CC BY
45
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2008, том 51, №7________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 512.548
А.Х.Табаров О ЛИНЕЙНЫХ ГРУППОИДАХ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 28.05.2008 г.)
В данной статье по аналогии с линейными квазигруппами (см.[1,2]) определен новый класс группоидов, а именно, линейные группоиды. Статья состоит из двух частей. В первой части доказан критерий изоморфизма (гомоморфизма) двух линейных группоидов (теоремы 1.1, 1.2). Во второй части доказаны общие утверждения для произвольных изотопных группоидов: если два группоида изотопны, то их полугруппы эндотопий (группы автотопий) сопряжены (теоремы 2.1 и 2.2). Также доказано, что полугруппа левых (правых, средних) регулярных преобразований группоида с единицей изоморфна левому (правому, среднему) ядру (теорема 2.3).
Определение 1.1. Группоид (0,), где 0 - некоторое множество, () - бинарная операция, определенная на 0, называется линейным над группой (0,+), если существуют два эндоморфизма р, щ группы (0,+) и элемент с е 0 , такие что
ху = р X + с + щ. (1)
В случае, когда р и щ - антиэндоморфизмы группы (0,+), группоид вида (1) называется алинейным группоидом, группоид (1) называется линейным слева (справа), если в (1) щ (соответственно р ) есть отображение множества 0. Группоид (0, ) называется группоидом смешанного типа линейности 1-го (соответственно 11-го) рода, если в (1) р е Биё(0,+), а щ -антиэндоморфизмы группы (0,+), (соответственно щ е Биё(0,+), р - антиэндоморфизмы группы (0,+) ). В случае, когда (0,+) - абелева группа, группоид вида (1) называется Т-группоидом. В данной статье изучаются в основном линейные группоиды.
1. Морфизмы линейных группоидов
Следующая теорема определяет критерий изоморфизма двух группоидов, линейных над одной группой.
Теорема 1.1. Пусть д,) и д, °) - линейные группоиды над группой д,+): ху = р1х+с 1 + щ1у, х°у =р2х+С2+щу , где рх, р2, щх , щ2 еЕМ(д,+), се д, аеЛшд,+). Тогда а является изоморфизмом группоидов д,) и д, °) , то есть а: д,) = д, °) , тогда и только тогда, когда
арг = р а, ащх = щ2а, а(^) =с2.
Доказательство. Пусть заданы линейные группоиды (Q,): xy = р x+cx + pxу и (Q, ° ): x °У = р x+c2+p2у , а автоморфизм группы (Q,+). В этих условиях, если а : (Q, ) = (Q, ° ), тогда а ы = а(х) ° а(у). Это означает, что
ар х + c + W\ У) = <Рг°х + С + W-Oy.
Поскольку а е Aut(Q,+), то
ар x + аох + арх у = (р2ах + е2 + р2ау.
Из последнего равенства при x=0 и далее при y=0 соответственно получаем:
ар x = р ах, ар У = р2 а у, откуда ар = рр а, ар = р2а, а при x=0 и y=0 имеем:
а(с j) =с 2.
Наоборот, при условиях теоремы
а(ху) = ар х + c + р У) = арх + аох + арх у = (р2ах + е2 + р2ау = а(х)° а(у).
Теорема 1.1 легко обобщается следующим образом:
Теорема 1.2. Пусть (Q,) и (Q, °) - линейные группоиды над группой (Q,+): xy = рx + cj + рху, x°у =р2x + С2 + w2у , где р, р, р , р еEnd( Q,+), се Q, и у eEnd (Q ,+). Тогда эндоморфизм у является гомоморфизмом группоида (Q,) в группоид (Q, °) , тогда и только тогда, когда
ур 1 = р 2У , YW1 = W7 , у (сО = с2.
Используя теоремы 1.1 и 1.2, нетрудно доказать, что имеет место Теорема 1.3. Пусть (Q,) - линейный группоид: xy = рх+ c + р у, р, ре End (Q,+), се Q, и у eEnd (Q ,+). Тогда у является эндоморфизмом (Q, ), то есть у е End (Q, ) , тогда и только тогда, когда ур = ру, ур =ру, у с=с.
Доказательство следует из теоремы 1.1.
В [3] введено понятие изотопии для группоидов, именно два группоида (Q,) и (Q, ° ) называются изотопными, если существует тройка подстановок Т=(а, Р,у) множества Q такое, что у(х ° у) = ах ■ Ру для любых x,y е Q. Тройка Т=( а,Р,у ) отображений группоида (Q, ) в себя называется эндотопией группоида (Q,), если выполняется равенство у(х ■ у) = ах ■ Ру для любых х,уе Q. Если в последнем равенстве а = Р = у, то тройка Т=(у,у,у ) называется эндоморфизмом группоида (Q,). Очевидно, что множество всех эндотопий группоида (Q,) образует полугруппу с единицей, которую обозначим через Ent(Q, ■).
Как и для случая квазигрупп (см. [4] Лемма 1), имеет место
Теорема 1.4. Если группоиды д,) и д, °) изотопны и у3(х о у )=у х -у у, (о) = (•), Т=(уу,у2, у3 ), то их полугруппы эндотопий сопряжены: Емд, •) = Т 1Емд, о)Т. Доказательство следует из доказательства леммы 1 [2].
Упорядоченную тройку подстановок Т=(а, Д,у) группоида (0,) на себя назовем ав-тотопией группоида (0, ). Очевидно, что множество всех автотопий группоида образует группу относительно умножения подстановок. Обозначим эту группу через Лу1(0,). Следующая лемма является аналогом леммы 2.1 [4] для случая группоидов, а именно:
Теорема 1.5. Если группоиды д,) и д, о) изотопны, то их группы автотопий сопряжены, то есть
ЛуЩ) = Т 1 Лу1(0, о ) Т. (2)
Доказательство. Пусть группоиды (0, ) и (0, о ) изотопны, то есть у(х о у') = ах • Ду и Бе Лvt(Q, о), ( о )Б = ( о ). Тогда (()Т)8 = ()Т , ()Т8 = ()Т или ()Т8Т 1 = ( ) , поэтому Т ЛуЩ о ) Т 1 ^ Лу1(0, ), откуда Лу1;(0, о) ^ Т 1 Лу1(0,)Т. С другой стороны, (о )Т 1 = (). Пусть Р е Лу1(0, ), то есть ( )Р = ( ). Тогда ( о )Т 1Р = ( о )Т 1, откуда Т 1 Лу1(0,)Т ^ Лу1;(0, о ). Учитывая обратное включение, получим равенство ( 2 ).
2. Ядра и регулярные преобразования в группоидах
В [3,4] введено понятие левого (правого и среднего) ядра для произвольного группоида и квазигруппы.
Определение 2.1. Если элемент а удовлетворяет равенству
а(хУ) = (ах)У ((ху)а = х(уа)) (3)
для любых х,уед , то он называется ассоциативным слева (справа). Совокупность всех ассоциативных слева (справа) элементов группоида д, ) называется левым (правым) ядром группоида д, ) и обозначается через N1 (Ыг)
Определение 2.2. Множество всех среднеассоциативных элементов группоида д,), то есть такие, что
(хс)у=х(су) (4)
для любых х,у ед называется средним ядром группоида д, ) и обозначается через Ыт.
Из равенств (3) и (4) следует, что Ьа(ху) = (Ьах)у, Яа(ху) = х(Кау) и (Ясх)у = х(Ьсу). Последние равенства означают, что тройки (Ьа , а, Ьа ), (а ,Яа, Яа ) являются эндотопиями группоида (0,).
Теорема [см.4]. Пусть (Q, ) - группоид. Если Ni (Nr, Nm ) не пустое множество, то Ni (Nr, Nm ) является подгруппоидом группоида (Q, ), (более того, ядра (левое, правое и среднее) группоида (Q,) являются полугруппами).
По аналогии с полугруппами и квазигруппами можно определить понятия регулярных преобразований (подстановок) для группоидов.
Определение 2.3. Преобразование X (р, и ) множества Q называется левым ( правым, средним) регулярным преобразованием группоида (Q, ), если
X (ху) = X х у ( р (ху) = х . ру , их у = х . и у ).
Обозначим через L(R,M) полугруппу левых (правых, средних) регулярных преобразований группоида (Q,).
Теорема 2.1. Полугруппа Елевых регулярных преобразований группоида (Q,) с единицей изоморфна левому ядру Ni: L = Nl .
Доказательство. Воспользуемся доказательством теоремы 2.1 из [4]. Рассмотрим соответствие X — X е. Это отображение L на Nl: если ае Ni , то X = La и X — X е = Ьае =а. Кроме того, соответствие X —^ X e взаимно однозначное, так как из X е = ц е следует, что X = и . Действительно, если х - любой элемент из Q, то X х = X (ех) = X e х = ие х = и (ех )= их, то есть X = и. Далее, пусть X , и е L, тогда X и — ( X и )е = X ( и е) = X (е . и е), откуда X и — X e . и е, то есть L = Ni .
Замечание. Аналогичное утверждение можно доказать для случаев правых и средних регулярных преобразований, то есть R = Nr , = Nm .
Таджикский государственный Поступило 28.05.2008 г.
национальный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. - Дискретная математика, РАН, М., 1992, т.4, вып.2, с.142-147.
2. Табаров А.Х. - Дискретная математика, РАН, М., 2007, т.19, вып.2, с.67-73.
3. Pflugfelder H.O. Quasigroups and Loops: Introduction, Sigma Series in Pure Math. 8, Helderman Verlag, Berlin, 1990, 145 р.
4. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1967, 224 с.
А.ХДабаров ДАР БОРАИ ГРУППОИД^ОИ ХАТТЙ
Дар мак;ола синфи нави группоидхо - группоидхои хаттй муайян карда шудаанд. Шартхои зарурй ва кифоягии изоморфизми (гомоморфизми) ду группоидхои хаттй ёф-та шудаанд. Хдмчунин исбот карда шудааст, ки нимгурухи табдилдихихои регулярии группоиди вохиддор ба ядрои (хастаи) он изоморфй мебошад.
A.Kh.Tabarov ABOUT LINEAR GROUPOIDS
Present article is devoted to the new class of groupoids, namely, linear groupoids, the criterion isomorphism (homomorphism) of two linear groupoids is found. Besides it is proved, that, the semigroup of regular mappings groupoids with a unity element is isomorphic to the nuclear of groupoids.
