О кратных многочленах Капелли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

_ СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2016, Т. 158, кн. 1 С. 5-25

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 512

О КРАТНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ КАПЕЛЛИ

С.Ю. Антонов, А.В. Антонова

Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, 420066, Россия

Аннотация

В работе рассмотрен класс многочленов типа Капелли в свободной ассоциативной алгебре Е{Z} , где Е - произвольное поле, Z - счетное множество, обобщающий конструкцию кратных многочленов Капелли. Приведены основные свойства введенных многочленов. В частности, указано их разложение через многочлены того же вида и установлены некоторые соотношения между их Т-идеалами. Кроме того, установлена связь между двойными многочленами Капелли и квазимногочленами Капелли.

Ключевые слова: матричная алгебра, многочлен Капелли, полиномиальное тождество, свободная ассоциативная алгебра, симметрическая группа, стандартный многочлен, Т -идеал

Введение

Пусть Г - произвольное поле, Г{X} - свободная ассоциативная алгебра, порожденная счетным множеством X = {хп• Напомним, что двусторонний идеал I алгебры Г{X} называется Т-идеалом, если для любого эндоморфизма алгебры Г{X} справедливо включение у>(I) С I. Хорошо известно, что между Т-идеалами алгебры Г{X} и многообразиями ассоциативных Р1-алгебр существует взаимно однозначное соответствие.

Большое значение при изучении идеала тождеств многообразия алгебр имеют стандартный многочлен 5П"(х1 ,...,хп) sgn п хп(1) ■■■ хп(п) и многочлены

Капелли К2п-1(х1,... ,хп,У1,... ,Уп-1) = ^ sgn пх^(1) У1х^(2) ■■■ Уп-1х^(п), введенные Размысловым в [1] и обобщенные Ченгом [2] до двойных многочленов Капелли С2п(х,у). Дальнейшее развитие идей Ченга было продолжено в работах [3-7].

В настоящей статье максимально обобщена конструкция кратных многочленов Капелли, введенных в [4], установлены свойства этих многочленов и приведены некоторые соотношения между их Т-идеалами. Кроме этого, указаны конкретные тождества, которые выполняются в алгебрах, Т-идеалы которых содержат как кратные, так и классические многочлены Капелли, что особенно актуально в связи с нахождением базиса Z2 -градуированных тождеств Z2 -градуированной матричной алгебры М(т,к)(Г). В частности, авторы нашли минимальную степень четных квазимногочленов Капелли, являющихся тождествами матричной алгебры Мт(Г), а значит, и нечетной компоненты М<(т'т')(Г) из Z2 -градуированной алгебры М(т,т)(Г), что, в свою очередь, приводит к гипотезе дальнейшего «дробления» минимального тождества подпространства М(т'т\Г), найденного в [8].

1. Основные свойства многочленов Капелли типа (к,п,в; е)

Пусть п > 1, к - произвольные натуральные числа, в, г, а - неотрицательные целые числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < в < к — 1, 0 < г < к, 0 < а < к, = {а,а + \,...,к}, е = . .., е^}, (г > 0), - какое-либо подмножество 11, считаем, что е\ < • • • < е^; при г = 0 полагаем е = 0; е означает, что любые элементы с индексами из множества е, содержащиеся в выражениях, будут отсутствовать; X = У X (г'), где X(1) = ,...,Х(к) = {х^}*^ - счетные

л л

Г = 1

попарно непересекающиеся множества, - симметрическая группа степени п.

Определение 1. Многочлен Скп-в,е(х(1),...,х(к)) € ^{X} степени кп — в называется многочленом Капелли типа (к,п,в; е), или кратным многочленом Ка-пелли, если он имеет вид

С, (г(1) г(-к)) = С, (т(1) г(1)- • т(к-в) т(к-§+1)

^кп-веУ ^'''^ ) кп-з,е\^ 1 ■> • • • ■> ^п ' ' ' ' ' 1 ' ' ' ' ' п ' 1

хПп-1+1);...• х\к\...,хП-1)= X••• Ш X ••• X ^Мп ••• пк)ёх

п1

п

ут-

= 1

„(1) ...x(k) \ (1) ...x(k-s) 'пг(т) пк(т) ni(n) nk-s(n)'

Пусть р : 1П ^ N, ф : ^ N - произвольные отображения, г - любой

элемент из §, т - какой-либо элемент из I, при в > 0. Положим

С, (т(1) т(г-1) <пт(г) т(г + 1) —к-з+т-1) ф-к-в+т) к-в+т+1) -(к)) =

кп — в е\ ? * * * ? ? ^ ^ ^ • • • ^ ^ ^ ¡^^ ^ ^ ^ • • • ^ ^ } —

= С (-(1) г-1) х(г) х(г) г+1) -(к-8+т-1)

— ^ кп — § е\ } * * * } "I • • • 1 ■ ^ \ 1 ^ 1 • • • 1 ^

¥(1У ' ' ' ' ¥(n)'

(k-s+m) (k-s+m) -(k-s+m+1) -(к))

Хф(1) , ■ ■ ■ ,хф(и-1) ,x ,...,x ).

Кроме того, пусть l - произвольное натуральное число, B1, ■ ■ ■, Bi - какие-нибудь подмножества группы Sn, Bni = (B1, ■ ■ ■ ,Bl) , п = (п1, ■ ■ ■ ,ni). По определению положим ^^ • • • , в частности, если B1 = ■ ■ ■ = Bi = Sn, то мы

П£БП,1 П1ЕВ1 K1EB1

пишем ^^ • • • . Наконец, будем считать, что sgn п = sgn (п1 • • • ni),

nESn,i niESn niESn

sgn ng = sgn (п1 • • • ni)e. Заметим, что при l < к и e = Ik \11 справедливо равенство

sgn ng = sgn n.

Предложение 1. Многочлен Ckn-se(-(1), ■ ■ ■, X(k)) обладает следующими свойствами:

1) Если отображение у : 1П ^ N не является инъективным, то

Ckns,e(x(1\---^X(m),...,X(k) )=0 для любого m G s \ e.

В случае, когда char F = 0, e = 0, a G s p e, справедливо неравенство

Ckn-s,e(x(1) ,---,yx(a),...,x(k))=0.

2) Если отображение ф : ^ N не является инъективным, то

Ckn-s,e(x(1),...,^x(k-s+a),...,x(k))=0

X

для любого a G II при s > 0 и к — s + a G e.

В случае, когда char F = 0, e = 0, a> к — s и a G e, справедливо неравенство

3) Для всякой подстановки a G Sn и произвольного индекса m G s \ e справедливо равенство

Ckn-s,e(x(1), ■■■, ax(m),..., x(k)) = sgn aCkn-s,e(x(1), ■■■, x(k));

при e = 0 и a G s p| e имеет .место равенство

C kn- s,e(x^ ): ■ ■ ■ : ax( ) ? ■ ■ ■ ? Ckn-s,e(X ) ? ■ ■ ■ ));

4) Для всякой подстановки t G Sn-1 и произвольного индекса a G 11 (s > 0), для которого к — s + a / e, справедливо равенство

Ckns,e(x(1), ■■■, Tx(k-s+a), ..., x(k)) = Sgn TCkn-s,e(x(1), ■■■, x(k));

при e = 0, a> к — s и a G e имеет место равенство

Ckn-s,e(x( ^: ■ ■ ■ : Tx^ ^: ■ ■ ■ : x^ ^ ) Ckn-s,e(x( ^: ■ ■ ■ : x^ ^ ) ■

Доказательство. 1) Для любого отображения р справедливо равенство

Ckn-s,e(x(1),...,^x(m),...,x(k))= ^ Y^ Sgn Пё Sgn ТёХ

nESn,k-s тESn-i,s

X МГГ T(1) T(m-1) T{m) T{m+1) x(k-s) T{k-s+1) x(k) I X

/\ I II X / \ X / \ X / / \\X ( \ X / \X / ч X ( \ I /4

П

(1) (m-1) (m) (m+1) (k-s)

ni(r) nm-l(r) ¡f(nm(r)) Пт + 1(т) nk-s(r) Tk-s + l(r) тк (r)

\r=1

X x / \ ' ' ' x / \ x / /\\x/\'''x / \ ■

ni(n) nm-i(n) ip(nm(n)) nm+l(n) nk-s(n)

Допустим, что у не инъективно, тогда существуют р, ] € 1п такие, что р) = = <у(з). Пусть пт - произвольный элемент группы Бп. Тогда для некоторых а, Ь € 11п пт(а) = р, пт(Ь) = ] . Совместно с пт рассмотрим подстановку п'т € Бп, определяемую равенствами

(пт(1), если ¡€ {а,Ь};

если I = а; р, если I = Ь.

Обозначим п' = (п1,..., пт-1, п'т, пт+1,... . Поскольку sgn sgn =

= — sgn п'ё sgn Те, то

/п-1 \

П (1) (т) (к) 1 (1) (т) (к-в) +

sgn пе sgn Те I ^ \_хп1(т) х^(пт(т)) хтк (г) I хпг(п) х^(пт(п)) хпк-3(п) +

\ Г=1 \

Iп-1 \

(1) (т) (к) (1) (т) (к-в)

+ sgn пя sgn Те I х I ■ ■ ■ х I , , и • • • х , N х , N • • • х , , , „ • • • х , N = 0.

ь е ь е I 11 Пг(г) ф(п'т (г)) тк (г) I П1(п) ф(п'т (п)) Пк-,(п)

\г=1 )

Отсюда следует, что Скп-в,е(х(1),..., ух(т),... ,х(к)) = 0.

Пусть теперь char F = 0, e = 0 и a G s p| e, тогда при тех же обозначениях имеем sgn ng sgn Tg = sgn ng sgn Tg, и значит,

g Л ГГ (1) ... (a) ... (к) | (1) ... (a) ... (k-s) +

sgn ne sgn Te I J^ J^ xni(r) x^(na(r)) xrk(r) I xni(n) xp(na (n)) xnk-s(n) +

Пг(т) ф(па(т)) тк(т) I П1 (п) (п)) Пк-в(п)

\т=1 п-1

I I / ТТ (1) (а) (к) ^ (1) (а) (к-§) = 0

+ 8®п ^ Тё I II Хп1(т)•• •х^(п'а (т))•• •хгк(т) хп1(п)•• •х^(п'а (п))•• •хпк-я(п) =°. т=1

Отсюда заключаем, что Скп-зе(х(1),..., рх(а),..., х(к)) = 0.

2) Доказывается так же, как и 1).

3) Полагая в утверждении 1) настоящего предложения р = а, имеем Скп-в,е (х(1),...,ах(т),..., х(к))= £ ^п Пё sgn ТёХ

(п-1 \ 1

I 11 Пг(т) а(пт(т)) тк(т) I пг(п) а(пт(п)) Пк-в(п) ~

\т=1 )

= | полагаем пт = а-1^т, П = (пь ... ,пт-1, цт,пт+1,..., Пк-з)| = ^ ••Пт-1а-1 ••Пк-з)е sgn Т^х

/п-1 \

„(1) ЛЫ (к) \ (1) Ы) (к-з)

х

т=1

= sgn а Скп-з, е (х(1),..., х(к)). Проводя аналогичные рассуждения для индекса а, придем к равенству

Скп-з,е (-( ) 7 ... 7 а —( )>...> —( ) ) Скп-з,е(-( ), ... , — ( )).

4) Доказывается так же, как и 3). Предложение доказано. □

Пусть д - произвольное натуральное число такое, что 1 < д < п — 1, т - любой элемент множества з;

Ь(1) = = }

- произвольные подмножества 1п ;

¿(и) = 1п\Ь(и) = }, и € II,

1(т+1) = {¡(т+1), ..., ¡^Ы^},..., 1(к-з) = {I(к-з),..., ¡к-^}, т < к — в, д > 1,

- какие-либо подмножества 1п;

^ = 1п\¡(.) = к(:-+}, V €

Ъ(к-з+1) = {ъ[к-з+1),..., Ь(чк--1з+1)},..., Ь(к) = {ь[к),..., Ь^}, д > 1,

какие-нибудь подмножества I1

q-1i

n-1;

f(a) = In-1\b(a) = {f[a),...,fna-q}, a G Ik-s+1, p = n - q.

Кроме этого, будем считать, что

¿и < ■■■ <*(и), ¿и < ■■■ <4^, и € 1т, IV <■■■ <1{;\, ^ <■ ■ <нр+_1, V€т1,

Ь[а) < ■ ■■ <Ь(;\, ¡(а) < ■■■ <!(а), а € I— + 1.

Далее, пусть

х= (г(1) ,...,г(т)), 1 = (¡(т+1),...,1(к-в)), Ь = (Ь(к-в+1),...,Ь(к)),

¡Л = (¡1, . . . , Цт), и = (Шт+1, . . . ,^к-в ), Р = (Рк-в+1, . . . , Рк), где ¡1,...,ик-в € Бп , Рк-в+1, ...,Рк € Бп-1,

Е = Е ■■■ Е , Е = Е ■■■ Е ,

* г[1)<...<г(1) г1т)<...<г[т) л* л1еБп(г(1)) лтеБп(г(т))

Здесь Бп(1(1)),..., Бп(1(т)) - заданные подмножества группы Бп. Аналогично определим суммы , , , .

I Ь рЬ

ШюЖЦ пусть л' = (л11,...,л'т) , = (и'т +1,...,ик-в) , Р' = (Р'к-в+1 ,...,Р'к) . По определению положим

Е = Е Е Е Е ■■■ Е Е ,

(л,¡') теС1 л2ЕС2 л'2е02

где С1, 01,..., Ст, Вт - заданные подмножества группы Бп . Аналогично определим суммы , .

(ш,ш') (р,р')

Предложение 2. Пусть п > 2, 1 < д < п — 1, т € в . Тогда справедливо равенство

Скп-в,е(х(1), . ..,х(к)) = ЕЕЕ^ Sgn 7[, ё Sgn Гь,еХ

* I Ь

хС , ч (х(1) х(т) х(т+1) х(к-в) -(к-в+1) х(к) )

л Скд-(к-т)еУ хе(1) ,...-> , хн(т+1) ,...-> хик-°), х ¡(к-в+1) ,...->х ¿(к)!А

С (-(т+1) -(к-в) -(к-в + 1) х(к) _(1) -(т) )

Х Ск(р+1)-(в + т),е(х1(т + 1) , . . . , х 1(к-з) , хЬ(к-в + 1) ,... , хЬ(к) , х£(1) , . . . , хЦт) ),

где запись а*,ё = (а^1),. .., аг(т) )е, = (7^+1),. .. ,71(к-°) )е, Пь, е = Ы(к-°+1), .. ., ПЬ(к)) е означает, что из соответствующих строк удалены подстановки, индексы которых в круглых скобках принадлежат множеству е,

, 1 ... д д + 1 ... д + р. с ^ Т

агМ = у^и) ¿(и) ¿(и) ¿{и) I € Бп, и € 1

1 ... д — 1 д ... д + р

ЪЫ = I ,(у) ,(у) ,(у) ,(у) ) € Бп, v € 1т+1,

... 1ч-1 П1 ... пр+1,

1 ... д— 1 д ... д+р— ^^^

Ль(*) = (^И ... ^^ ^ ... ^) ) € Бп-1, а € 1к

(Сд—-к—7п)>е{((

(1)

х(т) х(т+1)

х(к-з) х(к-з+1)

х(к1)

с1(1У ' ' ' ' Н(т+1)> • • • ' Н(к-эУ ¡(к-з + 1)' ■ ■ ■ ' ¡(к)

4-1

(1)

Е Е 8®п а& 8ёп 5ё sgn Д:

ееБ„

1

(т)

с((т) ■

х

(т+1)

(т + 1) 6т + 1(г)

х(к-з) х(к-з+1)

' Х,(к-з) Х-

Ь(к-з + 1)

6к-з(г) ек-з + 1(г)

(к) Ь(к)

Ек (г) ,

(1) \(1)

(Я)

(т),

&т(Я)

Ск(р+1)-(з+т),е(х

(т+1)

х(к-з) х(к-з + 1) х(к) х(1) х

¡(т + 1) Х1(к-э) , ХЬ(к-э + 1) ХЬ(к) , Х£(1) , . . Х((т)

(т) ) =

Е

Т ^ $ р+1 ,к — з — т

Е Е ^ Те вёп Ь Sgn Пё{

ПЕЗр,т \т=1

(т+1)

(т+1) Тт + 1(г)

)=

(к-з) Н(к-з)

тк-з(г)

х х

(к-з+1)

(к-з + 1) £к-з + 1(г)

(к) (1)

г (к)

Х

(1)

£к(г) п1(г)

(т) *(т)< )

(т+1)

(т+1)

Л

Тт + 1 (Р+1)

Доказательство. Представим многочлен Скп-з,е в виде

Скп-з,е(-(1), . ., -(к)) = Е Е Е РШ(Х(1), -(к)),

где

I I ь

(к-з)

(к-з)

Н

Тк-з(Р + 1)

Рьыь(х(1\ .. .,Х(к)) = ЕЕЕ^п ¡ё ^ ше ^ РеХ

М^ ш1 рРь

(4-1

ТТ-Г^) Х(т) Х(т+1) Х(к-з) Х(к-з + 1) Х(к) .

I I «Х- / \ Лу / \ ал; / \ / \ АКУ / \ ЛУ / \ I /Ч

11 ^1(т) ^т(т) Шт + 1(т) Шк-з(т) рк-з + 1(т) Рк(т)

у Х(1) Х(т) Х(т+1) Х(к-з) Х(к-з+1) Х(к)

/\ <А; / \ <Х/ / \ I I / \ / \ Лу / \ ЛУ / \ /ч

М1(4) Мт(4) / I Шт+1(4) Шк-з(4) Рк-з + 1(4) Рк(4)

(п-1

П

т=4+1

Х(1) Х(т) Х(т+1) Х(к-з) Х(к-з + 1) Х(к)

Х / \ ' ' ' Х /\Х /\Х /\Х /\***Х ч I хЧ

М1(т) Мт(т) Шт+1(т) Шк-з (т) Рк-з + 1(т) Рк(т)

(1) (т) (т+1) (к-з)

\у гу*4 ' ... Т* Т* ... Т*

/\ <АУ / \ Лу / \ <КУ / \ / \

М1(п) Мт(п) Шт + 1(п) Шк-з(п)

Бп(Ь(и)) = {ри € Бп | Ри(11) = Ь(и), Ри{д +1,...,п} = ¿(и)}, и € II, Бп(1(у)) = К € Бп | ^ (11-1) = ¡(У),^ {д, ...,п} = V € 1т-+1,

Бп-1(Ь(а)) = {ра € Бп-1 | Ра(1\-1) = Ь(а),ра{д, ...,п — 1} = /(а)}, а € ^^

Нетрудно видеть, что для любых подстановок ¡Л1 € Бп(Ь(1)),..., ¡лт € Бп(Ь(т)), ^т+1 € Бп(1(т+1)),..., шк-з € Бп (¡(к-3)) , Рк-з +1 € Бп-1(Ь(к-3+1)), ...,рк € Бп-1(Ь(к)) справедливы равенства ¡ и

п-

аМи аг(и) , = ТШъ ЪМ , Ра = £ра £ра Пь(а) , где

аг(и) = I (и)

(и)

I

д

(и) 4

д + 1 ... д +

¿{и ... ¿(и)

(и)

Ь(и) г](и) г](и) ^ 04 С<<1 . . . р

¡и^и) ... ¡и(4и)),

Ь(и)

(и)

г.

(и)

в!

¡и(ьГ) ... ¡и(4и))

(и) (и)

в(и)/

т

X

X

т

1

1

П

М

1

4

а „ =

Ми

7И*) = ,(у)

¡(V)

д—1

¡(V) ¡д-1

д

н™

д

нр+1

¡^ ...

" (¡(1)) 1 ..

1 н1

(V)

¡V

¡К "V №)

¡(V) ¡д-1

V ^д-^

н

(V) 1

АV)

Н(V) '

"V (НР+1)/

Н(V) ' ... нр+1 Н(V)

... нР+1/

ПЬ(а)

(а) 1

д — 1

(а)

(а)

\-1 л

д + р — 1

г (а) 1

Ь[а)

(а)

Ь

(а) ¡а)1

I

(а)

Ь™1 Ра(Аа))

(а)

КРа(Ь[аУ)

и е 1т

Ь(а)

. . Ьд-1

.. Ра(Ь-)

V € ■

(а) 1

(а)

1(а) \

Ра(1(а))) ...

... 1Ра\

€ 1к-в+1.

Положим

Бп(й(и)) = {пи € Бп \ Пи\г(и) = гй}, Сп(г(и)) = {аи € Бп \ а^аи) = гй}, 0п(Н(^) = Т € Бп \ ^\1(*) = гй}, Еп(¡^ = {¿V € Бп \ бV= гй},

Рп-1(1(а)) = {Са € Бп-1 \ Са\ь(а) = гй}, Тп-1(Ь(а)) = ^ € Бп-1 \ £а^(а) а = (а1, . . . ,ат), п = (п1, . . . ,пт), б = (¿т+1, . . . , ¿к-в), Т = (Тт+1, . . . ,Тк-в), £ = (£к-в+1,...,£к), С = (Ск-в + 1, . . . ,Ск). Очевидно, что

Бп(с1(и)) = Бр, Сп(г(и))= Бд, и € 1т,

Пп(н(г,)) = Бр+1, ЕпУ^)^ Бд-1, V € т+Л

Рп-1(1(а)) = Бр, Тп-1(Ь(а)) = Бд-1, а € 1к-в+1.

Тогда

т -в

ГШ(х(1),...,х(к)) = ЕЕЕ^ П

гй},

(а,п) (6,т) (е£) \и=

к \ / /д-1

аипиа^и ^ П бV ^ 7К*)

1 'е \^=т+1 у

\а=к-в + 1

п

1

. . . | X

&1П1 а1(1) (г) £к£кпь(к)(г) ]

хх(1) ф ф ф | ( ''' X

&1П1а<:(1) (д) о-тпта^т) (д) II &т+1Тт+1 ^1(т + 1) (д) £к £.к Пь(к) (д)

п-1

х(1) х х х

п

г=д+1

„(к)

(1)

(т)

о-1П1а^1) (г) £к£.кПь(к) (г) i о'1П1а<:(1) (п) ^mпmat(m) (п)

Ат+1)

Лк-в)

&т + 1Тт+1^1(т + 1) (п) ^к-втк-в71(к-в) (п)

1

1

1

б

1

д

С

р

1

1

£р = ра

1

X

г

(т \ / т \ / к-в \

П ^ щ аИ sgn л ¿И х

.. .. ,, .... и=1 )е \и=1 )е \^=т+1 )ё

ХSgn I Л £а \ sgn I Л sgn I Л ПЬ(а)\ Х

\а=к-в+1 ) е \v=m+1 /е \а=к-в+1 /д

т к-в к

ХSgn ( Л пи] sgn ( Л ^ ) sgn I Л £а) Х

\а=к-в+1 /д

Vv=т+1

х

Гд-1

уг=1 (1)

(1)

(к)

(т) (т+1) (к-в) (к-в+1)

ха1(гГ}-)) ^ " хат(^Г))хбт+1(1(гт+1)) ^ " хбк-я(е-°))х£к-в + 1(Ь(гк-° + 1)) ^ " х£к (ЫК>)

(т)

(т+1)

(к-в)

(к-в+1)

(к)

па^) ■ьат(г(т))П ■ьтт+1(нт+1)) -тк-лн1к-в) )Ск-в+1(1(1к-'+1)) & и(к))

(1)

(т)

р

„(т+1)

Х хпМ1)) хпт(а1т-))\г=}2 хтт+1(н(Г+1)) х 1х

(к-в)

пт(4т)) тт+1(Н(р"++1)) тк-ЛН^)

(т \ / к-в \ / к \

а1М\ Sgn I 71М\ Sgn I Щ(а)\ Х

и=1 / е Уи=т+1 / е \а=к-в+1 / е

Х | sgn а еSgn бе Sgn £ ё

д-1

П

(1) Л1)

= 1 &1(г)

г=1

х(т) х(т+1) ■ х 1(т) х ¡(т+1)

х(к-в) х(к-в + 1) ¡(к-в) хЬ(к-в + 1)

¿к-в(г) ек-в + 1(г)

(к) (1) ■ хЬ(к) хг(1) ■ ' х г ек(г) I ^1(Ч)

(т)

(т) I Х

&т(я) !

Х I ^2 Е sgn Те sgn Се sgn пе

П

(т+1)

(т + 1)

Н

х х

(т+1)

Н

(т + 1)

1 Тт + 1(г)

(к-в)

х(к-в) х(к-в+1) т т

■х ,(к-в) х (к-в + 1) ■ ■■х, (к) х ( НТк-в(г) Т(к-в + 1(г) '<-- (г) а■

(1)

■ X

(т) (т)

(к-в)

Тт + 1(Р + 1) тк-в(Р+1)

£к(г) п1(г) т к-в

sgn П аь(и) \ sgn | | | Ч1(*) I ^п

пт(г)

С

(1)

П Ч1(«)\ ( п

1 / е Уи=т+1 ) е \а=к-в+1

(т) -(т+1) -(к-в) -(к-в+1) х(к)

ПЬ(а) Х

..., х\,' х

кд-(к-т),е ^хй(1) , . . . , Хй(т) , ХН(т + 1) Н(к-в) , Хе(к-в+1)Т-Ч "¡(к)

хС (х(т+1)

ХCk(p+1)-(в+m),e\__ ¡(т+1)

(т+1) х(к-в) х(к-в + 1) х(к) х(1) х(т)

т + 1) х [(к-в) , х Ь(к-в + 1) х Ь(к) , х г(1) х г(т) ) '

Полагая

а*,е = (аг(1),..аг(т) )е, 71, е = (71(т+1), 7Кк-°) )е, ПЬ, е = (ПЬ(к-в+1),..ПЬ(к) )е

приходим к равенству

Скп-в, е (х(1),..., х(к)) = YJ2J2sgn аi,еSgn 7*, еsgn пь, еХ

ь I ь

х(1) х(т) х(т+1) х(к-в) х(к-в+1) х(к)

х,(1) х ^(т) , х Н(т+1) , . . . , х Н(к-в) , х ¡(к-в + 1) , х ¡(к) ' Х

X С , ч (х(1)

Х Скд-(к-т),е \_й((1)

(т+1)

Х Ск(р+1)-(в+т), е {(т+1) , . . .,

(т+1) х(к-в) х(к-в+1) х(к) х(1) х(т)

т+1)' . . х ¡(к-в) , х Ь(к-в + 1) , . . х Ь(к) , х X1) , . . . , х г(т) ) .

Предложение доказано.

□

х

X

X

X

X

X

X

X

г

Следствие 1. При т = к — в верно равенство

Скп-з,е(Х{1), . ..,Х(к)) = ЕХ^п аь,ё Sgn Щ^Х

ь ь

X С, (Х(1) Х(к-з) Х(к-з+1) Х(к)\х

х Ск4-з,е\Хл(1) Ха(к-з), Хе(к-з+1)Х}(к)) х

а(к-зу е(к-з+1у ■ ■ ■' ¡(к)/

х С (Х(к-з+1) Х(к) Х(1) Х(к-з)\

х СкР,еуХЬ(к-з+1), .. ., ХЬ(к), Хг(1),..., Х((к-з)) .

Следствие 2. При в = 0 верно равенство

Скп,е(Х^1, Х(к)) = Е Е ^ аь,е ^ %е Ск4-(к-т),е(Х% хЫ) ,

ь I

-(т+1) х(к) _ (_(т+1) х(к) х(1) х(т)

ХН(т+1) , . . ХН(к)) Ск(Р+1)-т,е{Т\(т+1) , . . Х1(к) , Х((1) Х{(т) ) .

Следствие 3. При в = к — 1 верно равенство

Скп-(к-1),е(Х(1), . ..,-(к)) = аь,е Sgn

ь Ь

ХС , ч (х(^ х(2) Х(кМ С, (х(2) х(к) х(1^1 х Ск4-(к-1),е\Т ¿(1), Х ¿(2), .. ., Х ^(к)) СкР,^Х Ь(2),. .., ХЬ(к), Х г(1)) .

Следствие 4. При в = 0, т = к верно равенство

Скп,е( х (1\ х(к)) = Е аЬ,е Ск4,е(х ¿а)х ¿ад) • Скр,е(хЦ1) х .

Ь

В частности, полагая к = 1, е = 0 и опуская у букв верхний индекс (1), получаем

Б-(Хи..^Хп) = Е ^а^^Х'Я) • б--4(Х¿1).

Ь1 <...<гч

Заметим, что этот частный результат сам по себе имеет интересное следствие. Пусть п € N, А = {1,..., 2п}2п, Вп = {(31,...,32п) € А131 < 32, 33 < < 34,... ,32п-1 < 32п, 3т = 3к для различных т, к € {1,..., 2п}}.

Следствие 5. Справедливо равенство

Б2п (Х1, . . . , Х2п) £(31-Пп)[Х 31 , Х32 ][ ХД3 , Х34 } • • • [Х32п-1 , Х 32п ],

(З1...32п)евп

где £(з1...у2п) = ±1, а число слагаемых Ьп = (2п)!/2п . Доказательство. Пусть (31 .. .32п) € Вп,

ао = 0, ак = {32к-1,32к}, Ск € 1^п \ Ц*-^, вк = (32к-132к ...32п), где к € 1п . Применяя п раз следствие 4 к многочлену Б-п(Х1,..., х2п), имеем

Б—n(гl,..., х2п)=^ Щ ... Е sgn(аdl ...аап )[х31, х32]х

31<32 33 <34 32п-1<32п

(31,32^с1) (3'3,34^с2) (З2п-1,32п^сп)

Х [х3з , Х34 ] ^ ^ ^ ^32^-1 , Х32п ] ^ , 8ёп (а^1 . . . айп )[х 31 , Х32 ][Х 33 , Х34 ]"ЛХ32п-1 , Х32п].

(З1...32п)евп

Остается заметить, что

Ь = В , = С2 С2 С2 = (2п)! (2(п — 1))! 2 = (2п)!

Ьп = ^ = С2пС2(п-1) • --Ч = 2(2(п — 1))! • 2(2(п — 2))! ^ 2 • 0! = 2п .

Следствие доказано. □

Используя предыдущие обозначения, докажем следующее Предложение 3. Пусть д = 1, т, а € з . Тогда справедливы равенства

Скп-з,е(Х^11, . . . ,Х^кк) = ••• Е ((-^^ —^ хЦ^ ••ХМ Х

1^ = 1 гт) = 1 6 1 1

X С, г ^ (Х(т+1) х(к) х(1) х(т) V

х Скп-(з+т),е\ х , ... , х , х^(1) , . . . , х£(т) ) —

п п

= Е ••• Е (( —1)п-г1к-з-а+1) • ••( — 1)п-г(к-з0е Скп-3+а)е(х(1),..., 11к-з-а+1)=1 11к-з)=1 е

х(к-з-а) х(к-з-а+1) х(к-з) х(к-з + 1) х(к)\ ((к-з-а+1) х(к-з)

х ,Х1(к-з-а + 1) ,...,Х1(к-з) ,Х ,...,х Jxl1k — з — a + 1) • ^¿^к-з) .

Доказательство. Начнем с доказательства левой части требуемого равенства. Заметим, что

Скп-з,е (г(1),...,Г(k))= Е Гь(Г(1),...,Г(к)),

ь

где

Гь(Г(1\...,Г(к)) = ^ Е 8®п ¡6 ше sgn рё г{1^{1) • • • Г^^х

¡М Ш^Зп,к-з-т р^3п-1,з

(ш+1) ,x(k-s) x(k-s + 1) ,x(k) ИТ x(1) ...x(k) \ x(1) ...x(k-s)

Шт + 1(1) Шк-„(1) Pk-s+l(í) Pk (í) l J^ ^ Ml(r) Pk(r) I Ml(n) Uk-s(n)

Sn(t(u)) = ¡ e Sn |M„(1) = t1U\ ¡u{2,...,n} = d(u)}, u e im. Нетрудно видеть, что для любого ¡u e Sn(t(u)) верно равенство ¡u = nMuat(u),

где

( 1 2 ... tiU t^ + 1 ... n\

atM = Uu) 1 ... tU - 1 tU + 1 ... n Г

tU d[u) ... d(níl1 N tu ¡udU) ... ¡u(d(nu-í)/

Полагая Bn(d(u)) = {nu e Sn | nu(t1u)) = t1u)} и замечая, что Bn(d(u)) = Sn-1, sgn at(u) = ( — 1)tl 1, получаем

F,(x(1),x(k)) = ((-1)^-1 • • • (-1)^ -1l ■ xV ■ ■ ■ xm x

E Sgn Ш é sgn Pe sgn Пe x

x

fn-1 \

XIII x(m+1) x(ks) x(k-S+1) x(k) x(1) x(m) 1 x(m+1) x(k^)

/NIII.X' /\ «X' / \JU JU / \JU (1) ( m) I А «X'

П

r=1

—1) 1 ' ' ' ( — 1) 1 xt1) ' ' ' xt.m) Ckn-(s+m),e (&( . . . , x( ), Xfjl), . . . , x\(rl)

^m + l(r) Uk-s(r) Pk-s + 1(r) Pk(r) d(1) d(m) I Шm+1(n) Шk-s(n)

r=1 nm(r) t

Следовательно,

Скп-в, е (х(1), . ., х(к)) (( — 1)^-1 ■ ■ ■ ( — 1)^-1\ х(Ц) ■ ■ ■ хт Х

41) =1 гт)

Скп

кп-(в+т),

(т+1),

х(к) х(1) х(т) ,х{(1) ,...,хг(т)

Докажем правую часть требуемого равенства. Заметим, что

Скп-в,е (х(1),...,х(к)) = ^2 С1(х(1),...,х(к)),

где

аТ(х(1),...,х(к))= Е Е sgn п еSgn Те sgn Ре

пЕБпк-в-а тI рЕБп-1,в

п-1 П

(1) х(к-в-а) х(к-в-а+1) х(к-в) х(к-в+1) х(к)

П1(г) Пк-в-а(г) тк-в-а+1(г) тк-в(г) рк-в + 1(г) Рк(г)

х

(1)

(к-в-а) (к-в-а+1)

П1 (п) Пк-в-а(п)

п) тк-в-а + 1 (п

х(к-в) , ) Тk-в(n),

где Бп(^) = К € Бп \ ^(п) = ¡^^(11-1) = НЩ, V € 1кЦ-а+1.

Нетрудно видеть, что для любого ^ € Б^^) справедливо равенство

^ = = бт* Ъ(") ,

где

¡(V) ¡1

¡^ +1

п — 1 п

п

(V)

н

(V)

бт* = Ц*0 ^ (н^)

Полагая Б^Н^) = {бV € Бп \ бV (¡<{)) = 0п(к('"")) = Бп-1, sgnчк*) = ( — 1)п-1<1 ), получаем

Н(п-1 "

^ (н(:-1)у

/(V)

¡1 } и учитывая соотношения

Ст(х(1\...,х(к))=(у( — 1У

¡

(к-в-а+1) 1

( — 1)п-11к в)) Х

Л

х Е Е Sgn п е Sgn бе Sgn Ре

пЕБпк-в-а рЕБп-1,в

п-1

П

г=1

(1)

П1 (г)

(к-в-а) х(к-в-а+1) Пк-в-а(гГн(1к-в-а+1)(

(г)

х(к-в) х(к-в + 1) х(к) хН(к-в)( ) хрк-в + 1(г) хрк (г) Х

6к-в(г) /

* х(1) х(к-в-а) Х^-в^1) х(к-в)

Х хП1(п) ■ ■ ■ хПк-в-а(п) х11к-в-а+1) ■ ■ ■ х¿к-в)

(( — 1)п-1

(к-в-а+1) 1

(—1)

п — 1

(к-в)

1С

кп-(в+а),

(1),

х(к-в-а)

х(к-в-а+1)

х1(к-в-а + 1) ,

х(к-в) х(к-в +1) ' х1(к-в) , х ,

, х(к)

(к-в-а+1) (к-в)

(к-в-а+1) ¡1

,(к-в) ■ ¡1

X

X

г

).

X

X

к-в-а+1

Следовательно,

Ckn-S,e(xv...,x(k))= Е -Е ((-í)n-lik-s-a+1)• • •—i)n-l1k-s)

l(k-s-a + l) = 1 i(k-s) = 1

X C, , , N x(k-s-a) x(k-s-a+1) x(k-s) x(k-s+1) x(k)\x

л Ckn-(s + a), e \x , . . . , x'i(k-s-a+1) , ■ ■ ■ , xf(k-s), x , . . . i л

<k-S-a+l) <k-s)

l1 l1

Предложение доказано. □

Следствие 6. Пусть m = a = к — s, char F = 2 . Тогда

1 n n

Ckn-S,, (x(1),...,X(k))=±Y: " £ ( — У11'-1" Л — I)4"-"-1\ X

t{1) = 1 t{k-S) = 1 £

xix(1) ■■ ■x(k-s) -Cm i ^ (x(k-s+1) x(k) x(1) x(k-s) V

Л\ xt[1) xt{k-s) Ck(n-1),e ,...,x ,xt(1), . . . , xt(k-s) J"

(1) rlk-s) ~(k-s + 1) x(k)\x(1) .. ,x(k-s)

+ il)(n-1)[(k-s)-\ll-sne\]C (-(1) -(k-s) =(k-s+1) x(k)\ J1, .. ,

ТЧ 1) Ck(n-1),e\xf(1) ,...,xf(k-s) ,x ,...,x Jx^1) xt1k-s)

В частности, полагая s = 0, k = 1, e = 0, n = 2r и опуская у букв верхний индекс (1), получаем

1 n

S-(xi,...,xn) = - Y(-1)tl (xi,---,xt1 ,...,xn),xti }■ 2t1=1

Пусть q € In-i, m € Ij (s > 0), t(u) = {t^, .. . ^t^} - произвольное подмножество 1П, d(u) = 1П \ t(u) = {d'f\ } (u € I¡_s), l(v) = {lj"\ ...,l какое-либо подмножество I—, h(v) = I— \l(v) = {h^,..., } (v € I^L), b(a) = {ъ1\ ..., b^1}^ (q > 1) - какое-нибудь подмножество Ij_1, f(a) = I1-1 \ b(a) =

= {f1a\ ..., f—q} (a € Ik_s+m+1). Напомним, что числа, входящие в рассматриваемые множества, возрастают с увеличением нижнего индекса. Кроме того, мы сохраняем смысл введенных выше обозначений. Тогда по аналогии с доказательством предложения 2 можно проверить, что справедливо

Предложение 4. Пусть n> 3, 1 < q < n — 1, m € Is . Тогда

Ckn_S,e (x(1), . ..,x(k)) = Sgn Yl,e Sgn ПЪ,ё X

ti Ib

s, C , n {r{1) r(k_s) X(k_s + 1) -(k_s+m) x(k_s+m+1) -(k) \

X Ckq_(s_m),e \yx ё(1) , . . . , Xё(k-s) , x ё (k-s + 1) ^ . . , + , x^(k-s + m + l) , . . . , x ё (k)) X

v C fx(k_s+m+1) x(k) x(1) x(k_s) x(k_s + 1) _(k_s+m)\

X Ckp_m,e yxb(k-s + m+l) , . . . , xb(k) , x((l) , . . . , xt(k-s) , x¡(k-s + l) , . . . , xÍ(k-s + m) J ,

где

ai,ё = (a-tii),.. ., at(k-s) )ё, J¡¿ = (h(k-s+i),..., Y¡(k-s+m) )ё, ПЪ,ё = (nb(k-s + m + 1) , . . . , Vbk )ё,

f 1 ... q q + 1 ... q + p\ ^ q

at(u) = yt1u) t(u) dU dPu) ) € Sn, U € ^k_s,

, 1 ••• q q + 1 ••• q+p-Л cQ c Tk-s+1

Yi(v) = Цv) l(v) h(v) h(v^ je ьп-1, V e ik-s+m,

1 ••• q-1 q ••• q+p- . _ Tk-s+m+1

Vb(a) = yb1a) ^(a)i fia) f(a) )e Sn-i, a e Ik

Следствие 7. При m = s верно равенство

Ckn-s,e(x(1), • ••,x(k)) = E^sgn aM sgn

t l

■xC, fx(1) x(k-s) x(k-s+1) x(k)

x Ckq,^xâ{1) ,•••, x^k-s), xh (k-s + 1) 4 xh (k)) x

xC, fx(1) x(k-s) x(k-s+1) x(k)'

^ C kp—sel x i • • • 1 x in„ 1 x f/i. 1 ••• 1 x

kp-s,eyxf(1) ^ • •1 xt(k-s) 1 xi(k-s + 1) 1 • • •1 xî(k)

2. Некоторые соотношения между Т-идеалами кратных многочленов Капелли

Пусть X = У X(т), где X(т) = {гп^}пе у, г =1, 2, 3,..., - попарно непересека-

(т)

^ ' , где ^ ' = {Г

т=1

ющиеся счетные множества, {Скп-з,е}т - Т-идеал алгебры Г{X}, порожденный кратным многочленом Капелли Скп-з,е(Г(1),..., Г(к)). Далее, если е = 0, то вместо Скп-3% будем писать Скп-з. Заметим также, что С^п = Бn2(г(1)), С1п{1} = = Б+(Г(1)).

Предложение 5. Для алгебры Г{X} справедливы следующие утверждения:

1) Пусть в = 0, г € 1з — 1 ? тогда {Скп-з,е }Т 2 {Скп-т,е}т .

2) Пусть в =0 , г € 1°-1 , тогда {Скп,е}Т 2 {Ск(п+1)-т,е}т .

3) Пусть т > п + 1, г € 11-1, тогда {Скп-з,е}Т 2 {Скт-т,е}Т .

Доказательство этих утверждений следует из определения Т-идеала и предложения 3.

Следствие 8. Для алгебры Г{X} справедливы следующие серим включений:

1) {[Г/и1^ 2 {Б-(г(1))}т 2 • • • 2 {Бп-(Г(1))}Т 2 • • •;

2) {{г1),Г2))}т 2 {БНг(1))}Т 2 • • • 2 {Б+(Г(1))}Т 2 • • •, де [х(1) ¿аь = х(1)х(1) х(1)х(1) (х(1) х(1ь = х(1)х(1) + х(1)х(1)

¿сс уГ 1 , Г<2 \ — Г1 х^ х1 ] \Х1 , Г<2 ) — х1 х2 х2 х1

Следствие 9. Для любого натурального числа к > 1 и произвольного подмножества е С 11 для алгебры Г{X} справедливы включения

{Ск-2-1,е }Т 2 {Ск 2,е} 2 {Ск } 2-^2 {Ск }т 2 {Ск •3,е} 2 • • •

Теорема 1. Для алгебры Г{X} справедливы следующие утверждения:

1) Пусть 1 < I < к, а С 11, и С 11к+1, е = а У и, к — I — |и| = 2с, тогда если т = п, то {С1т,а}Т 2 {Скп,е}Т , а если т<п, то {С1т,а}Т 2 {Скп-з,еСТ .

2) Пусть 1 < I < к, а С 11-1 (при I = 1 а = 0), и С 11+1,

е = а У {¡^ и и,

к — I — |и| = 2с — 1, тогда если т = п, то {С1т,а}Т 2 {Скп,е}Т, а если т < п, то

{С1т,а} 2 {Скп-з,е} .

Доказательство. Для эндоморфизма р1 алгебры Г{X}, определенного по формуле

С (I) (г+1) (к) (I) . т1

\г3 г3 • • г3 , если г = г3 ,3 € 1т; р1(г) = J 3 3 3 3 Ы

А Г (l) (0l

если x e {x! 1 • • • 1 xm }1

справедливо равенство

(С1т,а(Г(1), ■■■, Г(1))) = Е sgn Па • П Г™,.) • • • Г(Ц)Г(!+! • • • Г(к)

П1(т) Пь(т) Пь(т) Пь(т)"

ПеБтЛ т=1

Пусть а1+1,. .. ,ак - произвольные элементы группы Бт, а = (а(+1, .. ., ак). Определим эндоморфизм (а,и алгебры Г{X} по формуле

'¿а^иу если Г = € 1М-1^ € 1к+1;

■,а,и(г) = < sgnауиГ^ы), если г = гМ)^ € 11к+1;

, с (г+1) (г+1) (к)х г, если г € {¿1 ,..., Г'т ,..., Г'т },

ау при V € и; где sgn ау,й = < Тогда

0 при V € и.

А = Са,иР1(С1т,а(г(1), . . . ,Г(1))) = ^ Sgn Па Sgn а

т

П

х I I Г(1\ -Г(1\ х(1+1) , ■, ■ ■ ■ Г(к) =

П1(т) Пь(т) аь + 1Пь(т) ак пь(т)

т=1

]Г ]Г Sgn (п1 • • • П1-1Па)а аи П ГП!(т) • • • ГП!1(т)Га++11ц(т) • • • г{а!пг1{т).

ПеБт,1-1 1=1 т=1

Полагая ау = Пгуп-1 , V € 11}+1, получаем, что

т!

А= Е^с ••ПI-1П ¡)аХ

пеБт 1-1 г=1

Х Sgn(Пг 1+1 • ••Пгк )и ^ Пг1 )к-1 ^ • Ц ¿^(т) • • • ¿П) (т/П^т) ^ ^ ^ ^(тУ (1)

т=1

Пусть к — I — |и| = 2с, тогда

т!

Са,иРь(Сьт,а) = ^ ^ Sgn (П1 • ••П1-1Пц)а Sgn (пг 1+1 • ••Пгк )и Х пеБт,1-1 г=1

т

х Л • • • г(п) ,т)г(!+1),_ ч • • • Г(к

Отсюда

П1(т) пц(т) ПЦ + 1(т) Пък(т)'

т=1

Е •^Е ^а,иР1 (См,а) = Е Е Sgn(пl• ••П1)аХ

+ СкЕБт П1 + 1^Бт Пк Еб'т ПЕ&'т,1

т

Х sgn(пl+l• • • Пк)и • П^О^ ••Г((кк)(т) = Скт,е (Г(1), . . . , Г(к)),

т=1

и значит, {С1т,а}Т 2 {Скт,е}Т .

X

Если т < п, то по следствию 9 {Скт,е}Т 2 {Скп-э,е}Т, отсюда вытекает, что

{С1т,а}Т 2 {Скп — э,е}Т •

Пусть теперь к — I — |и| = 2с — 1, I / а, тогда равенство (1) примет вид

т!

Са,и^1(С1т,а) ^ ^ Sgn (п1 ■ ■ sgnПи sgn(пiг+l ■ ■■■Кък)иsgnпцХ

1=1

т т!

х П ХП%) ■ ■ ■ ХП1(г)ХП+1Ц(г) ■ ■ ■ хПмг) = Е ■■ П1—1)а х

г = 1 пеБт¡_ 1 г=1

х Sgn(пi 1 + 1 ■ ■■Кг к )и ■ П Х1%) ■ ■ ■ Х£, (Т)х(!+Ц

Отсюда

П1(г) Пц(т) ПЦ + 1(т) П1к(г)'

Г = 1

(а,и¥1 (Ст,а) = Е ■ ■ ■ Е Е ^п(п1■ ■■П1—1)ах

Е ••• Е

+ о-кЕБт + Пк Е&'т пЕ&'т,I

Х(1) .Х0 Х('+1) ■Х(к) =

х sgn (П1 + 1 ■ ■ ■ Пк)а ■ П ХП11(

Скт,аи{1}ии(х(1\ ■ ■ ■ , Х(к)) = Скт,в,

П1(г) П1(г) П1 + 1 (г) Пк(г)

г = 1

и Значит, {С1т,а}Т 2 {Скт,в}Т ■

Далее, если т < п, то по следствию 9 {Скт,е}Т 2 {Скп—з,е}Т, отсюда вытекает, что {С1т,а}Т 2 {Скп—в,е}Т • Теорема доказана. □

Следствие 10. При любом натуральном п > 1 для алгебры Г{X} справедливы следующее серим включений:

1) {й— }Т 2 {Сзп}Т 2 {С5п}Т 2 ■ ■ ■ 2 {С(2г+1)п}Т 2 ■■ ■ ;

2) {й— }Т 2 {С2п,1}}Т 2 {С3пл}Т 2 ■■■ 2 {Скп}Т 2 ■■

3) {й—}Т 2 {С2п,{2}}Т 2 {С3п,{2}и{3}}Т 2 ■■■ 2 {Скп,12 }Т 2 ■■ ■

Доказательство. 1) В утверждении 1) теоремы 1 положим т = п, а = и = = 0, с = 1, I = 2г — 1, г € N, тогда к = I + 2 = 2г +1 ,и мы приходим к серии включений 1) •

2) В утверждении 2) теоремы 1 положим т = п, I = 1, а = и = 0, к = 2, тогда {й—}Т 2 {С2п{1} }Т, затем полагаем I = 2, а = {1}, и = 0, к = 3, получаем {С2п,{1}}Т 2 {Сзп,{1}и{2}}Т • Повторяя этот процесс, придем к включениям 2).

3) В утверждении 1) теоремы 1 положим т = п, I = 1, а = 0, к = 2, и = {2}, с = 0, тогда {й—}Т 2 {С2п,{2}}Т, затем полагаем I = 2, а = {2}, к = 3, и = {3}, получаем {С2п,{2}}Т 2 {Сзп,{2}и{з}}Т • Повторяя этот процесс, придем к включениям 3) • Следствие доказано^ □

Следствие 11. При любом натуральном п > 1 для алгебры Г{X} справедливы следующие серии включений:

1) {С2п}Т 2-^2 {С(2г)п}Т 2 ■■ ■;

2) {С2п}Т 2 {Сзп,{2}}Т 2 {С4п,{2}и{з}}Т 2-^2 {Скп,11_1)}Т 2 ■ ■ ■

Доказательство. 1) В утверждении 1) теоремы 1 положим т = п, а = и = = 0, с =1, придем к включениям {С2п}Т 2 {С4п}Т 2 {Сбп}Т 2 ■ ■ ■ •

2) Полагая в утверждении 2) теоремы 1 т = п, I = 2, а = 0, к = 3, и = 0, получим {С2п}Т 2 {Сзп,{2}}Т, затем полагаем I = 3, а = {2}, к = 4, и = 0,

получаем {С3п,{2}}Т 2 {С4п,{2}и{з}}Т • Продолжая аналогичные рассуждения, получим последовательность

{С2п}Т 2 {С3п,{2}}Т 2 {С4п,{2}3{3}}Т 2 • • • 2 {Скп,12_1 }Т 2

Следствие доказано.

□

Предложение 6. При любом натуральном п > 1 для алгебры Г{X} справедливы следующее серим включений:

1) {^г 2 {С2п}ТТ 2 • • • 2 {С(2т)п}Т 2 •• • ; Т Т

2) ^п } 2 {С2п} 2 {С3п,{2}} 2 {С4п,{2}и{3}} 2 • • • 2 {Скп,11_1 } 2 •• '

Доказательство. Включение {5—}Т 2 {С2П}Т следует из теоремы Ченга [2], остальное - из следствия 11. Предложение доказано. □

Пусть А+ = {п € Бп | sgn п = 1}, А- = {т € Яп | sgn т = — 1}. Рассмотрим четные квазимногочлены Капелли:

ы*(1),х(2)) = Е Е П

(1) (2) п(г) т (г)

пел+тел+г=1

—

пел- тел- г=1

(1) (2) п(г) т (г)'

92п(х(1), Х(2)) = Е Е П

пел+ тел- г=1

(1) (2)

хп(г)х т (г)

—

пел-тел+г=1

х(1) х(2) п(г) т (г)'

б2п(Х(1), Х(2))= Е Е ^

пеБптел+

п (1) (2) (1) п п(1) т(1) п(2)

(1) (2) (1)

Н2п(Х(1\*(2))= Е Е ПХп(1Гт(1Гп(2)' пеБптел-

а2п(х(1), х(2)) = ^^ ^^ sgnтхп/л)хта-.х

(1) (2) (1) п(1) т(1) п(2)

т ел+т

С2п(х(1), х(2)) = ]Г ]Г

(1) (2) (1) с! сгп /-у» 4 ' гу»4 '

т п(1) т(1) п(2

(1) (2) , п(п) т(п)

(1) (2) , п(п) т(п)

(1) (2) , п(п) т(п)

(1) (2) п(п) т(п)

телп те$п

Стоит отметить, что квазимногочлены Капелли представляют интерес в связи с задачей нахождения базиса Z2 -градуированных тождеств Z2 -градуированной матричной алгебры М(т,к)(Г). Основные свойства квазимногочленов Капелли приведены в работах [7, 9]. Связь между введенными объектами устанавливает

Предложение 7. При любом натуральном п > 1 для алгебры Г{X} справедливы равенства:

1) /2п(х(1), Х(2)) — Я2п(х(1), Х(2)) = С2п,{1}(х(1), Х(2));

/2п(Х(1), Х(2))+ Я2п(Х(1), *(2)) = С2п,{2}(Х(1), х(2));

2) Ь2п(Х(1), Х(2)) — Н2п(Х(1),Х(2)) = С2п(Х(1), Х(2)); Ь2п(Х(1), Х(2)) + Ь2п(Х(1), Х(2)) = С2пЛ2}(Х(1), Х(2));

3) а2п(Х(1), Х(2)) — С2п(Х(1), Х(2)) = С2п(Х(1), Х(2)); а2п(Х(1), Х(2)) + С2п(Х(1), Х(2)) = С2пЛ1}(Х(1), Х(2));

4) Ь2п(Х(1), Х(2)) — а2п(Х(1), Х(2)) = #2п(Х(1), Х(2)); Н2п(Х(1), Х(2)) + а2п(Х(1), Х(2)) = /2п(Х(1), Х(2));

5) Н2п(Х(1), Х(2)) — С2п(Х(1), Х(2)) = 92п(Х(1), Х(2));

Ь2п(х(1),х(2)) + C2n(x(1\ x(2)) = /2и(х(1),х(2)};

6) если char F = 2, то 2Ь2п(х(1) ,x(2)) = С2п{2}(х(1) ,x(2)) + C2n(x(1),x(2)); 2h2n(x(1),x(2)) = C2n,{2} (x(1),x(2)) - C2n(x(1),x(2));

7) если char F = 2, то 2a2n(x(1), x(2)) = C2n {1}(x(1), x(2)) + C2n(x(1), x(2)); 2c2n(x(1), x(2)) = C2n,{1} (x(1), x(2)) - C2n(x(1), x(2)).

Доказательство. Проведем доказательство для первого равенства, поскольку для остальных оно аналогично. Итак,

n

C2n,{1} (x^-1, x(2) )=Z тП х^х™) =

nesntesn r=1

E E Пхп(г)хт(г) E E Пхп(г)хт(г)

пел+ teA+ r=1 пел- tел- r=1

- (EE IRW?.) -E E Пх п^ i2>

VeA+ tea- r=1 пел- tea+ r=1

= f2n(x(1), x(2)) - g2n(x(1), x(2)).

Предложение доказано. □

Предложение 8. Пусть char F = 2. Тогда при любом натуральном n > 1 для алгебры F{X} справедливы включения: {S—}T D {f2n}T; {S—}T D {g2n}T; {S-}T 2 {b2n}T; {S-}T 2 {h2n}T ; {S-}T 2 {a2n}T; {S-}T D {c2n}T .

Доказательство. Проведем доказательство для первых двух включений, так как для остальных оно аналогично. В силу следствия 10 {S—}T D {C2n,{1}}T, {S—}T D {C2n{2} }T. Отсюда и из утверждения 1) предложения 7 получаем, что {S- }T D {f2n - g2n}T, {S-}T D {f2n + g2n}T. Из этих включений и из того, что char F = 2, вытекает, что {S— }T D {f2n}T, {S— }T D {g2n}T. Предложение доказано. □

Предложение 9. Пусть е = 0 либо е = {2}. Тогда при любом натуральном п > 1 для алгебры Г{X} справедливы включения:

{К2п—1}Т 2 {С2п — 1,е}Т 2 {С2п,е}Т 2 {С2(п+1) — 1,е}Т 2 {С2(п+1),е}Т 2 ■ ■ '

Доказательство. Пусть т - произвольный элемент группы Бп • Определим эндоморфизм Ст,е алгебры Г{X} по формуле

'Х^), если Х = хХр ,3 € 1п—2 (при п > 2);

Ст,е(х) = \ ^п та х{рп—1у если х = х^^;

л г (2) (2) 1

х, если х € {х 1 ,■■■, хп_ 1},

{sgn т, если е = 0,

Тогда

0, если е = 0.

(1) (2) (1) (2) (1) Ст,е(К2п—1)=1^ ът П ът та ХП(1)ХТ(1)ХП(2)" ■ Хт(п—1)ХП(пУ

пвб'п

Отсюда Е Е ^ п ^ ти х%)х^)ХП%) х^^^х^ = с2п-1,в(х(1), х(2)).

т пеБп

Следовательно, {К2п-1}Т 2 {С2П-1,е}Т. Остается заметить, что оставшаяся часть включений вытекает из следствия 9. Предложение доказано. □

Замечание 1. По аналогии с предложениями 2 и 3 можно доказать, что для любого 1 < д < п — 1 справедливо равенство

К2п-1(х(1\х(^) = V sgn аг ^-М?, ...,

tl<...<tq

(1) (2) (2) ) (2) Xtq , X1 , ■ ■ ■ , Xq-1! Xq X

tq , X1 , ■ ■ ■ , Xq-1) • Xq

X K2(n-q)-1(xdl, ■ ■ ■ 'Xdn-q 'Xq+1' ■ ■ ■^'П-^^

Отсюда следует, что {K22-i}T 2 {K22Y 2 {K2 3-i}T 2 {K2s}T 2 ••• , где

Koo 1- Гоо 1- X(1) X(2)X(1) x(1)x(2)x(1)

K2-2-1 — Г2-2-1 — Xi Xi X2 — X2 Xi Xi .

Замечание 2. Кемер показал [10], что для некоторого числа m(n) справедливо включение {S- }Т 2 {K2m-i}T.

Пусть A - произвольная ассоциативная алгебра над F, Mm(F) - матричная алгебра с элементами из поля F, T [A] - идеал тождеств A в алгебре F{X}.

Замечание 3. Применяя полученные выше результаты к алгебрам со стандартным тождеством S—, для любого n > m будем иметь следующие цепочки включений

1) т [A] 2 {S-}T 2 {ГзпУ 2 {ГпУ 2 •••2 {r{2r+i)n}T 2 • • • ;

2) T[A] 2 {S-}T 2 {Г2п,1}}T 2 {Г3пл}T 2 ••• 2 {Гкп,Ч-1 }T 2 ••• ;

3) T[A] 2 {S-}T 2 {Г2пЛ2}}T 2 {Гзп,{2}и{зу}T 2 ••• 2 {Г^}T 2 ••• ;

4) T[A] 2 {S-}T 2 {Г2пУ 2 {C4n}T 2 • • • 2 {C(2r)n}T 2 ••• ;

5) T[A] 2{S-}T 2{Г2пУ 2{r3n,{2}}T2{r4n,{2}u{3}}T 2 • Q {Гщ^}T2 •• ;

6) T[A] 2 {S-}T 2 {f2n}T, T[A] 2 {S-}T 2 {g2n}T,

T[A] 2 {S-}T 2 {b2n}T, T[A] 2 {S-}T 2 {h2n}T, T[A] 2 {S-}T 2 {a2n}T, T[A] 2 {Sn }T 2 {c2n}T при условии, что char F — 2.

В частности, если A — Mm(F), то в силу теоремы Амицура - Левицкого [11] цепочки включений будут выполняться при любом n > 2m.

Замечание 4. Пусть N(k,m) означает наименьшее n G N, при котором {rkn}T Q T[Mm(F)]. В работах [4, 5] показано, что N(k,m) — 2m. Отметим, что случай k — 2 был впервые исследован Ченгом [2] (см. также [3, 6, 12]). Аналогичную задачу можно рассмотреть и для многочленов f2n, g2n, b2n, h,2n, a2n, C2n .

Предложение 10. Наименьшее n G N, при котором каждый из квазимногочленов Капелли f2п, g2n, b2n, h2n, a2n, C2n G T[Mm(F)], равно 2m .

Доказательство. Проведем доказательство для многочлена f2n, поскольку для остальных оно аналогично. Пусть char F — 2, и d(m, F) означает наименьшее n G N, при котором f2n G T[Mm (F)]. Тогда из утверждения 6) замечания 3 вытекает, что d(m, F) < 2m, а из теоремы 4 работы [8] следует, что d(m, F) > 2m — 1. Отсюда d(m, F) — 2m. Так как коэффициенты многочлена f2n равны ±1, то ограничение char F — 2 для матричной алгебры Mm(F) становится несущественным, и его можно снять. Предложение доказано. □

Литература

1. Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в PI-алгебрах // Алгебра и логика. - 1974. -Т. 13, № 3. - C. 337-360.

2. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. -

1988. - V. 104, No 3. - P. 707-710.

3. Domokos M. A generalization of a theorem of Chang // Communications in Algebra. -1995. - V. 23, No 12. - P. 4333-4342.

4. Szigeti J., Tuza Z, Revesz G. Eulerian polynomial identities on matrix rings //J. Algebra. - 1993. - V. 161, No 1. - P. 90-101.

5. Lee A., Revesz G., Szigeti J., Tuza Z. Capelli polynomials, almost-permutation matrices and sparse Eulerian graphs // Discrete Math. - 2001. - V. 230, No 1-3. - P. 49-61.

6. Антонов С.Ю., Антонова А.В. К теореме Ченга // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2015. - Т. 15, Вып. 3 - С. 247-251.

7. Антонов С.Ю., Антонова А.В. О квазимногочленах Капелли // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2015. - Т. 15, Вып. 4. - С. 371382.

8. Антонов С.Ю. Наименьшая степень тождеств подпространства матричной супералгебры M(m'k)(F) // Изв. вузов. Матем. - 2012. - № 11. - C. 3-19.

9. Антонов С.Ю. Некоторые виды тождеств подпространств

матричной супералгебры (F) // Учен. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем.

науки. - 2012. - Т. 154, кн. 1. - С. 189-201.

10. Кемер А.Р. Замечание о стандартном тождестве // Матем. заметки. - 1978. - Т. 23, № 5. - C. 753-757.

11. Amitsur S.A., Levitzki J. Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. -1950. - V. 1, No 4. - P. 449-463.

12. Giambruno A., Sehgal S.K. On a polynomial identity for n x n matrices // J. Algebra. -

1989. - V. 126, No 2. - P. 451-453.

Поступила в редакцию 04.02.15

Антонов Степан Юрьевич, старший преподаватель кафедры высшей математики Казанский государственный энергетический университет

ул. Красносельская, д. 51, г. Казань, 420066, Россия E-mail: antonovst-vm@rambler.ru

Антонова Алина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

Казанский государственный энергетический университет

ул. Красносельская, д. 51, г. Казань, 420066, Россия E-mail: antonovakazan@rambler.ru

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2016, vol. 158, no. 1, pp. 5-25

On Multiple Polynomials of Capelli Type

S.Y. Antonov*, A.V. Antonova**

Kazan State Power Engineering University, Kazan, 420066 Russia E-mail: *antonovst-vm@rambler.ru, **antonovakazan@rambler.ru

Received February 4, 2015 Abstract

This paper deals with the class of Capelli polynomials in free associative algebra F{Z} (where F is an arbitrary field, Z is a countable set) generalizing the construction of multiple Capelli polynomials. The fundamental properties of the introduced Capelli polynomials are provided. In particular, decomposition of the Capelli polynomials by means of the same type of polynomials is shown. Furthermore, some relations between their T-ideals are revealed. A connection between double Capelli polynomials and Capelli quasi-polynomials is established.

Keywords: matrix algebra, Capelli polynomial, polynomial identity, free associative algebra, symmetric group, standard polynomial, T-ideal

References

1. Razmyslov Yu.P. The Jacobson radical in Pi-algebras. Algebra Logic, 1974, vol. 13, no. 3, pp. 192-204.

2. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial. Proc. Am. Math. Soc., 1988, vol. 104, no. 3, pp. 707-710.

3. Domokos M. A generalization of a theorem of Chang. Commun. Algebra, 1995, vol. 23, no. 12, pp. 4333-4342.

4. Szigeti J., Tuza Z., Revesz G. Eulerian polynomial identities on matrix rings. J. Algebra, 1993, vol. 161, no. 1, pp. 90-101.

5. Lee A., Revesz G., Szigeti J., Tuza Z. Capelli polynomials, almost-permutation matrices and sparse Eulerian graphs. Discrete Math., 2001, vol. 230, nos. 1-3, pp. 49-61.

6. Antonov S.Yu., Antonova A.V. To Chang theorem. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, no. 3, pp. 247-251. (In Russian)

7. Antonov S.Yu., Antonova A.V. Quasi-polynomials of Capelli. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, no. 4, pp. 371-382. (In Russian)

8. Antonov S.Yu. The least degree of identities in the subspace M^m'k')(F) of the matrix superalgebra M(m>fc)(F). Russ. Math., 2012, vol. 56, no. 11, pp. 1-16.

9. Antonov S.Yu. Some types of identities of subspaces M0m'k\F), M(m'k\F) of matrix superalgebra M (m'k) (F) . Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2012, vol. 154, no. 1, pp. 189-201. (In Russian)

10. Kemer A.R. Remark on the standard identity. Math. Notes Acad. Sci. USSR, 1978, vol. 23, no. 5, pp. 414-416.

11. Amitsur S.A., Levitzki J. Minimal identities for algebras. Proc. Am. Math. Soc., 1950, vol. 1, no. 4, pp. 449-463.

12. Giambruno A., Sehgal S.K. On a polynomial identity for n x n matrices. J. Algebra, 1989, vol. 126, no. 2, pp. 451-453.

Для цитирования: Антонов С.Ю., Антонова А.В. О кратных многочленах Ка-пелли // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 1. -С. 5-25.

/ For citation : Antonov S.Y., Antonova A.V. On multiple polynomials of Capelli type. ( Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, \ vol. 158, no. 1, pp. 5-25. (In Russian)