CC BY
14
Онлайн-доступ к журналу: http: / / mathizv.isu.ru
Серия «Математика»
2018. Т. 26. С. 47-61
УДК 512.54+512.57 MSG 17В40, 17В30
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.47 Автоморфизмы некоторых магм порядка к + /г*
А. В. Литаврин
Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская. Федерация
Аннотация. Данная работа посвящена изучению автоморфизмов конечных магм и представлению симметрической группы перестановок Як и ее некоторых подгрупп группами автоморфизмов конечных магм. Теория, изучающая группы автоморфизмов магм, хорошо разработана и представлена множеством работ, когда магма является квазигруппой, полугруппой, петлей, моноидом или группой. Также встречаются исследования, в которых рассматриваются вопросы, связанные с изучением автоморфизмов магм, не являющихся полугруппой или квазигруппой.
В статье вводятся некоторые конечные магмы © = (V, *) порядка к+к2. Для магмы & удалось описать группу автоморфизмов и записать общий вид автоморфизма. Кроме того, выявилась связь между автоморфизмами магм & и перестановками конечного множества из к элементов. Все автоморфизмы магмы & параметризованы перестановками из некоторой подгруппы (дается описание этой подгруппы) симметрической группы перестановок Як.
Кроме того, установлено, что группа Як изоморфна группе всех автоморфизмов Агй (б) подходящей магмы © порядка к + к2.
Ключевые слова: автоморфизмы магмы, автоморфизмы группоида, группы автоморфизмов.
Алгебраическую систему с одной бинарной алгебраической операцией, как обычно, называем магмой (наряду с «магмой» распространен термин «группоид»). Примерами магм являются группы, полугруппы, квазигруппы и моноиды. Для каждой алгебраической системы 21 (определение см. [9, стр. 46]) определена группа автоморфизмов АиЬ (21)
1. Введение
(см. [13, стр. 21]).
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 16-01-00707.
В данной работе изучаются группы автоморфизмов некоторых конечных магм 21 = (V, *) порядка к + к2. При этом магма 21 такая, что в множестве V можно выделить подмножество М порядка к, для которого будут справедливы равенства
V = ми{м *М), \М * М\ = \М\ ■ \М\ = к2. (1.1)
Основные результаты работы сформулированы в виде теорем 1 и 2. Формулировке основных результатов предшествует исторический обзор и постановка основных задач.
Изучение автоморфизмов классических групп началось достаточно давно. В 1928 году вышла работа [22], которая дает описание автоморфизмов группы РЗЬп(Р) над произвольным полем Р для п > 3. Исследования автоморфизмов классических линейных групп отражаются в известных работах [10; 12; 21] и др. Кроме того, активно изучались автоморфизмы алгебр и групп Шевалле (с.м. [7;8; 17-19;23]).
Исследования автоморфизмов матричных полугрупп представлены в работах [2;3;11] и [14]. Исследования автоморфизмов квазигрупп см. работу [15] и др. В работе [16] изучаются автоморфизмы некоторых специальных матричных магм. Исследованию вопросов, связанных с автоморфизмами конечных магм, посвящены работы [5] и [6]. В [5] приведена классификация конечных магм 53 = (И,*), имеющих 2-транзитив-ную на множестве И группу автоморфизмов АЫ (33). В [6] построены две серии магм, допускающие 5Х(2, д) транзитивной (транзитивной на множестве носителе) подгруппой автоморфизмов.
С группами автоморфизмов традиционно связывают задачу
Задача 1. Описать группу автоморфизмов АЫ (21) некоторой фиксированной алгебраической системы 21.
В 1946 году вышла работа Г. Биркгофа [1], в которой доказывается следующее утверждение: каждая группа является группой всех автоморфизмов некоторой алгебры. В 1958 году Д. Гроот опубликовал работу [20], в которой было установлено, что всякая группа есть группа всех автоморфизмов некоторого кольца. Эти результаты можно интерпретировать как решение следующей задачи
Задача 2. Для фиксированной группы О и фиксированного класса Я алгебраических систем определить системы 21 € Я (не обязательно все) такие, что О = Н < АЫ (21). Либо показать, что в классе Я таких систем 21 нет.
О различных типах задач, связанных с автоморфизмами, подробно написано в [13, стр. 122]. Например, задача 1 - задача г) в [13]. Параграф 2 в [13, стр. 108] посвящен вопросам существования представлений некоторой группы группами автоморфизмов подходящих алгебраических систем. Эти вопросы тесно связаны с вопросом 2.
Как обычно, множество всех перестановок конечного множества из п элементов обозначим символом Бп (множество перестановок Бп называют симметрической группой перестановок). Символом С (С,)) будем обозначать централизатор множества С} С Бп в группе Бп. Если и ж € {1, ...,п}, то а(х) - образ элемента х под действием перестановки о. Стабилизатором в группе Бп элемента х € {1,...,п} называем подгруппу
Б1аЬ(х) := {о € Бп | а(х) = х}.
Если группа С является симметрической группой Бк или централизатором в Бк некоторых двух перестановок из Бк или пересечением двух стабилизаторов (для некоторых элементов) и Я — класс всех магм порядка к + к2 с условиями (1.1), то существование решений задачи 2 дает следующая теорема
Теорема 1. Для всякого натурального числа к справедливы следующие утверждения:
1) симметрическая группа Б к изоморфна группе всех автоморфизмов АЫ (331) некоторой магмы 331 порядка к + к2;
2) для любых двух перестановок 0:1,0:2 € ^ существует магма ЗЗ2 порядка к + к2 такая, что
АЫ (332) =С({о1,о2});
3) для любых двух элементов а,Ъ € {1 ,...,&} существует подходящая магма 33 3 порядка к + к2 такая, что
АЫ (333) = БЬаЬ(а) П ^аЬ(Ь).
При этом магмы ЗЗ^ЗЗг и ЗЗз удовлетворяют условиям (1.1).
Теорема 1 доказывается конструктивно (строятся магмы 33^ с указанными свойствами). Данные примеры приводятся в четвертом разделе этой статьи (см. пример 1,2 и 3).
В связи с исследованием задачи 2, в данной работе вводятся магмы (5. Эти магмы вводит
Определение 1. Для каждого натурального числа к вводим следующие множества:
М :={а1}...,ак}, В := {Ьу \ г, 3 = 1,..., к}, У:=МиВ,
з™ '■= {(£ь-,£т) I £г е Бк, г = 1,..., т}.
Далее, фиксируем кортеж д = (/?!,..., (Зк, /3[,..., (З'к) € Б%к. На множестве V зададим бинарную алгебраическую операцию * такую, что справедливы равенства:
(Ц * О,- = Ьгу, (13 * Ьгу = Ь/З^АС?)' (I-2)
Ьц * а3 = Ъ^*Ъч=Ътз {т,у,в,1,3 = 1,..., к).
Тогда через
& = &{к,д) = {У,*)
обозначим магму 6 с множеством носителем V и бинарной алгебраической операцией *, которую задают равенства (1.2).
Данные магмы (5 не являются полугруппами или квазигруппами. В множестве выделим подмножество А{д) перестановок а таких, что при любых номерах 1 < в, г < к будут справедливы тождества
Ра(8)Ш) = <*Шг)), &(*)Ыг)) = ФШ (1-3)
Во втором разделе доказывается, что А(д) - подгруппа в В четвертом разделе приводится лемма 7, которая дает более детальное (чем равенства (1.3)) описание множества А{д). Там же строятся некоторые важные примеры множеств А{д).
Данная статья содержит решение задачи 1, когда 21 = 6. Одним из основных результатов данной работы является теорема:
Теорема 2. Пусть к € € и а - перестановка из А{д). Тогда отображение фа, заданное следующим образом
Фа • й>з ^ аа(з), Ьц &а(г),<*(;/) {8,1,3 = 1)—) к),
является автоморфизмом магмы 6 = 6{к,д). Справедливо равенство
АЫ {&) = {фа | а € А{д)}.
Кроме того, имеет место изоморфизм АЫ {&) = А{д).
Теорема 2 доказывается в разделе 3. В разделе 4 доказывается лемма 7 и приводятся примеры 1, 2 и 3, которые доказывают теорему 1.
Обозначения. Пусть 21 = (V, *), ф <Е АиЬ (21) и х € V. Тогда х^ - образ элемента х € V под действием ф (еще элемент х^ называем ф-образом элемента х). Кроме того, если ф\,ф2 € АЫ (21), а, /3 € ¿>га и х € V, у е {1,..., п}, то
ХФ1-Ф2 (ХФ2)Ф^ (а . ^(у) := а{(3{у)).
2. Основные определения и предварительные результаты
Далее, приведем определение автоморфизма алгебраической системы с одной бинарной алгебраической операцией (в соответствии с [9] и [13]).
Определение 2. Пусть 21 = (ТУ, д(х,у)) — некоторая алгебраическая система с множеством носителем ТУ и бинарной операцией д. Тогда биективное отображение ф : ТУ —> ТУ множества ТУ на себя называют автоморфизмом системы 21, если для любых элементов х, у € ТУ справедливо равенство
(д{х,у))*=д(х*,у*) (2.1)
Множество всех автоморфизмов системы 21 обозначают символом АЫ (21). Хорошо известно, что это множество образует группу относительно композиции двух отображений из АЫ (21).
В этом разделе и далее символы V, М, д, обозначают объекты, введенные в определение 1, связанные с магмой & = &{к,д) = (V, *). Если задать к € Ы, д € то будут заданы (однозначно определены) множества А(д),М,У и задана магма 6 = &(к,д) = (V.,*). Множесто А(д) вводится равенствами (1.3).
Как обычно, для каждого подмножества ДС V вводится следующее множество: V * V := {х * у | ж, у € V}.
Лемма 1. Для магмы 6 справедливы условия:
V = ми(м * М), МП(М*М) = 0, \м*м\ = \м\-\м\, V * (М * М), (М * М) * V с м * м.
Доказательство. Утверждения леммы вытекают из определений множеств V, М и из равенств (1.2), которые задают операцию *. □
Лемма 2. Для любых параметров к € N и д € Б"^ множество А{д) является подгруппой в Бк-
Доказательство. Очевидно, что единичная перестановка I лежит во множестве А(д).
Покажем замкнутость. Пусть а, 7 € А(д). Тогда для всех номеров 1 < < к справедливы равенства (1.3). Заметим, что 7(з),7(г)
пробегают все номера от 1 до к. Далее, равенства
А*(7(*))(а( 7(0)) = а(Рф)(,7(,г))) = а(7(Д*(г)))
и аналогичные равенства для /З'3 показывают, что композиция а ■ 7 € А{д).
Пусть а € А(д). Покажем, что о; 1 € А(д). В самом деле, включение а € А(д) приводит к тому, что а удовлетворяет равенствам (1.3) для произвольных номеров 1 < а~1 (в), а-1 (г) < к. Далее, справедливы равенства
/5«(а-1(5))(а(а_1(г))) = а{[5а-1{з){а~1 {%))),
/5«(а-1(5))(а(а_1(г))) = /З3(г), а(13а-1{з)(а~1(г)) = /З3(г).
В последнем тождестве действуем а~1 на левую и правую части, получаем равенство
а_1(а(^а-1(в)(а_1(г)))) =
которое дает условие
А*-1(«)(а_1(0) = а-1(/38(г)).
Аналогичные рассуждения для тождеств с перестановками /3^ показывают включение а~1 € А(д).
Таким образом, А(д) - подгруппа в □
3. Автоморфизмы магмы (5
Этот раздел посвящен доказательству теоремы 2. Вначале приведем и докажем технические леммы 3, 4, 5 и 6.
Лемма 3. Пусть а - перестановка из А(д). Тогда отображение
фа : а3^аа{з), Ъ^ <*(:/) (М,.? = 1,(34)
является автоморфизмом магмы 6 = &(к,д).
Доказательство. Не трудно увидеть, что отображение фа является обратимым отображением множества V на себя. При этом ф~1 = фа-1. Таким образом, фа (далее ф) биективное отображение множества V на себя.
Далее покяжбм, что отображение фа (далее ф) удовлетворяет условиям (2.1). Ниже рассмотрим случаи.
1) Пусть х,у € М. Значит, х = ец, у = а^ для подходящих г,] и справедливы равенства
хф * уф = аф * аф = аа(г) * =
(сц * аз)ф = (Ь^)ф = Ьф)>а(Л.
Отсюда получаем, что справедливо равенство аф * аф = (ец * а^ф■
2) Пусть х € М, у € (М * М). Тогда х = а3 и у = Ь^ для подходящих Далее, справедливы равенства
* Кз = а«М * Ь»(г)Мз) = Ь13аМЫг)),13аМЫз)У>
Известия Иркутского государственного университета. 2018. Т. 26. Серия «Математика». С. 47-61
(а* * Ь^)ф = 0))Ф = = А«,, («СЛ) >
которые приводят к условию хф * уф = (х * у)ф.
3) Пусть х € (М * М),у € М. Тогда справедливо равенство хф *уф = (х * у)ф. Доказательство аналогично пункту 2).
4) Пусть х, у ф. М. Значит, х = Ъти, у = Ь^ для подходящих индексов
В этом случае равенства
Ьт-ю * ^ = Ьа(т),а(V) * = ^а(т),«(:/))
(Ьтъ * = = Ьа(т,))а(:/)
показывают, что ф сохраняет операцию *.
Случаи 1) - 4) показывают, что отображение ф удовлетворяет условию (2.1) и, как следствие, является автоморфизмом системы (5. □
Лемма 4. Пусть ф € АЫ (&(к,д)), а € вк и справедливы равенства
= аа(ф ^ = 1) •••) к.
Тогда а € А{д).
Доказательство. По условию леммы ф — автоморфизм системы (5 = &(к,д). Следовательно,
(Ъц)ф = (сц * = аф *аф = * = <*(:/)• Далее, для всех номеров 1 действительны равенства
аФз * = а»{з) * Ьа(г),а(Л = Ь/5«(.) ("(»)),/8а(<>) («С?))!
(а3 * Ъ^)Ф = = Ьа(/З3(г)),а(/З30-))-
Эти равенства приводят к условиям:
Ра(з)(Ф)) = <*(&№)•
Аналогичное условие мы получим для перестановок /З'3, если вычислим, а потом сравним левую и правую часть равенства
ъЪ*а+ = (Ъц*а8)+,
которое справедливо для любых 1 < < к. Таким образом, мы
показали, что справедливо включение а € А(д). Лемма доказана.
□
Лемма 5. Пусть ф - произвольный автоморфизм магмы 6 = 6(к, д). Тогда справедливы включения Мф С М, (М * М)ф С (М * М).
Доказательство. 1) Покажем, что Мф С М. Предположим противное. Значит, для некоторых подходящих индексов 1 < в, г, ] < к выполняется равенство
аф8 = Ъгг
Далее, ф является взаимно однозначным отображением V на себя. Отсюда следует, что каждый элемент х € V является ф — образом ровно для одного элемента у € V. Равенства
<4* <4 = * М = %
(а, * а8)ф = (Ь33)ф-, Ьгз = (Ъ88)ф
показывают, что ф не является автоморфизмом. Действительно, элемент Ьу является ф-образом двух различных элементов а8, Ь33, что нарушает обратимость отображения ф. Это противоречие показывает справедливость включения Мф С М.
2) Докажем включение (М * М)ф С (М * М). В силу включения Мф С М, справедливы условия
{хф * уф I х, у € М} С {х * у I х, у € М} = М * М,
которые дают справедливость утверждения
(М * М)ф := {(х * у)ф | х,у € М} = {хф * уф \ х,у € М} С М * М.
Включение (М * М)^ С М * М доказано.
□
Лемма 6. Пусть а,(3 € и Фа, Ф/з ~ автоморфизмы системы 6, заданные условиями (3.1). Тогда справедливо равенство
Фа'Ф/З = Фаф- (3-2)
Доказательство. Если расписать действие отображений фа ■ фр и фа.р на множестве V, то получим равенство (3.2). □
Теорема 2. Пусть к € Ы, ^ 6 и а - перестановка из А{д). Тогда отображение фа, заданное следующим образом
фа : а3 ->• аа(3), Ъ^ ->• б«^«^) (в, г,] = 1,
является автоморфизмом магмы 6 = &(к,д). Справедливо равенство
АЫ (6) = {фа | а € А(д)}.
Кроме того, имеет место изоморфизм АЫ (6) = А(д).
Доказательство. 1) В силу леммы 3 отображение фа является автоморфизмом магмы (5 при а € А(д). Таким образом, мы показали, что
К := {фа | а € А(д)} С АЫ (6).
2) Пусть ф — произвольный автоморфизм системы (5. В силу леммы 5, имеем равенства
ф __7 ф _ 7
аз — а71(ф Оц — °72(г),7з0'))
где 71,72,7з — некоторые подходящие функции на множестве {1,..., к}.
Поскольку ф обратимое отображение множества V на себя и в силу условий (которые дают леммы 1 и 5)
V = (М * м) и М, (М * М)Г\М = 0,
Мф см, (М * М)ф с (М * М),
получаем, что Мф = М. Значит, ф действует на М как взаимно однозначное отображение и 71 является некоторой перестановкой из Бк-
Имеем ф € АиЬ (6), 71 € Бк, и выполняются равенства а^ = а71(8) для 5 = 1,..., к. Значит, в силу леммы 4 перестановка 71 € А(д). Далее, равенства
(Ьгу)ф = (ец * ау)ф = аф *аф = * = Ь^-^ (72 =7з= 71)
показывают, что ф — автоморфизм вида фа при а = 71, следовательно, ф € К. Отсюда, К = АЫ (6).
Таким образом, мы показали, что всякий автоморфизм ф € АЫ (6) является автоморфизмом вида фа для подходящего а € А(д).
3) Далее, рассмотрим отображение
с : А{д) АЫ (6),
заданное правилом ((а) = фа. В силу вышесказанного получаем, что ( - взаимно однозначное отображение множества А(д) на множество АЫ (6). Кроме того, ( сохраняет операцию умножения:
с (а • /3) = Фаф = Фа ' Ф/З = с (а) • ((Й-
В последней цепочке равенств было использовано равенство (3.2). Таким образом, показано, что ( - изоморфизм группы А(д) на группу АЫ (©). □
4. Перечисление элементов A(q) и примеры
В этом разделе описываются элементы множества A(q). Доказывается лемма 7 и строятся примеры 1, 2 и 3 (которые доказывают теорему 1).
Определение 3. Пусть q = (Р\,..., Рк, f3[,..., /З'к) £ Sffc. Тогда для всякого номера 1 < s < к определим множества
Uq(s) := {а € С(&) | a(s) = т, рт = fjs},
Uq(s) := {а € | a(s) = т, Р'т = fi's).
Определение 4. Пусть q = (Р\,..., Рк, /3[,..., /З'к) £ Sffc и 1-тождест-венная перестановка в Sk■ Тогда для всякого номера 1 < s < к определим множества
Vq{s) := {а € Sk \ a(s) = т ф s, рт ф (3S, (Зт ■ а = а ■ ps} U {/},
V¡(s) := {а € Sk \ a(s) = т ф s, Р'т ф P's, f3'm ■ а = а ■ f3's} U {/}.
Лемма 7. При всяком к € N и q € Sffc справедливо 'равенство
A{q) = П ((ВД U ОД) П (СДО U ОД)). (4-1)
1 <s<k
Доказательство. 1) Пусть а - перестановка из правой части равенства (4.1). Покажем, что а € A(q). В самом деле, если
а € ОД := (Uq{s) U Vq{s)) П (ОД U ОД),
то
ОДОД) = oi(Ps(i)), fí'a{s)(a(i)) = a(P's(i)).
Поскольку a € W(s) при любом s = 1,..., fc, то а 6 A(q).
2) Пусть теперь а - произвольная перестановка из A(q). Тогда для любых номеров 1 < s,i < к справедливы равенства (1.3):
Ра(а)Ыг)) = Ot(Ps(Í)), Р'а(8)(Ф)) = «($№)•
Зафиксируем номер 1 < s < к. Если а = I, то а € Uq(s),Vq(s),Uq(s), Vq{s). Если а ф I, то выполняется один из случаев, приведенных ниже.
2.1) Справедливы равенства a(s) = т, рт = ps, ps • ot = а • ps. В этом случае а € Uq(s).
2.2) Справедливы равенства a(s) = т ф s, рт ф ps, рт ■ а = а ■ ps. В этом случае а € Vq(s).
Аналогично формулируются случаи для Uq(s) и Vq(s). Получаем, что а € (Uq(s) U Vq(s)) П (Ug(s) U Vq(s)) = W(s). В силу произвольности номера 1 < s < к получаем, что перестановка а лежит одновременно во всех множествах W(s), s = 1, ...,к. Следовательно, A{q) С Pli<s<fc Теорема доказана. □
Ниже приведены примеры, которые показывают существования магм 3D 1, &2 и ЗЗз из теоремы 1.
Пример 1. (Магма 35i) Пусть к — некоторое натуральное число и q = (/,...,/) € Кортеж q состоит из единичных перестановок.
Следовательно, Uq(s) = U'q(s) = Sk при всяком 1 < s < к. По лемме 7 получаем, что A(q) = Sk-Теорема 2 дает изоморфизм
Aut (<3(k,q)) ^ Sk-
Магма ®i := <5(к, q) имеет порядок к + к2.
Пример 2. (Магма D2) Пусть к — некоторое натуральное число и
q = (l3,l3,-,l3,l3',l3',-,l3')GS2k.
Здесь q - кортеж у которого позиции 1,..., к равны перестановке /3 € Sk и позиции к + 1,..., 2к равны fj1 € Sk- Тогда справедливы равенства
Uq(l) = Uq(2) = ... = Uq(k)=C(f3y,
[ДО = U'q{2) = ... = Uq(k) = С(Р'); Vq(i) = V;(i) = {/}, i = 1,..., к; Используя лемму 7, находим
A{q)= П ((ВД и ВД) П (еда и ВД)) = п (ВДПСДО) =
1<s<k 1 <s<k
= Uq{ 1) n U'q{\) = C{P) n C(f3о = c({/3,/3'}). Наконец, теорема 2 дает изоморфизм
Aui (S(fc, q)) - C(/3) П C(/3') = C({/3, /3'}).
Магма := <5(k,q) имеет порядок к + к2.
Пример 3. (Магма Эз) Пусть А; — некоторое натуральное число, a, b - некоторые фиксированные символы из {1, ....,к} и
q = (/3i, ...,/3k,/3[,...,/3'к) € Slk,
где /3s = (s, а) и fj's = (s, b), для s = 1,..., к. Тогда справедливы равенства
Stab(a, b) := Stab(a) П Stab(b);
Uq(s) = {а € Sk | a(s) = s, а(а) = a}, s ф а; U'q{s) = {а € Sk | a(s) = s, a(b) = b}, s Ф b; Vq(s) = {a € Sk | a(s) ф s, a (a) = a} U {/}, s Ф a; Vq(a) = {/}; V¿(s) = {aeSk | a(s) ф s, а(Ь) = 6} U {/}, s ф b; V¿(b) = {/}; Uq(a) = {а € | a (a) = a}, lJq(b) = {a G ^ a(6) = 6}; f/g(s) U = {а € Sk | а(а) = а}, U'q{s) U V¡(s) = {a € Sk \ a(b) = 6}, Используя лемму 7, находим
A(q) = f| ((Uq(s) U Vq(s)) П ([/¿(s) U V¡(s))) = Stab(a, b).
1 <s<k
Теорема 2 дает изоморфизм Aut (&(k,q)) = Stab(a,b). Магма Эз := q) имеет порядок к + к2.
Список литературы
1. Биркгоф Г. О группах автоморфизмов // Revista de la Union Math. Argentina. 1946. № 4. C. 155-157.
2. Бунина E. И. Автоморфизмы полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами над коммутативными частично упорядоченными кольцами // Фундам. и прикл. математика. 2008. Т. 14, № 2. С. 69-100. https://doi.org/10.1007/sl0958-009-9650-5
3. Глускин Л. М. Автоморфизмы мультипликативных полугрупп матричных алгебр // Успехи мат. наук. 1956. Т. 11, № 1. С. 199-206.
4. Глускин Л. М. Автоморфизмы полугрупп бинарных отношений // Мат. записки Урал. гос. ун-та. 1967. Т. 6. С. 44—54.
5. Ильиных А. П. Классификация конечных группоидов с 2 транзитивной группой автоморфизмов // Мат. сб. 1994. Т. 185, № 6. С. 51-78. https://doi.org/10.1070/SM1995v082n01ABEH003557
6. Ильиных А. П. Группоиды порядка q(q±l)/2,q = 2г, имеющие группу автоморфизмов, изоморфную SL(2,q) // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 1336-1341. https://doi.org/10.1007/BF02106838
7. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 2. С. 141-161; № 3. С. 316-338.
8. Левчук В. М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы автоморфизмов // Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24, № 4. С. 543-557.
9. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М. : Наука, 1970.
10. Мерзляков Ю. И. Автоморфизмы классических групп. М. : Мир, 1976.
11. Михалев А. В. Автоморфизмы и антиавтоморфизмы, полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами // Мат. сб. 1970. Т. 81(123), № 4. С. 600-609.
12. Петечук В. М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами II Мат. сб. 1982. Т. 117, № 4. С. 534-547.
13. Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М. : Наука, 1966.
14. Халезов Е. А. Автоморфизмы матричных полугрупп // Докл. АН СССР. 1954. Т. 96, № 2. С. 245-248.
15. Халезов Е. А. Автоморфизмы примитивных квазигрупп // Мат. сб. 1961. Т. 61, № 3. С. 329-342.
16. Шматков В. Д. Изоморфизмы и автоморфизмы алгебр матриц над решетками // Фундам. и прикл. математика. 2014. Т. 19, № 1. С. 195-204. https://doi.org/10.1007/sl0958-015-2614-z
17. Abe Е. Automorphisms of Chevalley groups over commutative rings // Algebra and Analysis. 1993. Vol. 5, N 2. P. 74-90.
18. Bunina E. I. Automorphisms of Chevalley groups of different types over commutative rings // J. Algebra. 2012. Vol. 355, N 1. P. 154-170. https://doi.Org/10.1016/j.jalgebra.2012.01.002
19. Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups // J. Algebra. 1970. Vol. 14, N 2. P. 203-228.
20. Groot J. Automorphism groups of rings // Int. Congr. of Mathematicians. Edinburgh, 1958. P. 18.
21. Hahn A. J. Homomorphisms of algebraic and classical groups: a survay // Can. Math. Soc. 1984. N 4. P. 249-296.
22. Schreier O. Die Automorphismen der projektiven Gruppen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1928. Vol. 6. P. 303-322.
23. Seligman G.B. On automorphisms of Lie algebras of classical type // Trans. Amer. Math. Part III. 1960. Vol. 97. P. 286-316.
Андрей Викторович Литаврин, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, Российская Федерация, (e-mail: anmll@rambler.ru)
Поступила в редакцию 09.06.18
Automorphisms of some magmas of order k + k2
A. V. Litavrin
Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russian Federation
Abstract. This paper is devoted to the study of automorphisms of finite magmas and to the representation of the symmetric permutation group Sk and some of its subgroups by automorphism groups of finite magmas. The theory that studies automorphism groups of magmas is well developed and is represented by a multitude of works, when magma is a quasigroup, semigroup, loop, monoid or group. There are also studies in which problems related to the study of automorphisms of magmas that are not a semigroup or quasigroup are considered.
In this paper, we introduce some finite magmas & = (V, *) of order fc + fc2. For magma (5 it was possible to describe the automorphism group and write down the general form of the automorphism. In addition, the connection between automorphisms of magmas (5 and permutations of a finite set of k elements has been revealed. All automorphisms of magma (5 are parametrized by permutations from a certain subgroup (a description of this subgroup is given) of the symmetric permutation group Skin addition, it is established that the group Sk is isomorphic to the group of all automorphisms Aut (6) of a suitable magma & of order k + k2.
Keywords: automorphisms of a magma, automorphisms of a groupoid, groups of automorphisms.
References
1. Birkgof G. O gruppakh avtomorfizmov [On groups of automorphisms]. Revista de la Union Math. Argentina, 1946, no. 4, pp. 155-157.
2. Bunina E.I., Semenov P.P. Automorphisms of the semigroup of invertible matrices with nonnegative elements over commutative partially ordered rings. J. Math. Sci., 2009, vol. 162, no. 5, pp. 633-655. https://doi.org/10.1007/sl0958-009-9650-5
3. Gluskin L.M. Avtomorfizmy mul'tiplikativnykh polugrupp matrichnykh algebr [Automorphisms of multiplicative semigroups of matrix algebras]. Uspekhi matematicheskikh nauk, 1956, vol. 11, no. 1, pp. 199-206. (In Russian).
4. Gluskin L.M. Avtomorfizmy polugrupp binarnykh otnosheniy [Automorphisms of semigroups of binary relations]. Mat. zapiski Ural. State Univ., 1967, vol. 6, pp. 44—54. (In Russian).
5. Il'inykh A.P. Classification of finite groupoids with 2-transitive automorphism group. Russian Acad. Sci. Sb. Math. 1995, vol. 82, no. 1, pp. 175-197. https://doi.org/10.1070/SM1995v082n01ABEH003557
6. Il'inykh A.P. Groupoids of order q(q ± l)/2,q = 2r, with automorphism group isomorphic to SL(2,q). Siberian Math. J. 1995, vol. 36, no. 6, pp. 1159-1163. https://doi.org/10.1007/BF02106838
7. Levchuk V.M. Avtomorfizmy unipotentnykh podgrupp grupp Shevalle [Automorphisms of unipotent subgroups of Chevalley groups]. Algebra i logika, 1990, vol. 29, no. 2, pp. 141-161. no. 3, pp. 316-338. (In Russian).
8. Levchuk V.M. Svyazi unitreugol'noy gruppy s nekotorymi kol'tsami. Ch. 2. Gruppy avtomorfizmov [Connections of the unitriangular group with certain rings. Part 2. Automorphism groups]. Sibirskiy matem. zhurnal, 1983, vol. 24, no. 4, pp. 543-557. In Russian).
9. Mal'tsev A.I. Algebraicheskie sistemy [Algebraic systems]. Moscow, Nauka Publ., 1970, 392 p. (In Russian).
10. Merzlyakov Yu.I. Avtomorfizmy klassicheskikh grupp [Automorphisms of classical groups]. Moscow, Mir Publ., 1976, 272 p. (In Russian).
11. Mikhalev A.V., Shatalova M.A. Avtomorfizmy i antiavtomorfizmy, polugruppy obratimykh matrits s neotritsatel'nymi elementami [Automorphisms and anti-automorphisms, semigroups of invertible matrices with nonnegative elements]. Matem. sb., 1970, vol. 81, no. 4, pp. 600-609. (In Russian).
12. Petechuk V.M. Automorphisms of matrix groups over commutative rings. Mathematics of the USSR-Sbornik. 1983, vol. 45, no. 4, pp. 527-542.
13. Plotkin B.I. Gruppy avtomorfizmov algebraicheskikh sistem [Groups of automorphisms of algebraic systems]. Moscow, Nauka Publ., 1966.
14. Khalezov E.A. Avtomorfizmy matrichnykh polugrupp [Automorphisms of matrix semigroups]. Doklady AN SSSR, 1954, vol. 96, no. 2, pp. 245-248. (In Russian).
15. Khalezov E.A. Avtomorfizmy primetivnykh kvazigrupp [Automorphisms of primitive quasigroups]. Matematicheskiy sbornik, 1961, vol. 61, no. 3, pp. 329-342. (In Russian).
16. Shmatkov V.D. Isomorphisms and Automorphisms of Matrix Algebras Over Lattices. J. Math. Sci., 2015, vol. 211, no. 3, pp. 434-440. https://doi.org/10.1007/sl0958-015-2614-z
17. Abe E. Automorphisms of Chevalley groups over commutative rings. Algebra and Analysis, 1993, vol. 5, no. 2, pp.74-90.
18. Bunina E. I. Automorphisms of Chevalley groups of different types over commutative rings. J. Algebra., 2012, vol. 355, no.l, pp. 154-170. https://doi.Org/10.1016/j.jalgebra.2012.01.002
19. Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups. J. Algebra. 1970, vol. 14, no. 2, pp. 203-228.
20. Groot J. Automorphism groups of rings, in: Int. Congr. of Mathematicians, Edinburgh., 1958, p. 18.
21. Hahn A.J., James D.G., Weisfelier B. Homomorphisms of algebraic and classical groups: a survay. Can. Math. Soc., 1984, no. 4, pp. 249-296.
22. Schreier O., van der Varden B.L. Die Automorphismen der projektiven Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg., 1928, vol. 6, pp. 303-322.
23. Seligman G.B. On automorphisms of Lie algebras of classical type. Trans. Amer. Math. Part III, 1960, vol. 97, pp. 286-316.
Andrey Litavrin, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Siberian Federal University, 79, Svobodny pr., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation, (e-mail: anmll@rambler.ru)
Received 09.06.18
