходится к / и по метрике пространства Пд. Докажем, что / £ Пд.

1 ж 1 ж

У У (1п+ | Агё*)\У(Ш(1г 4 У у (1п(1 + |¡(ге*в)|)Чвйг

0 —ж 0 —ж

1 ж

4 У У 1п9 (1 + 11(гегв) — ¡п(гегв)| + |^(гегв)|) йвйг.

п | | п

0 — ж

Ввиду леммы 2.1, из последней оценки имеем:

1 ж 1 ж

йвйг 4 сопз1.

(1п+ |/(г)|)^ 4 у ] [1п«(1 + |/(г) — /п(гег»)|) + 1п«(1 + |Д(г)|)

0 — ж 0 — ж

Значит, Пд полно.

Доказательство свойств в), г) проводится аналогично лемме 2.2. Лемма доказана. □

Отметим также, что ^-пространства можно рассматривать как полные квазинормированные пространства.

Лемма 2.4 ([19]). Непрерывность линейного оператора квазинорм,ированных простра нет в равносильна его ограниченности, то есть тому, что он ограниченные множества переводит в ограниченные.

Обозначим ¡^(г) = /((г), ( £ Б.

Лемма 2.5. Пусть f £ X, где X = БЧ или X = Пд. Тогда, семейство функций {Д(г)} ограничено в X.

Доказательство. Рассмотрим ^-окрестность 0, т.е. V = {д £ X : р(д, 0) < г]}. Выберем а', такое что р(а'/, 0) < §.

Обозначим ¡г(г) = /(гг), 0 < г < 1. Очевидно, что р(/, ¡г) ^ 0 г ^ 1 — 0 Выберем г0 4 г < 1 настолько близким к 1, что р(/, /г) < §.

Обозначим (г) = /(е г) /г(в)(г) = /г(е х) = /(ге г). Тогда

1

2'

1

р(а'/{в)' 0) = р(а'/' 0) <-±'

р(а /г(0)' а /{в)) = р(а/г^ /) ^ р(/г' /) < 2.

Если £ = гегв, то Д = /г($у Для всех г > Го мы получим:

р(а'/с' 0) = р(а'/г(в)' 0) < р(а'/^а/у)) + р(а'/(в)' 0) = р(а'/г' а/) + р(а'/' 0) <

Для всех 0 ^ г ^ Го мы можем выбрать а" настолько маленьким, чтобы

Р(а"/с' 0) ^р(а"/г' 0) <].

Далее, полагая а = шт(а'' а"), получим {а/^} С V. □

При доказательстве основного результата используются описания коэффициентных мультипликаторов, действующих из исследуемых пространств в классы Харди.

Теорема 2.5 ([51). Пусть Л = { \к}+=°1 С С. Для того чтобы Л = СМ'X), где X = Нр (0 < р ^ необходимо и достаточно, чтобы

| = 0 (ехр {-с-к' к ^

для некоторого с> 0.

Теорема 2.6 ([91). Пусть Л = { \к}+=°1 С С Для того чтобы Л = СМ(Йд'X), где X = Нр (0 < р ^ необходимо и достаточно, чтобы

\К \ =0 (ехр {-с-к ' к ^

для некоторого с > 0.

3. Доказательство основных результатов

Перейдем к формулировке основных результатов работы — дискретному описанию ЛНФ в пространствах и в классах Привалова по площади. Итак, справедливы следующие утверждения:

Теорема 3.1. Любой непрерывный линейный функционал Ф над плоским классом, Привалова Пд ^ > 0) определяется формулой

ф( /) = ' (зл)

к=0

где {ак} — коэффициенты Тейлора, функции / € Пд, а числа {Ьк} с условием

\Ьк\ =0 (ехр (-с-к' к ^ +Го' с> 0. (3.2)

являются коэффициентами Тейлора, некоторой аналитической функции в И, при этом ряд в правой части (3.1) абсолютно сходится.

Обратно, каждая, последовательность {Ьк} с условием (3.2) определяет, по формуле (3.1) линейный непрерывный функционал Ф над Пч.

Теорема 3.2. Любой непрерывный линейный функционал Ф над пространством Ба определяется формулой

Ф( /) = ЕакЬк' (3.3)

к=0

где числа, {Ьк} с условием

\ Ък \ =0 (ехр (-с-к2 ?+1 ^ ^ ' с> 0' к ^ (3.4)

являются коэффициентами Тейлора, некоторой аналитической функции в И {ак} _ коэффициенты, Тейлора, функции / € Ба- При этом ряд в правой части (3.3) абсолютно сходится.

Обратно, каждая последовательность {bk} с условием (3.4) определяет, по формуле (3.3) линейный непрерывный, функционал Ф над пространством Sa-

Доказательство. Докажем теорему 3.1. Пусть Ф — произвольный линейный непрерывный функционал над пространством nq. Каждой функции / £ nq соотнесем функцию Fe = Ф(/с), ( £ D.

+<х

Ряд Тейлора функции /с(z) = f ((z) = ^ akZkCik сходится абсолютно и равномерно на замкнутом

k=0

единичном круге D, следовательно, от сходится по метрике пространства nq, и в силу непрерыв-

Ф

/ N \

F(С) = Ф(/с) = NUm Ф £ akzk(4 = £ akbk(k, ( £ D, (3.5)

^ Vk=0 J k=0

где bk = Ф( -гk), и ряд в правой части (3.5) — сходящийся. Таким образом, F £ Н(D). По лемме 2.5 семейство функций {/с} ограничен о в nq, поэтому и функция F будет ограничена в D по лемме 2.4, то есть F £ Н^. Значит, по определению последовательность {bk} является коэффициентным мультипликатором из nq в Ни по теореме 2.6 справедлива оценка (3.2). Далее, принимая во

ak k k

k=0

теоремы Вейерштрасса.

Используя теорему Абеля о степенных рядах, заключаем:

y^cikbk = lim Va^.

k=0 k=0

С другой стороны, так как рд (/, /г) ^ 0 г ^ 1 — 0, и в силу непрерывности функционала Ф, заключаем:

lim Vakbkrk = lim Ф(/г) = Ф(/).

k=0

Таким образом, (3.1) доказано, то есть необходимость установлена.

{ k}

ak k

k=0

сходится для каждой функции / = ^ +="1 ükZk £ nq. Поэтому функционал Ф корректно определен формулой (3.1). Он линеен, в силу линейности каждого тейлоровского коэффициента как

D

Ф

N

Ф N = ak k. k=1

Линейность и непрерывность этого функционала следует из линейности и непрерывности каж-

D

функций с топологией равномерной сходимости на компактах, а также того факта, что топология

сходимости по метрике пространства nq не слабее последней. Предел lim Ф n существует и ко-

N

{Ф N}

F

Ф

ПОЛНОСТЬЮ. □

Аналогичным образом устанавливается теорема 3.2.

Ясно, что от дискретной формы записи функционала можно перейти к привычной интегральной форме, используя общую теорию рядов Фурье.

Отметим, что результаты работы были анонсированы в [8], [7], [15].

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору

Ф.А. Шамояну за полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.И. Гаврилов, А.В. Субботин, Д.А. Ефимов. Граничные свойства, аналитических функций (дальнейший вклад). М.: Изд-во Московского унив-та. 2012.

2. Р. Неванлинна. Однозначные аналитические функции. М.-Л.: ГИТТЛ. 1941.

3. И.И. Привалов. Граничные свойства, однозначных аналитических функций. М.: Изд. МГУ. 1941.

4. Е.Г. Родикова. Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций, // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения». Петрозаводск: ПетрГУ. 64-69 (2012).

5. Е.Г. Родикова. О коэффициентных мультипликаторах в одном, весовом пространстве аналитических в круге функций // Вестник Брянского гос. унив-та. 4:2, 61-69 (2012).

6. Е.Г. Родикова. Факторизация, характеризация корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Брянск, 2014.

7. Е.Г. Родикова. Линейные непрерывные функционалы пространств Привалова // Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы. Саратов. 249-251 (2022).

8. Е.Г. Родикова. О линейных непрерывных функционалах плоских классов И.И. Привалова // Теоретические и прикладные аспекты естественнонаучного образования в эпоху цифровиза-ции. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Брянск. 102-103 (2022).

9. Е.Г. Родикова. О коэффициентных мультипликаторах плоских классов Привалова // Уфимск. матем. журн. 13:4, 82-93 (2021).

10. У. Рудин. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975.

11. Ф.А. Шамоян. Параметрическое представление и, описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. матем. журн. 40:6, 1422-1440 (1999).

12. P. Duren, В. Romberg, A. Shields. Linear Junctionals on Hp spaces with 0 < p < 1 // J. Reine Angew. Math. 238, 32-60 (1969).

13. M. Pavlovic. Introduction to function spaces in a disk. Matematicki Institut SANU, Beograd. 2004.

14. E.G. Rodikova. Coefficient multipliers for the Frivalov class in a disk // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 11:6, 723 732 (2018).

15. E.G. Rodikova. Continuous linear functionalIs on the Nevanlinna-Djrbashian type spaces // Proc. of the Math. Center named after N.I. Lobachevskv. Int. Conf. «Complex Analysis and Related Topics». Abstracts. - Kazan: KFU. 63, 51-52 (2022).

16. E.G. Rodikova, F.A. Shamovan. On the differentiation in the Frivalov classes // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 13:5, 622-630 (2020).

17. А.Е. Taylor. Banach spaces of functions analytic in the unit circle //II Studia Math. 12, 25-50 (1951).

18. N. Yanagihara. Multipliers and linear functionals for the class N + // Transactions of the Amer. Math. Soc. 180, 449-461 (1973).

19. K. Yoshida. Functional Analysis. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer-Verlag. 1965.

Евгения Геннадьевна Родикова, Брянский государственный университет, ул. Бежицкая, 14, 241050, Брянск, Россия E-mail: evheny@yandex. ru