Равномерная сходимость рядов по мультипликативным системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

необходимым и можно ли вместо включения в утверждении теоремы 2 поставить знак равенства. Однако вообще отказаться от этого условия нельзя. Действительно, пусть Лк^ = Л для всех к и ]. Тогда для порождающей аффинный фрейм функции ^ = Х[о,1] все частные суммы ряда

п= 1

представляют собой ступенчатые функции, принимающие значения целых кратных чисел Л, которые не могут приблизить функцию /(х) = Л/2.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект МД-1354.2013.1) и РФФИ (проект 10-01-00097).

Библиографический список

1. Casazza P. G., Dilworth S. J., Odell ESchlumprecht Th., Zsak A. Coefficient quantization for frames in Banach spaces // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 348. P. 66-86.

2. Терехин П. А. Фреймы в банаховом пространстве // Функц. анализ и его прил. 2010. Т. 44, вып. 3. С. 5062. [Terekhin P. A. Frames in Banach spaces // Funct. Anal. Appl. 2010. Vol. 44, № 3. P. 199-208.]

3. Терехин П. А. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам системы сжатий и сдвигов // Изв. вузов. Математи-

ка. 1999. № 8. С. 74-81. [Terekhin P. A. Inequalities for the components of summable functions and their representations by elements of a system of contractions and shifts // Russian Math. (Izv. VUZ. Matematika). 1999. Vol. 43, № 8. P. 70-77.]

4. Терехин П. А. Аффинные системы функций и фреймы в банаховом пространстве : дис. .. . д-ра физ.-мат. наук. Саратов, 2010. 230 с. [Terekhin P. A. Affine systems of functions and frames in Banach space : Dissertation. Saratov, 2010. 230 p.]

УДК 517.518

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

Р. Н. Фадеев

Саратовский государственный университет E-mail: belal_templier@mail.ru

Доказаны две теоремы о равномерной сходимости и ограниченности частных сумм рядов по мультипликативным системам с обобщенно-монотонными коэффициентами.

Ключевые слова: мультипликативная система, равномерная сходимость.

to Multiplicative Systems R. N. Fadeev

Two theorems on uniform convergence and boundedness of partial sums for the series with generalized monotone coefficients with respect to multiplicative systems are proved.

Key words: multiplicative system, uniform convergence.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть {рп— последовательность натуральных чисел таких, что 2 < рп < N. Положим по определению т0 = 1, тп = рптп-1, п е N тогда каждое х е [0,1) имеет разложение вида

те

х = У^ —п, Хп е Z+, 0 < Хп <Рп. (1)

тп п=1

Разложение (1) будет единственным, если для х = к/тп брать разложение с конечным числом хп = 0. Каждое к е Z+ единственным образом представимо в виде

те

к = ^ кгтг-1, кг е Z+, 0 < кг <Р1. (2)

г=1

те

Для х е [0,1) вида (1) и к е вида (2) по определению Хк (х) = ехр 2пг^ х^ ^/т^ . Извест-

те ^ ^=1 '

но, что система {хк}те=0 ортонормированна и полна в Ь1 [0,1). Кроме того, при к < тп функция

© Фадеев Р. Н., 2013

Хк(х) постоянна на всех промежутках [(г — 1) /тп,г/тп), 1 < г < тп. Все эти факты можно найти

п — 1

в [1, гл. 1, § 1.5]. Далее большую роль будет играть ядро Дирихле Бп(х) = ^ хк(х). Мы будем

к=0

изучать равномерную сходимость и обобщенную абсолютную сходимость рядов:

(x). (3)

vnA.n n=l

Следуя С. Ю. Тихонову [2], введем некотороые классы последовательностей [an\c^=1. Последовательность {qkс N называется лакунарной, если qk+1 /qk > X > 1 для всех к е N. Пусть последовательность 1 = n1 < n2 < n3 < ... представима в виде конечного числа лакунарных последовательностей, {вк}jfc=i — последовательность положительных чисел. Последовательность {ak}^=1 принадлежит классу GM ({вк}^=1, {nk}^=1 ) если для любого j е N и m е [nj ,nj+1) верно неравенство

\am 1 +

\ak- ak+1\ < срт. (4)

k=m

Объединение классов GM ({fîk}^=1, {nk}^=1) по всевозможным {nk}^=1 обозначим через GM ({fîk}Ск=1 ). В качестве примера отметим, что последовательности класса RBVS (см. [3]) при-

m

надлежат классу GM ({ak}^=1). Если неравенство (4) заменить на \am\ + Y \ak — ak-1 \ < Cfîm,

k=nj +1

j е N, m е (nj ,nj+1 ], то аналогично определяются классы GM * ({fîk }£=1, {nk ) и GM * ({fîk }£=1 ).

Целью нашей работы является получение достаточных условий равномерной сходимости и равномерной ограниченности частных сумм рядов (3) с коэффициентами классов GM ({fîk}Ск=1 ) и GM * ({fîk }^=1). Для класса GM ({fîk }^=1) аналогичные результаты в тригонометрическом случае получены в [2].

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лемма 1 (см. [4, гл. 4, §3]). Пусть n е N, тогда при x е [0,1) верно неравенство \Dn(x)\ < min(n,N/x).

œ

Лемма 2. Пусть Y \ai — ai+1 \ < œ и lim an = 0, тогда ряд (3) сходится на (0,1). i=1 n^œ Доказательство.В случае an j 0 утверждение леммы установлено в [4, гл. 4, теорема 4.14]. В

общем случае an = bn — cn, где bn j 0 и cn j 0 (см. [5, гл. X, § 1]).

Лемма 3. Пусть n е N, тогда \Dn(x) — n\< 8N(n — 1)2x.

Доказательство. Пусть mj-1 < n < mj, j е N, тогда функция Dn(x) постоянна на [0,1/mj) и равна n, т.е. \Dn(x) — n\ = 0 на [0,1/mj). Для x е [1/mj, 1) получаем \Dn(x) — n\< 2n < 2nmjx < 8N(n — 1)2x.

Лемма 4 ([5, вводный материал, § 4]). Пусть {nk}^=1 является объединением конечного числа лакунарных последовательностей, тогда для любого m е N справедливы неравенства

m œ

Y ni < Cnm, Y 1/ni < C/nm.

i=1 i=m

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть {an}'^=1 е GM ({fîk}^=1). Если lim kfîk = 0 и ряд (3) сходится в точке x = 0,

k^œ

то он сходится равномерно на [0, 1).

Доказательство. Пусть bk = sup jfîj, тогда kfîk < bk для всех к е N, bk убывает и lim bk = 0.

j>k k^œ

œ

Аналогично по Ak = Y aj построим dk = sup \Ak\ такую, что dk j 0 и \Ak\ < dk. Из неравенства (4)

j=k j> k

и леммы 4 получаем:

œ œ nj + i—1 œ в .n ' œ

^2\ak — ak+1\ = ^ \ak — ak+1 \< C ^ n\ j < Cb1/nj < œ.

k=1 j=1 k=nj j=1 j j=1

œ

п — 1

Применяя лемму 2, находим что ряд (3) сходится на [0,1). Определим Бп(х) = Е акхк(х) и

к=0

те

/(х) = Е акХк(х). к=0

Применяя преобразование Абеля, получим:

те те

f (x) - Sn(x) = akXk(x) = (ak - ak+1) Dk+1(x) - a„D„(x) := /1(x) + /2(x),

k=n k=n

где

|/2 I

— |an Dn (x )| < n |an | < С2пвп < C2bn• (5)

Из (5) следует равномерная сходимость /2 к 0. Будем оценивать /1 на [1/ (1 + 1), 1/1), I е N. Пусть q е N таково, что nq-1 < n < nq (считаем n0 =0). Пусть сначала I < n , тогда в силу лемм 1 и 4 имеем:

(те nfc+1-1 nq—1

|ak - ak+11 + |ak - afc+1| | <

k=q j=nk j=n

< Csx-M £ ^ + < C3 (n + 1)( bnq £- + b-\ < C4bn. (6)

\k=q nk n j \ q k=q nk n I

l — 1 те

Пусть I > n. Запишем /1 как Е + Е =: /з + /4. Аналогично неравенству (6) получаем, что

k=n k=l

|/41 < C4bl < C4bn. Имеем:

l—1 l—1 /3 = + 1) (ak - ak+1) + (ak - ak+1) (Dk+1 (x) - (k + 1)) =: /5 + /б•

k=n k=n

Тогда

I/51 =

Y. ak + (n + 1)an - lai

< |An - Ai| + СзП^п + C3iPi < 2dn + 2C3bn• (7)

l—1

.„ : (n + 1 )a„ -

k=n

Докажем вспомогательное неравенство. Пусть nk < r < s < nk+1 - 1, тогда

s s / j \ s s

a2\„ I/ oV^|a. - aj+J V m + r2 I =

2к-«ш1 < |аз-аз+11 т+г) =2 т|аз-а+11 +

3=г 3=г \т=т / т=г ]=т

+2г2 £ - а+11 < сЛ £ твт + г2вг ) < СзЬ5(в + 1). (8)

3=г \т=т /

Пусть пг—1 <1 < пг, £ е N. Так как 1 > п, то £ > д. Если £ = д, то в силу леммы 3 и (8) получаем

I

|/б | < 8Nx J]k2 |ak - ak+11 < C5xbi (I + 1) < 2C5bn •

2

k=n

п9 — 1 1 г—2 п3-+1—1

При д < £ разобьем /6 на три слагаемых: /7 = Е , = Е и 19 = Е Е (см. (7)).

к=п к=п<:-1 3=4 к=п^

Аналогично неравенству (8) находим, что

N + |/б| < Сбх(ЬпПд + Ьпь_ 1 (1 + 1)) < Сб1—1 Ьп(21 + 2) < 4СбЬп.

Используя (8) и леммы 3, 4, получаем:

г—2 г—1

19 < Сз х ^Ь

п3- (п3 + п3 + 1) < 2С3хЬпд ^ ] п3 < С7хЬп9пг —1 < С7Ьп-

'з ^^^^ ' JT1/ ----j---"-q

j=q j=1

38

Научный отдел

Объединяя полученные оценки, получаем |/(х) — Бп(х)| < С8(Ьп + йп), откуда следует утверждение

теоремы 1. Теорема доказана.

Теорема 2. Если {ап}Ж=1 е СМ ({[Зк}Ж=1), последовательности {к@к}^=1 и {ак}^=1, где к

ак = ^ ап, к е М, ограничены, то последовательность частичных сумм ряда (3) равномерно

п=1

ограничена.

Доказательство. Из (5) сразу получаем 1апБп(х)1 < С1Ьп < С2, поэтому для доказатель-

п

ства утверждения теоремы необходимо показать ограниченность ^ (ак — ак+1) Бк+1(х). Пусть

х е [1/ (1 + 1), 1/1), п4—1 < п < щ, щ—1 < I < щ. Имеем:

к=1

У^ (ак — ак+1) ^к+1(х)

к=1

<

У^(к + 1) (ак — ак+1)

к=1

+ Сэх^к2 1ак — ак+11 =: + ^2.

к = 1

В силу (7) и ограниченности {Ьп}^=1 и {ап}^=1 получаем ограниченность 31ш Пусть 1 > п, тогда силу (8) и леммы 4 имеем:

(д —2 пк + 1 — 1 п

^ ^ 32 1а3 — а3 + 11 + 5] к2 1а1 — а + 1 1 | <

к = 1 ]=пк к=пч-1

/4—2 \

<

С4х 5^Пк+1Ьпк + (п + 1)Ьп,_Л < С5хЬ1 (п— + п + 1) < С52пГ1Ь1 < 2С5Ь1.

(9)

чк = 1

Пусть I < п, тогда запишем:

У^ (ак — ак+1) Ок+1 (х)

к = 1

<

^2(ак — ак+1) Ок+1 (х)

к = 1

+

У^ (ак — ак+1) Ок+1 (х) к=г+1

:= + ¿4.

Аналогично (9) получаем ограниченность 7э. По леммам 1, 4 получаем:

4 пк + 1 — 1 п± — 1

74 < Nx—1 а — ак+11 < Мх—1 | ^ ^ 1ак — ак+11 + ^ 1ак — ак+1| | <

к=1 + 1

к=г j=nfc

3=1 + 1

< С6х—М ^ ^ + в+1(1 + < С7(х1)—1 < 2С7.

\к=г

пк

1 + 1

Объединяя найденные оценки, получаем утверждение теоремы 2. Теорема доказана. Аналогично теоремам 1 и 2 доказываются

Теорема 1'. Пусть {ап}^с=1 е СМ * ({вк }Ж=1). Если Нш к@к = 0 и ряд (3) сходится в точке

к^ж

х = 0, то он сходится равномерно на [0,1).

Теорема 2'. Если {ап }Ж=1 е СМ * ({вк }'Ж=1), последовательности {к@к }Ж=1 и {ак }Ж=1, где к

ак = ^ ап, к е М, ограничены, то последовательность частичных сумм ряда (3) равномерно

п=1

ограничена.

Теорема 3. Пусть {ап}Ж=1 е СМ ({вк, {пк}^=1), последовательности {к@к}^=1 и {ак}^=1

ж

ограничены, ряд ^ 1п п3- /п^ сходится, тогда ряд

3=1

Е

3=1

пз + 1 —1

акХк(х)

к=п,-

(10)

сходится на (0,1) и его сумма принадлежит Ь1 [0,1).

Доказательство. В силу преобразования Абеля, леммы 1 и (4) имеем:

пз + 1-1

акХк(х)

к=п,-

пз + 1 —1

Е

к=п,-

(ак — ак+1) ^к+1 (х) + ап+1 ^.+1 (х) — апВщ+1(х)

<

п

п

п

в

п

п

ж

< Nx

-1

"n3 + 1

пз+1-1 » с с

+ \ащ+i| + У] o - flfc+iM < — (вп3 + вп3-+0 < —2

i 3 i I x \ 3 xn^

(11)

k=n3

Поскольку по лемме 4 ряд Е 1/п3- сходится, то из (11) следует сходимость ряда (10) при х е (0,1).

3=1

Далее,

пз + 1 —1

£ OkXk(x)

k=n3

dx =

>1/r

Согласно (11) находим, что

Пз il —1

£ OkXk(x)

k=n3

dx +

1/n3

Пз II —1

£ OkXk(x)

k=n3

dx =: Iij + I2j.

\I2j \ < C2 n- 1 / x 1 dx < C2 ln nj/nj.

h/nj

(12)

С другой стороны, по теореме 2 из ограниченности {квк}те=1 и {ак}те=1 вытекает, что частные суммы Еп=1 «кХк (х) равномерно ограничены константой С3, поэтому

\ I1 j \ <

>1/n3

C3 dx < C3 n—1.

(13)

Из оценок (12) и (13) следует

, 1 <х>

£

j=1

пз + 1 — 1

Y^ OkXk (x)

k=n3

dx < ^^ (I1j + I2j) < C4£(lnnj + 1)/nj < то. j=1 j=1

Теорема 3 доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).

Библиографический список

1. Голубов Б. И. Ефимов А. В. Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М. : Наука, 1987. 344 с. [Golubov B., Efimov A., Skvortsov V. Walsh series and transforms. Dordrecht; Boston; London : Kluver Academic Publishers, 1991.]

2. Тихонов С. Ю. О равномерной сходимости тригонометрического ряда // Мат. заметки. 2007. Т. 81, № 2. С. 304-310. [Tikhonov S. Yu. On the uniform convergence of trigonometric series // Math. Notes. 2007. Vol. 81, № 2. P. 268-274.]

3. Leindler L. On the uniform convergence and bounded-УДК 517.984

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР С НЕГЛАДКОЙ ИНВОЛЮЦИЕЙ

В. А. Халова, А. П. Хромов

Саратовский государственный университет E-mail: HalovaVA@info.sgu.ru, KhromovAP@info.sgu.ru

Для интегрального оператора с негладкой инволюцией установлена равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям и в обычный тригонометрический ряд Фурье.

Ключевые слова: интегральный оператор, инволюция, резольвента.

ness of a certain class of sine series // Analysis Math. 2001. Vol. 1, № 4. P. 279-285.

4. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку : Элм, 1981. 180 с. [Agaev G. N, Vilenkin N. Ya., Dzafarli G. M., Rubinstein A. I. Multiplicative Systems of Functions and Harmonic Analysis on Zero-Dimensional Groups. Baku : Elm Publisher, 1981. 180 p.]

5. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физ-матгиз, 1961. 936 с. [Bari N. K. Trigonometric Series. Moscow : Fizmatgiz, 1961. 936 p.]

Integral Operators with Non-smooth Involution V. A. Khalova, A. P. Khromov

The equiconvergence of expansions in eigen- and associated functions of integral operators with non-smooth involution and trigonometric Fourier series are established.

Keywords: integrals operator, involution, resolvent.

1

1

0

0

1

0

те

со

0

© Халова В. А., Хромов А. П., 2013