О КОЭФФИЦИЕНТНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ПЛОСКИХ КЛАССОВ ПРИВАЛОВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 4 (2021). С. 82-93.

УДК 517.53

О КОЭФФИЦИЕНТНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ ПЛОСКИХ КЛАССОВ ПРИВАЛОВА

Е.Г. РОДИКОВА

Аннотация. Задача описания тейлоровских коэффициентов аналитических в круге функций была впервые решена для класса Р. Неванлинны выдающимся советским математиком С.Н. Мергеляном в н. 20 века. В дальнейшем получению аналогичных оценок в различных классах аналитических функций занимались известные отечественные и зарубежные специалисты в области комплексного анализа: Г. Харди, Д. Литт-лвуд, A.A. Фридман, Н. Янагиара, М. Столл, С.В. Шведенко и др. В статье вводится в рассмотрение плоский класс И.И. Привалова Пд (q > 0), являющийся обобщением известного плоского класса Р. Неванлинны. В первой части статьи получена точная оценка роста произвольной функции из плоского класса Привалова, описаны коэффициенты разложения этой функции в ряд Тейлора. Во второй части работы на основе полученных оценок полностью описаны коэффициентные мультипликаторы из плоских классов Привалова в классы Харди. В упрощенном виде эта задача может быть сформулирована так: на какие множители нужно домножить тейлоровские коэффициенты функций из данного класса Пq (q > 0), чтобы они стали тейлоровскими коэффициентами функций из класса Харди.

Ключевые слова: плоский класс Привалова, коэффициенты Тейлора, мультипликатор, рост, аналитические функции.

Mathematics Subject Classification: Primary 30H50; Secondary 30H10, 30H15

1. Введение

Пусть С - комплексная плоскость, D - единичный круг на C, Н(D) - множество всех функций, аналитических в Д, При всех 0 < q < определим класс Привалова Пд:

П ={f е Н(D) : sup ± Г (ln+ If(reie)|f dd < +cU ,

[ 0<г<1 J— J

где ln+ a = max(ln a, 0) при любом a > 0.

Впервые классы Пд были рассмотрены И,И, Приваловым в [4]. При q =1 класс Привалова совпадает с хорошо известным в научной литературе классом функций ограниченного вида или классом Р. Неванлинны N [2]. Используя неравенство Гельдера, нетрудно доказать цепочку включений:

п (q> 1) С N С П (0 <q< 1).

Исследованиями класса Пд при q > 1 занимались зарубежные математики М. Столл, М, Павлович, М, Йевтич, Р. Мештрович и отечественные специалисты по теории функций В.И. Гаврилов, A.B. Субботин, Д.А. Ефимов (см. [1] и цитированную в нем литературу).

E.G. Rodikova, On coefficient multipliers for planar Privalov classes.

© Родикова Е.Г. 2021.

Поступила 31 января 2021 г.

Случай 0 < д < 1 изучался в работах автора статьи, а также Ф, А. Шамояна и его соавторов (см. [8] [10], [14], [16], [23] [25]).

При всех 0 < д < введем также в рассмотрение класс

(1 ж

/ е Н(Б) : ! J (1п+ и(гегв)|)9 Шт <

0 —ж

Будем называть его плоским классом И, И, Привалова или классом И.И. Привалова по площади. При д =1 плоский класс Привалова совпадает с хорошо известным плоским классом Р. Неванлинны:

(1 ж

/ е Н(Б) : ! У 1п+ и(гегв)1йвйг <

0 -ж или

N = |/ е НУ 1п+ |/(г)^у< , г = ж + гу, входящим в шкалу классов Ма Неванлинны - Джрбашяна:

^ =|/ е Н (Б): I (1 - г)аТ (г,/ )йг< , а> -1, где Т(г,/) — характеристика Р. Неванлинны функции $ е Н(И) (см. [2]):

ж

Т(г, /) = — [ 1п+ |/(гегв)№, 0 < г < 1.

—ж

В свою очередь, классы А« входят в шкалу классов Б1!,:

Бда =|у (1 - г)аТд (г,/ )йг< , а> -1, 0 <д<

Классы Б1^ были введены и исследованы в [12] Ф.А. Шамояном.

Используя неравенство Гельдера, нетрудно доказать, что

Пд С при д > 1, Пд Э ¿^при 0 < д < 1.

Отметим, что классы Пд возникают естественным образом при исследовании интегро-дифференциальных операторов в пространствах И.И. Привалова. В недавней совместной работе автора статьи и Ф.А. Шамояна [25] было доказано, что класс И.И. Привалова не инвариантен относительно оператора дифференцирования при всех д > 0, то есть в пространствах Привалова гипотеза Блоха - Неванлинны неверна. В [25] также установлено, что производная произвольной функции, не имеющей нулей, из класса И.И. Привалова Пд принадлежит классу И,И, Привалова по площади Пд.

В данной работе мы получим точные оценки максимума модуля и коэффициентов Тейлора функций из классов Пд (д > 0) (часть 2), па этой основе опишем коэффициентные мультипликаторы из классов Привалова Пд (д > 0) в классы Харди Нр (0 < р ^ (часть 3).

Заметим, что задача описания тейлоровских коэффициентов аналитических в круге функций была впервые решена выдающимся советским математиком С.Н. Мергеляном

для класса Р. Неванлинны в н, 20 века (см, [5]), Аналог результата Мергеляна в классах Хардн в круге доказан Г, Хардн и Д, Лнттлвудом, A.A. Фридманом (см. [19]), в классах В.И. Смирнова, Н. Янагиара [28], в плоских классах Р. Неванлинны, C.B. Шведенко [18], в классах И.И. Привалова Пд при всех значениях параметра q > 1 точные оценки роста функции и коэффициентов Тейлора установил М. Столл в [26], при 0 < q < 1 — автор этой статьи в [23].

Оценка тейлоровских коэффициентов тесно связана с описанием коэффициентных мультипликаторов в классах Привалова. Как отмечают авторы в [1], в упрощенном виде задача ставится так: на какие множители нужно домножить тейлоровские коэффициенты функций из данного класса, чтобы они стали обладать заданными свойствами; например, были бы ограниченными или образовывали абсолютно сходящийся ряд. Требуя, чтобы полученные произведения были тейлоровскими коэффициентами функций некоторого другого класса, приходим к общему определению коэффициентного мультипликатора.

Определение 1.1. Пусть X u Y - некоторые классы, аналитических в единичном круге D функций. Последовательность комплексных чисел, Л = (А&}+=1 называется коэффициентным, мультипликатором из класса, X в класс Y, если, для произвольной функции

f g X, f (z) = akzk, функция Л(/)(z) = Àfcakzk g Y. Обозначается CM(X,Y). k=0 k=0

Описанию мультипликаторов в различных классах голоморфных функций посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Отметим некоторые из них: [1], [3], [15], [17], [23], [27].

2. Оценка роста и коэффициентов Тейлора функций из плоских классов Привалова

Всюду далее, если не оговорено иное, будем считать, что q> 0. Через с, с\,..., сп(а, Р,...) обозначим положительные константы, зависящие от а, .... Справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.1. Если f € Пя, то

1п+ М(r,f) = о((1 - г)-2/я), г ^ 1 - 0, (2.1)

где М(г, f) = тах Ц

\г\=г

Доказательство. Выберем произвольно точку € Б. Обозначим

Кго = (С € В : К - ^ < 1(1 -Ы)}, йт2 - плоская мера Лебега. Из неравенства (см. [22, с. 144, теорема 9.1.1, оценка (9.3)])

(1п+ |/Ы1Г ^ (1 |)2 [ (1п+ |/(С)1Г¿т2((),

получаем:

kzq

* Ы +

(ln+ |/Ы1Г ^ (1 l)2J J (ln+ If (ре* )|Г dpde,

откуда имеем:

ж 1

(1п+ |/(*>)|)' ^ (1 —|)2/1(1П+ |/(ре*)|)ЧрМ.

-ж 0

Отсюда и следует требуемая оценка (2,1), □

Теорема 2.2. Если ¡(г) = ^ акгк - ряд Тейлора, функции / € Пд, то

к=0

1п+ |а*.| = о (к^ , А; ^ (2.2)

Доказательство. Из неравенства Коши и оценки (2,1) теоремы 2,1 следует, что для любого сколь угодно малого е > 0 существует г£ € (0,1), такое что

| а*| ^ г-к ехр{е(1 - г)-, г£ <г< 1, к = 0,1,..., (2.3)

что равносильно

+ _ 2

1п+ а | ^ е(1 - г) 1 -к 1п г, г£ <г< 1, к = 0,1,.... (2,4)

Введем функцию

_ 2

ф(г) = е(1 — г) « — к 1п г. Исследуем ее на точную нижнюю грань. Вычислим производную:

2е 1 к

ф(г) = —

2

2+1 г

V (1 — г) ф( ) ф ( ) = 0 2е г

2 | 1

д (1 — г) 2+1

.

Так как функция в левой части этого равенства возрастает и инъективна, то решение этого уравнения существует и единственно на интервале (0,1), Обозначим точку минимума функции ф(г) через гк.

0< <1

Для удобства введем следующие обозначения:

% = —• 5 к = 1 — Гк

где 5 > 1,

Можно считать, что 5 к < tк ^ 1. Действительно, неравенство 5 к < Ьк очевидно. Далее, ^ ^ 1 равносильно

^ ^ 1, (2-6)

5к < 1 равносильно

^ —8 , ч ^ >--2-, (2-7)

причем из (2,6) следует (2,7),

В новых обозначениях уравнение (2,5) примет вид:

2е 1 * 1

О

дб^ ^ в I ^ 1 =к

или

+1

к

2

;-1 кд82

Так как Ьк ^ 1, то из последнего равенства следует оценка:

1к

8 к ^

\кд 82)

1

2/4+1

(2.8)

Из того же равенства получаем:

2 2

Принимая во внимание теперь оценку (2.8), получаем:

е)' ■ ™

Используя полученные оценки (2.8), (2.9), оценим значение функции ф(г) в точке г = гк

ее строгого минимума:

2

ф( гк) = е(1 — гк)-« — к 1п гк.

Принимая во внимание теперь оценку (2.9), получаем:

ф(гк) (1)т) к 2+ч — к 1п Гй.

Для оценки последнего слагаемого заметим, что

2_ 2+ч

(гк) 1 — 4 = ехр (—21п — ехР (21п гк) = _ /11п

2 2 V 2

01п = —^ 1п Гк^

в к$ 2 ,

откуда

Таким образом, имеем:

вк8 зк8

— 1п гк =2 а г сз а-^ 2-,

к 2 2'

— к 1п гк ^ к 8 к 8.

ф(гк) ^ к^е^ {д82) 2+9 • ^2 +

(2.10)

Откуда и следует требуемая оценка (2.2). Рассмотрим случай д > 1.

Здесь для удобства введем следующие обозначения:

1 1 — тк

t к

8 к

л/Гк л/Гк

В этом случае в к ^ 1 ^ 4.

В новых обозначениях уравнение (2.5) примет вид:

2е 1

(I)

2+1 ч

,

что равносильно

2+1 2е

tk

д к г 2к(1-1/д)

к

откуда имеем:

" 2е 2е Го-

efc ^tk ^si + 2.

Окончательно получим следующую оценку для sк'.

\kq )

Sk )2/9+1 . (2.11)

Далее рассуждения проводятся аналогичным образом, как в случае 0 < q < 1. Теорема доказана полностью. □

3. Описание коэффициентных мультипликаторов из классов Привалова в классы Харди

При всех значениях параметра 0 < р < введем в рассмотрение классы Харди в круге:

Нр := i f е Н(D) : sup f | f(re^)\pd^ <

I 0<r<lj

Н- класс ограниченных аналитических в D функций.

В этой части работы мы опишем коэффициентные мультипликаторы, действующие из плоских классов Привалова в классы Харди. Справедливо следующее утверждение:

Теорема 3.1. Пусть Л = [\к}+=1, q > 0 0 < р ^ . Для того чтобы

Л = СМ (Ид ,НР), необходимо и достаточно, чтобы,

\\к\ = 0 (exp ^—с ■ , к^ с > 0. (3.1)

Доказательство этой теоремы основывается на вспомогательных утверждениях.

Лемма 3.1. (см. [1, с. 142, лемма 9.7}) Пусть F и Н — линейные классы, голоморфных D

D

F Н

F Н

Для формулировки следующей леммы введем в классе Пq метрику по правилу:

1 ж

Р( f, 9) = J J In9 (1 + \f (г eгв) — g(r егв )|) d0 dr, 0 <q< 1,

0 —ж

1 ж \ 1

р(/, 9)= |/ / (1 + | f(rегв) - д(гегв)1) dвdr\ , д> 1.

Лемма 3.2. Относительно введенной метрики Пд образует Р-пространство.

Доказательство. Пусть 0 < q < 1, случай q > 1 доказывается аналогично.

Доказательство данного утверждения эквивалентно установлению следующих свойств метрики (см. [11]):

а) р( f, д) = р( f — д, 0) - очевидно;

б) Пд - полное метрическое пространство.

1

Пусть {fn} - произвольная фундаментальная последовательноеть из класса Пд, то есть для любого е > 0 существует помер N(е) > 0 такой, что для всех п, т > N выполняется р( fn, fm) < £. Покажем, что она сходится к некоторой функции f е Пд. Заметим, что функции ln(1 + | fn|) - субгармонические в D. Снова используя оценку из [22, с, 144, теорема 9,1,1], получим:

1П(1 + | fn(Reie) - fm(Rei9)|) ^ ^ ■ p(fn, fm),

откуда

|fn(reie) - fm(reie)| ^ 0, п,т ^

при всех 0 < г < R < 1, в е \—ж,ж\. Таким образом, фундаментальная последовательность {fn} е Пд равномерно сходится внутри круга D к некоторой функции f е Н(D), Докажем, что f е Пд,

1 ж 1 ж

j J(1n+ | f(reie)l)qdddr ^J j(1n(1 + | f(reie)\)qdddr

0 —ж 0 —ж

1 ж

^J J 1П (1 + | f(reid) - fn(reie)| + | fn(reid)|) dBdr.

0 — ж

Так как для любых а > 0 Ь > 0 справедливо неравенство (а + b)q ^ (aq + bq) при 0 < q < 1 и (а + b)q ^ 2q(aq + bq) при q> 1, то из последней оценки имеем:

1 ж 1 ж

У У(1n+ | f(reie)\)qd0 ^У У [ln9(1 + | f(reie) - fn(rei0)|) + 1П(1 + | fn(reiS)|)] dBdr ^ const.

0 — ж 0 — ж

Значит, Пд полно,

в) Если f, fn е Ид и р( fn, f) ^ 0 п ^ то для любого 3 е C p(f3fn,/3 f) ^ 0, п ^

При |Р| < 1 сразу следует свойство, Предположим, что |3| > 1, Можно считать, что 3 > 1, Так как последовательность {fn} сходится, то она фундаментальная. Но из фундаментальности, как установлено выше, следует равномерная сходимость указанной

D

Поскольку для любого 3 ^ 1 и х ^ 0 справедлива оценка (1 + 3х) ^ (1 + х)13, то

1 ж

p(3fn,3f) =jj 1n(1 |fn(reid) - f(reid)\)d0dr

0 — ж

1 ж

^3q У У 1n(1 + | fn(reid) - f(reid)\)dddr = 3qp(U, f), 0 — ж

откуда следует свойство в),

г) Если pn, 3 е C и pn ^ 3; т0 p(/3nf,3f) ^ 0, n ^ для любой функции f е Пд, Это свойство следует из неравенства

1n(1 + |3n - 31|/1) ^ 1n(1 + |/|) + 1n(1 + |3n - 3|). Лемма 3,2 доказана, □

Лемма 3.3. Пусть последовательность комплексных чисел, { Хк}+= удовлетворяет следующему условию:

2 \ 4

|Хк| = 0 (ехр (—Ск • к2+, к^ (3.2)

для, произвольной положительной последовательности, {ск}+=1, ск ^ 0 к ^ Тогда,

найдется число с> 0 такое, что для, всех к Е N будет выполняться условие (3.2).

Доказательство леммы 3.3 повторяет рассуждения, проведенные в работе [27] (см. лемму 1) с показателем степени

Лемма 3.4. Пусть

д(г) = ехр-2, ¿еИ, (3.3)

(1 - г)2

где 0 < с < ^ ап(с)хп - ряд Тейлора функции д. Тогда, справедлива, оценка:

п=1

д 2

|ап(с)| ^ ехр(с2+<? • п2+<?). (3.4)

Метод доказательства леммы 3.4 повторяет рассуждения, проведенные в диссертации автора этой статьи [7] с показателем -, и восходит к С.Н. Мергеляну (см. [5]).

Как показано выше, из сходимости р(/п, ^ 0 п ^ следует равномерная сходимость последовательности функций ¡п(г) к функции ¡(г) в И. Следовательно, если ( ) ( )

!п(г) = ^ а]п' zk и /(г) = ^ а] Д то а]п' ^ а^ п ^ к=0 к=0

Пусть X — Е-пространство, состоящее го комплексных последовательностей {Ьк}к таких, что сходимость последовательности 0(п) = {б]п'} к Р = {Ьк} при п ^ предполагает покоординатную сходимость б]п' ^ Ьк, п ^ к = 0,1, 2,....

Рассмотрим коэффициентный мультипликатор Л = СМ(Пд,Х), По лемме 3.1 Л - замкнутый оператор, следовательно, по теореме о замкнутом графике (см. [11]) Л - непрерывный оператор, и отображает ограниченные в классе Пд множества в ограниченные в классе X множества.

Докажем теперь теорему 3.1.

Доказательство. Пусть Л = { Хк}+= - мультипликатор из класса Пд в класс Харди Нр (0 < р ^ го), Докажем, что существует с> 0 такое, что выполняется оценка (3.1), то есть

2 \ 4

|Хк| = 0 (ехр ^—с • к2+^ , к^ +го

Л

условию (3.2) для произвольной положительной бесконечно малой последовательности

{ск }+=!.

Итак, пусть дана произвольная положительная бесконечно малая последовательность { °к }+=1- Рассмотрим вспомогательную поеледовательность { с'к }+=1,

Если условие (3.2) выполнятся для этой последовательности, то оно остается справедливым и для последовательности {ск }+=1. Поэтому можно предполагать, что члены последовательности {скудовлетворяют следующему условию:

к-1 ^ С] ^ 2 (3-5)

с'к = шт ^, тах [к 1/ч, ск, к = 1, 2,

при всех к = 1, 2,.... Рассмотрим в классе Пд последовательность функций, удовлетворяющих условиям леммы 3.4:

Ск

Iк (г) = д( г к г) = ехр

2

(1 - Гкг) я

к = 1, 2,...,

где последовательность {гк}+=1 такова, что гк ^ 1 — 0 к ^

1 — 1, ,1 — ех^ — (^},

к = 1, 2,

(3.6)

(3.7)

здесь {7к}+=1 - положительная бесконечно малая последовательность такая, что Ск = о(7к), к ^

Покажем, что /к Е Йд,

1 ж

(1п+ | /к (г егв )|)^ в ¿г

0 —ж

1 ж /

/ / 1п+

п — чт \

0 -ж 1 ж

ехр

к

0 ж

|1 — гкг егв |2

(1 — гкг егв) я

¿в <

)

(1 — к )

¿г = с! 1п

1— к

77к.

Покажем, что {}+=1 - ограниченная последовательность в классе Пд, то есть докажем, что существует такое действительное число 0 < А < 1, что при всех натуральных к выполняется неравенство р(А/к, 0) < £, где е - фиксированное положительное число (см. [11, с. 31]). Для этого докажем сначала неравенство

1п(1 + |А|Ы) ^ (1п(1 + |А|)+1п+ 1д1). (3.8)

Действительно, если |g| ^ 1 то |А||д| ^ |А|, и сразу следует оценка (3.8). Если |g| ^ 1 то 1п(1 + |А||<?|) ^ 1п(|#| + |А|Ы) ^ 1п(1 + |А|) + 1п+

Докажем теперь неравенство р( А /к, 0) < е. П усть 0 < д < 1 (для д > 1 проверяется аналогично)

1 ж

р( А ¡к, 0)

1^(1 + |АД(ге )\)йвйт ^ 2и (1^(1 + |А|) + (7кУ).

0 ж

Поскольку 7к = о(1), к ^ то для любо го е > 0 найдется номер к0 Е N такой,

что при всех к ^ к0 будет выполняться неравенство 7к < Выбрав такое Ако, что

1п(1 + |Ако |) < получим, что, начиная с номера к0, все элементы последовательности

{ к}

Так как Пд — ^-пространство, то для всех номеров к < к0 найдется такое положительное число Ак, что при всех А € С с |А| ^ Ак будет выполнено р(А¡к, 0) < е. Полагая А0 = ш1п(А1, А2,..., Ак0), получим, что при |А| ^ А0 вся последовательность {fк} будет содержаться в шаре радиуса е, т.е. р(А¡к, 0) < е.

{ к}

ность в классе Пд.

Итак, мы показали, что при всех натуральных к последовательность функций {fк}+=1 ограничена в Пд, значит, и мультипликатор Л( ¡к) ограничен в классе Нр. Имеем:

||Л(¡к)||яр ^ С, С > 0.

Фиксируем к Е N.

1

1

к

к

(к)

Если ¡к(г) = ^ ап.'гп Е Пд, то Л(¡к)(г) = ^ Хпап'гп Е Нр, а значит, (см, [19, с, 98])

п=0 п=0

|Хп апк)| ^ ср||Л(¡к)||№ •пр-1, если 0 <р< 1,

|Хп апк)| ^ ср||Л(¡к)||Нр, если 1 ^ го,

пп

п апк откуда

|Хпапк)| ^С • ср •пр-1, если 0 <р< 1, (3.9)

|Хпапк)| ^ С • ср, если 1 ^ р ^ +го, (3.10)

где Ср — положительная константа, зависящая от параметра р. Так как /к(г) = д(гкг), то а^ = ап(ск)ггк- Согласно лемме 3.4,

(д 2 \

ск+п .

Учитывая неравенство (3.7), получим:

( 1 \ к 4 |акк)| ^ (1 — ехр (ск+п22 ) . (3.11)

Из (3.9), (3.11) заключаем:

|Хк| ^ С • с'р • — ^ • кр-1 • ехр (ск+п22)

откуда с учетом оценки (3.5) будем иметь:

~ / 2 \ |Хк | ^ С ехр [с2к+чп . (3.12)

Из неравенства (3.12), применив лемму 3.3, делаем вывод о справедливости оценки (3.1). Аналогично при 1 ^ р < +го из (3.10), (3.12) получаем требуемую оценку.

Докажем обратное утверждение теоремы 3.1. Пусть последовательность Л = {Хк}+=1

удовлетворяет условию (3.1) теоремы и / Е Пд, /(г) = ^ акгк. Из теоремы 2.2 следует,

к=0

что

|ак | ^ С1 ехр (екк22),

ек X 0, к ^ +го.

Подбирая помер к0 таким образом, чтобы ек < | при всех к^ к0, получим:

|Хкак| ^ С2 ехр (- .

Так как ряд ехр ( — ^к2+« ) сходится, то Л( ¡)(г) Е Нр. Теорема 3.1 доказана. □

2

Замечание 3.1. Отметим, что метод доказательства теоремы 3.1 восходит к работе [27] Н. Янагиара. Утверждение теоремы 3.1 останется справедливым и в случае, если, вместо класса, Харди взять класс Бергмана Ара,

(1 2я"

/ЕН (И) : У J(1 — /(ге* )1р(10г(1г< +го )> , р> 0, а> —1, 00

или класс Пд' (0 < д < д').

Замечание 3.2. Непосредственным следствием доказанной теоремы 3,1 служит утверждение о неулучшаемости оценок, полученных в теоремах 2,2 и 2,1. Доказательство неулучшаемости оценок проводится аналогичным образом,, как в работе Р. Ме-штровича (см. [1, с, 152], Следствия 9.24, 9.26).

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А, Шамояну за полезные обсуждения,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.И. Гаврилов, А.В. Субботин, Д.А. Ефимов. Граничные свойства аналитических функций (дальнейший вклад). Изд. МГУ, Москва (2012).

2. Р. Неванлинна. Однозначные аналитические функции. ГИТТЛ, Москва - Ленинград (1941).

3. М.А. Евграфов. Поведение степенного ряда, для функций класса, на границе круга сходимости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 16:5, 481-492 (1952).

4. И.И. Привалов. Граничные свойства однозначных аналитических функций. Изд. МГУ, Москва (1941).

5. И.И. Привалов. Граничные свойства, аналитических функций. ГИТТЛ, Москва - Ленинград (1950).

6. Е.Г. Родикова. Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения», Петрозаводск, 64-69 (2012).

7. Е.Г. Родикова. Факторизация, характеризация корневых множеств и вопросы интерполяции в весовых пространствах аналитических функций. Диссертация ...к.ф.-м.н. Брянск, 2014 г.

8. Е.Г. Родикова. О свойствах нулей функций из классов И.И. Привалова в круге // Ученые записки Брянского государственного университета. 4, 19-22 (2019).

9. Е.Г. Родикова. Об интерполяционных последовательностях в пространстве И.И. Привалова // Сборник тезисов Международной научной конференции «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения», оз. Банное, 52-53 (2020).

10. Е.Г. Родикова, В.А. Беднаж. Об интерполяции в классах И.И. Привалова в круге // Сиб. электрон, матем. изв. 16, 1762-1775 (2019).

11. У. Рудин. Функциональный анализ. Мир, Москва (1975).

12. Ф.А. Шамоян. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. матем. журн., 40:6, 1422-1440 (1999).

13. Ф.А. Шамоян. Весовые пространства аналитических функций со смешанной норм,ой. РИО Б ГУ, Брянск (2014).

14. Ф.А. Шамоян. О некоторых свойствах нулевых множеств класса, И.И. Привалова в круге // Записки научн. семин. ПОМП. 480, 199-205 (2019).

15. Ф.А. Шамоян, Е.Н. Шубабко. Об одном, классе голоморфных в круге функций // Зап. научн. сем. ПОМП. Исследования по линейным операторам и теории функций. 282, 244-255 (2001).

16. Ф.А. Шамоян, В.А. Беднаж, О.В. Приходько. О нулевых множествах некоторых весовых классов аналитических в круге функций // Вест. Брянского гос. унив.: естественные и точные науки. 4, 85-92 (2008).

17. C.B. Шведенко. Классы, Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном, круге, поликруге и шаре // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 23, 3-124 (1985).

18. C.B. Шведенко. О скорости роста и, коэффициентах Тейлора, функций класса, Неванлинны, N по площади // Изв. вузов. Матем. 6, 40-43 (1986).

19. P.L. Duren. Theory of Нр spaces. Pure and Appl. Math., vol. 38, Academic Press, NY (1970).

20. O. Frostman. Sur les produits des Blaschke // Kungl. Pysiografiska Sallskapets i Lund Forhandlingar, Proa. Roy. Phvsiog. Soa. Lund. 12:15, 169-182 (1942).

21. W.K. Havman, B. Korenblum. A critical growth rate for functions regular in a disk // Michigan Math. J. 27, 21-30 (1980).

22. M. Pavlovic. Introduction to function spaces in a disk. Matematicki Institut SANU, Beograd (2004).

23. E.G. Rodikova. Coefficient multipliers for the Privalov class in a disk // Журн. СФУ. Сер. Maгс.м. и физ. 11:6, 723-732 (2018).

24. E.G. Rodikova. Multiple interpolation in the Privalov classes in a disk // Filomat. 35:1, (2021) (принято в печать).

25. E.G. Rodikova, F.A. Shamovan. On the differentiation in the Privalov classes // Журн. СФУ. Сер. Maгс.м. и физ. 13:5, 622-630 (2020).

26. М. Stoll. Mean growth and Taylor coefficients of some topological algebras of analytic functions // Ann. Polon. Math. 35:2, 139-158 (1977).

27. N. Yanagihara. Multipliers and linear functionals for the class N + // Transactions of the Amer. Math. Soc. 180, 449-461 (1973).

28. N. Yanagihara. Mean growth and Taylor coefficients of some classes of functions // Ann. Polon. Math. 30, 37-48 (1974).

Евгения Геннадьевна Родикова, Брянский государственный университет, ул. Бежицкая, 14, 241050, г. Брянск, Россия E-mail: evheny@yandex. ru