О НЕКОТОРЫХ ОЦЕНКАХ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА ФОКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

О НЕКОТОРЫХ ОЦЕНКАХ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА ФОКА

С. П. Максаков, Е. Г. Родикова

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

В работе изучаются свойства аналитических функций из класса Фока. В ней получены оценки роста и коэффициентов в тейлоровском разложении целых функций из пространства Фока. Также было установлено важное свойство пространств Фока: установлено, что функции этого класса образуют F-пространство.

Ключевые слова: целая функция, пространство Фока, рост функции, коэффициенты в разложении Тейлора, F-пространство.

1. Обозначения и предварительные сведения

Для изложения основных результатов работы введем основные обозначения. Пусть С

- множество комплексных чисел, Н(С) - множество всех целых функций, M(r,f) -

максимум модуля функции, то есть M(r,f) = max\f(z>)\.

\z\=t

Рассмотрим пространство Фока Fj целых функций с нормой

1

= Ц\f(z)\?exp(-a\z\2)dm2(z)

где a > 0,0 < р < +ж,р0 = max(1,p), dm2(z) - плоская мера Лебега.

Пространства Фока Fj , были введены советским физиком В.А. Фоком при изучении фундаментальных понятий квантовой механики и квантовой теории полей в 1932 году. Широкое изучение пространства Фока началось в конце 20-го века. Это было вызвано тем, что пространства Фока играют большую роль в квантовой физике, гармоническом анализе групп Гейзенберга и имеют приложения в уравнениях математической физики. Одной из первых фундаментальных работ по теории пространств Фока стала книга Kehe Zhu «Analysis on Fock Spaces» [5].

В теории функций классическими являются задачи, связанные с нахождением точных оценок роста функции и коэффициентов в разложении в ряд Тейлора. Впервые такие задачи были решены в классах Р. Неванлинны известным советским математиком Сергеем Никитовичем Мергеляном в начале 20-го века (см. [1]). В дальнейшем аналогичные задачи в классах типа Р. Неванлинны решались в работах Е.Н. Шубабко, Ф.А. Шамояна (см. [4-5]), Е.Г. Родиковой (см. [2-3]). В данной работе получены оценки роста и коэффициентов в тейлоровском разложении целых функций из пространства Фока.

2. Оценка роста функции из пространств Фока

Справедлива

Теорема 1. Если f Е Fj?, то

M(r, f) = О (exp (^(1 + e)2r2Jj,Ve > 0. (l) Доказательство. Так как f Е Fj?, то

+ ГО П

\\f\f°v = | | \f(rei(P)\P exp(-ar2) rdrdp >

0 -п п

>I I\f(r el «)\%xp(-ar2)rdrdp =

R -п

/ п \

= f I f\f(rel<p)\Pdp\exp(—ar2)rdr,R>0.

я

Поскольку р-средние не убывают по г, то

+ Ж / п

+ Ж / п \

f I f\f(re^)\Pdpj

rel(p)\ dp ) exp(—ar2) rdr >

R \-п п / +ю

> f\f(Rei<p)\P dp • (1 f exp(—ar2)d(r2)\ =

- п R

п

= —exp(—aR2) • f \f(Rei(P)\P dp.

- п

Таким образом, имеем:

п

f \f(Rei<p)\P dp < ^exp(aR2) • \\f\\fl (2)

\f(rei<P)\P <± (\f(Rew)\P-7 nn R Г,---,de,

\J\ )\ 2nJvy n R2 — 2Rr • cos(e — p) + r2

Так как - субгармоническая функция при всех 0 < р <

г Е €, (см., например, [1]), то для нее справедлива оценка

п

И2-г2 И2 — 2Яг • cos(в — р) +г2

-п

при всех 0 < г < И.

Используя оценку для ядра Пуассона (см. там же)

Я + г

Рг(в -р)<--,^0 <г < Я,

Я — т

получим:

п

С учетом (2) будем иметь:

- п

1 1 po

\f(re*)\ < (If • (R—^J • ™p (PR2) • \\f\\frV0 <r<R.

Положим

R = (! + £)• Г, £> 0.

1 1

\f(re»)\ < (ay- (Щ) exp(Pk2r2) • utf.

1 1 P

=(аТ{ЧЧМр(1+е>2г2У\\4^>о-

V £ ) \р ) ра

Следовательно, справедлива оценка (1):

М(г,0 = 0 (ехр + е)2г2)),У£> 0.

Теорема доказана.

3. Оценка коэффициентов в тейлоровском разложении функций из класса Фока

Докажем следующее утверждение: Теорема 2. Если / Е то

п

i

пI--/2ае\2

< с ■ (-) , (2)

\пр )

при п > п0.

Доказательство. Пусть / £ тогда по теореме 1 выполняется следующая оценка:

Ро V

тгР-

M(r,f) < (с ■ ^ exp (-(1 + е)2г2]

^ Л' \р ) 'а

Проведем оценку для коэффициентов в разложении степенного ряда функции f(z). По неравенству Коши имеем:

i

а\р (-exp

\р

\ап\ <

M( , f)

<7п\ с^Л)Рехр(р(1 + е)2т2)

Л

= Ci^ — ^ exp (- (1 + е)2г2^> = и(г),

Ро

V _ Fp =

• exp п р

где

с

i

1 = (с-Л)

V0 V

Найдем минимум правой части. Прологарифмируем и(г), чтобы облегчить нахождение производной:

1п и(г) = 1пС± +^(1 + е)2т2 —п1п г.

Найдем производную данной функции:

1 и'(г)

(Ыи(г)Уг=и-(-уи'(г)= —

и'(г) а п

и(г) р г

Найдем нули производной:

Го

=(

- п

р

- п

2 ■ — (1 + е) • г = —, р

2 Р

г2 =-• п

' 2а(1 + г)2 п i

Р \2 -• п

2а(1 + е)2 ) 1 + е

\2 1 (р у

Очевидно, что точка г0 - точка минимума. Так как неравенство

\ап\ < С1^^хР(р(1 + £)2г2)

у' \ р

выполняется для всех г, значит, оно выполняется и для г0. Подставим значение г0 в данное неравенство:

'а" ■ Л2. Р П

\ап\ < Ci

(а , л7 р п \

еХр(Р(1 + £) 2-^-(ТТёГ2)

Р

к2 а(1 + е)2

■ п)

= Ci■

Х р

(п)

п 2

_ — Г ■

п = Ci

р

п>

пр

\2а(1 + а)2 'V Таким образом, имеем:

2 а(1 + е)2,

= с (2ае(1 + е) i у пр

п

Л2

1

p

F

а

I 1

п1- 1 (2ае(1 + е)2\2 1 /2ае\2

где 1 + е = к.

1

Пусть С1п • (1 + е) = С0, тогда

1

'2ае\2

пр

где

п — Ро Со = (с-уП\\П10^(1 + г).

^ Ж' га

Таким образом, мы получили оценку (2). Теорема доказана.

4. Пространства Фока как ^-пространства

Введем в пространстве Фока метрику (3) по правилу:

(+ю п \Ро

| ¡\Г(ге^) — д(ге^)\Р ехр(—аг2)гйгйр\ ,

где р0 = тах(1,р).

Теорема 3. Относительно введенной метрики (3) пространство Рр является Е-пространством.

Доказательство данного утверждения эквивалентно установлению следующих свойств:

а) р(О, д) = р(О — д,0)- очевидно;

б) если /,/пЕР(рр ир(/п, О) ^ 0,п ^ то для любого р Е С, р(РОп, РО) ^ 0,

п ^

в) если р,рп Е С ирп ^ р, то р(Рп/, РО) ^ 0,п ^ для любой функции / Е Рр;

г) Рр - полное метрическое пространство.

Доказательство свойств б) - г) проведем для случая 0 < р < 1. Случай р > 1 рассматривается аналогично.

Докажем сначала полноту пространства Р^ . Пусть {Оп} - произвольная фундаментальная последовательность из класса то есть

У £ > 0, ЗЫ(е) > 0:Уп,т> N ^ р(Оп, От) < г- Покажем, что она сходится к некоторой функции / Е Рр. Сначала докажем, что из фундаментальности последовательности {/п} в Рр следует ее равномерная сходимость внутри круга бесконечного радиуса. Пусть 0 < г < Я < и ввиду субгармоничности функции и(г) = I/п(г) — /т(г)1,г = ге1(р, имеем:

1Ш—От(г)У <

п

1 Г ^2 _у2

\\Оп(ие1в) — гт(яе1в)\р • ———--—-—-ав.

2ж } ; ,тК л Я2 — 2Яг • С0Б(в — р) + г2

- п

Ввиду оценки ядра Пуассона, имеем

\Гп(ге1(Р) —Гт(ге1(Р)\Р <

п - п

По доказанному

п

I\Гп(Яе1(р) — Гт(ЯеЮ)\Р йр <^ехр(аЯ2) • р(Оп,От) (5)

п

А значит:

Р а

\fnirе*) - Гт(ге1<Р)\Р < —ехр(аЕ2) • р(/п,/тУ°. Таким образом,

1 Я 1

иге*)\Р < (]^)Р • exр(рR2)•р(fn,fт)Р°,

откуда по критерию Коши в С следует, что

%(ге1(р) - т(ге1(р) \ —> 0,п,т — +ю, при всех 0 < R < г < р £ [-п; п].

Таким образом, последовательность {/п1} равномерно сходится к некоторой функции f £ Н(С). Докажем, что f £ Fíp. Используя неравенство (а + Ь)Р < 2Р(аР + ЪР), справедливое при всех положительных параметров а,Ъ,р, и зафиксировав некоторое 0 < R < получим:

к п

| J\f(rе1 <Р)\Р ехр(-аг2) гйгйр <

0 -п К п

< 2Р([ [\fij-е¿<р) - и(ге1<р)\Р ехр(-аг2) гйгйр +

0 - п

К п

+ I I \f-niTе^)\ ехр(-аг2) гйгйр.

0 - п

Зафиксируем теперь N £ N. При любом п > N справедливо

к п

Р^п,0) = [ [ \^(ге1<р)\Р ехр(-аг2) гйгйр <

0 - п

! к п

< 2Р ([ [ е¿V) - ^+!(ге1<Р)\Р ехр(-аг2) гйгйр

0 - п

К п

+ [ [ \^+1{ге1 ^)\Р ехр(-аг2) гйгйр ).

0 - п

То есть р(^ 0) < р(и,!гм+1) + Р^М+Ь 0) <£ + См = Съ где ^^N+1 £ К. Поэтому

К п

{ге1(р)\Р ехр(-аг2) гйгйр < р(^,р + р(/п, 0) < е + е + СМ = С2.

N — 0 - п

Устремляя R к получим, что f £ . Таким образом, пространство ^ является полным.

Перейдем к доказательству свойства б). Пусть @ £ С. Так как последовательность сходится, то она фундаментальна. Но из фундаментальности, как установлено выше, следует равномерная сходимость указанной последовательности на С. Имеем:

+ ГО п

р№п,РГ) = 11 \P(fn(rei(P)- f(rei(P))\P ехр(-аг2)гйгйр =

0 - п

+ ГО п

= \Р\Р I I\Ь(ге1(Р) - ^ге1(Р)\Р ехр(-аг2)гйгйр = \Р\Рр(Гп,0,

0 - п

откуда следует свойство б).

Докажем справедливость свойства в). Пусть f Е F(f и(Зп —> —> Оценим

+ ГО п

P(Pnf'Pf) = f f \Pnf(rei(P) — Pf(rei(P)\P exp(—ar2)rdrdp =

0 -п п

f f \f(rei<p)\P ' \Pn — P\p exp(—ar2) rdrdp =

0 - п

+ п

\Hn—H\pf f\f(re^)\%xp(—ar2)rdrdp

0 - п

Поскольку pn —> fi,n ^ +<ж то\рп — —» 0 и, значит,

+ю п

\Pn — P\P • f f \f(.rel<p)\P exp(—ar2) rdrdp —> 0,n ^ .

0 - п

Таким образом, в) установлено. Теорема доказана.

Список литературы

1. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. - М.: Наука, 1950. -

338 с.

2. Родикова Е.Г. Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» - Петрозаводск: ПетрГУ, 2012. - С.64 -69.

3. Родикова Е.Г. О некоторых оценках в классе И.И. Привалова в круге // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 19-й международной Саратовской зимней школы, Саратов, СГУ, 2018. - С.270-272.

4. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Об одном классе голоморфных в круге функций // Зап. научн. сем. ПОМИ, Исследования по линейным операторам и теории функций. - 2001. -Т.282.- С. 244-255.

5. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых LP-классов мероморфных функций. - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 153 с.

6. Zhu K. Analysis on Fock spaces, Graduate Texts in Mathematics, V. 263, SpringerVerlag, 2012. - 344 p.

Об авторах

Родикова Евгения Геннадьевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: evheny@yandex.ru.

Максаков Серафим Павлович - магистрант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: msp222@mail.ru.

ON SOME ESTIMATES IN THE FOCK CLASS OF FUNCTIONS

S.P. Maksakov, E.G. Rodikova

Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky

In this paper we study properties of analytic functions from the Fock space. We obtain the estimate of the function growth and the estimate of coefficients in the Taylor expansion of entire functions from the Fock space. Also it is established that functions from the Fock space form F-space.

Keywords: an entire function, the Fock space, the growth of a function, the coefficients in a Taylor expansion, F-space.

References

1. Privalov I.I. Boundary properties of analytic functions - M.: Nauka, 1950. - 338 p.

2. Rodikova E.G. On estimates of the coefficients in the expansion of certain classes analytic functions in a disk // Proceedings of the VI Petrozavodsk international conference «Complex analysis and applications» - Petrozavodsk. - 2012. - P. 64 -69.

3. Rodikova E.G. On some estimates of the Privalov class in a disk // Modern Problems of Theory of Functions and Applications: Proceedings of the 19th International Winter School in Saratov, Saratov, Saratov State University, 2018. - S.270-272.

4. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. On a class of functions holomorphic in the disk // J. Math. Sci. - N. Y. - 2012. - V. 120. - No 5. P. 1784-1790.

5. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Introduction to the theory of weight Lp-classes and meromorphic functions - Bryansk: Company group «Desyatochka», 2009. - 153 p.

6. Zhu K. Analysis on Fock spaces, Graduate Texts in Mathematics, V. 263, SpringerVerlag, 2012. - 344 p.

About authors

Rodikova E. G. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: evheny@yandex.ru.

Maksakov S. P - graduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: msp222@mail.ru.