Многомерный аналог условия Харди для степенных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МНОГОМЕРНЫЙ аналог УСЛОВИЯ ХАРДИ ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

А. В. Железняк

С.-Петербургский государственный электротехнический университет, ассистент каф. высшей математики-2, [email protected]

Рассматривается связь формальных степенных рядов одной и нескольких переменных и воспроизводящих ядер Неванлинны—Пика. Получены новые и улучшены имеющиеся достаточные условия разрешимости задачи Неванлинны—Пика для некоторых воспроизводящих ядер.

1. Введение

Давно известно, что у формального степенного ряда одной переменной или нескольких перменных с первым положительным коэффициентом и остальными отрицательными ряд, обратный исходному, будет иметь строго положительные коэффициенты (см. [1]). Однако обратное утверждение неверно, и в случае ряда одной переменной Харди было найдено простейшее достаточное условие того, что ряд, обратный формальному степенному ряду с положительными коэффициентами, будет иметь все отрицательные коэффициенты, кроме самого первого (см. [2]). Это условие впоследствии будет использоваться в интерполяционной задаче Неванлинны—Пика, а именно, при рассмотрении вопроса ее разрешимости (см. [3]). Нас будет интересовать случай формальных степенных рядов нескольких переменных.

Пусть дан формальный степенной ряд

/ (х) = / (ж1,ж2,...,ж„) = ^2 X1 х*22 ...хП, Ж1,Ж2,...,Ж„ € М (1)

*1 ,*2,...,*п>0

с положительными коэфициентами а*1,*2,...,*п. Рассмотрим формальный степенной ряд, обратный исходному

д(х) = ^2 ь*1,*2,...,*пх11 х22-хп , /(х)д(х) = 1. (2)

*1,*2,...,*п>0

Мы хотим знать, при каких а*1,*2...,*п коэффициенты обратного ряда Ь*1,*2,..,*п удовлетворяют следующему условию:

Ьо,о,...,о > 0, 6г1,*2,...,*п < 0 если *2 + *2 + ... + 4 > 0. (3)

Это условие естественным образом возникает в интерполяционной задаче Неванлинны— Пика.

Пусть В = {г € С : |г| < 1}, а Н2(В) —пространство Харди в В. Для данных точек

х1, х2,..., хи € В и значений и>1, и>2,..., ши € В мы хотим найти функцию ^ € НТО(В)

такую, что ^(х^) = ш, к = 1, 2,..., п.

Известно, что задача Неванлинны—Пика разрешима тогда и только тогда, когда Л - ткШ1 \

матрица А = -------— положительно определена. Другими словами,

V 1 — хк'х1 ] 1<к,1<и

А = ((1 — ШкШ1 )к(хй,х1))1<к,1<и > 0, (4)

где к(х, у) = 1/(1 — ух) —воспроизводящее ядро пространства Харди И2 (В). Это условие впервые было получено Пиком в 1916 году, более того, было доказано, что такое решение единственно и представимо в виде произведения Бляшке, а в 1919 году Неван-линна рассмотрел эту задачу независимо от Пика. Нас будет интересовать общая задача Неванлинны—Пика.

Пусть И — гильбертово пространство аналитических функций в Б такое, что функционал значения в точке непрерывен. Для данных х1,..., хи, Ш1,..., ши € В мы ищем мультипликатор пространства И такой, что у>(хк) = Шк, к = 1, 2,..., п и ||у>|| < 1. Хорошо известно (см. [1]), что условие (4) всегда является необходимым и может быть достаточным если

К = (к(хк,х;))1<к,1<и > 0, (5)

Такие ядра называются ядрами Неванлинны—Пика. Рассмотрим ядра следующего вида к(х, у) =^2^=0 ак(ху)к (например, воспроизводящие ядра простанства Н2(Ю))). Для выполнения условия (5) достаточно неотрицательности чисел ак, а для выполнения условия (6) достаточно, чтобы у степенного ряда 1/(к(х,у)) = ^^=о Ьг(ху)1 все коэфф-фициенты, кроме первого, были неположительны. Это условие в точности соответствует условию (3) в случае п =1 (см. [1]). Для случая рядов одной переменной простейшее достаточное условие было получено Харди (см. [2]).

Теорема 1 (Харди). Пусть / = /(х) = £^о а,іХг — формальный степенной ряд одной переменной. Если коэффициенты аі подчиняются условию логарифмической выпуклости

ая+2іая > а2+і, в, і > 0, (7)

то все коэффициенты обратного формального степенного ряда неположительны за исключением первого.

Цель настоящей статьи — дать некоторые достаточные условия, работающие при любом натуральном п. Также получены некоторые усиления условия Харди для случая рядов одной переменной (теорема 3, §3).

Для того чтобы сформулировать основной результат, нам понадобятся некоторые вспомогательные обозначения. Пусть в = (ві, в2,..., вп) — мультииндекс. Обзначим через еі = (0, . .., 0, 1, 0, . .., 0) мультииндекс, состоящий из нулей и одной единицы на і-м месте, а через 1 = (1,1,..., 1) и 0 = (0, 0,..., 0) — мультиндексы, состоящие из единиц и нулей соответственно. Для краткости символ хя будем понимать как хі1 х22 ,... , х^1, а символ ая —как а8іі82і...,8п. Мы будем писать, что в > і (в > і), если при всех і = 1, 2, .. ., п выполнено условие ві > іі (ві > іі).

Определение 1. Будем говорить, что тройка (в, і, и) В-выпуклая если

ав+(+иаз > Вав+(а3+и.

Таким образом условие (7) теоремы Харди означает 1-выпуклость любой тройки (в, 1,1).

Теорема 2. Пусть формальный степенной ряд (1) с положительными коэфиици-ентами удовлетворяет следующим условиям:

(a) тройки (в, еі, еі) 1-выпуклы, 1 < і < п;

(b) тройки (в, еі, ) 1-выпуклы при вів^ > 0, і = і;

(с) тройки (в,е*,е^) (п — 1)/(п — 1 — 1)-выпуклы если п > 1, в^в^- = 0, где 1 —число нулей в последовательности {вй}^^^.

Тогда все коэффициенты обратного ряда (2) неположительны за исключением Ьо. Заметим, что при п =1 мы получаем в точности теорему Харди.

2. Доказательство теоремы 2

Доказательство будем проводить индукцией по п. База (п =1) нам известна. Переход от п — 1 к п:

Мы хотим доказать для произвольного мультииндекса в = 0 неравенство Ья < 0. Если в* =0 хоть для какого-нибудь индекса *, то, полагая ж = 0, мы получаем формальный степенной ряд (п — 1)-й переменной. Используя индукционное предположение, получаем нужное нам неравенство Ья < 0. Поэтому, не умаляя общности, мы можем считать, что в > 0. Докажем, что и в этом случае будет выполнено неравенство Ья < 0. Нам достаточно доказать следующее утверждение:

Рассмотрим 1 как произведение рядов (1) и (2) и приравняем коэфициенты при ж“

Домножим тождество (8) на число п/а8+1, а каждое из тождеств (9) на 1/ая+і_Єі. В результате коэффициент при 6о будет равен п в тождестве (8)и —1 в каждом из тождеств (9). Сложив получившиеся тождества, мы получим линейную комбинацию коэффициентов (і < в + 1, і = 0), равную нулю. Далее выразим коэффициент Ь8+1

через оставшиеся

Если мы докажем, что все числа с4 неположительны, то Ь8+1 < 0, и теорема будет доказана. Для доказательства неравенств с4 < 0 нам понадобится лемма.

Лемма. Пусть в, і и и — мультииндексы. Если выполнены условия теоремы 2, то тройка (в, і, и) 1-выпукла.

если < 0 для всех і < в + 1, і = в + 1, то 6я+1 < 0.

(и = 0):

0<4<и

Положим вначале и = в + 1

(8)

0<4<я + 1

а потом и = в + 1 — в*, і = 1, 2,..., п,

(9)

0<І<^ + 1 — Є}

/

4 = 8 + 1, 4<я + 1

Доказательство леммы. Из условий (Ь) и (с) теоремы следует, что тройки (в,е*,е^) 1-выпуклы для любых различных индексов г и _?’. Вместе с условием (а) мы получаем, что все тройки (в, е*, е^-) 1-выпуклы. Пусть £ = (£]_, ....,£„). Докажем сначала частный случай леммы при и = е*. Из 1-выпуклости троек (в + е* + £ — кех, ех, е*), 1 < к < £х, получаем цепочку неравенств

&s-\-t-\-ei ^ ^в —|— £ —|— ^ <3JsJГtJГei— 2в1 ^ ^ ^в —|— £ —|— е^. —Ь\С\

а5+і —2еі

а5+і—£іві

Отсюда тройка (в+£ — ^ех, е*, £ 1 ех) 1-выпукла. Продолжая цепочку неравенств, нетрудно показать, что любая тройка (в + £ — V, е*, V) (V < £) 1-выпукла. В частности, тройка (в,е*,£) 1-выпукла при любом г. Тем самым а8+(+е*/а8+ > а8+^/а8 при любых мульт-индексах в и £ и любом индексе г. Написав аналогичную цепочку неравенств

&з-\-Ь-\-и ^ ^ 2в1 ^ ^ &з-\-Ь-\-и — £1 е±

-^в+і

ав+£ —2еі

а5+і—ііеі

получаем, что тройка (в + £ — ^е^^е^и) 1-выпукла. Продолжая цепочку, имеем, что любая тройка (в + £ — V, -у,и) (V < £) 1-выпукла, в частности, тройка (в,£, и). О Осталось доказать, что е4 < 0. Пусть в < £ + 1. Тогда

Сі

^ ^3+ 1 —£ ав+1

аз-е* + 1-£

Е

ав —Єі + 1 -

1 г 1 г=1

ав + 1

ав —Єі + 1

Каждое из слагаемых в последней сумме отрицательно. Следовательно, с4 < 0. Если неверно, что в < і + 1, то хотя бы одна из координат мультиндекса в + 1 — і равна нулю. Пусть к — число таких координат. Не умаляя общности, можно считать, что это первые к координат мультииндекса в + 1 — і. То есть, і > := ^£=і в*. Следовательно,

Сі

^ бЦ+І — £ ав + 1

Яз-Єі + 1-«

а*-е-+1

г=&+1 в Єг+А г=&+1

Е

а5 + 1 — і ав —Єі + 1 —і

к

ав + 1

ав —Єі + 1

Докажем, что каждая скобка в последней сумме неположительна. Нам достаточно доказать, что а8+1_{/а8+1_{_е^ < п — к/па8+1/а8_е^+1, к < г < п. Используя свойства (Ь) и (с), получаем, что

^в+І—£ ав+1 —і—е

<

п — к

ав+1 —і+Еі

<

п к +1 ав + 1 — і — еі+Еі

^ к СЦ+1 — І+-Е2

п — к + 2 ая+1—і—е^+Е2

<

п к ав+1 —і+Ек

ав + 1 — і — Єі+Ек

Так как і > Е^, мы можем применить лемму и получить неравенство вя+1-і+Ек/вя+1-і—Єі+Ек < вя+1/вя+1—еі. Тем самым мы доказали, что все числа сі неположительны. Теорема полностью доказана. О

3. Общее условие Харди

Для того чтобы сформулировать результат в случае рядов одной переменной понадобится

Определение 2. Будем говорить, что последовательность (а&)|° удовлетворяет условию Харди-т по отношению к набору чисел 61, 62, ..., 6т—1, если

т— 1

т— 1

-1 6^+ т—і > Е 6іа&+ т-1-і.

і=0

і=0

(10)

п

Теорема 3. Пусть формальный степенной ряд одной переменной ^^=0 акхк с положительными коэфиициентами ак и коэффициенты обратного ряда 6к (2) удовлетворяет следующим условиям:

(a) 6о > 0, 6Ь 6т_1 < 0;

(b) последовательность (ак) удовлетворяет условию Харди-т по отношению к

числам 61, 6т_1.

Тогда все коэффициенты обратного ряда (2) неположительны за исключением 6о.

Заметим, что при т =1 условие Харди-т есть в точности условие Харди.

Доказательство. Будем проводить доказательство по индукции. Нам достаточно доказать, что 6к+т < 0 при к > 0, если мы знаем, что 6; < 0 при 0 < I < к + т. Рассмотрим 1 как произведение рядов (1) и (2) и приравняем коэфициенты при ж“ (и = 0):

0.

0< £<и

Полагая последовательно и = к, к +1,..., к + т, получим (т + 1) тождество

а46й+*_4 = 0, 0 < г < т.

0<£<к+г

Домножим (т + 1)-е тождество на 6о, т-е — на 61,..., второе — на — 6т_1, а первое — на X = — 1/ак ^о<£<т- 1 ак+т_£6£ и сложим полученные тождества:

к / т_1 \ т

ЕЧ ак_4Х + Е 6*ак+ т_£ У + ^ у 6'

г=0 ' £=0 ' г= 1

т т_1_г

г+к а£6т_1_г_£ = £1 + £2 = 0.

г=1 £=0

Заметим, что все коэффициенты в сумме £2, кроме последнего, равны нулю. То есть £2 = 6к+та060 = 6к+т. Пусть Сг = — ^ак_гХ + Х^1 6£ак+т_£^, 0 < г < к. Заметим, что С0 = 0 из-за выбора числа X. Таким образом

к

6к+т ^ ^ 6гСг. г=1

Если мы докажем, что числа с неотрицательны, то тем самым докажем, что 6к+т < 0. Далее,

т_ 1

Сг — ак_гХ 6£ак+т_£ — ак_

£=0

т_ 1

ак к £=0

1

т_1

ак

6£ак

г+т_1_£

£=0

Для доказательства положительности последнего выражения воспользуемся условием Харди-т:

т_ 1

ак к £=0

>

1

т_1

ак 1

т_1_£ >

...

1

т_ 1

£=0

ак

г+т_ 1_£.

£=0

То есть сг > 0. О

Замечание 1. Условия теоремы 2 не являются необходимыми ни при каком т.

Доказательство. Построим формальный степенной ряд, для которого все коэффициенты обратного ряда будут отрицательны, и для которого при всех натуральных m и при n = 2 не будет верно условие (10). Рассмотрим ряд 1/f (ж) = 1 - 2ж - ж2 - x73i-2.

Заметим, что у ряда f все коэффициенты будут положительны (формальный степенной ряд, обратный формальному степенному ряду с первым положительным коэффициентом и остальными отрицательными, будет иметь только положительные коэффициенты). Проверим условие (10) для произвольного натурального числа m и при n =2:

m—1 m—1

ах E am+2 —tbt > a2 E am+1 — tbt • t=0 t=0

Так как при всех натуральных 1

i

J^at—i bt = 0, (11)

t=0

получаем (полагая в (11) 1 = m + 1, m + 2)

a1(—bma2 — bm+1a1 — bm+2a0) > a2( —bma1 — bm+1a0),

откуда имеем для выбранного ряда bm+2 < bm+1(a0a2 — a1)/a0a1 = bm+1 /2. Заметим, что у построенного ряда при всех натуральных m > 2

W 2 = (12)

поэтому в силу отрицательности bm условие (12) быть выполнено не может. О

Замечание 2. Приведем примеры рядов, для которых не выполнено условие Харди, но выполнено условие Харди-2:

afc—1(afc+1b0 + afc+1b1) > a^(afc+1b0 + a^) (13)

Рассмотрим формальный степенной ряд g(x) = 1 — 2ж — ж2 и обратный ему ряд f (ж) = 1 + 2ж + 5ж2 + 12ж3 + ... = ^2fc=0 afcжк. Нетрудно проверить, что условие Харди не будет выполнено при к = 2, а условие (13) превращается в равенство.

Автор благодарен Н. А. Широкову за поддержку иЮ.С. Белову за помощь при подготовке статьи к печати.

Литература

1. Agler, Jim; McCarthy, John E. Pick interpolation and Hilbert function spaces. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 44. Providence: American Mathematical Society, 2002.

2. Hardy G. H. Divergent Series. Oxford: Clarendon Press, 1949.

3. Полиа З. Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978.

Статья поступила в редакцию 29 мая 2009 г.