Степенные ряды одной переменной с условием логарифмической выпуклости коэффициентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.521 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 1 MSC 30B10

Степенные ряды одной переменной с условием логарифмической выпуклости коэффициентов

А. В. Железняк

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова (Ленина),

Российская Федерация, 197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

Для цитирования: Железняк А. В. Степенные ряды одной переменной с условием логарифмической выпуклости коэффициентов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). Вып. 1. С. 28-38. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.103

В статье рассматривается обобщение теоремы Харди о степенных рядах, обратных к степенным рядам с положительными коэффициентами. А именно, доказывается, что достаточно требовать логарифмическую выпуклость коэффициентов, начиная с некоторого места. Такого рода результаты применяются в теории Неванлинны — Пика. В частности, это позволяет получить новые оценки на рост соответствующих аналитических функций в круге.

Ключевые слова : степенной ряд, ядра Неванлинны — Пика, логарифмическая выпуклость.

1. Введение. Давно известно, что у формального степенного ряда одной переменной с первым положительным коэффициентом и остальными отрицательными ряд, обратный исходному, будет иметь строго положительные коэффициенты (см. [1]). Однако обратное условие неверно, и в случае ряда Харди одной переменной было найдено простейшее достаточное условие того, что ряд, обратный формальному степенному ряду с положительными коэффициентами, будет иметь все отрицательные коэффициенты, кроме самого первого (см. [2]). Это условие впоследствии будет использовано в интерполяционной задаче Неванлинны — Пика, а именно при рассмотрении вопроса ее разрешимости (см. [3]). Особый интерес представляет случай формальных степенных рядов одной переменной. Пусть дан формальный степенной ряд

œ

f (x) = a0 + anxxn (1)

n=1

с положительными коэффициентами. Рассмотрим формальный степенной ряд, обратный исходному,

œ

g(x) = bo + bnxn, f (x)g(x) = 1. (2)

n=1

Мы хотим знать, при каких ao, an коэффициенты bo, bn обратного ряда g(x) удовлетворяют условиям

b0 > 0, bn < 0, n > 0. (3)

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2020

Это условие естественным образом возникает в интерполяционной задаче Неван-линны — Пика. Пусть Ю = [г £ С, |г| < 1}, а Н2(Ю) — пространство Харди в Ю. Для данных точек х\, Х2,..., хп £ Ю и значений и>1, и>2,..., £ Ю мы хотим найти функцию ^ £ Нто(Ю) такую, что ^(х^) = ш при всех к = 1,..., п. Известно, что задача Неванлинны — Пика разрешима тогда и только тогда, когда матрица

А = к=)кк Кп положительно определена. Другими словами, матрица 1 хкх1 — ' —

А = {{1 — WkЩ)k{xk,Xl))l<k,l<n положительно определена, (4)

где к{х,у) = 1_1ж_ — воспроизводящее ядро пространства Харди Н2(Ю). Это условие впервые было получено Пиком в 1916 году. Более того, было доказано, что такое решение единственно и представимо в виде произведения Бляшке. А в 1919 году Неванлинна рассмотрел эту задачу независимо от Пика. Рассмотрим общую задачу Неванлинны — Пика. Пусть Н — гильбертово пространство аналитических функций в Ю такое, что функционал значения в точке непрерывен. Для данных Х1, Х2,..., хп, Ш1, Ш2,..., шп £ Ю мы ищем мультипликатор пространства Н такой, что ^(хк) = Шк,к = 1, 2,..., п, и ||<^>|| < 1. Известно (см. [1]), что условие положительной определенности матрицы А = ((1 — и>кЩ")£;(жк, ч))кь,кп является необходимым и может быть достаточным, если матрица

К = (к(хк,х;))1 <к,1<п положительно определена, (5)

где к(х,у) = у^^у, причем

В = (6(хк, х1))1<к,1<п положительно определена. (6)

Такие ядра называются ядрами Неванлинны — Пика. Рассмотрим ядра следующего вида: к(х, у) = ^ ап(ху)п (воспроизводящее ядро пространства Н2(Ю)). Для выпол-

п=0

нения условия (5) достаточно неотрицательности чисел, а для выполнения условия

то

(6) достаточно, чтобы у степенного ряда 1 /к(х,у) = ^ Ъп(ху)п все коэффициен-

п=0

ты, кроме первого, были неположительны. Это условие в точности соответствует условию (3) (см. [1]). Для случая рядов одной переменной простейшее достаточное условие было получено Харди (см. [2]).

то

Теорема 1 (Харди). Положим /(х) = а0 апхп — формальный степенной

п= 1

то

ряд, рассмотрим д(х) = ущ = ^ Ъпхп — формальный степенной ряд, обратный к

п=0

/(х). Если коэффициенты ап удовлетворяют условию логарифмической выпуклости

ап+2 . ап+1

> (7)

ап+1 ап

то все коэффициенты ряда д(х) неположительны, за исключением нулевого. В дальнейшем нам потребуется следующее определение.

Определение 1. Пусть {ап} — последовательность положительных чисел, К — натуральное число. Говорят, что последовательность удовлетворяет условию К-Харди, если при всех натуральных п > К выполнено условие (7).

2. Основная часть.

Теорема 2. Положим / (ж) = ао + а«хп — формальный степенной ряд,

п=1

то

рассмотрим д(х) = ущ = ^ Ъпхп — формальный степенной ряд, обратный к/(ж).

п=о

Тогда для любой последовательности чисел ах,а2,..., удовлетворяющей условию К-Харди, существует число а0 такое, что Ьп < 0 при всех натуральных п. Рассмотрим коэффициент Ь; как функцию от ао, ах, ..., а;.

Лемма 1. Коэффициент 6; имеет вид —цтР^ао), где Р1 — многочлен степе-

а0

ни (I — 1) от а0 с коэффициентами, зависящими только от (ах,..., а;), причем старший коэффициент 'равен (—а;).

Доказательство леммы 1. Индукция по I. База I = 1. Перемножив формальные степенные ряды / (ж) и $(ж) и приравняв коэффициенты при нулевой и первой

степенях, получим, что ао&о = 1 и а-^Ьо + ао&1 = 0, откуда Ьо = — и Ь-^ =

ао а о

Переход. Пусть набор Ьх,..., Ь; удовлетворяет условию леммы 1. Докажем, что Ь;+1 тоже представляется в требуемом виде.

Поскольку 1 = /(ж)^(ж) и коэффициент при ж;+1 равен 0, имеем

0 = аоЬ;+1 + ахЬ; + ... + а;+хЬо.

Следовательно, по предположению индукции получаем

Ь;+1ао = —ахЬ; — а2Ь;— — ... — а;+хЬо =

«1Л(«о) «2Л-1 («о) щР^ар) а;+1

III ~г ; + ' ' ' + о "Г

ао+х ао ао ао

-щ- [ахРДао) + а2а0Рг-1(ао) + а3адРг-2(ао) + • • • + агад^Р^ао)] -ао

--г+Таг+1ао = ——(Зг(а°)--щ~аг+1ась

ао ао ао

где ^;(ао) — многочлен степени (I — 1) от ао, а;+хао — многочлен степени I, старший коэффициент которого равен а;. Тем самым мы получили, что

+ ! = 1+2 (3'(ао) — аг+1ао] .

ао+

Лемма доказана.

Следующие два замечания показывают асимптотику коэффициентов Ь;.

Замечание 1. 6; ~ при достаточно больших а о.

а0

Замечание 2. Существует положительное число А такое, что при всех ао > А выполнено

и ,

1а

2 ао

ао

Следствие из замечания 2.

3 ая 1 ая ---- < Ьц <---7, при всех е.

2 а2 2 а2

о

Доказательство теоремы 2. Отрицательность чисел 6П при п < К вытекает из следствия. Докажем, что 6П < 0 при п > К. Проведем доказательство по индукции п = К + I, I > 1.

Введем обозначения: то = ак+1; М = тах аг , 51 = 2,..., К, Т = тах а«, =

' ' ' т

База I = 1. Перемножим ряды /(ж) и $(ж) и запишем коэффициенты при жк+1 и жк, равные 0:

ак+1&о + ак61 + ... + а<1бк + ао6к+1 = 0, (8)

ак 6о + ак-1&1 + ... + а1бк-1 + аоЬк = 0. (9)

Домножим (8) на ак, а (9) на ак+1 и, вычитая одно из другого, получим

аоакЬк+1 + Ьк [а1ак - аоак+1] + 6к+1[а2ак - а^к-1] + ... +

+ 61 [акак - ак-1ак+1] = 0. (10)

Потребуем, чтобы ао > = тогда будет выполняться (ак+10,0 — ака\) > 0. Выражая из (10) 6к+1, имеем

аоак 6к+1 = 6к [ак+1ао — ак а1] + 6к-1[ак+1а1 — ак а2] + ... + &1[ак+1ак-1 — ак ].

Лемма 2. Верно следующее неравенство: 1 к-1

2\Ък\(ак+1ао ~ ака 1) > ^ |М(ак+1а.з - ака^х).

Если это доказать, то так как числа 6 к отрицательны, то последние (К — 1) слагаемые будут меньше в два раза, чем первое по модулю, следовательно их сумма будет иметь знак первого слагаемого, которое отрицательно. Доказательство леммы 2. Оценим правую часть:

к-1 к-1 , ч

У" |Ьк-5||(ак+1а5 - ака3+1)\ = «к У" \Ък-б\ Ы | _ ^£±1 ) <

V ак а« I

«=1 «=1 \ к а / к1

к-1

<ТакУ^\Ък_3\ «(М + то)Т V |Ьк-5||ак|.

^ ак ай ^

то)

Я=1

Я=1

Следовательно, получим

к-1 к-1

к-1 к-1

|Ьк|а0ак ( - — ) > (М + то) Так У) = (М + то) Так У) |М-

Vак V «= а=1

Поскольку выполнено условие а о > ^, то будет верно неравенство — ^ > у, откуда следует, что

1 / ак+1 аЛ ^ т -|6к|аоак---> — \Ьк\а0ак.

2 \ ак ао / 4

Доказали неравенство

К-1

4

|Ьк|аоак > (М + т) Так У^ |Ьб|.

5=1

Очевидно, что при его выполнении лемма будет доказана. Сокращая на ^ак, получим

к1

ао

|ЬК| |Ь*1.

(11)

5=1

к1

Лемма 3. В условиях теоремы при выполнении условия ао > — ^ аБ нера-

ак Б=1

венство (11) верно.

Доказательство леммы 3. В силу замечания 2 при всех Б = 1,..., К выполнены неравенства

Ьб +

ав

<2 а§' 2 ад ^ 2 ад '

1 а 3 а к-1 к-1 ао|Ьк| > Т?ао— > Г,— > а1М-

б=1

б=1

Тем самым лемма 3 и лемма 2 доказаны и, следовательно, база в доказательстве теоремы 2 доказана.

Замечание 4. В дальнейшем нам потребуется модификация неравенства (11), а именно

К-1

Сао|Ьк| > а ^ |Ьб|.

б=1

Очевидно, что если число ао удовлетворяет условию

о К-1

3а

а0 > —- а£!>

Сак

в=1

то требуемое неравенство следует из леммы 3.

В дальнейшем нам потребуются оценки коэффициента Ьк+1. Выразив Ьк+1 из (3), имеем

|Ьк+1| =

1

>

аоак 1

аоак

'К — 1

У^ Ьб(ак+1ав — ака^+1) + Ьк (ак+1ао — а1ак)

.5=1

>

К-1

|Ьк|(ак+1ао — а1ак) — ^ |ЬБ||(ак+1а^ — ака^+1)|

5=1

2 V ак ао

>

т

>ТМ,

то есть

\Ък+1\ > ^\Ък\

(12)

т

2

а

о

М < —\ьк+1\.

(13)

Доказательство перехода в теореме 2. Предположим, что 6к+1,..., 6к+г-1 отрицательны. Докажем, что 6к+г будет меньше 0.

Перемножив ряды /(ж) и $(ж) и посмотрев на коэффициенты при жк+г и жк+г-1, равные 0, получим

ак+г6о + ак+г-161 + ... + а1&к+г- 1 + ао6к+г = 0, (14)

ак+г-1&о + ак+г-261 + ... + а1&к+г-2 + ао6к+г-1 = 0. (15)

Домножим (14) на ак+г-1, (15) на ак+г. Выразим 6к+г, вычитая (7) из (8). Получим

6к+гак+г-1ао = 6к+г-1(ак+гао — ак+г-1а1) + 6к+г-2(ак+га1 — ак+г-1а2) + ... + + 6г(ак+гак-1 — ак+г-1ак) + 6г-1(ак+гак — ак+г-1ак+1 + ... +

+ Ь1(ак+гак+г- 2 — ак+г-1)). (16)

Заметим, что коэффициенты при 61, 62,..., 6г-1 положительны ввиду выполнения условия К-Х арди > при п> К.

Если ак^11 — т0 коэффициенты при 6;, Ьг+1,..., Ьк+г-1 будут больше или равны 0, так как М = тах ^ ^, Б = 2,..., К, поэтому будем считать, что

ак+1 < М

аК + 1-1 ~

Коэффициент при 6к+г-1 больше 0, так как

ак+г а1 ак+1 а1

---> ак+г-1в0--->0.

ак+г-1 ао ак ао

ак+гао — ак+г-1а1 = ак+г-1ао

Лемма 4. Докажем, что можно подобрать число ао так, чтобы выполнялись следующие неравенства:

1

к+г-2

х|Ьк+г-1|(ак+гао — ак+1-1(ч) > ^^ \Ье\\ак+1ак+1-1-з — ак+1-1ак+1-з\ (17)

я=г

\Ьк+1\ > —\Ък+1-\\-

Заметим, что выполнение неравенства (17) из леммы 4 гарантирует отрицательность суммы первых К слагаемых в правой части выражения (16), а поскольку в правой части выражения (16) последние I — 1 слагаемые отрицательны, то вся правая часть будет отрицательна, и, следовательно, теорема доказана.

Доказательство леммы 4. Индукция. База I =1 — доказано ранее (леммы 2 и 3, неравенство (12)). Переход:

к+г-2

|6« ||ак+гак+г-1-я — ак+г-1ак+г-я | =

я=г

к+г-2

ак+г-1 ^ |6« 1|ак+г-1-я |

я=г

ак+г

ак+г-я

ак+г-1 ак+г-1-я

и

Число К + / — 1 — Б при Б € [/; К + / — 2] принадлежит [1; К — 1], поэтому

|ак+;-1-Б| < Т,

ак+; ак+;-Б

ак+;-1 ак+;-1-Б

М,

так как оба числа ак+1 и ак+1 я больше 0 и не больше М по предположению.

аК + 1-1 аК + 1-1-Б 1

Тогда

к+;-2 к+;-2

(*) < ак+;-1Т ^ |Ьб|М < ак+;-1Т (М + т) ^ |Ь51.

б=; б=;

Тем самым осталось доказать, что

1 к+;-2

-|Ьк+г-1|(ак+га0-ак+г-1в1) > ак+г-1Т(М + т) ^ |Ь5|.

б=;

Разделив на ак+ь-1, получим, что осталось доказать истину цепочки неравенств

1 , . К+Ь-2

() >тао|Ь№1|>Т (М + т) V \Ъ3\.

2 \ак+ь-1 а^ 4 5=

Первое верно по выводу ао. Если доказать второе неравенство, первая часть леммы 4 будет доказана. Поделив на получим

к+;-2

ао |Ьк+;-1|> а |Ьб|.

б=;

Лемма 5. В условиях теоремы можно подобрать число ао, чтобы выполнялось неравенство

к+;-2

ао |Ьк+;-1|> а |Ьб|.

б=;

Доказательсво леммы 5.

Случай 1. Пусть / > К — 1, тогда по индукционному предположению (неравенство (13))

тт / тт \ 2 / тт \ К—1

|Ьк+г-1| > Т|Ьк+г-2| > |Ьк+г-з| > • • • > Ы,

следовательно,

К+;-2 / 4 / 4 \2 / 4 \К-1\ а У" < а|Ьк+г-1| — + — +...+ — < а,0\Ък+1^\.

^^ \т \ту \ту у

Значит, ао должно удовлетворять следующему неравенству:

(4 /4\2 /4х К-1>

а0>а\ — + — +...+ —

т т т

Случай 2. Пусть l < K — 1, тогда, применяя замечание 4, получим

K+I-2 K-1 K+I-2 K-1 K+I-2

a |6S| = a ^ |bs| + « Y, l6sl< aY, l6sI + a 12 l6sl<

S=l S=l S=K S=1 S=K

K+I-2

a

S=K

< Cao |Ьк | + a |bsI <

<Са0|Ьк|+а (-+ f—) +...+ (—} ] \Ък+1-\ \ <

y m \m/ \mj I

<[Cao(-) +a(-+(-) + ...+ Ш ] ] \Ък+1-\\-y \m J y m \m J \m J II

Если доказать следующее неравенство, то лемма 5 будет доказана:

(cao(l) + + ))|b*+<-il<"o|b*+«-il-

Для его истинности ao должно удовлетворять неравенству

( 4 V-1 1-1 ( 4 \ S Cao — + ск / — <ao для всех I = 1,..., К — 1

Vm/ V m/

или, усилив предыдущее,

4\ K-V S-1

Ca0 ( — + а У — < а0. m/ ^^ \m/

Константа C в замечании 4 подбирается по правилу

.....

2, при -<1,

1 / 4 \K —1 4 __

- — , при — > 1.

V m / 7 1 m

Тем самым С < следовательно, ао подобрать можно:

K—1 ( 4 х«-1

2«Е - ^«0.

m

S=1 4

Лемма 5 доказана.

Докажем теперь вторую часть леммы 4, т.е. неравенство |&к+г| > Перепишем выражение (16):

|6к+гак+г-1ао| = |6к+г-1(ак+гао — ак+г-1а1) + 6к+г-2(ак+га1 — ак+г-1а2) + ... +

+ 6г(ак+г ак-1 — ак+г-1ак)+ + 6г-1(ак+гак — ак+г-1ак+1 + ... + б1(ак+г ак+г-1 — ак+г-1 )|.

Из доказанного (17) следует, что

Ьк+;-1(ак+;ао — ак+;-1а1) + ... + Ь;(ак+;ак-1 — ак+;-1ак) < 0.

Из условия К-Харди следует, что ;-1

УЗ Ьб(ак+;ак+;-1-Б — ак+;-1 ак+;-Б) < 0.

5=1

Поэтому, используя неравенство 10 из леммы 4, имеем

|Ьк+;ак+;-1ао| =

;-1

+

+

УЗ Ьб(ак+;ак+;-1-Б — ак+;-1ак+;-Б)

5=1

к+;-1

УЗ Ьб(ак+;ак+;-1-Б — ак+;-1ак+;-Б)

б=;

>

>

к+;-1

УЗ Ьб(ак+;ак+;-1-Б — ак+;-1ак+;-Б)

б=;

— 2 \Ък+1-1\{ак+1а>о — ак+1-\а\),

2 \ак+;-1 ао/ 4

Лемма 4 доказана.

3. Заключение. Предположим, что функции /(г) и $(г) имеют ненулевой радиус сходимости представляющих их степенных рядов, скажем Д > 0. Тогда условие Харди влечет ограничение на поведение функции $(г) при приближении к гра-

то

ничной окружности. Пусть 0 < г < К, д(ге1в) = = Ьо + Ъпгпегпв, где

п=1

Ьо > 0, Ьп < 0, п > 0. Имеем, что при 0 < а < 1 все коэффициенты сп(а) ряда

то

(1 — г)-а = 1+$^ сп(а)гп положительны. Взяв 0 < р < 1, получим

п=1

1 ЛП / то

гп егп0

п гп0

п=1

1 + 53 Сп(а)рп

то

Ьо + 53 ЬпСп(а)гпрп < Ьо. (18)

п= 1

Далее,

— д(ге'в)(1-ре'вГаав

¿ (Ь° + £ ^ + £ ¿в = Ь0. (19)

Тогда (18) и (19) влекут

— J g(reie)Re(l - peieГ а¿9

1 1

2 2п _ 9(ге'в)((1-ре-»)-а + (1-ре'в)-а)М<Ь0. (20)

Переходя в (20) к пределу при р ^ 1 — 0, получаем

1 Гп

— J g{reie)Re{l-eie)-ade <Ъ0. (21)

При 0 < а < 1, 0 < 0 < п имеем, что

Re(l - el0)-a = Re ( е(е^ - еЛ ) ) = Re ( е^ ( -2i sin (

2-°Re| е^е^ ( sin ( - j j J = (^sin § J J Re [e^^r^

'Га I sin I - I I cos''(""0)a

Аналогично, при 0 < а < 1, — п < 0 < 0 имеем, что Поэтому из (21) получаем

( (п-|0|)а\

1 ,-тт Л со8 1-1 1

- / д(гегв)Яе(1 - е«ГаМ = — / д(ге<9) Л < Ь0 = ~ = ^

2 -к 2а (зт (2 ) ) 0

2 (22) Поскольку интеграл в (22) вещественный, то окончательно получим

( (п-|0|)а\

1 Г { 1 \СОБ\ —2 2а

Литература

1. Agler J., McCarthy J.E. Pick interpolation and Hilbert function spaces. In Ser.: Graduate Studies in Mathematics. Vol. 44. Providence: American Mathematician Society, 2002.

2. Hardy G. H. Divergent Series. Oxford: Clarendon Press, 1949.

3. Полиа З. Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978.

Статья поступила в редакцию 30 мая 2019 г.;

после доработки 12 июня 2019 г.; рекомендована в печать 19 сентября 2019 г.

Контактная информация:

Железняк Александр Владимирович — ст. преп.; [email protected]

Power series of one variable with condition of logarithmical convexity

A. V. Zheleznyak

St. Petersburg Electrotechnical University "LETI", ul. Professora Popova, 5, 197376, St. Petersburg, Russian Federation

For citation: Zheleznyak A. V. Power series of one variable with condition of logarithmical convexity. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2020, vol. 7(65), issue 1, pp. 28-38. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.103 (In Russian)

We obtain a new version of Hardy theorem about power series reciprocal to the power series with positive coefficients. We prove that if the sequence {an}, n > K is logarithmically convex, then reciprocal power series has only negative coefficients bn, n > 0 for any K if the first coefficient a0 is sufficiently large. The classical Hardy theorem corresponds to the case K = 0. Such results are useful in Nevanlinna — Pick theory. For example, if function k(x,y) can be represented as power series ^2n>0cin(xy)n, an > 0, and reciprocal function ^ can be represented as power series ^n>0 bn(xy)n such that bn < 0, n > 0, then k(x,y) is a reproducing kernel function for some Hilbert space of analytic functions in the unit disc D with Nevanlinna — Pick property. The reproducing kernel yr—j of the classical Hardy space H 2(D) is a prime example for our theorems. In addition, we get new estimates on growth of analytic functions reciprocal to analytic functions with positive Taylor coefficients. Keywords: power series, Nevanlinna — Pick kernels, logarithmical convexity.

References

1. Agler J., McCarthy J. E., Pick interpolation and Hilbert function spaces, in Ser. Graduate Studies in Mathematics 44 (American Mathematician Society, Providence, 2002).

2. Hardy G.H., Divergent Series (Clarendon Press, Oxford, 1949).

3. Polia Z.G., Sege G., Problems and theorems of analysis (Nauka Publ., Moscow, 1978).

Received: May 30, 2019 Revised: June 12, 2019 Accepted: September 19, 2019

Author's information:

Alexandr V. Zheleznyak — [email protected]