CC BY
300
В. Б. Поплавстй. Формулы Крамера /у1я систем линейных уравнений и неравенств
УДК 512.643.2+512.558
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ НАД БУЛЕВОЙ АЛГЕБРОЙ
В. Б. Поплавский
Саратовский государственный университет, кафедра геометрии E-mail: [email protected]
Получены аналоги классических формул Крамера для систем линейных уравнений и неравенств с квадратной матрицей коэффициентов из произвольной булевой алгебры.
Ключевые слова: линейные системы, Крамер, булевы матрицы, обратимые матрицы, детерминант, перманент.
Cramer's Formulas for Systems of Linear Equations and Inequalities Over Boolean Algebra
V. B. Poplavski
Saratov State University Chair of Geometry E-mail: [email protected]
There obtained analogies of classical Cramer's formulas for systems of linear equations and inequalities with square matrix of coefficients from Boolean algebra.
Key words: linear systems, Cramer, Boolean matrices, invertible matrices, determinant, permanent.
ВВЕДЕНИЕ
Теория детерминантов квадратных матриц с элементами из коммутативного кольца возникла из проблемы классификации алгебраических кривых в результате поиска Габриэлем Крамером способа решения систем линейных уравнений (1750 г.). Привлекая своим изяществом, формулы Крамера подвигнули к построению теории определителей над полями и распространению её на тела, кольца и полукольца.
Так, первые попытки введения «некоммутативных» детерминантов были сделаны Артуром Кэли для кватернионов. Далее, в основном в XX веке, с возникновением задач физики высоких энергий и теории элементарных частиц происходит появление различных типов некоммутативных определителей [1]. Последователи Ж. Дьёдонне [2, 3] вводят понятие определителя как гомоморфизма, определённого на группе обратимых квадратных матрицах над телом в его факторгруппу по коммутанту, т. е. как отображение, удовлетворяющее классической формуле Коши - Бине для определителей произведения квадратных матриц. Всякий гомоморфизм мультипликативной полугруппы квадратных матриц с элементами из некоторого кольца в некоторую коммутативную полугруппу с единицей, как показал И. С. Понизовский [4], можно рассматривать как определитель со свойствами аддитивности для строк и столбцов, левой однородностью для строк и правой однородностью для столбцов, обладающий в некотором смысле антиперестановочностью строк и столбцов и позволяющий считать обратимость матрицы А, эквивалентной условию det А = 0. Такой подход позволяет в некоторых случаях получить выражение элементов обратных матриц через детерминант и записать решения систем линейных уравнений в форме, аналогичной формулам Крамера (см., например, [5]).
Стремление ввести определитель квадратной матрицы в случае коммутативного полукольца также наталкивается на определенные проблемы. Это прежде всего происходит от того, что не все элементы полукольца имеют аддитивные обратные. Для матриц с элементами из коммутативного полукольца такие проблемы решались (например, в работах [6-10] и автором этой статьи) в случае произвольной булевой алгебры.
Определяя детерминант квадратной матрицы с элементами из произвольной булевой алгебры через симметрическую разность полуперманентов, определяемых ниже, мы не получаем гомоморфизма мультипликативной полугруппы квадратных матриц в коммутативное полукольцо, каковым является булева алгебра. Кроме этого он не обладает свойством полилинейности относительно строк и столбцов. Однако для такого детерминанта выполняется неравенство: det АВ < det А ■ det В и некоторое неравенство, заменяющее полилинейность относительно строк и столбцов. Это позволяет доказать, что введенный таким образом детерминант является инвариантом Н-классов Грина в частичной полугруппе булевых матриц всевозможных размеров. Более того, оказывается, что такой определитель
© Поплавский В. Б., 2011
43
рЩ^Ш^егЬ Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. Z011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. Z
даёт возможность ввести понятие минорного ранга, аналогичного соответствующему понятию в теории над полем. Этот ранг является инвариантом D-классов или совпадающих с ними J-классов Грина в частичной полугруппе булевых матриц всевозможных размеров. Эти и другие свойства таких булевых определителей, а также их приложения, можно найти в работе [11].
Метод решения линейных систем Крамера тесно связан с формулами разложения детерминантов по строке или столбцу, а также с выражением элементов обратной матрицы через алгебраические дополнения. Для матриц с элементами из коммутативного полукольца такие проблемы решались, например, в работах [7, 8, 10], а в случае произвольной булевой алгебры в статьях [12, 13].
В данной работе мы получаем аналоги классических формул Крамера для квадратных систем линейных уравнений с обратимой матрицей коэффициентов из произвольной булевой алгебры и распространяем их на случай систем линейных неравенств с произвольными квадратными матрицами коэффициентов.
1. ПЕРМАНЕНТЫ, ДЕТЕРМИНАНТЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ
Матрицы одного и того же размера m х n с элементами из произвольной булевой алгебры (Б, U, П,' , 0,1} вновь образуют булеву алгебру (BmXn, U, П,' , O, J}. Операции объединения U, пересечения П и дополнения ' матриц определяются поэлементно. Нулем и единицей такой вторичной булевой алгебры служат матрицы O и J размера m х n, образованные целиком из нулей и единиц соответственно.
Определение 1.1. Произведением матрицы A = (Aj) е BmXn на матрицу B = (Bt) е BnXk назовём матрицу C = A ■ B е BmXk, элементы которой вычисляются по формуле C\ = Un=i(At ПB^;).
Очевидно, что множество квадратных матриц с операцией произведения образует некоммутативную полугруппу с единицей E = (Sj), где Sj = 1, если i = j, и Sj =0, если i = j.
Определение 1.2. Определителем квадратной матрицы A = (Aj) с элементами из произвольной булевой алгебры (B, U, П,' , 0, 1} назовём симметрическую разность
Det A = (V A П (V A)') U (V A П (V A)')
+ -
полуперманентов V A = U № П A^2 П... П ) и V A = U (A?1 П A^2 П... П ).
(ai,...,a„)6+ (ai,...,a„ )eP
+ -
В этих формулах P и P обозначают соответственно все чётные и нечётные подстановки верхних строчных индексов.
+ -
Перманентом квадратной матрицы A = (Aj) называют Per A = (V AU V A).
Определение 1.3. Ориентированными присоединенными матрицами для матрицы A назовём
+ - ± j+j ±
матрицы adj A и adj A, элементами которых являются (adj A)j = a (V)dj A для всех i, j = 1,..., n. Здесь символом djA обозначена матрица, полученная из матрицы A удалением i-й строки и j-го столбца с условием, что остальные строки и столбцы сохраняют прежний порядок следования друг за
i+j , ^ m
другом, а a — функция знака. Функции знака a на ориентированных полуперманентах квадратной булевой матрицы A определяются следующим образом: a (V)A =V A, a (V)A =V A, если m —
m + - m - +
чётное, и a (V)A =V A, a (V)A =V A, если m — нечётное.
Определение 1.4. Матрица A называется обратимой, если существует такая матрица A-1, что выполняются равенства A ■ A-1 = A-1 ■ A = E. Матрицу A-1 называют обратной матрицей для A.
Общий вид обратимой булевой матрицы и различные условия обратимости хорошо известны (см. [8, 13-15]). Вывод формул из следующего утверждения, имеющих определённое сходство с известными выражениями для элементов обратных числовых матриц, можно найти в [12].
Теорема 1.1. Если (n х п)-матрица A обратима, то элементы обратной булевой матрицы A-1 определяются равенствами
(A-1 )j = Per dj A = Det dj A, i,j = 1,...,n,
т. е. они находятся как алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы AT.
44
Научный отдел
В. Б. Поплавстй. Формулы Крамера /у1я систем линейных уравнений и неравенств__
2. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
n
Рассмотрим систему n линейных уравнений (J (Ak П Xk) = Вг с n неизвестными Xг, i = 1,..., n
k=1
и перепишем её в матричной форме: AX = В. Аналог классических формул Крамера даёт следующее утверждение.
n
Теорема 2.2. Система n линейных уравнений U (Ak П Xk) = Вг с n неизвестными {Xг;
k=l
i = 1,... ,n} и с обратимой матрицей коэффициентов A имеет единственное решение, которое можно найти по формуле Xг = Per A^^]}. Здесь A^^]} — матрица, полученная из квадратной булевой матрицы A заменой её i-го столбца столбцом В.
Доказательство. Так как булева квадратная n х n-матрица A коэффициентов данной системы является обратимой, то, с одной стороны, для каждой неизвестной выражение Xг = (А-1 В)г = (JП=1 ((A-1 )k П Bk) даёт единственное решение. С другой стороны, учитывая, что Per = UП=1(Вк П PerdkA) есть разложение перманента по i-му столбцу (см. [12]) и
теорему 1.1, получаем Xг = Per A(B^]}. □
Пример 2.1. Пусть коэффициенты а и b в системе уравнений
J (а П x) U (b П у) = с, \(b П x) U (а П y) = d
удовлетворяют условиям а U b = 1 и а П b = 0. Тогда матрица коэффициентов перед неизвестными обратима, и единственное решение, найденное по формулам Крамера, будет следующее:
x = Per ( С ) = (а П с) U (b П d) и y = Per ( а ) = (а П d) U (b П с). d а b d
Получим теперь формулы Крамера для квадратных систем линейных неравенств.
Теорема 2.3. Пусть A — квадратная матрица размера n х n и X, В — столбцы размера n х 1.
+ -
Тогда из неравенства AX с В следует, что Det A П X с AU аdj A)B.
Доказательство. Так как Det A с Per A и для перманентов выполняются формулы разложения по любому столбцу или строке (см. [12]), то несложно показать справедливость неравенства
+ -
Det AПE с ((а^/ A)A)u((adj A)A), где E — единичная матрица. Тогда из неравенства AX с В в силу
+ + - -
изотонности произведения получаем неравенства (а^/ A)(AX) с (а^/ A)B и а^/ A(AX) с (а^/ A)B.
Следовательно, используя ассоциативность произведения булевых матриц и его дистрибутивность
+ -
относительно объединения матриц, получаем неравенство Det A П X с (а^/ AU а^/ A)B. □
Продолжение формул Крамера на случай систем линейных неравенств с коэффициентами из произвольной булевой алгебры даёт следующее утверждение.
Теорема 2.4. Для решений системы n линейных неравенств УП=1 (Ak П Xk) с Вг с n неизвестными Xг (i = 1,..., n) выполняются неравенства Det A П Xг с Per A^^]}.
Доказательство. Указанные неравенства получаются из формулы предыдущей теоремы 2.3 переходом к её поэлементной записи и формул разложения полуперманентов для матрицы A^^]} по столбцу В. □
Пример 2.2. Пусть A — квадратная матрица, а X и O — столбцы в уравнении AX = O над произвольной булевой алгеброй. Если Det A = 1, то X = O является единственным решением этого уравнения. Действительно, так как AX = O ^ AX с O, то выполняются формулы предыдущей теоремы и Xг с Per A^o^]}. В правых частях последних формул находятся перманенты матриц с нулевым столбцом, а такие перманенты равны нулю. Таким образом, Xг с Per A^o^]} = 0 для всех значений i, поэтому X = O является единственным решением уравнения AX = O.
В качестве следствий из рассмотренного примера получаем, во-первых, нулевая линейная комбинация строк или столбцов квадратной матрицы над произвольной булевой алгеброй с единичным детерминантом возможна только с нулевыми коэффициентами. Во-вторых, булевы квадратные матрицы с детерминантом равным единице дают примеры не взаимно однозначных (необратимых) в общем случае линейных операторов, определенных на полумодуле булевых векторов-столбцов, с ядром, состоящим из одного лишь нуля.
Математика
45
Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. Z011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. Z
Библиографический список
1. Дуплий С. А., Котульская О. И. Квазидетерминанты, некоммутативные детерминанты и необратимые суперматричные структуры || Вестн. Харьков. национального ун-та. 2003. Т. 585, вып. 1, 21. С. 19-28.
2. Dieudonne' J. Les determinants sur un corps noncommutatiff || Bul. Soc. Math. France. 1943. Vol. 71. P. 27-45.
3. Артин Э. Геометрическая алгебра. M.: Наука, 1969. 284 с.
4. Понизовский И. С. Об определителе матриц с элементами из некоторого кольца || Мат. сборник. 1958. Т. 45 (87), № 1. C. 3-16.
5. Кирчей И. И. Правило Крамера для кватернионных систем линейных уравнений || Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, № 4. С. 67-94.
6. Соколов О. Б. Применение булевых определителей к анализу логических многополюсников || Ученые записки Казанск. госун-та. 1963. Т. 123, № 6. С. 155-164.
7. Chesley D.S., Bevis J. H. Determinants for matrices over lattices || Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1969. A. 68, № 2. P. 138-144.
8. Reutenauer C., Straubing H. Inversion of matrices over УДК 512.548+ 512.571
О КОНГРУЭНЦИЯХ
ЧАСТИЧНЫХ n-АРНЫХ ГРУППОИДОВ
А.В. Решетников
Московский институт электронной техники, кафедра высшей математики -1 E-mail: [email protected]
Введено понятие Ri-конгруэнции частичного n-арного группоида как обобщение понятия правой или левой конгруэнции обычного группоида. Доказано, что при фиксированном i Ri -конгруэнции частичного n-арного группоида G образуют решётку, в которой решётка конгруэнций на G не обязатльно является подрешёткой. Построен пример, когда решётка конгруэнций частичного n-арного группоида G не является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на G. Даётся характеристика частичных n-арных группоидов, на которых при некотором i каждое отношение эквивалентности является Ri-конгруэнцией.
Ключевые слова: частичный группоид, n-арный группоид, решётка конгруэнций, решётка односторонних конгруэнций, решётка отношений эквивалентности.
a commutative semiring // J. of Algebra. 1984. Vol. 88. P. 350-360.
9. Kuntzmann J. Theorie des reseaux (graphes). Paris: Dunod, 1972.
10. Poplin P. L, Hartwig R. E. Determinantal identities over commutative semirings // Linear Algebra Appl. 2004. Vol. 387. P. 99-132.
11. Поплавский В. Б. О рангах, классах Грина и теории определителей булевых матриц // Дискретная математика. 2008. Т. 20, вып. 4. С. 42-60.
12. Поплавский В. Б. О разложении определителей булевых матриц // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 4. С. 199-223.
13. Поплавский В. Б. Обратимые и присоединенные булевы матрицы // Чебышевский сб. 2005. Т. 6, вып. 1. С. 174-181.
14. Rutherford D. E. Inverses of Boolean matrices // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1963. Vol. 6, № 1. P. 49-53.
15. Скорняков Л. А. Обратимые матрицы над дистрибутивными структурами // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 2. С. 182-185.
On Congruences of Partial n-ary Groupoids A.V. Reshetnikov
Moscow Institute of Electronic Technology, Chair of Higher Mathematics -1 E-mail: [email protected]
Ri -congruence is defined for partial n-ary groupoids as a generalization of right congruence of a full binary groupoid. It is proved that for any i the Ri -congruences of a partial n-ary groupoid G form a lattice, where the congruence lattice of G is not necessary a sublattice. An example is given, demonstrating that the congruence lattice of a partial n-ary groupoid is not always a sublattice of the equivalence relations lattice of G. The partial n-ary groupoids G are characterized such that for some i, all the equivalence relations on G are its Ri -congruences.
Key words: partial groupoid, n-ary groupoid, congruence lattice, one-sided congruence lattice, equivalence relation lattice.
Свойства конгруэнций универсальных алгебр активно изучаются многими авторами, и в этом направлении имеется немало интересных результатов; их обзор пердставлен, например, в [1]. Хорошо известно, что конгруэнции произвольной универсальной алгебры А образуют решётку по включению, и эта решётка является подрешёткой решётки отношений эквивалентности на множестве А. В работе [2] изучались алгебры, у которых конгруэнцией является любое отношение эквивалентности. Для таких алгебр была получена простая характеризация. К тому же она была уточнена для частных случаев универсальных алгебр — группоидов и полугрупп [2].
© Решетников А. В., 2011
