CC BY
67
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2009, том 52, №1_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 512.548
А.Х.Табаров
АВТОТОПИИ И АНТИАВТОТОПИИ ЛИНЕЙНЫХ КВАЗИГРУПП
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан ЗХ.Рахмоновым 22.09.2008 г.)
Данная работа является продолжением исследований относительно некоторых морфизмов (автотопий и антиавтотопий) линейных, алинейных и близких к ним квазигрупп (см.[1]), которые обобщают известные в алгебре такие понятия, как автоморфизм и антиавтоморфизм алгебраических систем. Доказана общая теорема о связи групп антиавтотопий произвольных изотопных квазигрупп, которая является аналогом теоремы В.Д.Белоусова об изоморфизме групп автотопий изотопных квазигрупп [2] (теорема 1); найдено строение ан-тиавтотопий произвольной группы; на основе теоремы 1 описаны автотопии и антиавтото-пии произвольной линейной, алинейной квазигруппы, Т-квазигруппы и квазигруппы смешанного типа линейности, также приводятся критерии гомоморфизмов двух произвольных квазигрупп.
Вначале приведем некоторые необходимые понятия и известные результаты, нужные нам в дальнейшем.
Квазигруппа (0, •) называется линейной над группой (0,+), если она имеет вид
ху = (рх + с + щ>, (1)
где ф,у/ <е Аи((0,+), с - фиксированный элемент из 0. Если в (1) - антиавтоморфизмы
группы ((2,+), т0 ((2,0 называется алинейной квазигруппой. Квазигруппа ((2,0 называется квазигруппой смешанного типа линейности I рода или II рода, если она имеет вид ху - фх + с + цТу, соответственно ху = 1рх + с + у/у, где ф,у/ е Ам((2,+), <р, ц/ - антиавто-
морфизмы группы ((9,+).
Автотопия (антиавтотопия) квазигруппы ((2,0 - эт0 упорядоченная тройка подстановок Т = (р, /?,утакая что у 4$.-у^= ах-/Зу $ ^• уау ■ рх.
Легко заметить, что по аналогии с автотопиями, все антиавтотопии квазигруппы ((2,0 образуют группу относительно покомпонентного умножения антиавтотопий. Обозначим эту группу через Ау1((3,-)
Подстановка а множества (2 называется квазиавтоморфизмом (обратным квазиавтоморфизмом, мы его будем называть антиквазиавтоморфизмом или кратко аквазиавтомор-физом) группы если для всех х, у е О
+ оос-аО + ау ^^: + у3= осу-аО + сос
где 0 - нулевой элемент группы [3] (мы используем аддитивную запись группы).
Любая подстановка автотопии (антиавтотопии) группы является ее квазиавтоморфизмом (аквазиавтоморфизмом) [2].
Множество всех квазиавтоморфизмов группы образуют группу. Любой квазиавтоморфизм (аквазиавтоморфизм) а группы имеет вид ах = ^к + к (р х = I + у/ х , где <р,у/ являются автоморфизмами (антиавтоморфизмами) группы ^),+ , к, I - некоторые фиксированные элементы из 2 [3].
Лемма 1. Тройка подстановок Т = /3, у является автотопией (антиавтотопией)
квазигруппы (О,-) тогда и только тогда, когда
= 4^ или ^ = Я^а
(Гк = ИЛИ )•
Доказательство. Пусть тройка подстановок Т = /3,у является автотопией квази-
группы ((9,-) : у{ху) - ах ■ (Зу. На языке трансляций имеем: //., (>') = 1иа(3{у) для произвольных х,у е (9 или • Аналогично, из у(ху) - ах- (Зу следует, что уЯх -Я^а .
Обратное очевидно. Условия антиавтотопий проверяются аналогичными рассуждениями.
Следствие 1. Равентство а — /3 — у определяет два равносильных условия автоморфизма (антиавтоморфизма) квазигруппы ((9,-) :
аЬх=Ьаха, аЯх=Яаха
(«4=Я«« о^х=^а).
Обозначим через Лу1(<2,-)и А \’1(0, ) группы антиавтотопий квазигрупп (О,-) и (0,°) соответственно. Следующая теорема устанавливает связь групп Лу1(<2,-)и Лу1(<2,°) .
Теорема 1. Если квазигруппы ((9,-) и (0,°) изотопны, у(х у) = ах ■ (Зу, то
АуШ-) = Т-1Ау1(д,о)Т1, (2)
где Т = /3, у _, Тх = КР,а, у
Доказательство. Пусть квазигруппы ((1,•) и (0,°) изотопны: у(х о у)-ах- /Зу с изотопом Т = (3,у и тройка Б = ^, а2, аъ ^ является антиавтотопией
квазигруппы (0,°), то есть а3 (х ° у) = аху ° а2х. Тогда имеем:
х°у = у~1 (ах ■ Ду) и х°у = а3~1(а1у°а2х) или у1(ах-Ду)=а3^1(а1у°а2х),
а3ух(ах-Ру) = (а1у°а2х), аъу х{ах-/3у) = у~1(аа1у- /За2х), уа3у~1(х-у) = аахр1у ■ Ра2а1х, то есть (аахР~1, @а2а~1, уа3у~') е А \’1(0, ■) или (а, /?, у)(а,, а2,а3 )(/Г', сГ1,) е А \’1(0,-) Обозначим Тх = К/3,а, уТогда ГОД-1 е у4ш((9,-) , так как Б = ^х,а2,а3 произвольная ан-тиавтотопия, то последнее включение означает ТА у 1((2,°)Т^1 <^Ау , то есть
Докажем обратное включение. Пусть ^ ^ $1, Р2, А У А М(0,-), то есть Р3(х ■ у) = Рху ■ Р2Х И Т=^С,Р,у является изотопом квазигрупп (б,-) и ((2,°)'-у(х° у)-ах-Ру. Тогда х-у - Р3х(Рху-Р2х) и х-у = у(а~хх° р~1у). Откуда
Ръ\РхУ-р2*) = И« ^°Р1У) рз1у(а1р1у°р хр2х) = у(а~хх°р1у),
а хРхРу Р ]р2ах-у ' Р3у(ху), то есть (а '/?,/?, Р ^ Р2а, у 1 Дг) е ^\7(6), ) или (а~\Р~1,у~1)(Рх, Р2, Р3)(Р,а,у)^Ау1(^2,о), то есть Г-1^^ еАп(<2,°). Так как ^ - произвольная антиавтотопия, то Т^А у /(О,-)/ , <^Ау 1(0, ).
Учитывая обратное включение, получим равенство (2).
Обозначим через Аг^((2,-)и ^4^((9,о) группы автотопий квазигрупп ((9,-) и (0,°) соответственно. Следствием теоремы 1 является теорема об изоморфизме групп автотопий изотопных квазигрупп (см.[2], лемма 2.1.), а именно
Следствие 2[2]. Если квазигруппы ((2,-) и (О, ) изотопны, то их группы автотопии изоморфны, точнее
Ау1(<2,-) = т-1Ау«<2,о)т.
В следующей теореме дается строение антиавтотопий произвольной группы.
Теорема 2. Любая антиавтотопия группы ((9,+) имеет вид:
т = (1аЛЛЮё, (3)
где 0 - антиавтоморфизм группы, а,Ъ - фиксированные элементы из О.
Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 2.6 из [2], учитывая, что в - антиавтоморфизм группы ((9,+) и тот очевидный факт, что любая антиавтотопия лупы (0,+) имеет вид Т - (Щ1 ,Цг Х)У, гДе 1 - единица лупы ((9,+), к,1 - некоторые элементы множества 2 .
Следствие 3[2]. Любая автотопия группы (0,+) имеет вид:
^=(4ллт
(4)
где в - автоморфизм группы, а,Ъ - фиксированные элементы из О.
Теорема 1 позволяет описать строение антиавтотопий произвольной линейной, али-нейной квазигруппы, а также строение антиавтотопий квазигрупп смешанного типа линейности.
Теорема 3. Любая антиавтотопия линейной квазигруппы (О,-) ху = фх +с+ щу имеет
вид:
где ф,ф є Аы1(0,+), в антиавтоморфизм группы, а,Ь,с - фиксированные элементы из
Доказательство. Пусть ((2,0 - линейная квазигруппа: ху = (рх + с + у/у. Тогда
ху = фх + с + щу = Ясфх + щу или (•) = (°ХК<Р, ¥■>е) ■ Если Р = (а, /3, у) - произвольная антиав-
Аналогично можно показать, что любая антиавтотопия алинейной квазигруппы ((2,0 : ху = <рх + с + ц/у имеет вид:
где ф, I//, в - антиавтоморфизм группы (0,+), а,Ъ,с,ё - фиксированные элементы из ().
Теорема 4. Любая эндотопия квазигруппы смешанного типа линейности I рода ху - фх, + с + фу (соответственно IIрода ху -7рх + с + ц/у) имеет вид:
где <7у// е Аы/(0,+ ), ф, ц/ антиавтоморфизмы группы ((2,+). а,Ь,с фиксированные элементы из (), О е Епс1((),+), Яа,Ьь - трансляции группы ((2,+) •' К,х = х + а,Ььх = Ь + х.
Теорема 5. Любая автотопия квазигруппы смешанного типа линейности I рода ху = фх + с + ц/у (соответственно IIрода ху — фх + с + ц/у) имеет вид:
(5)
<2-
р = Т-^Т, = (Ха,Яь,ї,аЯь)в (ф,Ясф,е) = (ф-%с1аеф,ф-%вЯсф,1аКьв) ■
Р = (Я_сф-%9ф,ф~1ЯьвЯсфХаЯьв),
(6)
Р = вр'К-с ,Щь¥~\ кКьв),
(Р = {я£11афвф-1я_с, ¥яъв¥-\ іаяьв)),
(Y = (RcL(pa(p0(p-lR_c, y/Rb9y/~\ LaRbd)),
где ф,ц/ е Aut(Q,+), ф, у/ антиавтоморфизмы группы (Q,+), а,Ъ,с фиксированные элементы из Q, 0GAut(Q,+).
Теорема 6. Любой автоморфизм у линейной квазигруппы (0,-) ху = фх + с + цу (али-нейной квазигруппы (Q,•) : ху = фх + с + у/у) можно представить в виде:
У = КЦрафОф1^ = R^y/Oy/-1 = LaRbe
(У = = LaRbe).
Теорема 7. Любая автотопия Т-квазигруппы Q-^xy = фх + с + у/ у имеет вид:
Р = (Rdq>9q>lR_c, Я^уЮу/^, Д<9),
где ф,у/ € Aut(Q,+), b,c,d,t - фиксированные элементы из Q, 0 е Аи/(0,+).
Теорема 8. Любой автоморфизм у Т-квазигруппы Q'^-xy = ф х + с + у/ у можно представить в виде:
У = Яа<рв<р~%с = \bV9V~1 = RtO •
Замечание. Более подробное описание группы автоморфизмов линейных квазигрупп (над коммутативными лупами Муфанг) и Т-квазигрупп (соответственно n-арных линейных квазигрупп и n-арных Т-квазигрупп) дано В.А.Щербаковым и А.Марини [3].
Следуя [4] множества QL = {Lx \ х е Q} и QR = {Rx \ х е Q) назовем, соответственно, левым и правым заданием квазигруппы (Q,•). Следующая теорема является естественным обобщением теоремы 1 из работы [4]:
Теорема 9. Преобразование ф является гомоморфизмом квазигруппы (Q,•) в (Q,°) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) VQl =Q°l<P . (PQr =Q°r<P,
2) фе = е°ф (<& = Гф),
где f (х) -х = х- е(х) - х, /° (х) о х = х о е° (х) = х.
При выполнении этих условий
(р1-, = ^ <рКу=Щ№<р-
Доказательство. Пусть ф является гомоморфизмом квазигруппы (Q,•) в (Q,°). Докажем условие 1). Действительно, если ф(ху) = фхофу^ то на языке трансляций имеем:
<pLx (у) = Llfixpiy), для произвольных х, у е О, откуда (pLx=E (р. Аналогично из
cpRy (х) = следует (pRy = R°(py(p.
2). Так как д?(х) = ср{х ■ е(х)) = <р(х) о <ре{х) и (р{х) = <р(х) ° е°(р{х), то, сравнивая левые части последних равенств, получим:
(р{х) о (ре{х) = <^(х) о е <р(х) .
В силу того, что (Q,°) также квазигруппа, после сокращения на <р(х) имеем:
<ре(х) = е (р(х) .
Аналогичными рассуждениями можно показать, что (pf = f°(p .
Докажем обратное утверждение. Пусть ср - преобразование с условиями 1) и 2). Покажем, что ср есть гомоморфизм квазигруппы (О,-) в (0,°). Если <pQL=Q°L<p, (pLx—Ez(p, x,z <eQ, to для произвольного у е Q имеем: cpLx{y) - Ez(p(y), <р(ху) = z°(py. Положим в последнем равенстве у - е(х): ср(х ■ е(х)) = z° (р(е(х)) . Тогда ср(х) = z° q>(e(x)). С другой стороны, так как (Q,°) также квазигруппа, то <р(х) = <р(х) ° е°<р(х) .
Таким образом, <р(х) = z о <р(е(х)) и <р(х) = ср(х) о е° (р{х) . Тогда z = cp(x). Это значит, что (pixy) — срх (ру, то есть ср - гомоморфизмом квазигруппы (Q,•) в (Q,°).
Следствие 4[4]. Подстановка <р является изоморфизмом квазигруппы (Q,•) на квазигруппу (Q,°) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) <pQL(p~l = Q°l , vQrV1 =Qr,
2) <pe = e°<p (# = /»,
где f (x) • X = X • e(x) = X, /° (x) о X = X о e0 (x) = X .
При выполнении этих условий
<PLy=EVy(P, <РКУ=Щ№<Р-
Теорема 10. Пусть (Q,•) и (Q,°) - линейные квазигруппы над одной группой (iQ,+) : ху = (рхх + q + ц/ху, х° у = <р2х + с2 + ц/2у . Тогда преобразование а является изоморфизмом квазигрупп (Q,■) и (Q°) тогда и только тогда, когда
(ftx+CyWia — ^>2х+с2 ’ aR-cl+4/ly(P\G(' ~ ^с2+1//2у ■
Таджикский национальный университет Поступило 24.09.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Табаров А.Х. - Дискретная математика М.: РАН, 2007, т.19, вып.2, с.67-73.
2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1967, 223 с.
3. Белоусов В.Д. - Мат. сборник, 70(112): 1, 1966, с.55-97.
4. К.К.Щукин, В.В.Гушан. - Дискретная математика. - М.: РАН, 2004, т.16, вып. 4, с.148-157.
5. A.Marini and V.A.Shcherbacov. - Algebra and Discrete Math., 2004, №.2, p.51-75.
А.ХДабаров
АВТОТОПИЯХ,О ВА АНТИАВТОТОПИЯ^ОИ КВАЗИГУРУ^ОИ ХАТТЙ
Дар мак;ола намуди умумии автотопияхо ва антиавтотопияхои квазигурухои хаттй, гайрихаттй, квазигуруххои хаттии омехта, Т-квазигуруххо ва антиавтотопияи гурухи ихтиёрй ёфта шудаанд. Шартхои зарурй ва кифоягии гомоморфизми ду квазигуруххо оварда шудаанд.
A.Kh.Tabarov
AUTOTOPIES AND ANTIAUTOTOPIES LINEAR QUASIGROUPS
In this article we find structure of autotopies, antiautotopies linear, alinears quasigroups, T-quasigroups and antiautotopies arbitrary groups. It is shown necessity and sufficient conditions for homomorphism on two quasigroups.
