К теории эндоморфизмов полулинейных квазигрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №8_

МАТЕМАТИКА

УДК 512.548

А.Х.Табаров, А.А.Давлатбеков, О.О.Комилов* К ТЕОРИИ ЭНДОМОРФИЗМОВ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ КВАЗИГРУПП

Кулябский государственный университет им.А.Рудаки, Таджикский национальный университет

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 24.06.2015 г.)

В статье исследованы линейные слева (справа) квазигруппы, найден общий вид эндотопии (эндоморфизма) слева (справа) квазигруппы специального вида, приведены необходимые и достаточные условия гомоморфизма двух произвольных полулинейных квазигрупп.

Ключевые слова: линейная слева (справа) квазигруппа -эндотопия - эндоморфизм- гомоморфизм квазигрупп.

В классе квазигрупп, изотопных группам, большой интерес представляют линейные квазигруппы. Согласно В.Д.Белоусову [1], квазигруппа ((, •) называется линейной над группой ((, +), если она имеет вид

ху = рх + с + ^у, (1)

где р,^е +), с - фиксированный элемент из множества (.

Впервые эти квазигруппы были введены В.Д.Белоусовым в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах. При этом возникли также квазигруппы, близкие к линейным. Г.Б.Белявская и А.Х.Табаров в работах [2,3] ввели новые классы квазигрупп: алинейные и их обобщения, а именно алинейные слева (справа), квазигруппы смешанного типа линейности и другие. Названные классы квазигрупп также связаны с уравновешенными и неуравновешенными тождествами.

Квазигруппа ((, •) называется линейной слева (справа) над группой если она имеет вид

ху = рх + с + /у( ху = ах + с + хуу), (2)

где / (соответственно а) - подстановка множества Q, ре ЛШ(((^ +)(^е +)).

Квазигруппа ((, •) называется алинейной над группой если она имеет вид

ху = рх + с + \ру,

где р,Щ - антиавтоморфизмы группы (, +), с е ( - фиксированный элемент из множества Q.

Адрес для коррреспонденции: Табаров Абдулло Хабибуллоевич, Давлатбеков Акимбек. 735360, Республика Таджикистан, г.Куляб, ул. С.Сафарова, 16, Кулябский государственный университет. E-mail: [email protected], 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Квазигруппа (Q, •) называется алинейной слева (справа) над группой (Q, +), если она имеет

вид

xy = px + c + ßy( xy = ax + c + ipy),

где ß (соответственно a) - подстановка множества Q,p(p - антиавтоморфизмы группы (Q, +). Квазигруппа (Q, •) названа квазигруппой смешанного типа линейности I рода или II рода, если она имеет вид

xy = pc + c + ipy (соответственно xy = px + c + py),

где ppe Aut(Q, +),p,p — антиавтоморфизмы группы (Q, +).

В работе [3] установлена связь между названными типами линейности. Разными авторами изучались также квазигруппы различных типов линейности с ограничениями на изотопные им группы и используемые автоморфизмы и антиавтоморфизмы.

Частным случаем линейных квазигрупп являются медиальные квазигруппы, то есть квазигруппы с тождеством xy • uv = xu • yv. Согласно теореме Брака-Тойоды [1], эти квазигруппы линейны над абелевой группой, причём автоморфизмы p, p коммутируют между собой: pp = pp.

Пусть (Q, •) - квазигруппа. Отображение x ^ ax называется левой трансляцией квазигруппы (Q, •) (с помощью элемента а ) и обозначается через La: Lax = ах. Очевидно, La - взаимно однозначное отображение множества Q на себя, то есть La - подстановка множества Q. Это следует из определения квазигруппы. Правая трансляция Ra (с помощью элемента a) определяется равенством R = xa и, следовательно, тоже является подстановкой. Все трансляции квазигруппы Q(0 порождают группу G (Q, •), которую называют группой, ассоциированной с квазигруппой Q(). Если Q( ) - группа, то имеют место очевидные равенства, каждое из которых эквивалентно ассоциативному закону

4 (xy) = Lax • У, Ra (xy) = x • Ray.

В настоящей работе получены некоторые результаты относительно эндоморфизмов линейных слева (справа) квазигрупп, которые обобщают утверждения из [4].

Пусть (Q, •) - произвольная квазигруппа. Тройка отображений (öx ,ö2 ,ö3), называется

эндотопией квазигруппы (Q, •), если S3(xy) = öxx • ö2y. В случае, если öl = S2 = S3 =ö, то 8 -

называется эндоморфизмом квазигруппы (Q, •). Другими словами, эндотопия является естественным

обобщением эндоморфизма алгебраической структуры.

Теорема 1. Пусть (Q, •) - линейная справа квазигруппа вида xy = ax + Тогда любая эндотопия квазигруппы (Q, •) и имеет вид:

Р = {aLa8a\WRb8W-\LaRb5\

где Lax = а + x,Rbx = х + Ь, левая и правая трансляции группы (О, 1 {[// ') - обратная

подстановка (автоморфизм) для а(щ).

Доказательство. Пусть (Q, •) - линейная слева квазигруппа вида xy = ax + щу. Как известно [5], любая эндотопия группы (Q, +) имеет вид:

т=аллл)з, (з)

T&S&End(Q,+), a,beQ, Lax =а + x,Rbx = х+ b.

Далее, в [4] доказано, что если квазигруппы (<2,0 и (Q, ) изотопны у{х )') = ах' /?>',( ) = (0 I = то их полугруппы эндотопий сопряжены:

Ent(Q, 0 = T1End(Q, о)Т. (4)

Через Ent(Q, ■) и ¡'Jit(0, ) обозначены соответственно полугруппы эндотопий квазигрупп (<2,0 и (О, о). Используя (3) и (4), находим общий вид любой эндотопии линейной справа квазигруппы вида

xy = ax + хуу .

Действительно, пусть (Q, •) - линейная справа квазигруппа: xy = ax + xyy , тогда (•) = (Q,+)(a,y/,e). Если т g Ent(Q,+), то, согласно (3), т = {La,Rb,LaRb^5, где Se End (Q, +), a, b e Q. Согласно (4), для любого P e Ent (Q, •),

p = TST1 = (a, w, £)(LaS, RbS, LaRbS)(a\ y/-\ s) = {ala8a\ y/Rb5y/-\ LaRbS).

Аналогично, если (Q, •) - линейная слева квазигруппа вида xy = ^x + (3y, то любая эндотопия квазигруппы (Q, •) имеет вид:

P=(<plSa \/3RhSJ3 'ЛВД.

Следствие. Любой эндоморфизм линейной справа (слева) квазигруппы вида xy = ax + \yy, (xy = (px + J3y) можно представить в виде

Е = aL5a 1 = y/RhSy/ 1 = LaRbS

(Е, = <pie<p 1 = PRbepl = LaRb8)

Теорема 2. Пусть (0,-) и (О, ) - линейные справа над группой (<2>+) квазигруппы вида ху = а1х + у/1у,х° у = а2х + <р2у.Подстановки а1,а2 такие, что 0 = 0,0 = 0, где 0 - нулевой элемент группы (0, +), у - произвольный эндоморфизм группы (0, +). Тогда у является гомоморфизмом квазигруппы (0,-) в (0,°) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

уа1 =а2у, ущг =р2у.

Доказательство. Пусть ((),■) и (¡2,с)линейные справа над группой ((),+) квазигруппы вида ху = агх + ц/х у, х" у = а2х + ц/2 у, и ах0 = 0,а20 = 0. Далее уеЕпс1((),+) и у(х-у) = ух°уу. Тогда

у(а1х + = аух + р2уу,

уах + у¥1 у = а2ух + Фуу.

Положим: х = 0. Тогда уах 0 + у = а2у0 + руу, учитывая, что а0 = 0,у0 = 0,р0 = 0,а20 = 0, получим: у = р2уу, или ущ=щу. Теперь, если положим у = 0, то уах = а2уу . Обратно у(ху) = у(агх + ц/ху) = уаЛх + уц/ху = а2ух + ц/2уу = ух° у у, то есть у(ху) = ух о у у.

«Симметричное» утвеждение верно и для случая линейных слева квазигрупп.

Теорема 3. Пусть (0,-) и (0,°)- линейные слева над группой (<2>+) квазигруппы вида

ху = <ргх + /?,_)', Л' у = <р2х + (32у. Подстановки Д,/?2 такие, что Д0 = /?20 = 0,0 - нулевой элемент группы (0, +), у - произвольный эндоморфизм группы (0, +). Тогда у является гомоморфизмом квазигруппы (0,-) в (0,°) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия ур1 = Р2у,у(р1 = ру.

Доказательство теоремы 3 проводится аналогично, как и доказательство теоремы 2 .

Поступило 26.06.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоусов В.Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах. - Мат. сборник, 1966, т.70(112), №1, с.55-97.

2. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Ядра и центр линейных квазигрупп. - Известия АН РМ, Математика, Кишинёв, 1991, № 3(6), с.37-42.

3. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Тождества с подстановками, приводящие к линейности квазигрупп. -Дискретная математика, РАН, 2009, т.21, вып.1, с.39-54.

4. Табаров А.Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп. - Дискретная математика, РАН, 2007, т. 19, вып. 2, с.67-73.

5. Головко И.А. Эндотопии в квазигруппах. Резюме докладов Первого Всесоюзн. симпозиума по теории квазигрупп и ее приложениям. - Сухуми, 1968, с.14-15.

А.Х.Табаров, А.А.Давлатбеков, О.О.Комилов*

ОИД БА НАЗАРИЯИ ЭНДОМОРФИЗМ^ОИ КВАЗИГУРУВДОИ

ГАЙРИХАТТЙ

Донишгохи давлатии Кулоб ба номи Абуабдулло^и Рудаки, *Донишго%и миллии Тоцикистон

Дар макола квазигуруддои хаттии чап (рост) омухта шудаанд ва намуди умумии эндотопиядои(эндоморфизмдои) квазигуруддои типи махсус ёфта шудааст. Инчунин шартдои зарурй ва кифоягии гомоморфй будани ду квазигурухдои ихтиёрии типи махсус оварда шудаанд.

Калима^ои калиди: квазигуруддои хаттии чап (рост) - эндотопия - эндоморфизм -гомоморфизми квазигуруууо.

A.Kh.Tabarov,A.A.Davlatbekov, O.O.Komilov* TO THE THEORY OF ENDOMORPHISMS OF SEMILINEAR QUASIGROUPS

A.Rudaki Kulyab State University, Tajik National University In the article it is investigated the left (right) linear quasigroup and is found the general view of an endotopy (endomorphism) on the left (on the right) of quasigroup of special form and are given the necessary and sufficient conditions of homomorphism of two arbitrary semi-linear of quasigroups. Key words: left (right) linear quasigroup - endotopy - endomorphism - quasigroup homomorphism.