К теореме Ченга Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова. К теореме Ченга

МАТЕМАТИКА

УДК 512

К ТЕОРЕМЕ ЧЕНГА

С. Ю. Антонов1, А. В. Антонова2

1 Антонов Степан Юрьевич, старший преподаватель кафедры высшей математики, Казанский государственный энергетический университет, antonovst-vm@rambler.ru

2Антонова Алина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Казанский государственный энергетический университет, antonovakazan @ rambler.ru

В данной работе введены в рассмотрение полилинейные многочлены H(x,y\w) и R(x,y\w), сумма которых является многочленом Ченга F(x,y\w). Методом математической индукции доказано, что каждый из них есть следствие стандартного многочлена S- (x). В частности, показано, что двойной многочлен Капелли C2m-i (x, у) также следует из многочлена S-- (x). Здесь же найдена минимальная степень многочлена C2m-i (x, у), при которой он является полиномиальным тождеством матричной алгебры Mn (F). Полученные результаты представляют собой перенос результатов Ченга на двойные многочлены Капелли нечетной степени.

Ключевые слова: T-идеал, стандартный многочлен, многочлен Капелли.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-3-247-251

ВВЕДЕНИЕ

Пусть F — произвольное поле, F{Z} — свободная ассоциативная алгебра над F, порожденная счетным множеством Z = = {zn }neN, которое представим в виде Z = X{JY, где

X = {xn}neN, Y = {yn}neN — непересекающиеся счетные множества, Sn — симметрическая группа степени n, S-(z1 ,...,zn) = = sgngzM(1) ••• zM(n) — стандартный многочлен степени n;

f,g — произвольные многочлены алгебры F{Z}, {f}T — T-идеал алгебры F{Z}, порожденный многочленом f. Напомним, что двусторонний идеал I алгебры F{Z} называется T-идеалом, если для любого эндоморфизма ф алгебры F{Z} справедливо включение ф(1) С I. Далее, будем говорить, что многочлен g является следствием многочлена f (следует из f), если g е {f}T•

Кроме того, пусть t, u, m — любые натуральные числа, удовлетворяющие неравенствам t ^ u, m ^ u, m > 1;

a = (a1... au+1) е Nu x (N (J{0}), причем a1 + ... + au+1 = m,

n= (ni... nu+1) е Nu+1 и П1 + ... + nu+1 = m, w = y1 y2 ••• yt • Представим слово w в виде w = w1 w2 • • • wu, где w1 = y1 y2 • • • yi2, W2 = yi2+1 • • • yi3, ..., wu = yiu+1 • • • yt и определим многочлены

F (x,y|w) = F (X1, ...,xm ,y1,..., yt |w1,..., wu) =

^ ^ Sgn у xn(1) • • • xn(a1) wT(1) xn(a1 +1) • • • xn(a1 +a2) wt(2) x a iesm t

НАУЧНЫЙ

ОТДЕЛ

> Г

© Антонов С. Ю, Антонова А. В2015

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

Xxn(ai +a2 + 1) ' ' ' xn(ai + ... + a„) wt(u)xn(ai + ... + a„ + 1) ' ' ' xn(ai +... + a„+i),

H (x,y\w) = H (Xi, . . . ,Xm ,yi, . . . ,yt\W1, . . . , Wu) = ^ ^ Sgn ДХх(1) • • • X^(m) X

n nesm tesu

X wt (1) xn(ni +1) ■ ■ ■ xn(ni +П2) Wt (2) xn(ni +П2 + 1) ■ ■ ■ Xn(ni+...+n„) wt (u) xn(ni +...+n„ + 1) ■ ■ ■ xn(ni +...+n„ + i),

R (x,y\w) = R (x1, . . . ,xm,y1, . . . , y t\W1, . . . , Wu) =

E E E Sgn Д xn(1) ’ ’ ’ xn(ai) wt(1)xn(ai + 1) ' ' ' xn(ai+a2) wt(2)xn(ai +a2 + 1) ' ' ' xn(ai + ... + au) wt(u),

(ai •••a„ 0) tCSu

гд6 fl подстановка в МоноМ6 z^(1) ■ ■ ■ z^(m) z^(m+1) " " " z^(m+t), B K°T°p°M z1 x1, . . ., zm xm,

Zm+1 = y1, ..., zm+t = yt. Очевидно, F(x,y\w) = H(x,y\w) + R(x,y\w). Ченгом (Q. Chang) в [1] доказана

Теорема 1. Для любого натурального наела m > 1 и произвольного поля F многочлен F(x, y\w) следует аз S__ (x).

Цель данной работы — доказать аналогичную теорему для многочлена H(x,y\w) и получить некоторые следствия.

ДОПОЛНЕНИЕ К ТЕОРЕМЕ ЧЕНГА

Пусть v1,...,vn — произвольные мономы алгебры F {Z}. Положим v = (v1 . ..vn), v- = = (v1 ...vi-1vi+1 . ..vn). Далее, для любых многочленов f,g e F{Z} определим коммутатор [f, g] = fg — gf, симметризатор (f, g) = fg + gf, длину монома v обозначим символом \v\.

Утверждение 1. Стандартный многочлен Sn (z) e F{Z} обладает следующими свойствами:

n n

1) S_(v) = E(—1)i-1 zS--1 (v) = E(—1)n_S--1 (v)zi;

i=1

i=1

2) если n = 2k + 1 и charF = 2, mo 2S_(v)= £(—1) (S__ (v-),zj);

i=1

3) если n = 2k и charF = 2, mo 2Sn (z) = J^(—1)*[Sn-1 (z-),z*].

i=1

Доказательство. Приведено в [2].

□

n

n

Теорема 2. Для любого натурального наела m > 1 а произвольного поля F многочлен H(x,y\w) следует аз S_(x).

Доказательство. Проведем индукцию по парам (t,u) e A(A) = {(t,u) e N2 \ t А u}, где A —

лексикографический порядок. Покажем, что для (t,u) = (1,1) теорема верна. Действительно, в этом случае w = y1 = w1 , и по утверждению 1 при четном и нечетном m соответственно будем иметь:

H (x,y1 \W1) = Sm+1 (z)— < Sm (x), y1 >,

H(x,y1 \W1) = S__+1 (z) — [S__(x), y1]

Так как Sm+1(дк (s__(x),y1), [Sm(x),y1] e {Sm(x)}T, т° и h(x,y1 \w1 ) e {s__}T.

Пусть (t,u) — произвольный элемент множества A, отличный от (1,1). Предположим, что для любого (t1 ,u1) e A такого, что (t1 ,u1) A (t,u), теорема 2 верна. Покажем, что она будет верной и для пары (t,u). Для элемента (t,u) возможны следующие случаи:

1) среди подслов w1 ,..., wu существует хотя бы одно ws, для которого \ws \ А 3;

2) для любого i = 1,u \w* \ < 2, при этом найдется wr такое, что \wr \ = 2;

3) для любого i = 1,u \wi\ = 1.

Рассмотрим каждый из них по порядку.

248

Научный отдел

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова. К теореме Ченга

Пусть ws = bsyis+1 _2yis+1-iVis+1, тогда мы можем записать;

H (x, y\w) = H (x,yiyis+i _з, (yis+i _2 yis+i _i yis+i ),yis+i+1>|wi ,---,wu ) =

= pH (х’У,.:+т= i,is+i\p)

где p = (w1 ...ws-1bsyis+i_2ws+1 ...wu), p — эндоморфизм алгебры F{Z} такой, что (p(yis+i_2) = = yis+i_2yis+i_1 yis+i и p(z) = z, если z = yis+i_2. Так как ассоциированная с многочленом H(x,y.^r1 i \p) пара (t — 2,u) Р (t,u), то по индуктивному предположению он следует из Sm(x), но тогда и H(x,y\w) следует из Sm(х).

Во втором случае предположим, что wr = yir+1 yir+2. Рассмотрим эндоморфизмы р1,..., pm, +1,... ,^iu+1 алгебры F{Z}, определенные следующим образом;

fxiwr, если z = х. ; fwryij+1, если z = yi +1;

Pi (z) = < , ^ij+1(zj j

lz, если z = Xi, lz, если z = y. +1,

где i = 1, m, j e A = {1,..., u}\{r}, i1 = 0. Нетрудно видеть, что

H(x, y\w) =J2 PiH(x,yCT1,CT2\?7)f) — J2 ^ij + 1H(x,y

i r +1,i r + 2

\wf) — H (x,y.

ir +1 ,ir + 2

2 \wf)wr

i=1

j еЛ

Так как ассоциированная с многочленом H(X, yp+i \wf) пара (t — 2,u — 1) Р (t,u), то по

индуктивному предположению он является следствием Sm(x), но тогда и H(x,y\w) следует из Sm(x).

Пусть теперь для любого i = 1,u \w. \ = 1, тогда u = t. Рассмотрим стандартный многочлен Sm+t(X,y), который представим в виде

Sm+t(x,y) = H(x,y\w) + Do(x,y) + D1 (x, y) + D2(x,y) + D3(x,y),

где D0 состоит из мономов, начинающихся с некоторого y и заканчивающихся каким-либо x, D1 — из мономов, начинающихся с какого-нибудь x и заканчивающихся некоторым y, D2 — из мономов, начинающихся и заканчивающихся на x, D3 — из мономов, начинающихся и заканчивающихся на y.

Перегруппируем слагаемые в многочлене D0 (x,y) следующим образом. Пусть v0 = bv0 (y)avo1(x) x X bvo1 (y) • • • bv0 s(v0) (y)avos + 1(x) — произвольный моном из Do, в котором bvo (y), bvo 1 (y), . . ., bv0 s(v0) (y), avo 1 (x), ..., av0s+1 (x) — непустые слова из соответствующих алфавитов {y1 ,...,yt}, {x1 ,...,xm}. Соберем все слова v вида

v = bvo (y)cvo 1 (x)bvoT(1) (y) • • • bvoT(s) (y)cvos+1 (x) (t e Ss)

в одну скобку и вынесем вместе со знаком v0 общий множитель bvo (y). С оставшимися в многочлене D0 мономами проделаем то же самое. В результате за конечное число шагов придем к равенству

D0 (x,y) = ^ £vo bvo (y)H (x,y(v0 )\bvo 1 ,...,bvos)+ eSt_ (y)Sm (x)

vo

где e,£vo e {—1,1}.

Аналогично для многочленов D1 (x,y), D2 (x,y), D3(x,y) будем иметь;

D1 (x,y) = ^ £vi H (x,y(v1 )\bvi 1 ,...,bvis)bvi s+1 (y) + wSm (x)St (y),

vi

где w,£vi e {—1,1};

D2 (X,y) = Zv2 H (X,y\bv2 1 , . . . ,bv2s),

v2

где Zv2 e {—1,1};

D3 (X,y) = ^ £vs bvs (y)H (X,y(v3 )\bv31, . . .,bv3s)bv3 s+1 (y) + K (x,y),

v3

ГДе K(x,y) =E ^3 bq3 (y)Sm (x)b«31 ^ ^3 , ^3 e { —1 1}.

«3

Математика

249

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

Следовательно, мы можем записать, что

H (x,y\w) = Sm+t(x,y) — J2 — J2 — J2 — J2—£S- (y)Sm(x)— ^Sm (x)S- (y)- k (x,y). (i)

Vo Vi V2 V3

Теперь заметим, что у каждого из многочленов, находящегося под знаком суммы ^,

Vo Vi V2 V3

ассоциированная с ним пара (r, s) Р (t,t), и потому по индуктивному предположению каждый из них есть следствие Sm (x).

Кроме того, из утверждения 1 вытекает, что S—+t(x,y) также следует из Sm(x). Отсюда и из равенства (1) заключаем, что H(x,y\w) е {Sm(x)}T. □

Следствие 1. Для любого натурального числа m > 1 и произвольного поля F многочлен R(x,y\w) следует из Sm(x).

Доказательство. По теореме 1 многочлен F(x,y\w) следует из Sm(x), а по теореме 2 H(x,y\w) есть следствие Sm(x), но тогда R(x,y\w) = F(x,y\w) — H(x, y\w) также следует из Sm(x). □

Следствие 2. Для любого натурального числа m > 1 и произвольного поля F многочлен

C2m-1 (x, y) '"'У ^ '"'У ^ sgn (nT)xn(1)y т (1) xn(2) ■■■ xn(m-1) ут (m-1) xn(m)

nesm тesm-i

является следствием стандартного многочлена Sm(x).

Доказательство. Полагая в теореме 2 t = m — 1 = и, придем к равенству

H(x,yW) = ( —l)m(m-1)/2 C2m-1 (x,y). □

Пусть A — произвольная ассоциативная алгебра над F со стандартным тождеством S— (x), T[A] — ее идеал тождеств, тогда по следствию 2 C2m-1 (x,y) е T[А]. В частности, если A = Mn(F) — матричная алгебра, то по теореме Амицура-Левицкого [3] при m > 2n Sm(x) е T[Mn(F)], и, значит, C2m-1 (x, y) е T[Mn(F)]. Тот факт, что C2m-1 (x,y) е T[Mn(F)] при m < 2n, следует из того, что двойной многочлен Капелли

C2(2n-1) (x,y)= ^2 ^2 sgn(nr )xn(1)yT (1) ••• xn(2n-1) Ут (2n-1)

nGS 2n-1 т eS2n-1

не обращается в нуль на двойной лестнице, и равенства

C2m (x,y) ^( —1)m-iC2m-1 (x, У?)yi,

i=1

доказанного в [4]. Таким образом, нами доказана

Теорема 3. Пусть F — произвольное поле, Mn (F) — матричная алгебра над F. Тогда наи-

меньшее m, при котором C2m-1 (x,y) е T[Mn(F)], Заметим, что впервые это доказал Домокос (М.

Библиографический список

1. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 104, № 3. P. 707-710.

2. Pierce R. Associative Algebras. N.Y. : Springer-Verlag, 1982. 542 p.

3. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. Vol. 1,

№ 4. P. 449-463.

равно 2n. Domokos) в [5].

4. Антонов С. Ю. Наименьшая степень тождеств подпространства м1т,к) (F) матричной супералгебры M(m,k) (F) // Изв. вузов. Математика. 2012. № 11. С. 3-19.

5. Domokos М. A generalization of a theorem of Chang // Commun. Algebra. 1995. Vol. 23, № 12. P. 4333-4342.

250

Научный отдел

С. С. Волосивец, Т. В. Лихачева. Некоторые вопросы приближения полиномами

To Chang Theorem

S. Yu. Antonov1, A. V. Antonova2

1 Antonov Stepan Yuryevich, Kazan State Power Engineering University, 51, Krasnosel’skaya st., 420066, Kazan, Russia, antonovst-vm @ rambler. ru

2Antonova Alina Vladimirovna, Kazan State Power Engineering University, 51, Krasnosel’skaya st., 420066, Kazan, Russia, antonovakazan @ rambler. ru

Multilinear polynomials H(x,y) and R(x,y), the sum of which is the Chang polynomial F(x,y) have been introduced in this paper. It has been proved by mathematical induction method that each of them is a consequence of the standard polynomial S- (x). In particular it has been shown that the double Capelli polynomial of add degree C2m-i (x, y) is also a consequence of the polynomial S—(x,y). The minimal degree of the polynomial C2m-i(x,y) in which it is a polynomial identity of matrix algebra Mn (F) has been also found in the paper. The results obtained are the transfer of Chang’s results over to the double Capelli polynomials of add degree.

Keywords: T-ideal, standard polynomial, Capelli polynomial.

References

1. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial. Proc. Amer. Math. Soc., 1988, vol. 104, no. 3, pp. 707-710.

2. Pierce R. Associative Algebras. New York,

Springer-Verlag, 1982, 542 p.

3. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 1950, vol. 1, no. 4, pp. 449-463.

4. Antonov S. Yu. The least degree of identities in the subspace M[m,k (F) of the matrix superalgebra M (m’k) (F). Russian Math. [Izvestiya VUZ. Matematika], 2012, iss. 56, no. 11, pp. 1-16. DOI: 10.3103/S1066369X12110011.

5. Domokos M. A generalization of a theorem of Chang. Commun. Algebra, 1995, vol. 23, no. 12, pp. 4333-4342.

УДК 517.518

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПОЛИНОМАМИ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Lp

С. С. Волосивец1, Т. В. Лихачева2

1 Волосивец Сергей Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, VolosivetsSS@mail.ru

2Лихачева Татьяна Владимировна, старший специалист, филиал АО «Неофлекс Консалтинг» в г. Саратов, iofinat@mail.ru

В настоящей статье изучается приближение полиномами Виленкина в весовых пространствах Lp. Авторы доказывают результат типа Бутцера-Шерера об эквиалентности между порядком наилучшего приближения функции f и порядком возрастания обобщенных производных, а также аппроксимативными свойствами полинома наилучшего приближения tn(f). Даны некоторые приложения к приближению линейными средними рядов Фурье-Виленкина.

Ключевые слова: система Виленкина, наилучшее приближение, обобщенная производная, средние Зигмунда-Рисса.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-3-251 -258

ВВЕДЕНИЕ

Пусть P = {pj }°=1 с N, причем 2 < pj < N для всех j е N. По определению Z(pj) =

= {0,1,... ,pj — 1}, mo = 1 и mn = p1 .. .pn для n е N. Каждое число x е [0,1) имеет разложение

x = Y1 xj j ’ xjе Z(pj)-

j=1

© Волосивец С. С., Лихачева Т. В., 2015