К теореме Ченга. Iii Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512

МАТЕМАТИКА

К ТЕОРЕМЕ ЧЕНГА.

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова

Антонов Степан Юрьевич, старший преподаватель кафедры высшей математики, Казанский государственный энергетический университет, Россия, 420066, Казань, Красносельская, 51, [email protected]

Антонова Алина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Казанский государственный энергетический университет, Россия, 420066, Казань, Красносельская, 51, [email protected]

В данной статье рассмотрены различные полилинейные многочлены типа Капелли, принадлежащие свободной ассоциативной алгебре ¥{X и У} над произвольным полем ¥, порожденной счетным множеством X и У. Найдены формулы, выражающие коэффициенты многочлена Ченга М(х, у|гй). Доказано, что если характеристика поля ¥ не равна двум, то многочлен М(х, у |гй) может быть различными способами представлен в виде суммы двух следствий стандартного многочлена #- (х). В статье приведено разложение многочлена Ченга Н(х, у\уо), отличное от уже известного. Кроме того, найдена связь между многочленами М(х, у|гй) и Н(х, у|гй). В работе получены некоторые следствия стандартного многочлена, представляющие интерес для алгебр с полиномиальными тождествами. В частности, приведено новое тождество минимальной степени для нечетной компоненты Z2-градуированной матричной алгебры М(т'т) (¥).

Ключевые слова: Т-идеал, стандартный многочлен, многочлен Капелли.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2018-18-2-128-143

Окончание (2015. Т. 15, вып. 3. С. 247-251; 2017. Т. 17, вып. 2. С. 127-137).

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа является продолжением работы [1]. В ней мы находим явный вид многочлена

М (х,у| й) = М (хх,... ,хт ,.. К, ) =

= sgn ^Хп(1) ••• Хп(ах) йт (1) X

аеБо пеБт теБи

ххп(а!+1) • • • хп(а1 +а2)йт(2)хп(а1 +а2+1) • • • хп(а1+...+аи)йт(и),

устанавливаем связь между R(x,y\w) и

H (x,y\w)= sgn MXn(i) ••• Xn(ni) WT (1) Xn(ni+1) ••• Xn(ni +П2) WT (2) X

neBi neSm тeSu

XXn(ni +П2 + 1) • • • Xn(ni+...+nu )WT (u) xn(ni +...+nu + 1) ^ ^ ^ Xn(ni +...+Пи + 1 ) ,

приводим некоторые следствия стандартного многочлена Sm(x1,... ,xm) и даем некоторые приложения к PI-алгебрам. Все обозначения, введенные в работе [1], сохраняют свой смысл и в части III.

1. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОЧЛЕНА R(x,y|W)

Пусть v =

zi

V(i)

• • • Zi

(r)

, где i1 < ... < ir, n G Sr, — произвольный моном ал-

гебры ^{Z}, | — длина монома V, sgnV = sgпп. Представим каким-либо образом слово V в виде произведения его непустых подслов VI • • • vn (п ^ г) и по определению положим V = (VI ..^п), V' = (|VI| ... |Vn|), аV = ^(1) ••• ^(п), аV = (^(1) . ..^(п)), аа' = (^0.^)1... |^(п)|), а е £п. Учитывая введенные обозначения, всякий моном

хп(1) • • • хп(а1)(1)хп(а1+1) • • • хп(а1+а2)(2)хп(а1 +а2+1) • • • Хп(а1+...+аи)(„), содержащийся в записи многочлена &(х,у|гУ), будем обозначать символом М(а, пх, тга).

Далее, определим отображение Р : В0 ^ Ми(2), где Ми(2) — кольцо матриц размера и х и с элементами из кольца целых чисел положив для любого а = (а1... аи 0) е Во

P (а)

/ а« а« аИ . .. аи 0

0 а и—1 а и—1 • . . аи—1 0

0 0 аи—2 . . . аи—2 0

0 0 0. .. 2 0

V 0 0 0. .. 0 0

Матрицу, состоящую из элементов матрицы Р(а), находящихся на пересечении ее первых к строк и первых к столбцов, обозначим через Рк(а) (к ^ и). Под нормой

матрицы С = (с^-) е Ми(2) будем понимать число

Е Z) \ а под высотой

i=1 j=1

элемента с = (с1... си)т е Мих1 (2) — число ^(с) = ^ |с|. Наконец, подстановку

«=1

/ 1 2 ...и - 1 и\ 0 ,

, л , е обозначим а.

\и — 1 и — 2 ... 1 и/

Лемма 1. Для любых элементов а е В0, т е справедливы равенства

и—2 и—1-й и—1 и и—1

^(Р (а) • (тай/ )т) = ^ а«—к ^ 1адт (¿) I = X] ^т (к) I X] а* = X) ^т (к)|£гР„—к (а). к=0 «=1 к=1 «=к+1 к=1

Доказательство. Имеем

и—1 и—2 1

P (ä) • (raW' )T = ( W (i) |,аИ—|Wt (i) \WT (i) 0

T

i=1

i=1

i=1

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 2 Отсюда

u—2 u—1 —k

h(P (a) • (тага' )T ) = ^ «u—k ^ К (i) | = au К (u—i) | + КК (u—2) | + ••• + k=0 i=1

+au|wT (i)|) + (au—1 |wt (u—2) | + a 3) | + • • • + au—1К (i) |) + • • • + a2 |wt (i) | =

= |Wt (u—1) |au + К (u—2) |(au + au—1) + • • • + К (1) |(«u + au—1 + • • • + a2) =

u— 1 u u— 1

= ^2 к(k)1 ^2 ai = ^2 |wt(k)|tr pu—k(a). D

k=1 i=k+1 k=1

Следствие 1. Пусть |w1| = |w21 = ••• = |wu| = 2s — 1, s £ N. Тогда для любых a £ B0, t £ Su справедливы равенства

u—1

h(P(a) • (таг')T) = (2s — 1)||P(a)11 = (2s — 1) ^ kak+1 •

k=1

Если к тому же au = au—1 = • • • = a2 = r, то h(P(a) • (тага')T) = (2s — 1)ru(u — 1)/2.

Следствие 2. Если для всякого i £ Iu | £ N, то для любых а £ B0,

т £ Su число h(P(а) • (тага')T) четное.

Лемма 2. Для любого монома M(а,пХ,тга) из многочлена R(x,y|wa) справедливо равенство sgn M(a, nx, тга) = (—1)h(P(aKTffw/)T) sgn n sgn(rw).

Доказательство. Нетрудно видеть, что

sgn M(a, nx, тга) =

= ( — 1)|wT (u-1) K + |wt (u-2)|(au +au-1 )+-+|wr (i)|(au+au-i +...+a2) sgn (xn(1) • • • xn(m) WT (1) • • • WT (u)) =

= (—i)h(p(aMW)T) sgn n sgn (wt (1) ••• Wt(u) ) = (—1)h(P(aKT™/)T) sgn n sgn(rw). □ Следствие 3. Справедливо равенство

R (x,a|w)=^ ^2 J2(—1)h(P(ä)'(W)T) sgn n sgn (tw)M (a,™,™)-

aGßo nCSm тGS«

Л частности, при t = m — 1 = u

m—1

R(x,aw) = (—1)ím-1)2m-21—1 (—1)»£ £ sgn n sgn т x

S=1 nGSm TGSm-1

ХХп(1) Ут (1) X п(2)ут(2) • • • xn(s—1)ут(s— 1)xn(s)xn(s+1)ут(s)xn(s+2) • • • xn(m)ут(m—1),

а при t = m = u

— I —\ / m(m-1) ^—> ^—>

R (x,a|wa) = ( —1) 2 z^ sgn n sgn tx^(1) Ут (1) x^(2) Ут (2) ••• xf(m) Ут (m) •

nGSm TGSm

Следствие 4. Пусть |й11 = |й21 = ... = |йи | = 2з — 1, 5 £ N. Тогда справедливо равенство sgnМ(а, пх, гш) = (—1)||р(а)|1 sgnпsgnт, и, значит,

^2 ^2(—1)||Р(а)|1 sgn п sgn тM(а,пХ,тй). аеВо пеБт те^и

Доказательство. Вытекает из леммы 2 и следствия 1. □

Следствие 5. Пусть |ад1| = |г21 = ... = |ги| = 2в, в е N. Тогда справедливо равенство sgn М(а, пх, тга) = sgn п, и, значит,

&(х, У^га) = ^^ ^2 sgnпМ(а, пх, тга).

ае£о пЕБт те^и

Доказательство. Вытекает из леммы 2 и следствия 2. □

Приведем еще один метод для вычисления значения им

отображения £ : В0 ^ Ъи, п : Яи ^ Ъи, положив для любого а = (а1... аи 0) е В0,

с = (с1... си) е Ъи

£ (а) = (£ (а)1... £ (а)и— 1 0), п(а) = (п ©1 ... П (а)и),

и

2 Е

г=в+1

, в е /и—1, п(с)г = |сг| — 2[|сгI/2], г е /и, [р] — целая

где £(а)в = £ а« — 2 «=в+1 часть числа р.

Нетрудно видеть, что для произвольных т е £и, а е В0 справедливы равенства

П (тг')= тп (г'), (—1)^(р (йИт0Ш')Т) = (—1)^(й)'тп(ш/)),

и—1

где (£(а),тп(г')) = Е £(а)5 • (тп(г'))5.

2. СВЯЗЬ МЕЖДУ МНОГОЧЛЕНАМИ &(х, у|г) И Н(х, у|г) В работе [1] доказано, что справедливо равенство

N (^-(та-ш'^)

Н(х,а|г)= Е 1)^ЖтаШ)')Т) sgnпsgn(тw)M(п,пх,тг),

пев пеБт те^и

где

и—1 и—к и и+1

^^(п) • (таг')Т) = XI Пи+1—кЕ 1 гт(«)1 = Е |гт(к)1 Е

п«

к=0 «=1 к=1 «=к+1

(1 2 ... и\ _

а = 1 1 е

\и и — 1 ... 1 у

Явный вид многочленов Н(х,у|г) и &(х,у|г) позволяет установить связь между ними.

Пусть г е /и, 5и(г) = {т е ^и|т(г) = г}, г = г ••• гг—1 гг+1 •••

/12 ...г — 1 г г + 1 ...и — 1 и\0/,л 7г = , ^ , л , 1(г) — группа подстановок

] \1 2 ... г — 1 г + 1 г + 2 ... и г/ и—™

степени и — 1, определенная на множестве /и \ {г}. Очевидно, что отображение

: £и(г) ^ 1 (г), для которого

/ 1 2 ... г — 1 г г + 1 ... и \ \ш(1) ш(2) ... ш(г — 1) г ш(г + 1) ... ш(и)/ =

/1 2 ... г — 1 г + 1 ... и \ = '

" ^ш(1) ш(2) ... ш(г — 1) ш(г + 1) ... ш(и)у ^

является изоморфизмом групп £и(г) и 1 (г).

Лемма 3. Для произвольного элемента а = (а1... аи 0) е В0 и любого т е 5и такого, что т(и) = г, справедливо равенство

(—

ш)Т) sgn(тw) = (—1)^(пнрТаг^)Т) • (—

-г+1|+... + |ши |) сп-п (р'

sgn (рт^г),

где П = (а1... аи) е В' = {п' = (п1... пи) е Nu | п1 + ... + пи = т},

1

г - 1 г + 1 г + 2

и

чт(1) ... т(г — 1) т(г) т(г

(1 2 ... г ..

ки и — 1 ...... г

... т (и — 1)

е яи_ 1 (г),

и

€ 5

и-1'

(знак «л» означает, что число г пропущено). Доказательство. Положим т = рт7Г, где

Рт

1

г — 1 г г + 1 г + 2

и

т(1) ... т(г — 1) г т (г) т( тогда мы можем записать, что

^(Р (а).(т0Ш' )Т)

... т (и — 1),

е 5и(г),

(—1)

sgn(тw) = (—1)^(Р (Й)-

нрт 7г )Т)

sgn (Рт7гг)

= (—1)Мр(а).(рт((7г0)ш'))Т) sgn (Рт(7гг)).

Нетрудно видеть, что

Тг а =

12 и и 1

з — 2 з — 1 з

г+2 г+1 г 1

. и — 1 и .1г

где з = и — (г — 1), sgn(pт(Тгг)) = sgn((pтг^г)

X гРт(г+1) • • • гРт(и)г) = (—1)-|(К+1 |+-+к» sgn(pт

Далее,

sgn (грт (1) ••• грт (г—1) х

/ аи аи аи 0 аи—1 аи—1

Р(а) • (рт((7га)г')т)= . . .

0 0 0

0 0 0

Согласно лемме 1 из работы [1]

0\ / гРт (и) N

аи аи аи . . 0 аи-1 аи- 1 . . . аи-1

0 0 0

а2

\

гРт (и) ^Рт (и—1)

V ^Рт (1) /

где п = (а1.. .аи), рт = ^г(Рт) е 1 (г), аг =

аи—1 0

а2 0 00

/Р1 N

Р2

\Ри—1/ 12

гРт (и—1)

^Рт (1) \ гг ,

/ Р1 N

Р2

Ри—1 0

= Р .

С = N (п)(рт аг гг)т,

и

и и — 1 ...... г ... 1

е 1 (г).

и-1

Замечая, что ^(р ) = Е Р« = Е Р« = ^(с), приходим к равенству

«=1 «=1

(—1)

Ь(Р (а)-(т0Ш' )Т)

sgn(тw) = (—1)^

Г(п)-(рт аг -г)Т)

(—

.1+...+К |)

^п(ртгг). □

1

а

Предложение 1. Для любых натуральных чисел t,u, m, удовлетворяющих неравенствам t ^ u, m ^ u, m > 1, и произвольного поля F справедливо равенство

u

R(X,y|w) = 1)К|(|wr+l|+-+|wuH(X,/^,..^ |Wr)wr,

r=i

где щ = (wi...wr-iwr+i...wuX y^r+r,..., ir+1 = (yi • • • 2ir+i+i • • • Уt), «i = 0 Доказательство. Согласно следствию 3

R (X,y|w)=^ ^ 1)h(P(a)'(W)T) sgn n sgn(rw)M (a, nX, tw) =

aGBo nGSm тGSU

= | полагаем t = pTYr, где r = t(u)| =

u

= Z Z (-1)h(P(äHpTYr-w/)T) sgn n sgn(pT Yr w)M (а,пХ,Рт Yr w) =

r=i aGßo nGSm pTgSU(r)

u

= |применяем лемму 3| = ^ ^ ^ ^ (—1)h(N(nMpTar) sgnnx

r=i nGB ' nGSm pTGSU- 1 (r)

u

_l)|wr |(|wr+1 | + ... + |Wu |) \ Л(_ 1 )|wr |(|wr+1 | + ... + |Wu |)

x sgn (pTWf)M(n, nX, pTWf)wr(—1)|wr|(|wr+1 |+...+|Wu|) = 1)

x

r=i

x ( Z Z Z (-1)h(N (n)'(pT ar WpT) sgn n sgn (pT Wr )M (n, nX, pT Wf) I wr =

\nGB' nGSm pTGSU-1(r) /

= |учитываем равенство для многочлена H(X,y|w)| =

u

= 1)K|(|wr+1|+...+K|) h (X, y.^.jr+1 |Wf )Wr • Q

r=i

Следствие 6. Пусть для любого r G Iu |wr | = 2sr, sr G N. Тогда справедливо

u

равенство R(X,y|w) = ^ H(X, yirr+i ¿r |Wf)wr.

r=i ' '

Следствие 7. Пусть |wi| = |w21 = ••• = |wu| = 2s — 1, s G N. Тогда справед-

u

ливо равенство R(X,y|w) = 1)u-rH(X, y/ir+i i |wf)wr. В частности, если

r=i

m

t = u = m, то R(X,y|w) = £(—1)m-rH(X, y/f |Wf)yr.

r=i

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА R{2|(X,y|w)

Пусть t G Im, u = t, wi = yi для всякого i G ,

R{2}(X,y|W)= ^ ^ ^ sgnnM(a,nX,TW),

aGBo nGSm tGSu

H{2}(X,y|W) = ^ ^^ sgnnM(n, nX, tw) (t < m).

nGB 1 nGSm тGSu

Лемма 4. Для любого натурального числа t G Im и произвольного поля F многочлен R{2}(X,y|w) = ^ Е sgn nM(a, nX, tw) следует из Sm(X).

aGBo nGSm тGSt

Доказательство. Пусть г1, £ 1ш, причем г1 < г2 < • • • < ¿г, т € .

Определим эндоморфизм ,т алгебры ^}, положив

/ \_ I х«,.Утс?), если * = х«,., (; £ /¿)

если * £ {х«1, •••,х«*}•

Нетрудно видеть, что если £ < т, то

Е .т (^т (х)) = Н{2} (х,У Н + ^{2} (х,У И-

Отсюда получаем, что

^{2} (х, У И = X X ^Ь-'«* .т (Х)) - Н{2} (х, У

Поскольку {^ш(х)}Т <Т ^{^}, то

X X ^1,...,«*,т(^ш(х)) £ {^ш(х)}Т,

а по теореме 3 из работы [1] Н{2}(х,у£ {$ш(х)}Т, но тогда и

^{2} (х, у И = X ,т (^ш (х)) - Н{2} (х, у И £ {^ш (х)}Т •

Если же £ = т, то ^ <Р1,...,ш,т(^ш(х)) = ^{2}(X,у □

т Е^т

Следствие 8. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля ^ многочлен ^{2}(хш,Уш|м) = Е Е пх^(1)Ут(1)х^(2)Ут(2) • • • хп(ш)Ут(ш) следует

пЕ^т те5

т

и3 ^ш(х)

Доказательство. Полагая в лемме 4 £ = т, получаем требуемый результат. □

Выше мы определили многочлен ^{2}(х, Удля случая, когда £ = и, £ ^ т. Рассмотрим теперь общий случай, когда £ ^ и, т ^ и.

Теорема 1. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля ^ многочлен ^{2}(х, У= Е Е Е Йёп пМ(а, пх, гш) следует из ^ш(х).

аЕВо пЕ^т тЕ^и

Доказательство. Проведем математическую индукцию по парам (£, и) £ А(^) = = {(£, и) £ N | £ ^ и, и ^ т} с минимальными элементами (£,£), £ £ 1ш, где ^ — лексикографический порядок. В силу леммы 4 теорема 1 верна для любого минимального элемента (£, £) £ А(^).

Пусть (£, и) — произвольный элемент множества А, отличный от минимального. Предположим, что для любого (£1 ,и1) £ А такого, что (£1 ,и1) (£, и) теорема 1 верна. Покажем, что она будет верной и для пары (£,и). Для элемента (£,и) возможны следующие случаи: 1) среди подслов , существует хотя бы одно , для

которого 1 ^ 3; 2) для любого г £ |ш«| ^ 2, при этом найдется такое, что |адг| = 2. Рассмотрим каждый из них по порядку.

Пусть = у;а+1 -2у;5+1 -1 у;5+1 (если 1 = 3, то слово полагаем пустым). Нетрудно видеть, что справедливо равенство

где ^ — эндоморфизм алгебры ¥} такой, что

^) I-2-1 , если * = -2,

если * = -2,

У;+7Г1, ¿в+1 = (У1 • • • У^+1 -2 &-+1+1 • • • у= " ' У*5+1 -2К+1 • • • •

Так как ассоциированная с многочленом &{2}(X, у; ¡-1; +1¡-1; + х) пара (£—2, и)

(£, и), то по индуктивному предположению он следует из (X), но тогда и &{2}(£,у|й) следует из (X). Во

втором случае предположим, что = у;г+1 у;г+2. Рассмотрим эндоморфизмы , • • •, , +1, • • •, +1 алгебры ¥{^}, определенные следующим образом:

(х;, если * = X;, у;.+1, если * = у,.+1,

если * = X;, если * = у^.+1,

где г £ 1т, ^ £ С = \{г}, г1 = 0. Нетрудно видеть, что

&{2}(х,у|^) = ^ ^&{2}^ГООК) —

;=1

— ^ ^ + 1 ^{2} /оО ) + Н{2} /оО ^ К ,

7 ее

где ^ = • • • адг+1 • • • ).

Так как ассоциированная с многочленом &{2}^уо; г+2 ^) пара (£ — 2, и — 1) ^ (£, и), то по индуктивному предположению он является следствием (X)- По замечанию 2 из работы [1] многочлен Н{2}^, у^оГо ) также есть следствие многочлена (X). Значит, и &{2}(X,уследует из (X). Если пара (£,и) = (2,1), то (X, у|ад) = &{2}(X, у11у 1 )у2•

Поскольку ассоциированная с многочленом &{2}(X, у1 |у1) пара (1,1) является минимальным элементом частично упорядоченного множества А(^), то по доказанному &{2}^,у1 |у1) £ {^(X)}T, но тогда и &т^у^) £ {^(X)}T. □

4. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА &^у^)

Представим многочлен &(X, в виде &+ (X, + &-(X,у7|^), где многочлен е^+^у^) (&Г(X,y|W)) состоит из всех мономов многочлена &(X, у/|^), для которых (—1)^(Р(а)-(татй')Т) Sgn(rw) = 1(—1). Таким образом,

(_1)ЦР(а)-(та,^')Т) Sgn (тад)

ае£о теби

(-1)МР(а).(та,а')Т) sgn (тш)

аеВо те^и

^кНХ XI X ^1(-1)Ь(Р(а).(тСТга')Т) sgn(тш) пМ ^^^

аеВо теби

^ X Х- ¿_1(_1)ЦР(а).(та*')Т) sgn(тш) Sgn ПМ ^^^

аеВо

где ^ — символ Кронекера.

Теорема 2. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля ^ характеристики не два многочлен & + (х, Уследует из (х).

Доказательство. По следствию 1 из работы [2] многочлен &(х, У£ {$ш(х)}Т, а по теореме 1 многочлен &{2}(х, У £ {$ш(х)}Т, но тогда &+(х, У= 2(х, У +&{2} (х, У И) £{^ш(х)}Т. □

Предложение 2. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля ^ характеристики не два многочлен &-(х,У следует из (х).

Доказательство. По следствию 1 из работы [2] многочлен &(х,У£ {$ш(х)}Т, а по теореме 2 многочлен (х,У£ {$ш(х)}Т, но тогда &-(х,У = &(х,У

х,У И £{5ш(х)}Т. □

Следствие 9. Для любого натурального числа m > 1 и произвольного поля F характеристики не два многочлены

b2m(X, У) = X X sgn пхп(1)ут(1)Xn(2) ' ' ' ут(m-1)Xn(m)ут(m) 5 nGSm тGA+

h2m sgn nXn(1)ут(1)Xn(2) ' ' ' ут(m-1)Xn(m)ут(m)5

nGSm тGAm

где Am = {т G Sm | sgn т = 1}, Am = {т G Sm | sgn т = -1}, являются следствиями стандартного многочлена Sm(X).

Доказательство. Полагая в следствии 1 s = r = 1, u = m и учитывая следствие 4, получаем, что

R + (X, у|w) = X X

sgn nXn(1)ут(1)Xn(2) ■ ■ ■ ут(m-1)Xn(m)ут(m)5

nGSm sgn (-1)m(m-1)/2

т GAm

-R-(x, у |w) = X X sgn ПХп(1)ут(1)Xn(2) • • • ут(m-1)X^(m)ут(m) •

nGSm sgn(-1)m(m-1)/2

т GAm

Нетрудно видеть, что в зависимости от числа m наши суммы совпадают либо с многочленом b2m(х,у), либо с многочленом h2m(х,у), но по теореме 2 и предложению 2 они следуют из Sm(X). □

Замечание 1. В работе [1] доказано, что если char F = 2, то b2m-1 (Х,у), h2m-1 (X, у) G {Sm(X)}T. Основные свойства многочленов b2m(Х,у ), h2m(Х,у ), b2m-1 (X, у), h2m-1 (X, у) и связь между ними рассмотрены в работе [3].

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ D(X, у |w) И E(X, у|w)

Приводимые ниже результаты дополняют результаты, полученные в парагр. 3 и статье [1]. Пусть ,... , it G Im, причем i1 < i2 < ... < it, т G St, u = t, wi = у« для всякого i G ,

D(X, у/|w) = ^^ ^^ ^^ sgn n sgn тМ(n, nX, тW) (t < m),

nGBi nGSm тGSu

E(X, у/ |w) = ^^ ^^ ^^ sgn n sgn тМ (a, nX, тW)•

aGBo nGSm тGSu

Определим эндоморфизм ^ ^ ,т алгебры ¥{2}, положив для всякого X £ 2

тхи Ут(1), если X = хи, М,т(х) = ^ хцУт(^), если X = хц £ ^ \ {1}),

, если х £ {х^,..., х^}.

Сохраняя обозначения парагр. 2, докажем следующее предложение.

Предложение 3. Для любого натурального числа Ь £ \ {1} и произвольного поля ¥ справедливо равенство

E (x,y|w) = ^(-1)t-r D (x,yf )yr

r=1

Доказательство. Учитывая, что и = Ь, и полагая т = рт7Г, где г = т(и), будем иметь

и

Е(Х,у|ад) = ^ ^ X X >з§п п (рт7г)М(а, пх, Рт7гй) =

г=1 аеВо пе^т РтЕ^и (г)

= 7г I X X X sgп п sgn ртМ(п,пх,рт%) I ^

г=1 \neB1 пе^т рТ(г)

^(-1)u-r D (x,yr |wf )yr. _

r=1 ^

Предложение 4. Для любого натурального числа t £ Im-1 и произвольного поля F многочлен D(x,y|w) ^ ^ ^ ^ sgn п sgn тМ(n,nx, tw) следует из Sm(x).

nGBi neSm TGSt

Доказательство. Проведем математическую индукцию по числу t. Пусть t = 1, тогда

m m—1

Sm(x)) = X X Sgn ПХп(1) • • • xn(n)y1 xn(n+1) • • • xn(m) + Sm(x)y1 •

i=1 n=1 nGSm

Отсюда

m- 1 m

D(x,y|w) ^ ^ sgnnxn(1) • • • xn(n)y1xn(n+1) • • • xn(m) = ^^(Sm(x)) - Sm(x)y1.

Поскольку (х)}т <т ¥{2}, то £ ^(5ТО(х)),5то(х)у1 £ {£т(х)}Т, и, значит,

^ (х,ун (х)}т. ^

Пусть теперь 1 < Ь ^ т — 1. Предположим, что для всякого а < Ь предложение 4 верно. Покажем, что оно будет верным и для числа Ь. Нетрудно видеть, что

X ХЖ ,т (х)) = ^ (х,ун + Е (х,уи-

<...<«* т

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 2 Отсюда и из предложения 3 получаем, что

г

^(X, у И = X X фп >...><,т (З;(X)) - X(-1)г_г ^(X, у, | ад,)уг =

1^1 <...<-^ ^шт Е& г=1

г

Е Е (Зш(X)) - Е(-1)г-г«г(0(X, У(|и'())уг,

1^1 <...<-^ ^ш тЕб^ г=1

где (г £ I) — эндоморфизм алгебры Р} такой, что

(уг+а+1, если г = уг+5, 5 £ {0,1,...,£ - 1 - г},

4г(г) = < , г л

[г, если г £ {Уг,..., уг_1}.

Так как ассоциированное с многочленом ^(X, у,|%) число £ — 1 < то по индуктивному предположению он является следствием стандартного многочлена $ш(X). Учитывая, что (X)}T <т Р{^}, получаем, что ^(X, у|ад) £ {£ш(X)}T. Таким образом, предложение 4 верно для всякого £ £ /ш_1. □

Следствие 10. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля Р многочлен

^(^ш^ш—= ^ X п SgП т^(1)УТ(1)x п(2)ут(2) ' ' ' ут(ш_1)xп(ш)

пЕ^т тЕ^т-1

следует из (X)-

Доказательство. Полагая в предложении 4 £ = т — 1, получаем требуемый результат. □

Предложение 5. Для любого натурального числа £ £ 1ш и произвольного поля Р многочлен Е(X, у|ад) = Е Е Е sgп п sgп тМ(а, пX, тад) следует из (X)-

аеВо пЕ^т тЕб^

Доказательство. Если £ = 1, то Е(X, у1 |ад) = $ш(X)y1. Пусть 1 < £ < т, тогда из равенства

Еу|ад) = ^ X >...>^>т(x)) - ^у ^

а также из предложения 4 и того, что {$ш^)}т <т заключаем, что

Е(X, у|ад) £ {$ш(X)}T. Если же £ = т, то Е(X, у|ад) = Е ^1>...>ш>т($ш(X)). Отсю-

т Е^т

да и из того, что {£_(X)}T <т Р{^}, следует, что Е(X, г/|ад) £ {£_(X)}T. □

Следствие 11. Для любого натурального числа т > 1 и произвольного поля Р многочлен Е^ушИ = Е Е sgnпsgптxп(l)ут(1^(2)ут(2) ••• Xп(ш)ут(ш) следует

пЕ^т ТЕ^т

из ф-

Доказательство. Полагая в предложении 5 £ = т, получаем требуемый результат. □ Отметим, что впервые этот факт был доказан Ченгом в [4].

Замечание 2. Многочлены ^(Xш,yш_1 |ад) и Е,уш|ад) называются двойными многочленами Капелли нечетной и четной степени и обозначаются символами С2ш-1 (X, у/) и С2ш(X, у/) соответственно. Основные свойства двойных и кратных многочленов Капелли, а также их обобщений приведены в работе [5].

6. ВТОРОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ H(x, у|w) И R(x, у|w)

Результаты парагр. 5 позволяют получить еще одно разложение многочленов H(x, у/|w) и R(x, у/|w), отличное от приведенных в [1] и парагр. 4 данной статьи. Пусть

K+ (x, у|w) = X X X ¿1(-1)MN(nHW)T) sgnп sgn (tw)M(n,nx,Tw),

nGB1 nGSm тGS„

K-(x, у|w) = X X X -¿-1(-1)h(N(nHW)T) sgnп sgn (tw)M(n,nx,Tw),

nGBl nGSm тGSu

G+ (x, у|w) = X X X ^1(-1)h(p) sgn п sgn (tw)M(a, nx, tw),

aGBo nGSm тGSu

G-(x, у|w) = X X X -¿-1(-1)MP(äMW)T) sgnп sgn (tw)M(a,nx,Tw),

aGBo nGSm тGSu

где — символ Кронекера. Очевидно, что H(x,у|w) = K+ (x, у/|w) + K-(x, у/|w), R(x,/|w) = G + (x,i/|w) + G-(x,i/|w). Кроме того, нетрудно видеть, что при u = t = m — 1 один из многочленов K + (x,z |w) или K-(x, у/|w) (в зависимости от числа m) будет равен нулю. Аналогично, при u = t = m один из многочленов G + (x,z |w) или G-(x, у/|w) в зависимости от числа m равен нулю.

Теорема 3. Для любого натурального числа m > 1 и произвольного поля F характеристики не два многочлен K+(x,Z|w) следует из Sm(x).

Доказательство. Проведем математическую индукцию по парам (t, u) G A(^) = = {(t,u) G N21 t ^ u,u < m} с минимальными элементами (t,t), t G 1m-1, где ^ — лексикографический порядок. Покажем, что для всякого минимального элемента (t,t) теорема 3 верна. Действительно, по теореме 2 из статьи [2] H(x, у/|w) G {Sm(x)}T, по предложению 4 D(x,/|w) G {Sm(x)}T, но тогда и

K+(x,/|w) = 1 (H(x,S|w) + D(x, j/|w)) G {Sm(x)}T.

Пусть (t,u) — произвольный элемент множества A, отличный от минимального. Предположим, что для любого (t1 ,u1) G A такого, что (t1, u1) — (t,u), теорема 3 верна. Покажем, что она будет верной и для пары (t, u). Для элемента (t, u) возможны следующие случаи:

1) среди подслов w1,..., wu существует хотя бы одно ws, для которого |ws| ^ 3;

2) для любого i G Iu |wi| ^ 2, при этом найдется wr такое, что |wr| = 2. Рассмотрим каждый из них по порядку.

Пусть ws = bsу^ -2у^+1 -1 у^ (если |ws| = 3, то слово bs полагаем пустым). Нетрудно видеть, что для любых n G B1, t G Su справедливы равенства

(—1)h(N (n)(W )T) = (—i)h(N (п)(та^ 1,W1)T), sgn(Tw) = sgn(TW^ ),

где w5—= W1 • • • Ws-1 (bsу*5+1 -2)ws+1 • • • Wu. Отсюда следует, что

K+ (x, у/|w) = (x, у/.--^ |w.--^ ),

где ^ — эндоморфизм алгебры F{Z} такой, что <р(у*а+1-2) = у^+1 -2у^+1 -^+1 и ^(z) = z, если z = у«5+1 -2. Так как ассоциированная с многочленом K + (x,/ —л 5 + 1|wi —-15 + пара (t — 2,u) — (t,u), то по индуктивному предположению он следует из Sm(x), но тогда и K+ (x, у/|w) следует из Sm(x).

Во втором случае предположим, что = +1у^+2. Рассмотрим эндоморфизмы ,..., , ^+1,..., +1 алгебры ^}, определенные следующим образом:

\х1 , если г = х, у{ +1, если г = у% +1,

<£»(*) = 4 / ^+1 (*0 = 4 5 / 5

если я = XI, если я = у^.+ь

где г £ /т, ^ £ С = \{г}, г1 = 0. Нетрудно видеть, что

т

к + (х,у = X ^ к +(х, К)-

¿=1

j ее

где = (w1 ...wr-1 wr+1 ). Так как ассоциированная с многочленом

K+ (x,У^т^^«Т+2|Wf) пара (t — 2,u — 1) ^ (t,u), то по индуктивному предположению он является следствием Sm(x), но тогда и K+ (x,y |w) следует из Sm(x). Если пара (t,u) = (2,1), то K+ (x,y|w) = H(x,y |w), а по теореме 2 из работы [2] H(x, y|w) £{S-(x)}T. □

Предложение 6. Для любого натурального числа m > 1 и произвольного поля F характеристики не два многочлен K-(x,y |w) следует из Sm(x).

Доказательство. По теореме 2 из статьи [2] многочлен H(x,y |w) £ {Sm(x)}T, а по теореме 3 K + (x,y |w) £ {Sm(x)}T, но тогда

к-(x, y |w) = h(x, y|w) — к+(x, y|w) £ {Sm(x)}T. □

Проводя аналогичные рассуждения для многочленов G + (x,y|w), G-(x,y |w) и учитывая теорему 3, придем к следующим результатам.

Теорема 4. Для любого натурального числа m > 1 и произвольного поля F характеристики не два многочлен G + (x,y |w) следует из Sm(x).

Предложение 7. Для любого натурального числа m > 1 и произвольного поля F характеристики не два многочлен G-(x,y |w) следует из Sm(x).

Отметим, что с некоторыми известными следствиями стандартного многочлена можно также познакомиться в [6-8].

7. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Пусть A — произвольная ассоциативная алгебра над полем F со стандартным тождеством Sm(x), T[A] — ее идеал тождеств. Так как T[A] <T F{Z}, то T[A] D {Sm(x)}T. Отсюда вытекает, что все следствия, полученные нами из многочлена Sm(x), будут тождествами алгебры A. Нетрудно видеть, что если dim A < то и m > dimA, то Sm(x) £ T[A]. В частности, если A есть матричная алгебра Mn(F), то в силу теоремы Амицура - Левицкого [9] наименьшее m, при котором Sm(x) £ T[Mn(F)], равно 2n.

Можно также рассматривать тождества векторных подпространств алгебры A. Тождества некоторых подпространств интересны как сами по себе, так и в связи с задачей описания G-градуированных тождеств G-градуированной алгебры A, где G —

некоторая группа, и A допускает G-градуировку. В частности, для A = Mn(F) базис верхнетреугольных матриц описан в [10,11], некоторые тождества подпространств симметрических и кососимметрических матриц для некоторых полей можно найти в [12-14]. Базис Z2-градуированных тождеств Z2-градуированной матричной алгебры M(F) при m = 2, k = 1 и charF = 0 найден в [15], в общем случае базис неизвестен.

Приводимый ниже результат будет полезен при изучении Z2-градуированных тождеств Z^-градуированной матричной алгебры M(m,m) (F) при любых m,F.

Пусть m е N, Mm+m(F) — алгебра матриц, градуированная подпространствами

M(m,m) / t-i\ _ I I Cmxm (F ) 0mxm \ 1 \ f 0mxm Bmxm(F)

0 (Fn D (FW Î'M1 (FA (F) n

^ \ nmxm Dmxm(F )/ J ^ \Amxm(F ) nmxm

Т[м|т'ш)— идеал тождеств векторного подпространства м|т'ш) Предложение 8. Для любого натурального числа т

Ь2(2т)-1 (Х,У), ^2(2ш)-1 (х, у) £ Т[М^, Мш+ш(F)].

Доказательство. Проведем для многочлена Ь2(2т)-1 (х,у), так как для многочлена ^2(2ш)-1 (х,у) оно аналогично. Пусть

а« _ | Ошхш хш(FА ^ = ( °тхт Стхт(FА ^ м(т'т) (F)

где i = 1, 2m, j = 1, 2m — 1, тогда

b2(2m)-i(a1, • • •, a2m, b1,..., b2m-1 ) =

f 0mxm b2(2m)-1 (B1, • • • , B2m, D1, • • . , D2m-1 )\ = n

" Vb2(2m)-1 (A1, • • • , A2m, C1, • • • , C2m-1 ) Omxm / '

поскольку в силу предложения 3 статьи [1] b2(2m)-1 (x,y) G T[Mm(F)]. □

Библиографический список

1. Антонов С. Ю., Антонова А. В. К теореме Ченга. II // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 127-137. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-2-127-137

2. Антонов С. Ю., Антонова А. В. К теореме Ченга // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3. С. 247-251. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-3-247-251

3. Антонов С. Ю., Антонова А. В. О квазимногочленах Капелли // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4. С. 371-382. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-4-371-382

4. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 104, № 3. P. 707-710.

5. Антонов С. Ю., Антонова А. В. О кратных многочленах Капелли // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2016. Т. 158, № 1. С. 5-25.

6. Гатева Т. В. Сложность произведения многообразий ассоциативных алгебр // УМН. 1981. Т. 36, вып. 1(217). С. 203-204.

7. Кемер А. Р. Замечание о стандартном тождестве // Матем. заметки. 1978. Т. 23, № 5. C. 753-757.

8. Leron U. Multilinear identities of the matrix ring // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 183. P. 175-202.

9. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. Vol. 1, № 4. P. 449-463. DOI: 10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9

10. Мальцев Ю. Н. Базис тождеств алгебры верхних треугольных матриц // Алгебра и логика. 1971. Т. 10, № 4. С. 393-400.

11. Сидеров П. Н. Базис тождеств алгебры треугольных матриц над произвольным полем // ПЛИСКА Български матем. студии. 1981. Т. 2. C. 143-152.

12. Kostant B. A theorem of Frobenius, a theorem of Amitsur - Levitzki, and cohomology theory // J. Math. Mech. 1958. Vol. 7. P. 237-264. DOI: 10.1007/b94535_8

13. Rowen L. H. Standard polynomials in matrix algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 190. P. 253-284.

14. Wenxin M., Racine M. Minimal identities of symmetric matrices // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 320, № 1. P. 171-192. DOI: 10.1090/S0002-9947-1990-0961598-6

15. Аверьянов И. В. Базис градуированных тождеств супералгебры M1)2(F) // Матем. заметки. 2009. Т. 85, вып. 4. С. 483-501. DOI: 10.4213/mzm4298

Образец для цитирования:

Антонов С. Ю., Антонова А. В. К теореме Ченга. III // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2018. Т. 18, вып. 2. С. 128-143. DOI: 10.18500/18169791-2018-18-2-128-143

To Chang Theorem. III S. Yu. Antonov, A. V. Antonova

Stepan Yu. Antonov, https://orcid.org/0000-0003-1705-3929, Kazan State Power Engineering University, 51, Krasnoselskaya Str., Kazan, 420066, Russia, [email protected]

Alina V. Antonova, https://orcid.org/0000-0001-7047-7275, Kazan State Power Engineering University, 51, Krasnoselskaya Str., Kazan, 420066, Russia, [email protected]

Various multilinear polynomials of Capelli type belonging to a free associative algebra F{X u Y} over an arbitrary field F generated by a countable set X u Y are considered. The formulas expressing coefficients of polynomial Chang R(x, y|w) are found. It is proved that if the characteristic of field F is not equal two then polynomial R(x, y |wd) may be represented by different ways in the form of sum of two consequences of standard polynomial S- (x). The decomposition of Chang polynomial H(x, y|w) different from already known is given. Besides, the connection between polynomials R(x, y|w) and H(x, y|w) is found. Some consequences of standard polynomial being of great interest for algebras with polynomial identities are obtained. In particular, a new identity of minimal degree for odd component of Z2-graded matrix algebra M(m>m) (F) is given.

Keywords: T-ideal, standard polynomial, Capelli polynomial. References

1. Antonov S. Yu., Antonova A. V. To Chang theorem. II. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2017, vol. 17, no. 2, pp. 127-137 (in Russian). DOI: 10.18500/18169791-2017-17-2-127-137

2. Antonov S. Yu., Antonova A. V. To Chang theorem. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, no. 3, pp. 247-251 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-97912015-15-3-247-251

3. Antonov S. Yu., Antonova A. V. Quasi-polynomials of Capelli. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, no. 4, pp. 371-382 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-4-371-382

4. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial. Proc. Amer. Math. Soc., 1988, vol. 104, no. 3, pp. 707-710.

5. Antonov S. Yu., Antonova A. V. On multiple polynomials of Capelli type. Physics and mathematics, Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Ser. Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 1, pp. 5-25 (in Russian).

6. Gateva T. V. The complexity of a bundle of varieties of associative algebras. Russian Math. Surveys, 1981, vol. 36, iss. 1, pp. 233.

7. Kemer A. R. Remark on the standard identity. Math. Notes, 1978, vol. 23, no. 5, pp. 414416. DOI: 10.1007/BF01789011

8. Leron U. Multilinear identities of the matrix ring. Trans. Amer. Math. Soc., 1973. vol. 183, pp. 175-202.

9. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 1950, vol. 1, no. 4, pp. 449-463. DOI: 10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9

10. Mal'tsev Y. N. Basis for identities of the algebra of upper triangular matrices. Algebra and Logic, 1971, vol. 10, iss. 4, pp. 242-247. DOI: 10.1007/BF02219811

11. Siderov P. N. A basis for the identities of an algebra of triangular matrices over an arbitrary field. PLISKA Studia Math. Bulgar, 1981, vol. 2, pp. 143-152 (in Russian).

12. Kostant B. A theorem of Frobenius, a theorem of Amitsur - Levitzki, and cohomology theory. J. Math. Mech., 1958, vol. 7, pp. 237-264. DOI: 10.1007/b94535_8

13. Rowen L. H. Standard polynomials in matrix algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 1974, vol. 190, pp. 253-284.

14. Wenxin M., Racine M. Minimal identities of symmetric matrices. Trans. Amer. Math. Soc., 1990, vol. 320, no. 1, pp. 171-192. DOI: 10.1090/S0002-9947-1990-0961598-6

15. Aver'yanov I. V. Basis of graded identities of the superalgebra M1j2(F). Math. Notes, 2009, vol. 85, no. 4, pp. 467-483. DOI: 10.1134/S0001434609030195

Cite this article as:

Antonov S. Yu., Antonova A. V. To Chang theorem. III. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2018, vol. 18, iss. 2, pp. 128-143 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-201818-2-128-143